PISM III – 2018

MÓDULO II

GEOMETRIA ANALÍTICA

Equação Reduzida da Circunferência

A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão (x – a)² + (y – b)² = R². Para definir essa expressão vamos analisar a situação da ilustração a seguir:

Na ilustração, a circunferência possui centro C com coordenadas (a, b). O ponto genérico P possui as coordenadas (x, y). Vamos estabelecer a distância entre os pontos

C e P utilizando a expressão matemática , de acordo com as definições da Geometria Analítica.

De acordo com a ilustração gráfica, a distância entre os pontos C e P é considerado o raio da circunferência. Dessa forma, substituiremos D²C,P por R (raio), observe:

(x – a)² + (y – b)² = R² Vamos determinar a equação reduzida da circunferência com centro C (2, –9) e raio 6.

(𝒙 – 𝒂)² + (𝒚 – 𝒃)² = 𝑹²

(𝒙 – 𝟐)² + (𝒚 + 𝟗)² = 𝟔²

(𝒙 – 𝟐)² + (𝒚 + 𝟗)² = 𝟑𝟔 (FEI–SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).

A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio.

(𝒙 – 𝒂)² + (𝒚 – 𝒃)² = 𝑹²

(𝒙 – 𝟐)² + (𝒚 – 𝟏)² = 𝟏²

(x – 2)² + (y – 1)² = 1 A equação da circunferência com centro C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1) possui como equação reduzida a expressão matemática (x – 2)² + (y – 1)² = 1. A equação geral surgirá do desenvolvimento da expressão reduzida (x – 2)² + (y – 1)² = 1, veja:

(𝒙 – 𝟐)² + (𝒚 – 𝟏)² = 𝟏

𝒙² – 𝟒𝒙 + 𝟒 + 𝒚² – 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟏 = 𝟎

x² + y² – 4x – 2y + 4 = 0 Por Marcos Noé Graduado em Matemática Equipe Brasil Escola

Para reforçar a aprendizagem

Equação reduzida

Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.

Equação geral

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C (2, -3) e

raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é:

(x - 2)2 + (y + 3)2 = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Exercícios de Aprendizagem

Questão 1 (EsSA 2013). Dada a equação da circunferência é: (x-a)² + (y-b)² = r², sendo (a, b) as coordenadas do centro e r a medida do raio, identifique a equação geral da circunferência de centro (2 , 3) e raio igual a 5. a) x² + y² = 25 b) x² + y² – 4xy – 12 = 0 c) x² – 4x = -16 d) x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0 e) y² – 6y = -9 Resolução A questão informa que o centro é (2, 3) e o raio é igual a 5. Temos: (x – a)² + (y – b)² = r² (x – 2)² + (y – 3)² = 5² x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 25 x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 – 25 = 0 x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0 Resposta: D

Questão 2 (SEDUC RJ – CEPERJ 2013). Seja (x – 2)² + (y – 4)² = 8 a equação reduzida de uma circunferência. A razão entre a área da circunferência e a área do quadrado inscrito na circunferência, nesta ordem, é: a) π/4 b) π/2 c) π d) 3π/2 e) 3π Resolução Nosso objetivo será descobrir a área da circunferência e do quadrado inscrito, para então efetuarmos a divisão. A informação mais importante que a equação reduzida da circunferência nos dá é que o raio é igual a √8. Calculando a área da circunferência:

𝐴 = 𝜋. 𝑟² = 𝜋. (√8)² = 8𝜋

Vamos descobrir a medida dos lados (x) do quadrado utilizando o Teorema de Pitágoras.

(2r)² = x² + x²

(2√8)² = 2x²

4.8 = 2x²

32 = 2x²

x² = 16

x = 4

Calculando a área do quadrado: A = x² = 4² = 16 Calculando a razão entre a área da circunferência e a área do quadrado: 8π/16 = π/2 Resposta: B

EXERCÍCIOS SOBRE EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA PARA ESTUDAR

QUESTÃO 1 Determine a equação da circunferência que possui centro em C(3, 6) e raio 4.

QUESTÃO 2 O centro de uma circunferência é determinado pelo ponto médio do segmento PQ, sendo P(4, 6) e Q(2, 10).

