RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS | Módulo 1 (Teoria) – Prof. Pacífico
CURSO PRIME ALDEOTA – Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208. 2222 CURSO PRIME CENTRO – Av. do Imperador, 1068 – Centro – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208.2220 CURSO PRIME PARANGABA – Av. Augusto dos Anjos, 1915 (Instalações do Colégio Jim Wilson)
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OS: 0025/10/21-Gil
CONCURSO: PMCE – SOLDADO – OPERAÇÃO FINAL
ASSUNTO:
PROBLEMAS ARITMÉTICOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS PROBLEMAS MATRICIAIS
PROBLEMAS ARITMÉTICOS
NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS, REAIS E SUAS OPERAÇÕES
Conjunto dos Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos Números Inteiros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos Números Inteiros Não-Nulos Z* = Z – {0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos Números Inteiros Não-Negativos Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos Números Inteiros Não-Positivos Z_ = {..., –3, –2, –1, 0}
Conjunto dos Números Inteiros Positivos Z+* = Z+ – {0} = {1, 2, 3, ...}
Conjunto dos Números Inteiros Negativos Z_* = Z_ – {0} = {..., –3, –2, –1}
Conjunto dos Números Racionais
0q com Zqp, ;q
px/xQ
Propriedades
Todo número que pode ser escrito na forma de fração é um número racional.
Todo número inteiro é um número racional.
Todo número decimal exato é um número racional.
Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é um número racional.
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OS: 0025/10/21-Gil
Conjunto dos Números Irracionais
0q com Zqp, ;q
px/xΙQ
...4142,12 e = 2,71828... = 3,14159...
Conjunto dos Números Reais
QQR
Conjunto dos Números Complexos
C = {z/z = a + bi com a, b R e i2 = -1}
RESUMO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS (DIAGRAMA DE VENN)
Naturais e Inteiros
Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles representam divisões exatas.
Exemplos:
5
10
1
22
5
30
1
66
8
0
1
00
2
18
1
9981
Decimais
Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem vírgula sobre 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, após a virgula. Exemplos:
10
44,0
100
1212,0
1000
8125125,8
10
15
100
22525,2
Dizima Periódica Simples
Nem toda dízima pode ser escrita em forma de fração, só as periódicas. No caso das simples, elas possuem apenas uma parte periódica, ou seja, que se repete. Para transformar em fração, basta escrever o número que se repete, sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem. Exemplos:
9
4...444,04,0
999
125....125125125,0125,0
99
12...121212,012,0
9999
5526....265526552655,05526,0
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OS: 0025/10/21-Gil
Dizima Periódica Compostas
No caso das compostas, elas possuem um parte não periódica (que não se repete) e outra parte periódica (que se repete). Para transformar em uma fração equivalente você pode escrever a parte não periódica seguida da parte periódica, menos a parte não periódica, tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula.
Exemplos:
90
221
90
24245...4555,254,2
990
5331
990
535384...3848484,5843,5
900
4846
900
5385384...38444,5438,5
900
1985
900
2202205...20555,2520,2
990
804
990
8812...8121212,0128,0
999
5379
999
55384...384384384,5384,5
Observação
Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p).
Quando um número não é primo dizemos que ele é composto.
Existem infinitos números primos.
Importante
Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC
(a, b) = 1.
DIVISÃO EM N
Algoritmo da Divisão
Onde: D = dq + r Obs.: r < d (sempre!!!)
Múltiplos de um Número Natural M(1) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...) M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} .............................................. M(x) = {0, x, 2x, 3x, 4x, 5x, ...}
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OS: 0025/10/21-Gil
Divisores de um Número Natural D(1) = {1} D(2) = {1, 2} D(3) = {1, 3} D(4) = {1, 2, 4} D(5) = {1, 5} D(6) = {1, 2, 3} D(7) = {1, 7} D(8) = {1, 2, 4, 8}
Observação
Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p).
Quando um número não é primo dizemos que ele é composto.
Existem infinitos números primos.
MMC e MDC
MMC mínimo (ou menor) múltiplo comum O m.m.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-
comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. MDC máximo (ou maior) divisor comum O m.d.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada
um elevado ao menor expoente.
Exemplos:
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, ...} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, ...} D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} MMC(12, 18) = 36 MDC(12, 18) = 6
Observação
Podemos calcular o MMC e o MDC de uma quantidade qualquer de números.
