11
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O teste de McNemar O teste de McNemar para a
significância de mudanças éparticularmente aplicável aos experimentos do tipo "antes e depois" em que cada sujeito é utilizado como seu próprio controle e a medida é efetuada em escala nominal ou ordinal.
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Para testar a significância de
qualquer mudança observável, através
deste método, é necessário construir uma
tabela de freqüências “2x2”. Veja exemplo
a seguir:
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A tabela 2x2
DC-BA+Antes+-
Depois
22
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Note-se que aqueles casos que
mostram mudanças entre a primeira e a
segunda resposta aparecem nas células A e
D. Um sujeito é contado na célula A se ele
muda de + para - e é contado na D se ele
muda de - para +. Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
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Se nenhuma mudança é ocorre ele
é contado nas células B (resposta +
antes e depois) e C (resposta - antes e
depois).
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Hipóteses
A Como A + D representa o número total de elementos que acusaram alguma modificação, a expectativa, sob a hipótese de nulidade, é de que 1/2 (A + D) acuse modificações em um sentido e 1/2 (A + D) no outro sentido.
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Variável Teste
( )
2D+A
)2
D+AD(
=
2D+A
)2
D+AA(
=E
EO=χ
22
i
k
1=iii
2
21
--∑ -
Simplificando vem:
D+A)DA(
==χ2
21
-
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A correção torna-se necessária porque uma distribuição contínua, no caso, o qui-quadrado está sendo usada para aproximar uma distribuição discreta. Quando todas as freqüências esperadas são pequenas, esta aproximação pode não ser boa.
Correção de Continuidade
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A correção de continuidade (de Yates) é uma tentativa de remover esta fonte de erro. A expressão acima incluindo a correção de Yates fica:
Correção de Continuidade
D+A)1|DA(|
==χ2
21
--
33
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Uma pesquisa realizada entre donos
de automóveis sobre a necessidade do uso
do cinto de segurança foi realizada antes e
depois de um filme sobre acidentes, onde
era enfocado os benefícios do uso do cinto.
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Dos 80 motoristas entrevistados 20 eram a favor do uso do cinto antes e continuaram após, 30 eram contra antes e ficaram a favor após, 15 eram contra antes e continuaram contra após e 5 eram a favor e ficaram contra após. Teste, ao nível de 1%, a significância das mudanças.
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H0: A proporção de mudanças de A
para B é igual a de B para A, isto é, PA = PB = 1/2
H1: PA > PB
Hipóteses
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Os dados
3015-
205+Antes+-
Depois
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A estatística teste
457,16=30+5
)1|5(|==χ
221
-30-
44
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Significância do Resultado
Como pode ser visto o resultado
encontrado é significativo a 1% ou menos, portanto as mudanças são
significativas.
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Objetivos
A prova de Wilcoxon de duas amostras emparelhadas é a equivalente não paramétrica ao teste t para duas amostras dependentes. As hipóteses são as mesmas, embora às vezes elas possam ser colocadas em termos da mediana e não da média.
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Hipóteses
H0: A diferença entre as médias (ou
medianas) populacionais é zero.
H1: A diferença entre as médias (ou
mediadas) não é zero.
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Objetivos
A suposição básica por trás deste teste
é que as distribuições populacionais são
simétricas (médias e medianas idênticas).
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Inicialmente calcular di = diferença dentro do par “i”. A seguir atribuir postos a cada di, independentemente de sinal. Ao menor di, atribuir o posto 1; ao próximo 2, etc. A cada posto atribuir o sinal da diferença, isto é, identificar quais postos decorrem de diferenças negativas e quais de diferenças positivas.
Metodologia
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Se as duas classificações são equivalentes, isto é se Ho é verdadeira, é de se esperar que algumas das maiores diferenças sejam positivas e outras negativas. Desta forma, se forem somados os postos com sinal mais e os postos com sinal menos, deve-se esperar somas aproximadamente iguais.
Metodologia
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Se houver diferença entre estas duas
somas é sinal de que as duas classificações
(ou tratamentos) não se equivalem e deve-
se então rejeitar a hipótese nula.
Metodologia
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Se as duas amostras foram extraídas da mesma população, então se espera que as distribuições acumuladas das amostras estejam próximas. Se as distribuições estão “distantes”isto sugere que as amostras provenham de populações distintas e um desvio grande pode levar a rejeição da hipótese de nulidade.