Considerando que o raio dessa circunferência é 7, determine sua equação.

QUESTÃO 3 (PUC-SP)

O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule valor da coordenada

b.

QUESTÃO 4 (FEI-SP)

Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1).

AS RESPOSTAS ABAIXO AJUDAM NO ESTUDO

RESPOSTAS Questão 1 A equação da circunferência de centro C(a, b) e raio r, com r > 0, é (x – a)² + (y – b)² = r². Portanto:

A equação da circunferência com coordenados do centro (3, 6) e raio medindo 4 é dada por:

(x – 3)² + (x – 6)² = 16

Questão 2

Questão 3 Temos por (x – a)² + (y – b)² = r², que a circunferência de centro C(0 ,3) e raio 5, possui como representação a equação (x – 0)² + (y – 3)² = 5² ou x² + (y – 3)² = 25.

Considerando que o ponto P(3, b) pertença à circunferência, então:

x² + (y – 3)² = 25 3² + (b – 3)² = 25 9 + (b – 3)² = 25 (b – 3)² = 25 – 9 (b – 3)² = 16

b – 3 = 4 ou b – 3 = – 4 b = 4 + 3 ou b = –4 + 3 b = 7 ou b = –1

A coordenada b pode assumir os valores 7 ou –1.

Questão 4

Posição relativa entre duas circunferências

No estudo analítico da circunferência, os elementos raio, diâmetro e centro da

circunferência são fundamentais para conclusões de diversos problemas e para a

determinação da equação que define essa forma geométrica tão importante. Em se

tratando de posições relativas entre duas circunferências, elas podem ser: tangentes,

secantes, externas, internas ou concêntricas. Vamos analisar cada caso.

1. Circunferências tangentes.

a) Tangentes externas

Duas circunferências são tangentes internas quando possuem somente um ponto em

comum e uma exterior à outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os

centros das duas circunferências seja equivalente à soma das medidas de seus raios.

dOC = r1 + r2

b) Tangentes internas

Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas um ponto em

comum e uma esteja no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a

distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios.

dOC = r1 - r2

2. Circunferências externas.

Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem pontos em comum.

A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências

deve ser maior que a soma das medidas de seus raios.

dOC > r1 + r2

3. Circunferências secantes.

Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois pontos em

comum. A condição para que isso aconteça é que a distância entre os centros das

circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios.

dCO < r1 + r2

4. Circunferências internas.

Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum

e uma está localizada no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a

distância entre os centros das circunferências deve ser equivalente à diferença entre as

medidas de seus raios.

dOC < r1 - r2

5. Circunferências concêntricas.

Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em

comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula.

dCO = 0

Exemplo: Dadas as circunferências λ e σ, de equações:

λ: x2 + y2 = 9

σ: (x – 7)2 + y2 = 16

Verifique a posição relativa entre elas.

Solução: Para resolução do problema devemos saber as coordenadas do centro e a

medida do raio de cada uma das circunferências. Através da equação de cada uma

podemos encontrar esses valores.

Como a equação de toda circunferência é da forma: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, teremos:

Conhecidos os elementos de cada uma das circunferências, vamos calcular a distância

entre os centros, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Por Marcelo Rigonatto

EXERCÍCIOS SOBRE POSIÇÕES RELATIVAS

QUESTÃO 1 Verifique o posicionamento da reta r, dada pela equação 2x + y – 1 = 0 em relação à circunferência de

equação x² + y² + 6x – 8y = 0.

Ver Resposta

QUESTÃO 2 Dada a reta s representada pela equação 2x – y + 1 = 0 e a circunferência de equação

x² + y² – 2x = 0, determine a posição relativa entre elas.

Ver Resposta

QUESTÃO 3 Determine o valor de w sabendo que a reta de equação x – y + w = 0 é tangente à circunferência de equação

x² + y² = 9.

Ver Resposta

QUESTÃO 4 (UFBA)

Determine o comprimento da corda determinada pela intersecção da reta r, de equação x + y – 1 = 0, com a

circunferência de equação x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0.