Importante
Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC(a, b) = 1.
Relação entre MMC e MDC
MMC(a, b) MDC(a, b) = a b
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OS: 0025/10/21-Gil
FRAÇÕES
Representação
b
a ou b
a
a numerador e b denominador
Número Misto
c
bAc
c
bA
c
bA
Soma e Subtração
db
bcda
d
c
b
a
Multiplicação
db
ca
d
c
b
a
Divisão
c
d
b
a
dc
ba
Inversão
a
b
b
a1
Importante
d
c
b
a ad = bc
db
ca
d
c
b
a
Se a = kb a/b = k, dizemos que a é diretamente proporcional à b.
Se a = k/b ab = k, dizemos que a é inversamente proporcional à b.
k constante de proporcionalidade
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OS: 0025/10/21-Gil
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
GEOMETRIA BÁSICA
REVISÃO SOBRE ÂNGULOS
Sejam VA e VB duas semi-retas de mesma origem, num plano . Ângulo é por definição, cada uma das
regiões em que o plano fica dividido por essas semi-retas, incluindo as semi-retas.
O ponto V chama-se vértice do ângulo, as semi-retas VA e VB são os lados do ângulo e o ângulo é
representado por BV̂A ou AV̂B .
TIPOS DE ÂNGULOS
» Ângulo Raso – Aquele em que os lados são duas semi-retas opostas, isto é, têm mesma origem e sentidos
contrários.
180o
A BV
Ao ângulo raso associamos a medida de 180o (cento e oitenta graus). O ângulo raso também é conhecido por ângulo de meia volta.
» Ângulo de Uma Volta – Aquele em que os lados são duas semi-retas coincidentes; seus pontos ocupam todo o plano.
360o
A B
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OS: 0025/10/21-Gil
Ao ângulo de uma volta associamos a media de 360o (trezentos e sessenta graus).
» Ângulo Reto – Num ângulo raso BV̂A , traçamos uma semi-reta VC , separando o ângulo BV̂A em dois
ângulos adjacentes CV̂A e BV̂C ; se esses dois ângulos tiverem medidas iguais, então cada um deles será,
por definição, um ângulo reto.
Ao ângulo reto fica então associada a medida de 90o (noventa graus).
» Ângulo Agudo – É todo ângulo de medida entre 0o e 90o.
0o < < 90o
» Ângulo Obtuso – É todo ângulo de medida entre 90o e 180o.
90o < < 180o
» Ângulos Complementares – São dois ângulos cuja soma das suas medidas é 90o. Dizemos que cada um
deles é o complemento do outro.
» Ângulos Suplementares – São dois ângulos cuja soma das suas medidas é 180o. Dizemos que cada um
deles é o suplemento do outro.
» Ângulos Explementares – São dois ângulos cujo a diferença entre o maior e o menor é 180o. Dizemos que o
menor deles é o explemento do maior. Como exemplo, temos os ângulos de 225o e 45o. Eles são explementares, pois 225o – 45o = 180o.
» Ângulos Replementares – São dois ângulos cuja soma de suas medidas é 360o. Dizemos que cada um deles é o replemento do outro. Como exemplo, temos os ângulos de 300o e 60o. Eles são replementares, pois 290o + 70o = 360o.
» Ângulos Opostos pelo Vértice (o.p.v.) – São dois ângulos que têm apenas o vértice em comum e tais que a união dos lados forma duas retas concorrentes, isto é, duas retas que possuem apenas um ponto comum.
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OS: 0025/10/21-Gil
ATENÇÃO !!!
- Dois ângulos o.p.v. são sempre congruentes, isto é, têm a mesma medida ( = ). - Duas retas concorrentes que formam quatro ângulos congruentes são chamadas retas
perpendiculares e esses ângulos são retos.
QUADRILÁTEROS
a + b + c + d = 360o
PARALELOGRAMOS
Paralelogramo é todo quadrilátero que tem dois pares de lados opostos paralelos.
Todo paralelogramo possui as seguintes propriedades importantes:
- lados opostos iguais. - ângulos opostos iguais. - ângulos consecutivos suplementares.
- as diagonais interceptam-se no ponto médio.
Vejamos agora três paralelogramos especiais: o retângulo, o losango e o quadrado; repare que
estes três quadriláteros são paralelogramos, o que implica a validade das quatro propriedades vistas anteriormente, para cada um deles.