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Eventualmente os escores de dois pares serão iguais. Neste caso eles devem ser excluídos da análise e o valor de n deve ser reduzido na mesma quantidade de valores em que a diferença for nula.
Empates
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Pode ocorrer, ainda, um outro tipo de
empate. Duas ou mais diferenças podem ter o
mesmo valor absoluto. Neste caso, atribuí-se o
mesmo posto aos empates. Este posto é a
média dos postos que teriam sido atribuídos se
as diferenças fossem diferentes. Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
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Por exemplo, se três pares acusam as
diferenças: -1, -1 e +1, a cada par será
atribuído o posto 2, que é a média entre 1, 2 e
3. O próximo valor, pela ordem, receberia o
valor 4, porque já teriam sido utilizados os
postos 1, 2 e 3.
66
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Se T = a menor soma dos postos de
mesmo sinal (negativos ou positivos)
então T será significativo se não superar
o valor dado na tabela, sob determinado
nível de significância.
Pequenas Amostras (n < 25)
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Neste caso T (menor soma) éaproximadamente normal com os seguintes parâmetros:
Grandes Amostras (n ≥ 25)
24)1+n2)(1+n(n
=σ T
4)1+n(n
=µ T
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Um grupo de 25 motoristas foi
submetido a um teste para verificar o
efeito do álcool na percepção de
obstáculos. O número de cones derrubados
antes e depois da ingestão de uma dose de
destilado foi anotado.
2425433212D
1434321210A
3131534210A
20191817161514131211M
4563423232D
98
67
10
54321
M
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Teste a hipótese de que o álcool
não tem influência sobre a percepção dos motoristas.
77
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Resultados - SPSS
116,00116,009,6712Positive Ranks
5,00
MeanRank
20204
4
N
TotalTies
NegativeRanks
20,0020,00Antes –Depois
Sum of Ranks
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0,005Exact Sig. (1-tailed)
0,011Asymp. Sign (2 tailed)
0,002
0,010
-2,542 (a)Antes –Depois
Point Probability
Exact Sig. (2-tailed)
Z
a Based on negative ranks.b Wilcoxon Signed Ranks Test
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O teste é uma extensão direta do qui-quadrado para duas amostras independentes. Em geral, o teste é o mesmo, tanto para duas, como para k amostras independentes.
O teste qui-quadradoO teste χ² de “k” amostras
independentes pode ser utilizado para verificar a dependência ou independência entre as variáveis sendo consideradas.
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H0 : As variáveis são independentes
H1 : As variáveis são dependentes
Hipóteses e Cálculo
( )
E
EO
=χij
k
1=i
∑l
1=jijij
2
2υ
∑ -A variável teste é:
88
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Expressão alternativa
( )
nE
O
=
=E
EO
=χ
ij
k
1=i
l
1=j
2ij
ij
k
1=i
l
1=jijij
2
2υ
-∑ ∑
∑ -∑A variável teste é:
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r = número de linhas da tabela;
L = número de colunas da tabela;
Oij = freqüência observada na interseção da linha i com a coluna j.
Eij = número de casos esperados na interseção da linha i com a coluna j.
Onde:
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Onde:
= tamanho da amostra;∑k
1=i
l
1=jij∑O=n
χ 2υ é a estatística teste;
pn=E ijij são as freqüências esperadas
de cada célula ij da tabela.Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
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pij é a probabilidade de ocorrer uma observação na célula ij. Se as variáveis são supostamente independentes (H0 éVerdadeira), então pij = pi.p.j, onde pi. é a probabilidade marginal correspondente àlinha “i” e p.j é a probabilidade marginal correspondente a coluna j.
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Como não se conhecem as probabilidades marginais, elas devem ser estimadas através das correspondentes freqüências relativas. Então:
n
ff=
n
f.
n
f.n
=p.pn=pn=E
j..ij..i
j..iijij
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∑k
1=iijj.
l
1=jij.i f=f e ∑ f=f
99
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O teste de Kruskal-Wallis é utilizado
para decidir se k amostras independentes podem ter sido extraídas de populações
diferentes.
Objetivos
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Os valores amostrais diferem entre si
e deve-se decidir se essas diferenças
amostrais significam diferenças efetivas
entre as populações, ou se representam apenas variações casuais.
