UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA – CT
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – CCET
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE
PETRÓLEO – PPGCEP
TESE DE DOUTORADO
MÉTODO FUZZY PAYOFF MODIFICADO PARA VALORAÇÃO DE
OPÇÕES REAIS COM APLICAÇÃO EM ABANDONO DE CAMPOS DE
PETRÓLEO
Roberto Evelim Penha Borges
Orientador: Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto
Coorientador: Prof. Dr. Marco Antonio Guimarães Dias
Natal / RN, Fevereiro de 2019
Método Fuzzy Payoff Modificado para Valoração de Opções Reais com
Aplicação em Abandono de Campos de Petróleo
Roberto Evelim Penha Borges
Natal / RN, Fevereiro de 2019
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Borges, Roberto Evelim Penha.
Método Fuzzy Payoff modificado para valoração de opções reais
com aplicação em abandono de campos de petróleo / Roberto Evelim Penha Borges. - 2019.
57f.: il.
Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de
Ciências Exatas e da Terra - CCET, Programa de Pós-Graduação em
Ciência e Engenharia de Petróleo - PPGCEP, Natal, 2019.
Orientador: Dr. Adrião Duarte Dória Neto.
Coorientador: Dr. Marco Antonio Guimarães Dias.
1. Opções Reais Nebulosas - Tese. 2. Opções reais - Tese. 3.
Lógica fuzzy - Tese. 4. Opção de abandono - Tese. 5. FPOM - Tese.
I. Dória Neto, Adrião Duarte. II. Dias, Marco Antonio Guimarães.
III. Título.
RN/UF/BCZM CDU 665.6/.7
Roberto Evelim Penha Borges
Método Fuzzy Payoff Modificado para Valoração de Opções Reais com Aplicação em
Abandono de Campos de Petróleo
Tese de Doutorado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em Ciência e
Engenharia de Petróleo PPGCEP, da
Universidade Federal do Rio Grande do
Norte, como parte dos requisitos para
obtenção do título de Doutor em Ciência e
Engenharia de Petróleo.
Aprovado em 4 de fevereiro de 2019.
BORGES, Roberto Evelim Penha – Método Fuzzy Payoff Modificado para Valoração de
Opções Reais com Aplicação em Abandono de Campos de Petróleo. Tese de Doutorado,
UFRN, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. Área de
Concentração: Pesquisa e Desenvolvimento em Ciência e Engenharia de Petróleo. Linha de
Pesquisa: Automação na Indústria de Petróleo e Gás Natural, Natal – RN, Brasil.
Orientador: Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto
Coorientador: Prof. Dr. Marco Antonio Guimarães Dias
RESUMO
A decisão de abandonar ou não um campo produtor de petróleo é complexa. A incerteza
inerente às estimativas utilizadas como premissas faz com que só o passar do tempo aponte se
a decisão tomada foi acertada. Entretanto, as empresas precisam tomar essa decisão
continuamente, com base nas informações e técnicas disponíveis no momento da avaliação. A
valoração de um campo de petróleo considerando a opção real de abandono é uma forma
moderna de dar suporte a tal decisão. Ao contrário de técnicas tradicionais, como o fluxo de
caixa descontado, que apenas consideram valores médios na valoração, a análise de opções
reais leva em conta os possíveis valores que as variáveis estimadas podem assumir. O Fuzzy
Payoff Method (FPOM) é uma técnica que simplifica soluções tradicionais complexas para
valoração de opções reais, já que é baseada em cenários e lógica fuzzy. Durante este trabalho,
uma inconsistência foi identificada no FPOM original: em alguns casos, ele resulta em um valor
de projeto com opção real menor do que o valor do mesmo projeto sem opção real. Para superar
essa questão, foi desenvolvido e apresentado o método Center of Gravity Fuzzy Payoff Method
(CoG-FPOM), que aqui se demonstrou ser consistente para qualquer problema e tipo de número
fuzzy. Dessa forma, o modelo para suporte à decisão de abandono de campos de petróleo aqui
proposto tem como núcleo o CoG-FPOM. Os resultados obtidos com a aplicação do modelo
evidenciam a esperada vantagem conceitual e o valor adicionado pela análise de opções reais
na decisão de abandono. Ao usar cenários e lógica fuzzy, o modelo obtém simplicidade e
facilidade de implementação, permitindo o interesse da indústria.
Palavras-Chaves: Opções Reais Nebulosas. Abandono de campos de petróleo. Opções reais.
Lógica fuzzy. Opção de abandono. FPOM. CoG-FPOM.
ABSTRACT
The decision whether or not to abandon an oil-producing field is complex. The
uncertainty inherent to the estimates used as premises makes that only the passage of time points
out whether the decision made was correct. However, companies need to make this decision
continuously, based on the information and techniques available at the time of evaluation. The
valuation of a petroleum field considering the abandonment real option is a modern way of
supporting such a decision. Unlike traditional techniques, such as discounted cash flow, which
only consider average values in valuation, the analysis of real options contemplates the possible
values that the estimated variables can assume. The Fuzzy Payoff Method (FPOM) is a
technique that simplifies complex traditional solutions for valuation of real options, since it is
based on scenarios and fuzzy logic. During this work, an inconsistency was identified in the
original FPOM: in some cases, it results in a value of the project with real options smaller than
the value of the same project without real option. In order to overcome this issue, the Center of
Gravity Fuzzy Payoff Method (CoG-FPOM) was developed and presented, which has been
shown to be consistent for any problem and type of fuzzy number. Hence, the model intended
to support the oilfield abandonment decision proposed here has the CoG-FPOM in its core. The
results obtained with the application of the model show the expected conceptual advantage and
the value added by the analysis of real options in the abandonment decision. By using scenarios
and fuzzy logic, the model achieves simplicity and ease of implementation, allowing the
industry's interest.
Keywords: Fuzzy Real Options. Oilfield abandonment. Real options. Fuzzy logic.
Abandonment option. FPOM. CoG-FPOM.
“A incerteza é nossa disciplina
e a compreensão de como agir
em condições de informações
incompletas é a mais elevada e
mais urgente das buscas
humanas”
Nassim Taleb
À minha família
AGRADECIMENTOS
À minha esposa, Annelize, pelo amor incondicional, pela compreensão e paciência nos
momentos difíceis, e pela companhia e carinho constantes, sem os quais eu não chegaria ao fim
deste trabalho.
Aos meus filhos, Leonardo e André, pela leveza e doçura que trazem à minha vida.
Aos meus pais, Wellington e Célia, e ao meu irmão, Miguel, pelo amor fraterno, pelo
incentivo, e pelos momentos de distração.
Ao meu orientador, Adrião, pela confiança, apoio em todos os momentos, e
compreensão com a jornada de trabalho e pesquisa simultâneos.
Ao meu coorientador, Marco Antonio, por ter acreditado e aceitado o pedido de
coorientação, além do suporte teórico e prático dado ao longo desses anos.
Ao meu coorientador durante o período sanduíche na Université de Fribourg, Andreas
Meier, ao professor Luís Terán, e aos demais colegas do Research Center for Fuzzy
Management Methods, pela troca de experiências e pela valiosa contribuição ao trabalho.
Ao colega Roberto Teodoro pelo suporte matemático necessário para a prova de
consistência do CoG-FPOM.
Aos colegas da Petrobras, em especial a Adelbaldo, pelo apoio na conciliação dos
trabalhos.
E a todos que de alguma maneira se fizeram presentes, se preocuparam, foram solidários
e torceram por mim.