AM = MC BM = MD
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OS: 0025/10/21-Gil
» Retângulo – É o paralelogramo que tem quatro ângulos retos.
» Losango – É o paralelogramo que tem os quatro lados iguais.
Num losango, ocorrem duas propriedades importantes:
- as diagonais são perpendiculares - as diagonais são bissetriz dos ângulos internos do losango.
» Quadrado – É o paralelogramo que tem quatro ângulos retos e os quatro lados iguais.
Observe que na definição de quadrado entram as características do retângulo (4 ângulos retos) e as do losango (4 lados iguais), por isso, o quadrado é, ao mesmo tempo, um retângulo e um losango.
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OS: 0025/10/21-Gil
TRAPÉZIOS
Trapézios são os quadriláteros que têm apenas um par de lados opostos paralelos. Esses lados paralelos
chamam-se bases do trapézio.
TIPOS DE TRAPÉZIOS
» Trapézio Isósceles – É aquele onde os lados não paralelos são iguais. Conseqüentemente, os ângulos
adjacentes a uma mesma base são iguais.
Repare que o trapézio isósceles pode ser decomposto em dois triângulos retângulos iguais e um retângulo.
» Trapézio Retângulo – É aquele que tem dois ângulos internos retos.
» Trapézio Escaleno – É aquele que possui todos os lados diferentes e todos os ângulos internos diferentes.
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OS: 0025/10/21-Gil
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são ditos congruentes quando eles são exatamente iguais. Existem quatro maneiras bem rápidas e práticas para concluirmos se dois triângulos são congruentes ou não.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1º Caso (AAA):
MA e
NB
PC
2º Caso (LLL): NP
BC
MP
AC
MN
AB
Para indicar que um triângulo ABC é semelhante a um triângulo MNP, usamos a notação:
ABC ~ MNP Toda vez que dois triângulos forem semelhantes, poderemos montar a seguinte razão entre seus lados:
ABC ~ MNP kNP
BC
MP
AC
MN
AB
k razão de semelhança entre os dois triângulos
Dicas !!!
Se dois triângulos são semelhantes, com razão de semelhança igual a k, então: 1) Os lados correspondentes são proporcionais (com razão k) 2) As alturas correspondentes são proporcionais (com razão k) 3) Os perímetros são proporcionais (com razão k) 4) Os raios das circunferências inscritas (e também das circunscritas) são proporcionais (com razão k) 5) As áreas dos triângulos são proporcionais (com razão k2) 6) As áreas dos círculos inscritos são proporcionais (com razão k2) 7) As áreas dos círculos circunscritos são proporcionais (com razão k2)
POLÍGONOS SEMELHANTES
k'f
f
'e
e
'a
a
d'
d
c'
c
b'
b
2
2
1 kA
A
k razão de semelhança
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OS: 0025/10/21-Gil
LEMBRETES IMPORTANTES
» Os números Pitagóricos 3, 4 e 5
x2
÷10
» O triângulo Retângulo Isósceles
» A diagonal de um quadrado
» A altura de um triângulo equilátero
ÁREAS DOS QUADRILÁTEROS
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OS: 0025/10/21-Gil
1. Retângulo
Diagonal: hbd 22
2. Quadrado
Diagonal: 2Ld
3. Paralelogramo
4. Losango
Relação Importante:
2
d
2
DL
22
2
5. Trapézio
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OS: 0025/10/21-Gil
6. Quadrilátero com diagonais perpendiculares
ÁREAS DOS TRIÂNGULOS
1. Triângulo Qualquer
2. Triângulo Equilátero
3. Área de um Hexágono Regular
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OS: 0025/10/21-Gil
4. Triângulo Retângulo
Obs.: bc = ah 5. Em função dos 3 lados (Fórmula de Herão)
Onde 2
cbap
(semi-perímetro)
6. Em função de 2 lados e do ângulo entre eles
sen.b.a.A2
1
sen.c.a.A
2
1
sen.c.b.A2
1
ÁREAS DAS FIGURAS CIRCULARES
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OS: 0025/10/21-Gil
1. Círculo
2R.A ou
4
D.2
A
Onde: D = 2R diâmetro da circunferência
Comprimento da Circunferência
C = 2..R ou C = D.
= 3,14159...