Ver Resposta

QUESTÃO 5 (ITA-SP)

A distância entre os pontos de intersecção da reta com a circunferência x² + y² = 400 é:

a) 16√5

b) 4√5

c) 3√3

d) 4√3

e) 5√7

Ver Resposta

QUESTÃO 6 (UFRS)

O valor de k que transforma a equação x² + y² – 8x + 10y + k = 0 na equação de uma circunferência de raio

7 é:

a) –4

b) –8

c) 5

d 7

e) –5

Ver Resposta

RESPOSTAS Questão 1 Determinar as coordenadas do centro da circunferência é a medida do raio:

x² + y² + 6x – 8y = 0 x² + 6x + y² – 8y = 0

x² + 6x → completando o trinômio x² + 6x + 9 = (x + 3)²

y² – 8y → completando o trinômio y² – 8y + 16 = (y – 4)²

x² + 6x + y² – 8y = 0 x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16 = 9 + 16 (x + 3)² + (y – 4)² = 25

A fórmula geral de uma equação da circunferência é dada por (x – a)² + (y – b)² = r², dessa forma:

Coordenadas do centro: (–3; 4) Medida do raio: 5

Determinando a distância entre o centro e a reta Reta r: 2x + y – 1 = 0

Temos que a distância é menor que o raio, pois 1,3 < 5. Dessa forma, a reta é secante à circunferência.

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Questão 2 Vamos estabelecer um sistema entre as duas equações:

Reta: 2x – y + 1 = 0 Circunferência: x² + y² – 2x = 0

Resolvendo o sistema pelo método da substituição:

Isolando y na 1ª equação:

2x – y + 1 = 0 – y = –1 – 2x y = 1 + 2x

Substituindo y na 2ª equação:

x² + (1 + 2x)² – 2x = 0 x² + 1 + 4x + 4x² – 2x = 0 5x² + 2x + 1 = 0

∆ = b² – 4ac ∆ = 2² – 4 * 5 * 1 ∆ = 4 – 20 ∆ = –16

Quando ∆ < 0, a equação não possui raízes. Dessa forma o sistema não possuirá soluções. Portanto, a reta é externa à circunferência.

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Questão 3 Se a reta é tangente à circunferência, temos que a distância do centro até a reta possui a mesma medida do raio.

Em razão da equação x² + y² = 9, podemos dizer que o centro corresponde a (0; 0) e o raio igual a 3, pois x² + y² = 9 → (x + 0)² + (y + 0)² = 3².

Distância do centro (0; 0) à reta x – y + w = 0, onde a = 1, b = –1 e c = w:

Calculando w de acordo com d = r:

O valor de w é igual a + 3√2 ou –3√2.

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Questão 4

AB = medida da corda CM = distância entre centro e reta AM = metade da medida da corda → AB/2.

No triângulo AMC aplicaremos o teorema de Pitágoras, mas para isso precisaremos determinar a distância CM e o raio da circunferência, dado por CA.

Centro da circunferência

x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0 x² + 2x + y² + 2y = 3

Centro da circunferência

x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0 x² + 2x + y² + 2y = 3 x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 3 + 1 + 1 (x + 1)² + (y + 1)² = 5

Centro (–1, –1) e raio = √5. Reta: x + y – 1 = 0

A medida da corda AB de acordo com a situação proposta é AB = √2.

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Questão 5 Resolver o sistema de equações:

Simplificando a 1ª equação:

Substituindo x na 2ª equação:

x² + y² = 400 x² + (20 – 2x)² = 400 x² + 400 – 80x + 4x² ¬– 400 = 0 5x² – 80x = 0 5x * (x – 16) = 0

5x = 0 x’ = 0

x – 16 = 0 x’’ = 16

Para x = 0, temos:

y = 20 – 2x y = 20 – 2*0 y = 20

(0; 20)

Para x = 16, temos:

y = 20 – 2x y = 20 – 2 * 16 y = 20 – 32 y = – 12

(16; –12)

Os pontos de intersecção são (0; 20) e (16; –12).

Determinando a distância entre os pontos:

Resposta item a.

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Questão 6 x² + y² – 8x + 10y + k = 0

Encontrar a equação reduzida (completar os trinômios)

x² – 8x + y² + 10y = –k x² – 8x + 4 + y² + 10y + 25 = – k + 4 + 25 (x – 4)² + (x + 5)² = –k + 41

Temos que o raio será dado por: –k + 41 = 7² –k = 49 – 41 –k = 8 k = 8 Resposta: alternativa b.