i
SUMÁRIO
SUMÁRIO ................................................................................................................................... i
LISTA DE FIGURAS ................................................................................................................ ii
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIAÇÕES ............................................................................ iii
1 Introdução ........................................................................................................................... 2
1.1 Objetivos ................................................................................................................................. 3 1.2 Organização do Trabalho ........................................................................................................ 4
2 Revisão da Literatura e Aspectos Teóricos ........................................................................ 6
2.1 Opções Reais ........................................................................................................................... 6 2.1.1 Desigualdade de Jensen ................................................................................................... 7 2.1.2 Um Exemplo Simples ...................................................................................................... 8 2.1.3 Métodos para Valoração de Opções Reais ...................................................................... 9
2.2 Lógica Fuzzy ......................................................................................................................... 10 2.2.1 Números Fuzzy .............................................................................................................. 11 2.2.2 Teoria de Possibilidades ................................................................................................ 12 2.2.3 Valoração de Opções Reais usando Lógica Fuzzy ........................................................ 13
3 Decisão de Abandono e o FPOM ..................................................................................... 15
3.1 Decisão de Abandono............................................................................................................ 15 3.2 Métodos Fuzzy Payoff para Valoração de Opções Reais ...................................................... 16
3.2.1 A inconsistência do FPOM original .............................................................................. 18
4 Modelo Proposto ............................................................................................................... 22
4.1 O Center of Gravity Fuzzy Payoff Method (CoG-FPOM) .................................................... 22 4.2 Modelo de Suporte à Decisão de Abandono de um Campo Petrolífero ................................ 28
5 Análise dos Resultados ..................................................................................................... 33
5.1 Aplicação do Modelo Proposto ............................................................................................. 33 5.2 Discussão de Resultados ....................................................................................................... 37
6 Conclusões e Sugestões para Futuros Trabalhos .............................................................. 40
Referências Bibliográficas ........................................................................................................ 42
ii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1. Fluxo de caixa típico de um projeto de E&P baseado no sistema fiscal brasileiro
(Suslick, Schiozer & Rodriguez, 2009) .......................................................................... 2
Figura 2.1. Exemplo simples de valoração com opções reais .................................................... 8
Figura 2.2. Número fuzzy triangular ......................................................................................... 12
Figura 3.1. Distribuição de possibilidades do VPL com opção real, baseado em Collan,
Haahtela & Kyläheiko (2016) ....................................................................................... 17
Figura 3.2. Exemplo de projeto que gera um resultado inesperado usando o FPOM original . 19
Figura 4.1. Distribuição de payoff fuzzy como OR com 0 < 𝑎 − 𝛼 ......................................... 25
Figura 4.2. Distribuição de payoff fuzzy como OR com 𝑎 − 𝛼 < 0 < 𝑎 ................................. 25
Figura 4.3. Distribuição de payoff fuzzy como OR com a < 0 < a + β .................................. 26
Figura 4.4. Distribuição de payoff fuzzy como OR com a + β < 0.......................................... 26
Figura 4.5. Procedimento para usar o FPOM com alternativas não nulas – como nesse
exemplo 𝑇 é um número negativo, −𝑇 aumenta os valores dos cenários em 𝑇 ........... 28
Figura 4.6. Correspondência entre parâmetros de número fuzzy ............................................. 30
Figura 5.1. Estimativas de produção para os três cenários da aplicação .................................. 34
Figura 5.2. Lucro operacional calculado para os três cenários da aplicação ............................ 35
Figura 5.3. Fluxo de caixa de abandono calculado para os três cenários da aplicação ............ 35
Figura 5.4. Número fuzzy (distribuição de possibilidade) referente ao payoff de abandono
esperado para o ano 10.................................................................................................. 36
Figura 5.5. Número fuzzy (distribuição de possibilidade) referente ao payoff do campo
esperado para o ano 10.................................................................................................. 37
iii
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIAÇÕES
𝑎 Pico/centro de um número fuzzy triangular
𝛼 Largura esquerda de um número fuzzy triangular
𝛽 Largura direita de um número fuzzy triangular
𝜇𝐴 Função de pertinência de um número fuzzy 𝐴
CoG Centro de gravidade (Center of Gravity)
CoG-FPOM Center of Gravity Fuzzy Payoff Method
DMM Datar-Mathews Method
E&P Exploração e Produção
FCD Fluxo de Caixa Descontado
FPOM Fuzzy Payoff Method
OR Opção Real
VPL Valor Presente Líquido
Capítulo 1
Introdução
1 Introdução
2 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
1 Introdução
A exploração e produção de petróleo (E&P) é uma atividade que envolve a identificação
de potenciais acumulações de óleo e gás, a construção de poços e facilidades para extração do
hidrocarboneto, e a operação de toda a estrutura para gerenciamento do campo produtor. Dias
(2004) apresenta as decisões características do ciclo de E&P, a última das quais normalmente
é o abandono. A Figura 1.1 ilustra um fluxo de caixa típico de um projeto de E&P baseado no
sistema fiscal brasileiro.
Figura 1.1. Fluxo de caixa típico de um projeto de E&P baseado no sistema fiscal brasileiro
(Suslick, Schiozer & Rodriguez, 2009)
Como apontado por Parente et al. (2006), a etapa de abandono destaca uma diferença
da indústria de E&P em relação a muitas outras: os projetos tipicamente apresentam uma
terceira fase de fluxo de caixa – depois das fases de investimento e produção. Esse fluxo de
caixa de abandono inclui todas as despesas com descomissionamento e envolve considerações
regulatórias e ambientais (Osmundsen & Tveterås, 2003).
1 Introdução
3 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Ao encerrar a produção, além das despesas com abandono, as empresas também devem
contabilizar o valor potencial de venda ou reuso dos equipamentos. Portanto, existe uma receita
que deve ser considerada no fluxo de caixa de abandono, tornando a valoração e a decisão mais
complicadas.
A decisão de abandono de um campo produtor de petróleo atrai atenção especial quando
sua vazão de produção se aproxima de um limite econômico abaixo do qual seguir operando
resultaria em prejuízo. Em princípio, as empresas deveriam interromper a produção de um
campo assim que seu resultado operacional se tornasse negativo, ou seja, quando as receitas de
sua produção fossem menores que os custos para produzir seu petróleo.
Contudo, a escolha pelo abandono é uma decisão complexa, porque a incerteza em
relação às variáveis estimadas dificulta a análise ex ante (Taleb, 2007). Deste modo, somente o
curso do tempo mostrará se a melhor decisão foi tomada, tenha ela sido pelo abandono ou pela
continuidade da operação.
Assumindo que o descomissionamento é irreversível, a decisão pelo abandono suprime
todas as opções alternativas de desenvolvimento de um campo e pode impedir lucros futuros,
os quais poderiam ser possíveis sob condições mais favoráveis. Por outro lado, uma companhia
pode ter problemas com seus stakeholders caso continue uma operação em condições que
reduzam sua lucratividade (Carlsson & Fullér, 2011).
1.1 Objetivos
Este trabalho tem como objetivo geral apresentar um modelo que auxilia a decisão de
abandono de um campo produtor de petróleo. O modelo utiliza uma teoria moderna de finanças
– a valoração de opções reais – que leva em conta os possíveis valores que as variáveis
estimadas podem assumir, e não apenas valores médios.
Além disso, o objetivo da proposta é ser simples e de fácil implementação, o que muitas
vezes é o ponto fraco de soluções tradicionais complexas para valoração de opções reais. Para
tanto, é utilizado um Fuzzy Payoff Method (FPOM), que se baseia em cenários e lógica fuzzy.
Outro objetivo do trabalho, suscitado durante seu desenvolvimento, é corrigir uma
inconsistência identificada no FPOM original, que calcula um valor negativo para a opção de
abandono em algumas situações. Para tanto, foi desenvolvido e apresentado o Center of Gravity
Fuzzy Payoff Method (CoG-FPOM) (Borges, Dias, Dória Neto & Meier, 2018), que altera a
técnica utilizada para obter um número representativo a partir de um número fuzzy, é que a base
do modelo proposto.
Os objetivos específicos do trabalho são:
1 Introdução
4 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Explicitar a fragilidade de métodos que usam apenas os valores médios das variáveis
estimadas para decisão de abandono;
Desenvolver um sistema simples baseado em aplicação de planilhas eletrônicas para
implementar o modelo proposto;
Analisar os resultados da aplicação do modelo proposto a um campo hipotético, com
dados sintéticos.
1.2 Organização do Trabalho
Esta tese está estruturada em seis capítulos. Este primeiro capítulo introduz o tema e as
motivações para o trabalho realizado, apresenta seus objetivos e a estrutura do documento. No
Capítulo 2 – Revisão da Literatura e Aspectos Teóricos – é apresentada a fundamentação teórica
dos assuntos envolvidos no trabalho, abordando a teoria de opções reais e a opção real de
abandono, a lógica fuzzy e sua aplicação para valoração de opções reais.
O Capítulo 3 – Decisão de Abandono e o FPOM – traz uma visão das formas atuais de
dar suporte à decisão de abandono na indústria, apresenta o FPOM e a inconsistência que foi
identificada no método original. O Capítulo 4 – Modelo Proposto – apresenta o CoG-FPOM, a
prova matemática da sua consistência teórica, e então descreve o modelo proposto para auxiliar
a decisão de abandono.
O Capítulo 5 – Análise dos Resultados – traz a aplicação do modelo proposto a um
campo hipotético, os resultados que foram obtidos e uma discussão sobre esses resultados. Por
fim, o Capítulo 6 – Conclusões e Sugestões Para Futuros Trabalhos – faz um fechamento do
trabalho, indicando as conclusões obtidas e sugestões para trabalhos futuros.
Capítulo 2
Revisão da Literatura e Aspectos Teóricos
2 Aspectos Teóricos
6 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
2 Revisão da Literatura e Aspectos Teóricos
Este capítulo aponta os conceitos básicos necessários ao entendimento do modelo
proposto. São apresentados os principais aspectos relacionados à teoria de opções reais e à
lógica fuzzy, incluindo o uso dos dois temas em conjunto. No decorrer desse embasamento
teórico, há diversas referências a trabalhos que podem servir para o aprofundamento do estudo.
2.1 Opções Reais
No mundo atual cada vez mais complexo, a incerteza está presente na maioria das
decisões que devem ser tomadas pelas empresas – incluindo a decisão de abandono de um
campo produtor de petróleo, como observado na introdução. No entanto, os métodos
tradicionais de avaliação normalmente utilizam um único valor médio estático para apoiar as
decisões, geralmente usando a análise do fluxo de caixa descontado (FCD) e o valor presente
líquido (VPL) (Ho & Liao, 2011). Além de ter parâmetros difíceis de estimar, essas técnicas
não consideram possibilidades menos prováveis (potencialmente com alto impacto) na análise.
Para mostrar aos tomadores de decisão o valor de suas flexibilidades – tradicionalmente
desconsideradas, e que são mais valiosas com a incerteza – a análise de opções reais aparece
como uma importante ferramenta de avaliação.
A análise de opções reais é uma metodologia moderna que destaca o valor da
flexibilidade gerencial para responder à incerteza de forma otimizada. Ao observar que as
oportunidades de investimentos corporativos podem ser vistas como opções financeiras de
compra (call options) sobre ativos reais, Myers cunhou em 1977 o termo "opções reais" (Dias,
2004).
Uma opção real é um direito – não uma obrigação – de exercer uma ação sobre um ativo
subjacente real, não financeiro. A ação pode envolver o adiamento de uma decisão até um
momento futuro, o abandono, a expansão ou a contratação de um projeto, a alteração da entrada
ou da saída de um processo, entre outros.
Tourinho (1979) desenvolveu o primeiro modelo matemático de opções reais, enquanto
Dixit & Pindyck (1994) publicaram o primeiro livro sobre o assunto. Eles apontaram a
irreversibilidade, o timing e a incerteza como principais elementos de opções reais. A
irreversibilidade (parcial ou total) aumenta o valor da política de “esperar para ver". O momento
de exercer a opção é então crucial para maximizar o valor da oportunidade de investimento.