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O teste supõe que a variável em
estudo tenha distribuição contínua e exige
mensuração no mínimo ao nível ordinal.
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Cada um dos nn valores é substituído por um posto. Isto é, os escores de todas as k amostras combinadas são dispostos em uma única série de postos. Ao menor escore éatribuído o posto 1, ao seguinte o posto 2 e assim por diante até o maior posto que é n = número total de observações.
Metodologia
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Feito isso, determina-se a soma dos postos em cada amostra (coluna). A prova então testa se estas somas são tão diferentes entre si, de modo que não seja provável que tenham sido todas retiradas de uma mesma população.
1010
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Se as k amostras forem de uma mesma população (H0 é V) então a estatística de Kruskal-Wallis tem distribuição conhecida (Tabela O) se as amostras forem pequenas (n < 5) ou Qui-Quadrado com glgl = k = k -- 11, desde que os tamanhos das k amostras não sejam muito pequenos (5 ou mais elementos).
A estatística teste
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O grau de liberdade O grau de liberdade éé::
A estatA estatíística amostral stica amostral
amostras de número=k onde ,1k=ν -
nn
T- 1
)1+n(3n
R
)1+n(n12
=H
3
k
1=j j
2j
-∑
∑ -ee
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Onde:Onde:
k = número de amostras;
nj = número de elementos na amostra “j”;
Rj = soma dos postos na amostra (coluna) “j”;
n = ∑nj = número total de elementos em todas as amostras combinadas;
T = t3 – t, onde t é o número de empates.
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Verificar a influência do Fator “Idade” sobre a variável “tempo, em dias, para conseguir um emprego”, considerando as seguintes amostras:
124533647118146
3125
Abaixo de 25
30
5128274233
Entre 25 e 40
5758432063
Acima de 40 anos
1111
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Tem-se n = 21 (total de informações). Então o maior posto será 21.
10215
32021
ΣΣRR33 = 31= 31
541117
Postos (3)Postos (3)
ΣΣRR22 = 90= 90
16981312
Postos (2) Postos (2)
ΣΣR R 11 = 110= 110
171814619
Postos (1) Postos (1)
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A variA variáável teste servel teste seráá: :
04,21=6604,87=
=+)6
31+
890+
7110
()1+21(21
12=
=)1+n(3n
R
)1+n(n12
=H
222
k
1=j j
2j
-
1)3(21-
∑ -
O grau de liberdade é:2=1 - 3 = 1k=ν -
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O χ22 tabelado é:
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A 1% de significância é possível afirmar que o fator “idade” tem influência sobre o “tempo para encontrar trabalho”.
Conclusão
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1212
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Resultados SPSS
Kruskal-Wallis Test
5,9210,8115,57
Mean Rank
21687n
Total210
Controle
0,0202
7,839Tempo
Assyp. Sig.df
Chi-Square
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Objetivos
Quando os dados de k amostras estão em correspondência, isto é, o número de casos é o mesmo para cada uma delas, pode-se utilizar a análise de variância por postos de Friedman
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A dupla análise de variância ou χ2 de
Friedman é uma alternativa não paramétrica
para testar diferenças entre duas ou mais
amostras dependentes.
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A estatística teste é dada por:
Cálculo
∑ -k
1=i
2i
2υ )1+k(n3R
)1+k(nk12
=χOnde:
k = número de tratamentos;n = tamanho da amostra;ΣRi = soma dos postos de cada tratamento;v = k –1 = grau de liberdade.
1313
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Onde:
k = número de tratamentos;
n = tamanho da amostra;
ΣRi = soma dos postos de cada tratamento;
v = k –1 = grau de liberdade.
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Oito gerentes foram convidados de uma empresa de Internet para avaliar o novo sítio da instituição onde trabalham. Eles foram convidados a dar uma nota de 0 a 5 para cada uma de quatro características de interesse do local. Teste se as características diferem significativamente a 5%.
34352242
C2
54120233
C1
537016
4
30251
C4
5
43542
C3
8
54321
Gerentes
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Friedman Test
2,19
2,88
2,69
2,25
Mean Rank
C4
C3
C2
C1
0,606
3
1,846
8
Asymp. Sig.
df
Chi-Square
n
1414
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Como a significância do resultado é
60,60%, acima da significância do teste,
não é possível rejeitar a hipótese de que
existe diferença entre as diversas
características.
Conclusão