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ÁLGEBRA

Relações de Girard nas equações do 3º e do 4º grau Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva em Equação1 Comentário

As fundamentações de Girard são responsáveis pela relação existente entre os

coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes. Na equação do 2º grau, as relações

são obtidas por meio das fórmulas da soma e do produto: – b/a e c/a, respectivamente.

As equações do 3º grau possuem como lei de formação a equação algébrica: ax³ + bx² +

cx + d = 0, com a ≠ 0 e raízes x1, x2 e x3. A decomposição dessa equação permite a

determinação de expressões matemáticas capazes de relacionar as raízes da equação.

Observe:

ax³ + bx² + cx + d = a[x³ – (x1+x2+x3)x² + (x1*x2 + x1*x3 + x2*x3) – x1*x2*x3

Dividindo a equação por a, temos:

Realizando a igualdade entre os polinômios:

x1 + x2 + x3 = – b/a

x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a

x1 * x2 * x3 = – d/a

Os polinômios do 4º grau possuem a seguinte lei de formação: ax4 + bx³ + cx² + dx + e =

0. Nessa equação polinomial temos, no máximo, a existência de quatro possíveis raízes,

as quais quando relacionadas, formam as seguintes expressões:

x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a

x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4 = c/a

x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4 + x1 * x3 * x4 + x2 * x3 * x4 = – d/a

x1 * x2 * x3 * x4 = e/a

Exemplo

Determine as relações de Girard para a equação algébrica: x³ + 7x² – 6x + 1 = 0,

considerando 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3, as raízes da equação.

Na equação, temos que: a = 1, b = 7, c = – 6 e d = 1.

x1 + x2 + x3 = – b/a = –7/1 = –7

x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a = –6/1 = – 6

x1 * x2 * x3 = – d/a = –1/1 = –1

EXERCÍCIOS SOBRE AS RELAÇÕES DE GIRARD PARA ESTUDAR

QUESTÃO 1 Calcule o valor de k na equação (k + 5) * x² – 10x + 3 = 0 de modo que o produto das raízes seja igual a 3/8.

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QUESTÃO 2 Determine o valor de k na equação x² – kx + 36 = 0, de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra.

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QUESTÃO 3 De acordo com a equação 4x³ + 2x² – x – 3 = 0, determine as relações de Girard envolvendo as raízes x1, x2

e x3.

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QUESTÃO 4

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QUESTÃO 5

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QUESTÃO 6 (EEM–SP)

Dada a equação x³ – 9x² + 26x + a = 0, determine o valor do coeficiente a para que as raízes dessa equação

sejam números naturais sucessivos.

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RESPOSTAS Questão 1

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Questão 2

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Questão 3

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Questão 4

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Questão 5

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Questão 6

Teorema das raízes racionaisMATEMÁTICA

Aprenda a encontrar todas as raízes reais de uma equação polinomial

Considere a equação polinomial a seguir em que todos os coeficientes an são inteiros:

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0 = 0

O Teorema das Raízes Racionais garante que, se essa equação admite o número

racional p/q como raiz (com p , q e mdc(p,q) = 1), então a0 é divisível

por p e an é divisível por q.

Observações:

1º) O teorema das raízes racionais não garante que a equação polinomial tenha raízes,

mas caso elas existam, o teorema permite identificar todas as raízes da equação;

2º) Se an = 1 e os outros coeficientes são todos inteiros, a equação possui apenas raízes

inteiras.

3°) Se q = 1 e há raízes racionais, estas são inteiras e divisoras de a0.

Aplicação do Teorema das Raízes Racionais:

Vamos utilizar o teorema para encontrar todas as raízes da equação polinomial 2x4 +

5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0.

Primeiramente, vamos identificar as possíveis raízes racionais dessa equação, isto é, as

raízes da forma p/q. De acordo com o teorema, a0 é divisível por p; dessa forma,

como a0 = 12, então os possíveis valores de p são {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}.