Quanto maior a incerteza, maior o valor da flexibilidade, que é chamado de valor da opção real
2 Aspectos Teóricos
7 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
quando aplicado ao investimento em ativos reais. Dias (2004) dá uma visão geral dos diferentes
modelos de opções reais aplicados a ativos petrolíferos.
2.1.1 Desigualdade de Jensen
Matematicamente, a comparação entre a valoração tradicional e a valoração com opções
reais pode ser melhor compreendida a partir da Desigualdade de Jensen, devida ao matemático
dinamarquês Johan Ludwig Jensen (Jensen, 1906).
Na valoração tradicional, primeiramente se calcula o valor esperado de um VPL, usando
os valores esperados de cada elemento que compõem o fluxo de caixa futuro. A regra básica de
decisão rege que devemos aceitar aquele fluxo de caixa nos casos em que o valor esperado do
VPL calculado for maior que zero, ou seja:
𝑉𝑡𝑟𝑎𝑑 = max{𝐸[𝑉𝑃𝐿], 0} (1)
Por outro lado, a valoração por opções reais requer que se busque a maximização em
cada caso, ou seja, que a melhor opção de cada possível cenário seja encontrada, para só então
calcular a esperança. Desta forma, a ordem de aplicação das funções “máximo” e “valor
esperado” é trocada:
𝑉𝑜𝑝 = 𝐸{𝑚𝑎𝑥(𝑉𝑃𝐿, 0)} (2)
Como tipicamente as funções resultantes de decisões de otimização são convexas (Sick
& Gamba, 2010) – ou seja, qualquer corda traçada entre dois de seus pontos está acima de (ou
coincide com) seu gráfico – a Desigualdade de Jensen impõe a Equação (3). Ela demonstra que
a valoração tradicional, por desconsiderar flexibilidades, pode subestimar o valor de um caso
real.
𝑉𝑜𝑝 = 𝐸{𝑚𝑎𝑥(𝑉𝑃𝐿, 0)} ≥ max{𝐸[𝑉𝑃𝐿], 0} = 𝑉𝑡𝑟𝑎𝑑 (3)
2 Aspectos Teóricos
8 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
2.1.2 Um Exemplo Simples
Para ilustrar o conceito da análise de opções reais e da aplicação da desigualdade de
Jensen, considere o seguinte exemplo, adaptado de Dias (2014).
Suponha um campo de petróleo em produção, para o qual deve-se decidir entre a
continuidade das operações ou o abandono. O valor esperado para seu fluxo de caixa no
próximo período é negativo em 1 MM$. Entretanto, para o período seguinte há duas
possibilidades equiprováveis previstas: no cenário A, o fluxo de caixa esperado é positivo em
3 MM$; no cenário B, o fluxo de caixa esperado é negativo em 6 MM$. Suponha que a taxa de
desconto é de 5% ao período e que, por simplicidade, o fluxo de caixa de abandono é nulo.
Figura 2.1. Exemplo simples de valoração com opções reais
Ao decidir por abandonar, a empresa evita o prejuízo de 1 MM$ previsto para o próximo
período. Por outro lado, ela também perde a exposição ao possível cenário positivo para o
período seguinte. Usando as Equações (1) e (2), podemos analisar a decisão usando a valoração
tradicional e a valoração por opções reais, como mostrado abaixo.
𝑉𝑡𝑟𝑎𝑑 = max{𝐸[𝑉𝑃𝐿], 0}
𝐸[𝑉𝑃𝐿] = −1 +[0,5 × 3 + 0,5 × (−6)]
(1 + 0,05)= −2,43
max{𝐸[𝑉𝑃𝐿], 0} = 0 → 𝑎𝑏𝑎𝑛𝑑𝑜𝑛𝑎𝑟
𝑉𝑜𝑝 = 𝐸{𝑚𝑎𝑥(𝑉𝑃𝐿, 0)}
𝐶𝑒𝑛á𝑟𝑖𝑜𝐴:𝑉𝑃𝐿𝑡2 =3
(1 + 0,05)= +2,86 → 𝑚𝑎𝑥(𝑉𝑃𝐿, 0) = +2,86
𝐶𝑒𝑛á𝑟𝑖𝑜𝐵:𝑉𝑃𝐿𝑡2 =−6
(1 + 0,05)= −5,71 → 𝑚𝑎𝑥(𝑉𝑃𝐿, 0) = 0
2 Aspectos Teóricos
9 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
𝐸{𝑚𝑎𝑥(𝑉𝑃𝐿, 0)} = −1 + [0,5 × 2,86 + 0,5 × 0] = +0,43
→ 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑟𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑛𝑑𝑜𝑒𝑚t1
→ 𝑒𝑚t2, 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑟𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑛𝑑𝑜𝑐𝑎𝑠𝑜𝐴, 𝑎𝑏𝑎𝑛𝑑𝑜𝑛𝑎𝑟𝑐𝑎𝑠𝑜𝐵
Considerando a flexibilidade de poder decidir sobre o período t2 somente ao final do
período t1, a valoração por opções reais revela que o caso tem mais valor que aquele calculado
com a valoração tradicional. De fato, a sugestão de decisão seria diferente, evidenciando o
impacto que adoção de uma ou outra alternativa pode ter.
2.1.3 Métodos para Valoração de Opções Reais
Os modelos frequentemente utilizados para calcular o valor de uma opção real são
baseados nos métodos que vêm sendo usados para avaliar opções financeiras:
Métodos baseados em equações diferenciais, especialmente a fórmula de
precificação de opções de Black & Scholes (1973);
Métodos baseados em treliças, especialmente o método binomial (Cox, Ross &
Rubinstein, 1979);
Métodos baseados em simulação, como o exemplo apresentado por Boyle (1977).
A maioria dessas abordagens é complexa e se baseia no pressuposto de que eles são
capazes de representar com precisão os mercados subjacentes. Essa suposição pode ser válida
para alguns títulos financeiros – como ações e moedas, que são negociados com considerável
eficiência –, mas podem não valer para investimentos reais que não possuem mercados
estruturados, ou cujos mercados não apresentam eficiência (Collan, Fullér & Mezei, 2009).
Uma observação adicional é que os métodos tradicionais exigem que a incerteza seja do
tipo paramétrica, desconsiderando a incerteza estrutural ou processual (Collan, Haahtela &
Kyläheiko, 2016).
De acordo com Favato, Cottingham & Isachenkova (2015), a pesquisa na área de opções
reais tomou a direção de buscar modelos estatísticos mais sofisticados, aumentando a
complexidade do cálculo em vez de focar na relevância dos resultados para a gestão do negócio.
Na mesma linha, Mathews, Datar & Johnson (2007) argumentam que o campo das opções reais
tem se desenvolvido lentamente devido à complexidade das técnicas e à dificuldade de adequá-
las às realidades da tomada de decisões estratégicas corporativas.
2 Aspectos Teóricos
10 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Favato, Cottingham & Isachenkova (2015) são a favor de combinar o uso de cenários
com a avaliação de opções reais, argumentando que as empresas não devem ficar restritas a
projeções únicas, que são como previsões; em vez disso, os cenários devem ser usados como
descrições especulativas de possíveis resultados do futuro, ampliando as chances de capturar
oportunidades e ameaças em potencial.
Ao incentivar os gerentes a prever futuros estados do mundo, o planejamento de cenários
é uma ferramenta de gerenciamento estratégico usada principalmente para análise qualitativa.
Se combinada com a análise de opções reais, no entanto, o planejamento de cenários pode
contribuir para poderosas avaliações quantitativas. Dessa forma, os tomadores de decisão
podem trabalhar com uma ferramenta de avaliação flexível, que seja fácil de entender, e que
possa ser rapidamente reexecutada a qualquer momento – por exemplo, quando novas
informações se tornarem disponíveis. Essa abordagem também permite o uso de diferentes
taxas de desconto ajustadas ao risco para diferentes itens de fluxo de caixa – como receitas
operacionais, custos operacionais e investimento de capital – representando melhor os
diferentes tipos e níveis de incerteza dentro de um projeto.
Existem dois principais tipos de métodos baseados em cenários para avaliação de opções
reais: aqueles baseados em probabilidade, como o Datar-Mathews Method (DMM) (Mathews,
Datar & Johnson, 2007); e aqueles baseados em lógica fuzzy, como o Fuzzy Payoff Method
(FPOM) (Collan, Fullér & Mezei, 2009). Ambos usam projeções de fluxos de caixa para derivar
uma distribuição do VPL para o projeto.
Enquanto o DMM usa simulação para gerar uma distribuição de probabilidade e seu
valor esperado probabilístico associado, o FPOM utiliza o valor esperado possibilístico, obtido
a partir de um número fuzzy. Favato, Cottingham & Isachenkova (2015) mostram que,
mantendo todo o resto igual, a aplicação de um método baseado em lógica fuzzy é viável e útil
evitando a necessidade de se envolver em matemática complexa. A próxima seção fornece uma
conceituação básica de lógica fuzzy, necessária para o entendimento dos FPOMs.
2.2 Lógica Fuzzy
Zadeh (1965) introduziu os conjuntos fuzzy para representar matematicamente
informações imprecisas e vagas, e para fornecer ferramentas formalizadas para lidar com essas
incertezas não estatísticas intrínsecas à linguagem e percepção humanas – por exemplo, em
projeções de fluxo de caixa.
Estendendo os conjuntos clássicos (crisp), aos quais um elemento ou pertence ou não
pertence, um conjunto fuzzy atribui um número real entre zero (não pertinência total) e um
2 Aspectos Teóricos
11 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
(pertinência total) a cada elemento de seu universo de discurso – valores entre zero e um
representam uma gradação de pertencimento. Essa flexibilidade é muito útil para tornar
explícita a imprecisão com que especialistas estimam valores de parâmetros usados em modelos
(Collan, Haahtela & Kyläheiko, 2016).