2. Coroa Circular
3. Setor Circular
» em graus:
o
2
360.R.A
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OS: 0025/10/21-Gil
» em radianos:
2
R2
.
A
4. Segmento Circular
PROBLEMAS MATRICIAIS
MATRIZES
Definição É uma tabela formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas, onde m e n são números
naturais e não nulos.
Ex1.:
042
721
Ex2.:
53
69 Ex3.: 750
Nota: Em uma matriz qualquer M, cada elemento é indicado pelo símbolo aij. O índice i indica a linha e o índice j
a coluna às quais o elemento pertence. Com a convenção de que as linhas sejam numeradas de cima para baixo (de 1 até m) e as colunas, da esquerda para a direita (de 1 até n), um matriz m x n (lê-se: m por n) é representada por uma das maneiras abaixo:
mn2m1m
n22221
n11211
mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
M
Classificação das Matrizes » Matriz Retangular: É uma matriz onde o número de linhas é diferente do número de colunas nm .
Ex.:
042
731
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OS: 0025/10/21-Gil
» Matriz Quadrada: É uma matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas (m = n).
Lê-se matriz de ordem 3
» Matriz Linha: É uma matriz onde só existe uma linha (m = 1), mas o número de colunas pode ser qualquer valor natural não-nulo ( *Nn ).
Ex.: 1440
» Matriz Coluna: É uma matriz onde só existe uma coluna (n = 1), mas o número de linhas pode ser qualquer
valor natural não-nulo (m N*).
Ex.:
10
6
1
» Matriz Nula: É uma matriz onde todos os elementos são iguais à zero.
Ex.:
000
0000
» Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal
principal são nulos.
Ex.:
700
040
002
» Matriz Triangular: É uma matriz onde os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos.
Ex1:
193
075
001
Ex2:
100
270
683
» Matriz Unidade ou Identidade (In): É uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da
diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a zero.
Ex1:
10
012I
Ex2:
100
010
001
3I
» Matriz Transposta (At): Seja A uma matriz de ordem m x n, denominamos a transposta da matriz A, a matriz
de ordem n x m obtida, trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas.
Ex.:
07
43
21
A042
731A
2x3
t
3x2
RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS | Módulo 1 (Teoria) – Prof. Pacífico
CURSO PRIME ALDEOTA – Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208. 2222 CURSO PRIME CENTRO – Av. do Imperador, 1068 – Centro – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208.2220 CURSO PRIME PARANGABA – Av. Augusto dos Anjos, 1915 (Instalações do Colégio Jim Wilson)
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OS: 0025/10/21-Gil
Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B são iguais quando são do mesmo tipo m x n e apresentam os elementos
correspondentes iguais.
Ex.:
ba
ba
ba
ba
bb
bb
aa
aa
2222
2121
1212
1111
2221
1211
2221
1211
Adição de Matrizes
Duas matrizes A e B do mesmo tipo são adicionadas somando-se os elementos correspondentes.
Ex.:
119
75
76
54
43
21
Subtração de Matrizes
Duas matrizes A e B do mesmo tipo são subtraídas, somando-se A a oposta (ou simétrica) da matriz B.
Ex.:
213
304
435
235
642
531
Importante!!!
Chama-se de oposta da matriz A, a matriz A', tal que A' + A = 0 A' = – A.
Ex.:
43
21A
43
21A A'
Produto de um Número Real por uma Matriz O produto de um número real k por uma matriz é efetuado multiplicando-se o número k por todos os
elementos da matriz.
Ex.:
129
63
43
21.3
Produto de Duas Matrizes
Dada as matrizes A = (aij)mxk e B = (bij)kxn. O produto A . B é igual a matriz C = (cij)mxn obtida multiplicando-
se os elementos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna e somando os produtos parciais obtidos.
Ex.:
241710
1074
3.44.32.43.31.42.3
3.24.12.23.11.22.1
321
432.
43
21
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OS: 0025/10/21-Gil
Observações !!!
1. A definição dada acima garante a existência do produto A . B somente se o número de colunas de A
for igual ao número de linhas de B. 2. A definição acima também garante que o produto A . B é uma matriz que tem o número de linhas da
matriz A e o número de colunas da matriz B.
3. A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A . B B . A. Quando ocorre de A . B = B . A, dizemos que A e B comutam.
Anotações