Analogamente, temos que an é divisível por q e an = 2, então q pode ter os seguintes

valores: {±1, ±2}. Sendo assim, dividindo os valores de p por q, obtemos os possíveis

valores p/q raízes da equação: {+½, – ½, +1, – 1, +3/2, –3/2, +2 , –2, +3, –3, +4, –4, +6, –

6, +12, –12}.

Para confirmar se os valores que encontramos são realmente a raiz da equação

polinomial, vamos substituir cada valor no lugar do x da equação. Através do cálculo

algébrico, se o polinômio resultar em zero, então o número substituído é, realmente, a

raiz da equação.

2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0

Para x = + ½

2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0

Para x = – ½

2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4

Para x = + 1

2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12

Para x = – 1

2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18

Para x = + 3/2

2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4

Para x = – 3/2

2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2

Para x = + 2

2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0

Para x = – 2

2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0

Para x = + 3

2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150

Para x = – 3

2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0

Para x = + 4

2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588

Para x = – 4

2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108

Para x = + 6

2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168

Para x = – 6

2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248

Para x = + 12

2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300

Para x = – 12

2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500

Portanto, as raízes da equação polinomial 2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0 são {–

3, – 2, ½, 2}.

Através do teorema da decomposição de um polinômio, poderíamos escrever

essa equação como (x + 3).(x + 2).(x – ½).(x – 2) = 0.

Por Amanda Gonçalves

Graduada em Matemática

Raízes complexas de uma equação polinomial

Resolva equações polinomiais que possuem raízes complexas

Ao resolver uma equação polinomial p(x) = 0, podemos identificar várias raízes e, dentre

elas, destacam-se as raízes complexas. Se um número complexo z é raiz de uma equação

polinomial de grau n (n > 1, n ), então o conjugado de z é também raiz da equação. Em

toda equação polinomial, quando houver raízes complexas, o seu número será sempre par

em razão do conjugado.

Antes de vermos alguns exemplos de raízes complexas, vamos relembrar alguns conceitos

dos números complexos. Um número complexo z é escrito na forma z = a + b.i e seu

conjugado z é representado na forma z= a – b.i. Devemos ter cuidado ao realizar operações

com os números complexos, veja alguns exemplos:

Adição e Subtração: Nas operações de adição e subtração, devemos operar a parte real de um complexo com

a parte real de outro, enquanto a parte imaginária de um só é operada com a parte

imaginária do outro. Considere os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di: z1 + z2 = (a + c) + (b + d).i z1 – z2 = (a – c) + (b – d).i

Multiplicação: Devemos aplicar a propriedade distributiva para todos os elementos dos complexos:

z1 . z2 = ac – bd + (ad + bc).i Operações com Conjugados:

Observe como são feitas as operações com conjugados de um número complexo

Como encontrar raízes complexas em uma equação polinomial?

Vamos resolver a seguinte equação polinomial: x4 – 2x2 + 16x – 15 = 0, sabendo que z = 1 + 2i é solução da equação.

Se z = 1 + 2i é solução da equação, então seu conjugado z = 1 – 2i também é solução.

Sendo assim, o produto (x – z).(x – z) divide o polinômio p(x) = x4 – 2x2 + 16x – 15:

(x – z).(x – z) = [x – (1 + 2i )] [x – (1 – 2i)] (x – z).(x – z) = (x – 1 – 2i).(x – 1 + 2i)

(x – z).(x – z) = x² – x + 2xi – x + 1 – 2i – 2xi + 2i – (2.i)² (x – z).(x – z) = x² – 2x + 1 – 4.(√– 1)²

(x – z).(x – z) = x² – 2x + 5

Dividindo o polinômio x4 – 2x2 + 16x – 15 por x² – 2x + 5, obtemos a equação polinomial: x² + 2x – 3 = 0. Já essa equação pode ser facilmente resolvida através da fórmula de

Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 2² – 4.1.(– 3) Δ = 4 + 12

Δ = 16

x = – b ± √Δ

2.a

x = – 2 ± √16 2.1

x = – 2 ± 4 2

x1 = – 2 + 4 2

x1 = 2 2

x1 = 1

x2 = – 2 – 4 2

x2 = – 6 2

x2 = – 3

Portanto, o conjunto solução da equação polinomial x4 – 2x2 + 16x – 15 = 0 é

S = {– 3, 1, 1 + 2i, 1 – 2i}.