2.2.1 Números Fuzzy
Seja 𝑋 um conjunto clássico não-vazio, conhecido como universo de discurso. Um
conjunto fuzzy 𝐴 de 𝑋 é caracterizado por sua função de pertinência:
𝜇𝐴:𝑋 → [0,1] (4)
O conjunto fuzzy 𝐴 é chamado normal se existir pelo menos um 𝑥 ∈ 𝑋 tal que 𝜇𝐴(𝑥) =
1; caso contrário, ele é chamado de subnormal. O suporte de 𝐴 é um subconjunto clássico de 𝑋
em que todos os elementos têm alguma pertinência em 𝐴: 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝐴) = {𝑥 ∈ 𝑋|𝜇𝐴(𝑥) > 0}. O
núcleo de 𝐴 é um subconjunto clássico de 𝑋 em que todos os elementos têm total pertinência
em 𝐴: 𝐶(𝐴) = {𝑥 ∈ 𝑋|𝜇𝐴(𝑥) = 1}.
O suporte e o núcleo podem ser vistos como o maior e o menor conjunto clássico que
caracterizam 𝐴, mas às vezes pode ser interessante representar um conjunto fuzzy por outro
conjunto clássico entre eles. Para 𝛼 ∈ [0,1], um conjunto de nível-α (α-level ou α-cut) de 𝐴 é
definido por:
[𝐴]𝛼 = {{𝑥 ∈ 𝑋|𝜇𝐴(𝑥) ≥ 𝛼}, caso𝛼 > 0,
𝑐𝑙(𝑠𝑢𝑝𝑝(𝐴)),caso𝛼 = 0, (5)
em que 𝑐𝑙(𝑠𝑢𝑝𝑝(𝐴)) indica o fecho do suporte de 𝐴.
Um conjunto fuzzy 𝐴 de 𝑋 é chamado convexo se [𝐴]𝛼 é um subconjunto convexo de 𝑋
para todo 𝛼 (quando 𝑋 = ℝ, 𝐴 é convexo se [𝐴]𝛼 é um conjunto conexo – ou seja, um intervalo
– para todo 𝛼).
Uma função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ é chamada semi-contínua superior se para todo ponto 𝑥0 do seu
domínio, vale a inequação: 𝑓(𝑥0) ≥ lim sup𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥).
2 Aspectos Teóricos
12 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Finalmente, um número fuzzy 𝐴 de 𝑋 é definido como um conjunto fuzzy dos números
reais (𝑋 = ℝ) com uma função de pertinência normal, convexa e semi-contínua superior de
suporte limitado (Dubois, 1997).
Números fuzzy triangulares são comumente usados na modelagem de problemas e
podem ser vistos como representando a afirmação "X é aproximadamente igual a A". Um
número fuzzy triangular 𝐴 com valor modal (ou pico, ou centro) 𝑎, largura esquerda 𝛼 > 0 e
largura direita 𝛽 > 0 pode ser referenciado como 𝐴 = (𝑎; 𝛼; 𝛽) e tem função de pertinência
definida pela Equação (6) e representada pela Figura 2.2.
𝜇𝐴(𝑥) =
{
1 −
𝑎 − 𝑥
𝛼,𝑠𝑒𝑎 − 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
1 −𝑥 − 𝑎
𝛽,𝑠𝑒𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝛽
0,𝑐𝑎𝑠𝑜𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
(6)
Figura 2.2. Número fuzzy triangular
2.2.2 Teoria de Possibilidades
Números fuzzy podem ser vistos como distribuições de possibilidades (Zadeh, 1978;
Dubois & Prade, 1997). Para diferenciar a interpretação, considere um número fuzzy para o
conceito de 𝑗𝑜𝑣𝑒𝑚, para o qual a idade numérica 𝑥 = 32𝑎𝑛𝑜𝑠 tem um grau de pertinência
𝜇𝑗𝑜𝑣𝑒𝑚(32) = 0,6. A interpretação usual é que 0,6 descreve o grau de compatibilidade de 32
com o conceito rotulado por jovem (restrição fuzzy). A outra interpretação é que 0,6 representa
o grau de possibilidade de alguém ter 32 anos, dada a proposição de que essa pessoa é jovem
(distribuição de possibilidade).
Em geral, uma variável pode estar associada tanto a uma distribuição de possibilidade
quanto a uma distribuição de probabilidade, sendo que a fraca conexão entre as duas é expressa
2 Aspectos Teóricos
13 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
como o princípio de consistência de possibilidade/probabilidade (Zadeh, 1978). Carlsson &
Fullér (2011) afirmam que as distribuições de probabilidade podem ser interpretadas como
portadoras de informação incompleta, enquanto as distribuições de possibilidade podem ser
interpretadas como portadoras de informação imprecisa.
Kuchta (2000) argumenta que a teoria da probabilidade é muito menos flexível do que
a teoria dos conjuntos fuzzy porque tem várias suposições sobre suas distribuições e operações
que raramente são cumpridas nos casos de decisões de investimento. Na prática, muitas vezes
uma empresa procura por uma "solução suficientemente boa", que pode ser construída usando
a teoria dos conjuntos fuzzy (Carlsson & Fullér, 2011): em algum ponto, haverá um trade-off
entre precisão e relevância, no sentido de que o aumento da precisão pode ser obtido apenas
mediante perda de relevância e vice-versa.
2.2.3 Valoração de Opções Reais usando Lógica Fuzzy
A literatura sobre a análise de opções reais usando lógica fuzzy é relativamente recente:
Carlsson e Fullér escreveram um dos primeiros trabalhos em 2003 (Carlsson & Fullér, 2003) e
também publicaram o primeiro livro sobre o assunto em 2011 (Carlsson & Fullér, 2011).
Collan, Haahtela & Kyläheiko (2016) recentemente fizeram uma pesquisa sobre o uso de
números fuzzy na avaliação de opções reais. Eles apresentam o uso da lógica fuzzy juntamente
com modelos baseados em equações diferenciais, modelos baseados em treliças e abordagens
de árvores de decisão. Essas versões fuzzy dos métodos tradicionais de análise de opções reais
geralmente são utilizáveis sob os mesmos tipos de incerteza que os métodos originais
correspondentes.
Carlsson & Fullér (2011) argumentam que um motivo importante para usar a lógica
fuzzy na avaliação de opções reais é que a imprecisão encontrada ao julgar ou estimar fluxos de
caixa futuros não é estocástica por natureza, de modo que o uso da teoria da probabilidade pode
sugerir um nível ilusório de precisão e uma noção de que as consequências são de alguma forma
repetitivas.
A Seção 3.2 traz a descrição de um FPOM para valoração de opções reais e mostra a
inconsistência teórica do FPOM original, observada durante o desenvolvimento desse trabalho.
Capítulo 3
Decisão de Abandono e o FPOM
3 Estado da Arte
15 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
3 Decisão de Abandono e o FPOM
Este capítulo descreve as formas atualmente utilizadas na indústria para suportar a
decisão de abandono de um campo de petróleo, e a tendência moderna de se modelar esse
problema com opções reais. Mais ainda, os métodos Fuzzy Payoff de valoração de opções reais
são apresentados, e a incoerência teórica identificada no Fuzzy Payoff Method original é
apontada.
3.1 Decisão de Abandono
O método tradicionalmente usado para auxiliar a decisão de abandono de campos
produtores de petróleo é fazer uma projeção de fluxo de caixa operacional do campo e sugerir
que a produção seja mantida no caso da estimativa do próximo período ser positiva1 (Dias,
2014). Uma evolução desse método, que considera a projeção do fluxo de caixa de abandono
na análise – de importância especial quando este é negativo –, é incluir o valor monetário de
postergar essa despesa e produzir mesmo que o fluxo de caixa operacional projetado seja
negativo2. Essa abordagem, que pode ser vista como uma análise de custo de oportunidade,
basicamente considera o fato de que investir o valor projetado para o abandono – em vez de
gastá-lo no descomissionamento – gera um lucro que pode compensar o prejuízo operacional
estimado.
As duas abordagens citadas possuem um ponto importante em comum: elas consideram
um único valor estimado para cada item do fluxo de caixa, como por exemplo a vazão de
produção, o preço do petróleo ou o custo de abandono. Todavia, embora os modelos de
subsuperfície usados atualmente sejam muito sofisticados, a produção futura de um campo
permanece incerta (Bickel & Bratvold, 2008); diversos modelos tentam reproduzir o
comportamento do mercado de petróleo (Dias, 2004), porém, sendo uma commodity, seus
preços são imprevisíveis (Jafarizadeh & Bratvold, 2012); os custos de abandono são altamente
incertos, principalmente devido ao nível inicial de experiência da indústria nesse tipo de
atividade (Osmundsen & Tveterås, 2003).
Uma vez que nossa capacidade de predição é limitada, Bickel & Bratvold (2008)
sugerem que as empresas deveriam focar-se em tomar boas decisões, em vez de reduzir/remover
1 Essa estratégia não leva em consideração o custo de abandono para a sugestão da decisão 2 Por considerar o custo de abandono, essa estratégia é considerada mais adequada que a anterior
3 Estado da Arte
16 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
incerteza. Nesta linha, cenários menos prováveis podem conter informações importantes para a
tomada de decisão (Ho & Liao, 2011) e, portanto, devem ser levados em consideração.
Quando a intenção é evitar os cenários indesejados, pode-se investir na montagem de
posições de hedge (cobertura). Essa estratégia reduz/remove o risco de uma operação, mas não
por confiar em uma previsão precisa. Ao contrário, implicitamente se assume que cenários
adversos podem acontecer e busca-se proteção.
Outro ponto negativo referente às duas abordagens tradicionais citadas é que os valores
médios estáticos usados assumem que a decisão depende apenas dos dados disponíveis naquele
momento, ignorando a informação adicional que pode ser revelada no futuro.
As opções oferecidas pela flexibilidade podem ser modeladas por árvores de decisão.
Entretanto, Jafarizadeh & Bratvold (2012) observam que a otimização que ocorre em cada nó
altera o fluxo de caixa esperado do projeto, o que muda suas características de risco e impede
que um resultado correto seja alcançado. Os preços incertos do petróleo, estruturas complexas
de fluxo de caixa e decisões inter-relacionadas transformam o momento de abandonar um
campo de petróleo em um bom exemplo de uma complexa opção real (Jafarizadeh & Bratvold,
2012).
3.2 Métodos Fuzzy Payoff para Valoração de Opções Reais
Os Fuzzy Payoff Methods (FPOMs) usam valores presentes líquidos (VPLs) resultantes
de cenários de fluxo de caixa para criar um número fuzzy (distribuição de possibilidades) de
payoff, ou resultado financeiro do projeto. Dessa forma, esse número fuzzy expressa o grau com
que uma estimativa de VPL específica pertence ao conjunto de VPLs possíveis do projeto. O
mais comum é usar três cenários (geralmente um pessimista, um mais provável e um pessimista)
em conjunto com números fuzzy triangulares.
A fim de incluir a flexibilidade das opções reais dentro de um projeto, os VPLs negativos
de sua distribuição de possibilidades de payoff são mapeados para zero, refletindo o direito de
não prosseguir com o projeto caso um resultado negativo seja esperado. A Figura 3.1 ilustra
esse procedimento, mostrando as distribuições "original" e "modificada".
3 Estado da Arte
17 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Figura 3.1. Distribuição de possibilidades do VPL com opção real, baseado em Collan,
Haahtela & Kyläheiko (2016)
Na sequência do trabalho, o número fuzzy original será referenciado como 𝐴 (lado
esquerdo da Figura 3.1) e o conjunto fuzzy modificado, que tem apenas a parte positiva de 𝐴,
como 𝐴+ (lado direito da Figura 3.1).
Para obter o valor do projeto com opções reais, é necessário calcular um valor mais
provável dessa distribuição modificada. No FPOM original (Collan, Fullér & Mezei, 2009),
isso é feito calculando-se a média possibilística do lado positivo da distribuição – de acordo
com a definição de (Carlsson & Fullér, 2001) – e multiplicando-a pela fração da área positiva
da distribuição em relação à área total. É importante notar que esta operação está efetivamente
valorando todos os resultados negativos como zero. Conforme definido por Collan, Fullér &
Mezei (2009):
𝑅𝑂𝑉𝐹𝑃𝑂𝑀 = 𝐸(𝐴+) ×∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
0
∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
(7)
em que 𝐴 representa a distribuição de payoff fuzzy; 𝐸(𝐴+) indica o valor médio possibilístico
do lado positivo de 𝐴; ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
0 calcula a área abaixo da parte positiva de A e ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
calcula a área abaixo de toda a distribuição de payoff fuzzy.
De acordo com Carlsson & Fullér (2001), o valor médio possibilístico de um número
fuzzy 𝐴, com [𝐴]𝛼 = [𝑎1(𝛼), 𝑎2(𝛼)], é dado por:
𝐸(𝐴) = ∫ [𝑎1(𝛼) + 𝑎2(𝛼)]𝛼𝑑𝛼1
0
(8)
3 Estado da Arte
18 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
O FPOM para avaliação de opções reais já foi utilizado para a análise de projetos de
pesquisa e desenvolvimento (Collan & Luukka, 2014), patentes (Collan & Kyläheiko, 2013),
investimentos em sistemas de informação (Collan, Björk & Kyläheiko, 2014), aquisições
corporativas (Collan & Kinnunen, 2011) e grandes investimentos industriais (Collan, 2011).
Como argumentado por Collan, Haahtela & Kyläheiko (2016), as entradas do método podem
variar de palpites até informações históricas baseadas em dados detalhados, o que significa que
pode ser útil não apenas sob incerteza paramétrica, mas também estrutural e procedural. O preço
dessa flexibilidade é que a saída não é uma avaliação precisa de opções reais, mas instruções a
serem seguidas – o que está de acordo com o raciocínio de Bickel & Bratvold (2008).
Finalmente, Favato, Cottingham & Isachenkova (2015) mostram que, embora o FPOM
simplifique a análise, ele oferece precisão suficiente para efeito de tomada de decisão.
3.2.1 A inconsistência do FPOM original
Durante o desenvolvimento desta pesquisa, uma inconsistência técnica foi identificada
no FPOM original. Esta seção descreve o problema, seguindo a linha do artigo que foi publicado
recentemente pelo autor e orientadores deste trabalho: Borges, Dias, Dória Neto & Meier
(2018).
Conforme observado na Seção 2.1, uma opção real (OR) deve agregar valor à empresa,
seja melhorando as oportunidades de lucro ou mitigando os riscos. Todo o resto constante, um
projeto com OR vale mais do que o mesmo projeto sem OR – no limite quando a opção é inútil,
os valores devem ser iguais (Amram & Kulatilaka, 1999). Mesmo antes da teoria de
precificação de opções, a literatura científica de administração reconhece que “ter a opção de
abandonar nunca diminui o valor do projeto; a consequência típica de ignorar a opção seria
subestimar o valor de um projeto” (Cox & Martin, 1983).
Acontece que o FPOM original nem sempre segue essa premissa. Considerando que o
valor de um projeto sem OR é calculado pela média possibilística de todo o número fuzzy –
contando com os resultados negativos esperados –, há casos em que o projeto sem OR resulta
em um valor maior do que o mesmo projeto com OR. O exemplo apresentado na Figura 3.2
mostra um desses casos.
3 Estado da Arte
19 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Figura 3.2. Exemplo de projeto que gera um resultado inesperado usando o FPOM original
A fim de usar a Equação (7) para obter o valor do projeto com OR de acordo com o
FPOM, alguns cálculos precisam ser realizados usando as definições de Collan, Fullér & Mezei
(2009):
(𝑖)𝐸(𝐴+) = 𝑎 +𝛽 − 𝛼
6+(𝛼 − 𝑎)3
6𝛼2= 450 +
2250 − 900
6+(900 − 450)3
6 × 9002= 693,8
(𝑖𝑖)∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
0
= ∫ (1 −450 − 𝑥
900)𝑑𝑥
450
0
+∫ (1 −𝑥 − 450
2250)𝑑𝑥
2700
450
= 1462,5
(𝑖𝑖𝑖)∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
= ∫ (1 −450 − 𝑥
900)𝑑𝑥
450
−450
+∫ (1 −𝑥 − 450
2250)𝑑𝑥
2700
450
= 1575
⇒ 𝑅𝑂𝑉𝐹𝑃𝑂𝑀 = 693,8 ×1462,5
1575= 644,2
Por outro lado, o valor do projeto sem OR, usando a média possibilística de todo o
número fuzzy, pode ser calculado seguindo Carlsson & Fullér (2001) como:
𝐸(𝐴) = 𝑎 +𝛽 − 𝛼
6= 450 +
2250 − 900
6= 675
Em resumo, o valor do projeto sem OR passa a ser maior que o valor do projeto com
OR, de forma que o valor da opção seria negativo. A razão para esse resultado surpreendente é
o método usado para gerar um valor representativo a partir do número fuzzy. O FPOM original
usa o valor esperado possibilístico, conforme definido por Carlsson & Fullér (2001). Este
método foi desenvolvido em concordância com a noção de que as distribuições de
possibilidades correspondem a uma família de medidas de probabilidade, que indica o modo
3 Estado da Arte
20 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
natural de extrair um único número de um intervalo fuzzy (Dubois, 2006). Portanto, o problema
se torna ainda mais surpreendente.
Como uma alternativa ao valor esperado possibilístico, pode-se usar o valor esperado
relacionado a um intervalo médio. Para testar essa opção, o intervalo médio (o intervalo de
todos os valores médios de todas as distribuições de probabilidade compatíveis com o intervalo
fuzzy), e seu valor esperado correspondente foram calculados com base em Heilpern (1992). Os
resultados são mostrados abaixo.
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑠𝑒𝑚𝑂𝑅):𝐸𝐼(𝐴) = [𝐸𝑠1;𝐸𝑠2]
= [450 − ∫ (1 −450 − 𝑥
900) 𝑑𝑥
450
−450
; 450 + ∫ (1 −𝑥 − 450
2250)𝑑𝑥
2700
450
]
= [0; 1575]
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑠𝑒𝑚𝑂𝑅):𝐸𝑉(𝐴) = 1
2(Es1 + Es2) = 787,5
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑐𝑜𝑚𝑂𝑅):𝐸𝐼(𝐴+) = [𝐸𝑠1+;𝐸𝑠2+]
= [450 − ∫ (1 −450 − 𝑥
900)𝑑𝑥
450
0
; 450 + ∫ (1 −𝑥 − 450
2250)𝑑𝑥
2700
450
]
= [112,5; 1575]
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑐𝑜𝑚𝑂𝑅):𝐸𝑉(𝐴+) = 1
2(Es1+ + Es2+) = 843,75
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑑𝑜𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑜𝑐𝑜𝑚𝑂𝑅:𝑅𝑂𝑉𝐹𝑃𝑂𝑀 = 𝐸𝑉(𝐴+)×∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
0
∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
= 783,5
Os resultados obtidos mostram a mesma inconsistência teórica do FPOM original: o
valor do projeto sem OR, 𝐸𝑉(𝐴), é maior que o valor do projeto com OR, 𝑅𝑂𝑉. Esses dois
resultados, teoricamente incorretos, orientaram a pesquisa na busca de outras formas de
aproximação de um número fuzzy por um único número representativo. Na Seção 4.1 a proposta
alternativa é apresentada.
Capítulo 4
Modelo Proposto
4 Modelagem Proposta
22 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
4 Modelo Proposto
Este capítulo apresenta a alternativa ao Fuzzy Payoff Method (FPOM) original, que foi
proposta durante o desenvolvimento desse trabalho: o Center of Gravity FPOM – CoG-FPOM.
Em seguida, é apresentado o modelo proposto para suportar a decisão de abandono de um
campo produtor de petróleo, fortemente baseado na valoração de opções reais com o CoG-
FPOM.
4.1 O Center of Gravity Fuzzy Payoff Method (CoG-FPOM)
Como forma de superar a inconsistência apresentada na Seção 3.2.1, é sugerido usar o
centro de gravidade (center of gravity – CoG) como alternativa ao valor esperado possibilístico
para aproximar um número fuzzy por um único número representativo no FPOM (Borges, Dias,
Dória Neto & Meier, 2018). Esta seção descreve o CoG-FPOM e apresenta uma prova de sua
consistência teórica.
O centro de gravidade é o método de defuzzificação mais popular, sendo amplamente
utilizado em aplicações reais (Bai & Wang, 2006). Este método é semelhante à fórmula para
calcular o centro de gravidade em física e dá nome à proposta desse trabalho: CoG-FPOM. De
acordo com essa técnica, o valor mais representativo do número fuzzy é a média ponderada da
sua função de pertinência, como apresentado na Equação (9).
𝐶𝑜𝐺(𝐴) =∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
(9)
Utilizando a notação apresentada no Capítulo 3, pode-se definir o centro de gravidade
de 𝐴+ como:
𝐶𝑜𝐺(𝐴+) =∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
0
∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
0
(10)
Vale observar que se o conjunto fuzzy 𝐴+ for vazio, as integrais serão nulas e, desta
forma, 𝐶𝑜𝐺(𝐴+) será não definido. Esse seria um problema de OR trivial, ou seja, para o qual
não há possibilidade de exercício da opção. Nesses casos, a decisão não se altera de acordo com
4 Modelagem Proposta
23 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
os valores das variáveis futuras e, portanto, não há interesse prático ou teórico em tais
problemas.
Como será demonstrado, o centro de gravidade permite a obtenção de resultados que
estão em consonância com a teoria de opções reais (OR), permitindo que o FPOM forneça
resultados consistentes em todos os problemas de avaliação de OR, ao contrário da formulação
original. Assim, este estudo propõe calcular o valor de um projeto com OR usando o CoG-
FPOM da seguinte forma:
𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀(𝐴) = 𝐶𝑜𝐺(𝐴+) ×∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞0
∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞−∞
(11)
Em seguida, são apresentadas a proposição e a prova de que o uso do CoG-FPOM
garante que o mesmo problema identificado no FPOM original não acontece.
Teorema 1: Seja 𝐴 um número fuzzy com função de pertinência 𝜇𝐴. Seja um problema de OR
não trivial, ou seja, o suporte de 𝐴 contém valores positivos de 𝑥. Suponha que o valor do ativo
sem OR seja definido como o CoG de todo o número fuzzy, mostrado na Equação (9), e seu
valor com OR seja calculado usando o CoG-FPOM, como mostrado na Equação (11). Então, o
valor de 𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀 é consistente no sentido de que é sempre maior ou igual ao valor do
ativo sem opções:
𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀(𝐴) ≥ 𝐶𝑜𝐺(𝐴) (12)
Prova: Considerando, inicialmente, uma versão simplificada de 𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀(𝐴):
𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀(𝐴) = 𝐶𝑜𝐺(𝐴+) ×∫ 𝜇
𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
= ∫ 𝑥𝜇
𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
×∫ 𝜇
𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
=∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
0
∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
Este resultado leva a uma desigualdade mais simples equivalente a (12):
4 Modelagem Proposta
24 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀(𝐴) ≥ 𝐶𝑜𝐺(𝐴) ⟺ ∫ 𝑥𝜇
𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
≥ ∫ 𝑥𝜇
𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
⟺
⟺∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
0
≥ ∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
Usando uma propriedade das integrais, temos:
∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
= ∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥0
−∞
+∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
0
Por outro lado, é possível formular que:
∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥0
−∞
≤ 0
Já que 𝜇𝐴(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥, e 𝑥 ≤ 0 nesse intervalo. Portanto, é sempre verdade que:
∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
0
≥ ∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
Que é a conclusão desejada que prova a inequação (12) e o Teorema 1. ∎
O cálculo de 𝐶𝑜𝐺(𝐴+) – o centro de gravidade do lado positivo da distribuição de payoff
fuzzy (vide Figura 3.1) – depende de onde o resultado com valor zero está localizado dentro do
número fuzzy. Para ter soluções analíticas – que podem ser prontamente incorporadas em um
software de planilha eletrônica – a Equação (9) foi resolvida para as quatro possíveis posições
em que o zero pode estar em relação a um número fuzzy triangular 𝐴 = (𝑎, 𝛼, 𝛽). Vale ressaltar
que o CoG-FPOM pode ser facilmente derivado para lidar com quatro cenários e números fuzzy
trapezoidais.
Caso 1: 𝟎 ≤ 𝒂 − 𝜶
Nesta situação, representada pela Figura 4.1 e pela Equação (13), todo o número fuzzy
está acima de zero e o CoG é calculado para o triângulo inteiro. O resultado para este caso
4 Modelagem Proposta
25 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
também é usado para calcular o valor do projeto sem opção. Vale ressaltar que esse resultado é
igual à média probabilística.
Figura 4.1. Distribuição de payoff fuzzy como OR com 0 < 𝑎 − 𝛼
𝐶𝑜𝐺(𝐴+) = 𝐶𝑜𝐺(𝐴) =∫ 𝑥 (1 −
𝑎 − 𝑥𝛼 )𝑑𝑥
𝑎
𝑎−𝛼+ ∫ 𝑥 (1 −
𝑥 − 𝑎𝛽
)𝑑𝑥𝑎+𝛽
𝑎
∫ (1 −𝑎 − 𝑥𝛼 )𝑑𝑥
𝑎
𝑎−𝛼+ ∫ (1 −
𝑥 − 𝑎𝛽
)𝑑𝑥𝑎+𝛽
𝑎
=3𝑎 − 𝛼 + 𝛽
3 (13)
Caso 2: 𝐚 − 𝛂 < 𝟎 ≤ 𝐚
Esta situação é mostrada na Figura 4.2 e descrita pela Equação (14). O lado positivo do
número fuzzy pode ser visto como composto de um trapézio e um triângulo retângulo.
Figura 4.2. Distribuição de payoff fuzzy como OR com 𝑎 − 𝛼 < 0 < 𝑎
𝐶𝑜𝐺(𝐴+) =∫ 𝑥 (1 −
𝑎 − 𝑥𝛼 )𝑑𝑥
𝑎
0+ ∫ 𝑥 (1 −
𝑥 − 𝑎𝛽
)𝑑𝑥𝑎+𝛽
𝑎
∫ (1 −𝑎 − 𝑥𝛼 )𝑑𝑥
𝑎
0+ ∫ (1 −
𝑥 − 𝑎𝛽
)𝑑𝑥𝑎+𝛽
𝑎
=𝛼(𝑎 + 𝛽)3 − 𝑎3(𝛼 + 𝛽)
3[𝛼(𝑎 + 𝛽)2 − 𝑎2(𝛼 + 𝛽)] (14)
Caso 3: 𝐚 < 𝟎 ≤ 𝐚 + 𝛃
Esta situação é mostrada na Figura 4.3 e descrita pela Equação (15). O lado positivo do
número fuzzy é formado apenas por um triângulo.
4 Modelagem Proposta
26 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Figura 4.3. Distribuição de payoff fuzzy como OR com a < 0 < a + β
𝐶𝑜𝐺(𝐴+) =∫ 𝑥 (1 −
𝑥 − 𝑎𝛽
)𝑑𝑥𝑎+𝛽
0
∫ (1 −𝑥 − 𝑎𝛽
)𝑑𝑥𝑎+𝛽
0
=𝑎 + 𝛽
3 (15)
Caso 4: 𝐚 + 𝛃 < 𝟎
Nesta situação, mostrada na Figura 4.4, todo o número fuzzy está abaixo de zero. Como
o resultado da Equação (9) seria nulo, pode-se concluir que: 𝐶𝑜𝐺(𝐴+) = 0.
Figura 4.4. Distribuição de payoff fuzzy como OR com a + β < 0
Voltando ao exemplo mostrado na Figura 3.2, que se encaixa no caso 2, o valor do
projeto com OR pode ser calculado com CoG-FPOM usando as Equações (14) e (11) como:
𝐶𝑜𝐺(𝐴+) =𝛼(𝑎 + 𝛽)3 − 𝑎3(𝛼 + 𝛽)
3[𝛼(𝑎 + 𝛽)2 − 𝑎2(𝛼 + 𝛽)]=
900(450 + 2250)3 − 4503(900 + 2250)
3[900(450 + 2250)2 − 4502(900 + 2250)]= 980,8
⇒ 𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀(A) = 980,8 ×1462,5
1575= 910,7
Por outro lado, o valor do projeto sem OR pode ser calculado diretamente pela Equação
(13) como segue:
4 Modelagem Proposta
27 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
𝐶𝑜𝐺(𝐴) =3𝑎 − 𝛼 + 𝛽
3=3(450) − 900 + 2250
3= 900
Ou seja, utilizando o CoG-FPOM no lugar do FPOM original, o valor do projeto com
OR é maior que o valor do projeto sem OR. A diferença entre os valores calculados – que é o
valor da opção em si – é agora positiva, o que está de acordo com a teoria de OR. Esse valor
positivo confirma que ter flexibilidade em um projeto e considerá-la na sua valoração é uma
vantagem. Em outras palavras, o CoG-FPOM supera o problema identificado no FPOM
original, permitindo que ele seja teoricamente consistente em todas as situações.
Outra diferença proposta no CoG-FPOM está relacionada ao valor de payoff limite. O
FPOM original foi proposto para o caso em que as únicas opções são investir em um projeto de
desenvolvimento ou não. Portanto, o payoff alternativo tem um valor de zero, refletindo o
direito de não prosseguir com o projeto se um resultado negativo for esperado (ver Figura 3.1).
Em outros casos reais, no entanto, as alternativas podem ser ligeiramente diferentes e não
necessariamente há uma opção com payoff nulo.
Um bom exemplo é a decisão de abandono de um campo petrolífero, para a qual este
trabalho propõe um modelo de suporte. Em tal caso, a empresa deve decidir entre continuar ou
interromper a produção de petróleo – nenhuma das opções precisa ter (quase nunca têm)
resultado igual a zero. Desta forma, o CoG-FPOM flexibiliza o FPOM original no sentido de
que ele deve refletir o direito de não considerar os resultados abaixo de um determinado limite
– e não apenas abaixo de zero. Esse limite 𝑇 é definido como o mínimo payoff garantido e, além
de zero, pode assumir um valor negativo ou positivo a depender do problema.
Para o exemplo do campo petrolífero, a empresa pode exercer a opção de abandonar,
incorrendo em um custo para descomissionamento e recuperação ambiental (𝑐𝑎𝑏), e tendo uma
receita do valor residual do ativo (𝑣𝑟𝑒𝑠). Nesse caso, o limite a ser considerado nos cálculos
seria 𝑇 = 𝑣𝑟𝑒𝑠 − 𝑐𝑎𝑏.
Para se adequar a essa necessidade, o CoG-FPOM faz uma translação nas projeções, de
modo que 𝑇 possa ser interpretado como zero. Para manter a coerência, é necessário também
subtrair 𝑇 das estimativas que caracterizam o VPL fuzzy do projeto (etapa 1 da Figura 4.5).
Depois de executar os cálculos do CoG-FPOM (etapa 2 da Figura 4.5), é essencial adicionar 𝑇
ao valor do projeto obtido com a opção real, de modo que o resultado seja significativo (etapa
3 da Figura 4.5).
4 Modelagem Proposta
28 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
A Figura 4.5 ilustra o procedimento passo a passo para um caso com três estimativas de
VPL (pessimista, base e otimista), um número fuzzy triangular, um valor negativo de 𝑇 e um
caso base com valor negativo, sem perda de generalidade.
Figura 4.5. Procedimento para usar o FPOM com alternativas não nulas – como nesse
exemplo 𝑇 é um número negativo, −𝑇 aumenta os valores dos cenários em |𝑇|
4.2 Modelo de Suporte à Decisão de Abandono de um Campo Petrolífero
O modelo deste trabalho propõe calcular o valor da opção real de abandono para um
campo produtor de petróleo utilizando o CoG-FPOM. Assim, o ponto de partida é a estimativa
das variáveis utilizadas no cálculo dos payoffs. Basicamente, é necessário construir o fluxo de
caixa projetado de manter a produção, e o fluxo de caixa projetado de abandoná-la. Com base
em Dias (2014), os fluxos de caixa estimados para cada ano podem ser descritos pelas Equações
(16) e (17), em que, por simplicidade, se ignora o efeito dos impostos:
𝑜𝑝𝐹𝐶 = 𝑝𝑟𝑜𝑑 × (𝑝𝑟𝑒ç𝑜 − 𝑐𝑣𝑎𝑟) − 𝑐𝑓𝑖𝑥𝑜
𝑎𝑏𝐹𝐶 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠 − 𝑐𝑎𝑏
(16)
(17)
em que 𝑜𝑝𝐹𝐶 [MM US$] é o lucro operacional; 𝑝𝑟𝑜𝑑 [MM un] é a produção de petróleo naquele
ano; 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 [US$/un] é o preço do petróleo, já considerando a projeção do preço do petróleo de
4 Modelagem Proposta
29 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
referência (ex: Brent) e o spread para o preço do petróleo do campo em questão; 𝑐𝑓𝑖𝑥𝑜 [MM
US$] é a parte do custo operacional que independe da vazão de produção do campo; 𝑐𝑣𝑎𝑟
[US$/un] é a parte do custo operacional que depende da vazão de produção, incluindo as
participações governamentais; 𝑎𝑏𝐹𝐶 [MM US$] é o fluxo de caixa de abandono; 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠 [MM
US$] é o valor residual do campo; e 𝑐𝑎𝑏 [MM US$] é o custo de abandono, incluindo a parte
de recuperação ambiental. Por uma questão de simplicidade, o efeito do imposto de renda não
é explicitamente mostrado na Equação (16), mas isso não altera os resultados qualitativos e a
decisão.
Todas as variáveis mencionadas acima são tratadas como incertas, e têm seus valores
anuais estimados/calculados para três cenários3: um otimista, um mais razoável e outro
pessimista. Por exemplo, no cenário otimista, o 𝑎𝑏𝐹𝐶 é calculado como sendo a diferença entre
a estimativa otimista de 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠 e a estimativa otimista de 𝑐𝑎𝑏.
É importante notar que valores maiores/menores podem ser relacionados de maneira
diferente a cenários otimistas/pessimistas, dependendo da variável. Por exemplo, a estimativa
otimista de 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠 é maior que a pessimista, já que o resultado da empresa é melhor no caso
de um valor residual maior. Por outro lado, a estimativa otimista de 𝑐𝑎𝑏 é menor que a
pessimista, já que o resultado da empresa é melhor no caso de um custo de abandono menor.
A partir das três estimativas do 𝑎𝑏𝐹𝐶 para cada ano, é possível calcular um payoff de
abandono esperado usando o centro de gravidade – ver Equações (9) e (13). É importante
perceber que o payoff esperado de abandono deve ser estimado até um ano após o último ano
de produção prevista. Isso acontece porque o final do último ano marca o vencimento da opção
de produzir e a empresa não tem escolha: o campo tem que ser abandonado4. Isso significa que
o payoff esperado para o ano seguinte ao final da produção é o próprio payoff esperado para o
abandono naquele ano.
Para chegar a um resultado final, o modelo segue uma estratégia de decisão do fim para
o início (backwards) até o momento atual – considerado aqui como o ano 0. Para fins didáticos,
consideramos que o último ano com previsão de produção é o ano 10. No início do ano 10, a
empresa teria que decidir entre parar ou manter a produção. Seguindo o modelo proposto, os
tomadores de decisão se comportariam racionalmente e buscariam o valor das opções reais
relacionadas a essa flexibilidade.
3 O modelo pode ser facilmente adequado para quatro cenários e números fuzzy trapezoidais, ou qualquer outra
estratégia de cenários adotada por uma empresa 4 Os motivos mais comuns são técnicos (vida útil dos equipamentos) e contratuais (fim do período de concessão)
4 Modelagem Proposta
30 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
As três estimativas de 𝑜𝑝𝐹𝐶 para o ano 10, juntamente com o payoff esperado para o ano
11, tornam possível construir o número fuzzy correspondente5. O payoff de abandono esperado
para o ano 10 define o limite 𝑇 abaixo do qual as projeções devem ser avaliadas como zero,
possibilitando o uso de um dos quatro casos derivados da Equação (9). Este valor calculado da
opção real torna-se então o payoff esperado para o ano 10, caso a empresa decida produzir até
lá. Seguindo o processo para trás, é possível calcular o valor estimado do campo com opções
reais no presente.
Os Algoritmos 1 e 2 têm como objetivo resumir os passos descritos acima. Cada variável
sublinhada é uma matriz de 3 números reais representando um número fuzzy triangular da forma
𝐴 = (𝑎, 𝛼, 𝛽). É importante notar que 𝑎 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒; 𝛼 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 − 𝐴𝑝𝑒𝑠; e 𝛽 = 𝐴𝑜𝑡𝑖 − 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 , como
mostra a Figura 4.6.
Figura 4.6. Correspondência entre parâmetros de número fuzzy
Algoritmo 1 Valor do campo com opção real de abandono
5 O payoff esperado para o ano seguinte deve ser sempre levado para o ano em análise usando a taxa de desconto
– nesse exemplo, o payoff esperado para o ano 11 deve ser descontado para o ano 10
4 Modelagem Proposta
31 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Algoritmo 2 Funções usadas no cálculo do valor do campo
O valor da opção real de abandonar o campo é calculado a partir da diferença entre o
valor do campo com opções reais (Algoritmo 1) e o valor do campo sem opções reais. Este
último elemento pode ser calculado aplicando a Equação (13) aos números fuzzy triangulares
de cada ano, sem desconsiderar seu lado. Após descontar e somar os elementos, obtém-se o
valor do campo sem a opção e, portanto, o valor das opções reais pode ser calculado.
Capítulo 5
Análise dos Resultados
5 Resultados e Discussões
33 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
5 Análise dos Resultados
Este capítulo apresenta a aplicação do modelo proposto a um campo produtor de
petróleo hipotético. Em seguida são mostradas as saídas resultantes e é apresentada uma
discussão sobre o significado dos resultados obtidos.
5.1 Aplicação do Modelo Proposto
Conforme destacado na Seção 2.1.2, é prática comum nas empresas trabalhar com
cenários, os quais são cuidadosamente construídos e justificados pelas equipes de estratégia.
Nesta aplicação, as projeções de todas as variáveis foram feitas pelo autor, conforme descrito
abaixo, e são dados sintéticos. No entanto, os dados foram validados junto a profissionais
experientes e, portanto, pode-se considerar que representam cenários bem elaborados.
Para facilitar o entedimento, mas sem perda de generalidade, esta aplicação tem algumas
simplificações. Considera-se que a produção estimada 𝑝𝑟𝑜𝑑 tem um valor inicial e segue um
declínio exponencial, técnica analítica muito difundida para a previsão de produção de petróleo.
Além disso, a receita proveniente da produção de gás não é considerada. Considera-se que o
valor residual 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠 cai linearmente de um valor inicial até zero, refletindo o desgaste que
as instalações vão sofrendo com o uso. Por fim, esta aplicação não inclui explicitamente os
royalties (cujo efeito é apenas uma redução de preço) no custo operacional variável 𝑐𝑣𝑎𝑟.
É importante destacar que essa mesma estrutura pode ser adaptada à projeção real de
variáveis realizada por uma empresa. Tanto aquelas relacionadas à produção (por exemplo,
saídas de uma simulação de fluxo) quanto aquelas relacionadas ao mercado, como projeções
para os rumos da economia mundial, que influenciam no preço do petróleo, as taxas de câmbio,
etc. Além disso, se qualquer uma das variáveis não estiver incluída no planejamento de cenários
ou nas estimativas técnicas elaboradas pela companhia, o analista pode usar seu valor mais
provável diretamente no modelo.
O campo petrolífero hipotético usado neste exemplo tem prazo contratual encerrando
em 10 anos e tem uma vazão inicial de produção de óleo de 2.000 m³/dia. O gráfico da produção
estimada para os três cenários é apresentado na Figura 5.1. O custo inicial de produção é
estimado em US$ 25,58 por barril, incluindo a parcela fixa e a variável.
5 Resultados e Discussões
34 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Figura 5.1. Estimativas de produção para os três cenários da aplicação
Os gráficos do lucro operacional anual 𝑜𝑝𝐹𝐶 e do fluxo de caixa de abandono 𝑎𝑏𝐹𝐶,
calculados a partir das Equações (16) e (17) para este exemplo são mostrados na Figura 5.2 e
Figura 5.3, respectivamente.
5 Resultados e Discussões
35 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Figura 5.2. Lucro operacional calculado para os três cenários da aplicação
Figura 5.3. Fluxo de caixa de abandono calculado para os três cenários da aplicação
5 Resultados e Discussões
36 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Para exemplificar os cálculos executados pelo modelo, a Figura 5.4 mostra o número
fuzzy (distribuição de possibilidade) referente ao payoff de abandono esperado para o ano 10. O
cálculo do CoG desse número usando a Equação (9) define o limite 𝑇 abaixo do qual as
projeções devem ser avaliadas como zero para tal ano.
Figura 5.4. Número fuzzy (distribuição de possibilidade) referente ao payoff de abandono
esperado para o ano 10
A Figura 5.5 representa o número fuzzy (distribuição de possibilidade) referente ao
payoff esperado para o campo no ano 10, levando em consideração a opção de abandono em 𝑇.
O valor 𝑅𝑂𝑉, calculado a partir do CoG-FPOM, será o payoff esperado para o ano 10, a ser
considerado nos cálculos referentes ao ano 9.
5 Resultados e Discussões
37 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Figura 5.5. Número fuzzy (distribuição de possibilidade) referente ao payoff do campo
esperado para o ano 10
Para este exemplo foi usada uma taxa de desconto de 10% ao ano. Executando todos os
cálculos até o momento da decisão (ano 0) seguindo o Algoritmo 1, é possível chegar aos
seguintes valores:
Valor do campo com opção real de abandono = 351 MM US$;
Valor do campo sem opção real de abandono = 263 MM US$;
Valor da opção real de abandono = 351 - 263 = 87 MM US$.
5.2 Discussão de Resultados
O resultado positivo calculado para o valor da opção real na seção 5.1 indica que a
possibilidade de abandonar aumenta o valor do campo, como esperado. O resultado também
mostra numericamente qual é o valor estimado do aumento do valor do campo ao se considerar
a opção de abandono: US$ 87 milhões, que representam aproximadamente 25% do valor do
campo sem considerar as opções.
Neste exemplo, a valoração do campo resultou positiva em ambos os cenários:
considerando ou não a opção real de abandono. Ou seja, nesse caso a empresa continuaria
produzindo mesmo se seu método de valoração ignorasse a opção. No entanto, em algumas
circunstâncias específicas, o valor do campo sem opções reais pode ser negativo, enquanto o
valor do campo com opções reais é positivo. Nesses casos, o modelo apresentado sugeriria
5 Resultados e Discussões
38 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
continuar produzindo enquanto os métodos tradicionais sugeririam abandonar. Em outras
palavras, a escolha do método de valoração e suporte pode levar a diferentes decisões
empresariais, com consequências bastante relevantes para o negócio.
Todo o exemplo apresentado foi calculado de forma simples na aplicação de planilha
eletrônica Microsoft Excel ®. Caso seja necessário alterar alguma entrada do modelo, o usuário
pode atualizar os campos correspondentes da planilha sem muito esforço. Caso se deseje fazer
uma análise de sensibilidade do resultado final com relação às entradas, é possível usar
diferentes valores para uma das variáveis e registrar o resultado final correspondente de forma
bastante transparente.
Capítulo 6
Conclusões e Sugestões para Futuros Trabalhos
6 Conclusão
40 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
6 Conclusões e Sugestões para Futuros Trabalhos
Esta tese apresenta um modelo de suporte à decisão de abandono de um campo de
petróleo utilizando opções reais (OR). Como relevante contribuição científica, este trabalho
aponta uma inconsistência no Fuzzy Payoff Method (FPOM) original e propõe o Center-of-
Gravity Fuzzy Payoff Method (CoG-FPOM) como método alternativo para avaliação de OR. O
método utiliza o centro de gravidade em vez do valor esperado possibilístico como forma de
obter o valor representativo de um número fuzzy. A proposta tem validade geral, mesmo nas
situações em que o FPOM original gera resultados teoricamente inválidos. No Teorema 1, os
números fuzzy não precisam ser triangulares, ampliando as possibilidades de uso da técnica para
outros problemas e modelos.
Uma aplicação do modelo proposto foi feita a um campo petrolífero hipotético. Usando
o CoG-FPOM foi possível calcular o valor do campo com e sem OR e, consequentemente, o
valor da própria opção. Além disso, a aplicação, feita em uma planilha eletrônica, mostra como
o modelo é simples e transparente.
O exemplo mostrou a utilidade da proposta no apoio a decisões empresariais difíceis,
levando em consideração a incerteza e a flexibilidade presentes. Ficou evidenciado que
diferentes decisões podem ser tomadas a depender do método de valoração e suporte escolhido.
O desenvolvimento desse trabalho originou, até o momento, dois itens de produção
científica:
Um artigo publicado no periódico Fuzzy Sets and Systems, intitulado: Fuzzy payoff
method for real options: The center of gravity approach with application in oilfield
abandonment (https://doi.org/10.1016/j.fss.2018.03.008) (Borges, Dias, Dória Neto
& Meier, 2018).
Um capítulo aceito para o livro Applying Fuzzy Logic for the Digital Economy and
Society, a ser publicado em 2019 pela Springer na série International Research Fuzzy
Management Methods, com título: Oilfield Abandonment Decision by Applying a
Fuzzy Payoff Method for Real Options (https://doi.org/10.1007/978-3-030-03368-2)
(Borges, Meier, Dias & Dória Neto, 2019).
Além disso, como consequência da inconsistência descoberta e publicada, o grupo de
pesquisadores que propôs o FPOM original enviou um artigo para publicação se aprofundando
na comparação entre o centro de gravidade e a média possibilística (Luukka, Stoklasa & Collan,
2018).
6 Conclusão
41 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
Como trabalho futuro, outras formas de aproximação de um intervalo fuzzy por um único
número podem ser comparadas ao centro de gravidade, para serem usadas no framework
FPOM. Por exemplo, é possível calcular o intervalo médio de um número fuzzy e depois
escolher o valor dentro desse intervalo com base em algum grau de otimismo do tomador de
decisão, como em (Ibáñez & Muñoz, 1989). Também é possível usar diferentes α-cuts com base
em algum critério, e ainda outras alternativas para se obter um único valor de um número fuzzy.
Ainda com relação ao CoG-FPOM, um ponto a ser considerado no método é que este
simplifica as possibilidades de valores entre os cenários por uma linha reta. Mesmo supondo
que não seja possível modelar perfeitamente essa transição, pode ser interessante estudar as
variáveis e usar uma forma diferente para cada uma das distribuições de possibilidades.
Trabalhos futuros também podem ser desenvolvidos para aplicar o método proposto a
problemas com outros tipos de opções reais, como por exemplo opções de expansão, de troca,
de escala, de espera para investir, etc. Ainda, pode-se usar o CoG-FPOM em problemas de
outras indústrias que não a petrolífera.
Outras possíveis melhorias futuras estão relacionadas ao modelo proposto para opção
de abandono em campos de petróleo. Raramente as alternativas de decisão são interromper a
produção ou seguir até o final. Assim, o modelo pode ser aprimorado para gerar também um
ano de abandono esperado. Este ano é muito importante na prática, pois limita as estimativas
para o campo, tornando possível calcular seu valor real. Também tem impactos na estimativa
de reservas, o que influencia outros assuntos, como testes de impairment e taxa de depleção de
ativos.
Pode-se, também, buscar estimar quais são os custos sociais do abandono – referentes
aos impactos da redução da atividade econômica em regiões fortemente dependentes da
indústria petrolífera. Essa parcela, então, pode ser adicionada aos custos com
descomissionamento, arrasamento de poços e recuperação ambiental.
Outras melhorias que podem tornar o modelo mais robusto estão relacionadas às
variáveis (incluir outras, como a taxa de câmbio), à estrutura dos fluxos de caixa (por exemplo,
considerando as participações governamentais de países específicos) e à aplicação do modelo
sugerido a um campo real.
42 Roberto Evelim Penha Borges, Fevereiro de 2019
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