Mecânica I (FIS-14)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues PeláSala 2602A-1Ramal [email protected]
www.ief.ita.br/~rrpela
Onde estamos?
● Neste capítulo, veremos:– Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
● O trabalho de uma força● Princípio do trabalho e energia
– Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
– Potência e eficiência
– Forças conservativas e energia potencial● Conservação de energia
4.2 – Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
● Princípio do trabalho e energia
Integrando:
Definindo a energia cinética:
OBS.: Note que T poderia ser definido como:
4.2 – Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
● Trabalho da força resultante = variação da energia cinética
OBS.: Lembre que
4.2 – Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
● Exemplo: Por um curto período de tempo, o guindaste iça a viga de 2,50 Mg com uma força F = (28+3s2) kN, s medido na vertical a partir da posição inicial. Determine a velocidade quando ela for erguida (s = 3,00 m)? Além disso, quanto tempo ela leva para alcançar essa altura partindo do repouso.
4.2 – Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
● Exemplo
Fazendo a integral numericamente:
Para s = 3 m:
4.2 – Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
● Exemplo: O garoto de 40,0 kg desliza pelo escorregador aquático liso. Se ele parte do repouso em A, determine sua velocidade quando ele chega a B e a reação normal que a rampa exerce sobre o garoto nesta posição.
4.2 – Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
● Exemplo
Onde estamos?
● Neste capítulo, veremos:– Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
● O trabalho de uma força● Princípio do trabalho e energia
– Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
– Potência e eficiência
– Forças conservativas e energia potencial● Conservação de energia
4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
● Vamos considerar um sistema composto por N partículas
● Princípio do trabalho e energia
Trabalho resultante de todas as forças externas
Trabalho resultante de todas as forças internas
Variação da energia cinética total
4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
● Por amor à simplicidade, vamos mostrar o princípio do trabalho e energia para um sistema constituído somente por 2 partículas (o caso N partículas é análogo, embora bem mais trabalhoso) :)
● Força na partícula 1 devido à partícula 2● Força na partícula 2 devido à partícula 1● Força externa resultante na partícula 1 ● Força externa resultante na partícula 2
OBS.: mas isto não irá ajudar muito...
4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
● Finalizando
4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
● Energia cinética do sistema e do CM● Questão: a energia cinética de um sistema de
partículas é igual a ?● Resp.: NÃO!!!
– Tente encontrar um contra-exemplo
● Vamos encontrar a expressão completa:
4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
● Somando, temos
Seja:
4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
● Com isso, chegamos a
Onde:
Note que:
4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
● Para um sistema de 2 partículas
Onde, definimos a massa reduzida:
Prova:
4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
● Analogamente
4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
● Exemplo: A Figura ao lado mostra duas bolas, cada qual com massa de 1,1 kg. Segura-se firmemente a bola A, e, através de um agente externo, suspende-se a bola B 3,0 cm abaixo da bola A. A mola linear que liga as bolas é modelada como tendo um comprimento “não deformado” nulo. Em t = 0, a bola A é liberada e em t*, quando as duas bolas se chocam, a bola A move-se com 1,65 m/s (para baixo) e a bola B, com 1,35 m/s (também para baixo). Determine t* e a constante de mola k.
4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
● Respostas– Em t*
– Por conservação da energia
Onde estamos?
● Neste capítulo, veremos:– Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
● O trabalho de uma força● Princípio do trabalho e energia
– Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
– Potência e eficiência
– Forças conservativas e energia potencial● Conservação de energia
4.4 – Potência e eficiência
● Conceito útil quando precisamos escolher o tipo de motor ou máquina necessária para realizar certa quantidade de trabalho em um dado tempo
● Exemplo: duas bombas podem, cada uma, ser capazes de esvaziar um reservatório se tiverem um tempo suficiente; entretanto, a bomba tendo a maior potência vai terminar o serviço mais cedo
4.4 – Potência e eficiência
● Definição de potência
● Se dW é igual a
4.4 – Potência e eficiência
● Eficiência
● Se energia fornecida à máquina ocorre no mesmo intervalo de tempo no qual ela é consumida
● A eficiência de máquinas mecânicas é sempre menor que 1
4.4 – Potência e eficiência
● Exemplo: O motor M do guindaste mostrado na Figura iça a caixa C de 375 N de maneira que a aceleração do ponto P é 1,20 m/s2. Determine a potência que tem de ser fornecida no instante em que P tem velocidade de 0,600 m/s. Despreze a massa da polia e do cabo e suponha uma eficiência de e = 0,850.
4.4 – Potência e eficiência
● Exemplo:
Onde estamos?
● Nosso roteiro ao longo deste capítulo– Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
● O trabalho de uma força● Princípio do trabalho e energia
– Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas
– Potência e eficiência
– Forças conservativas e energia potencial● Conservação de energia
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Se o trabalho de uma força independe da trajetória e depende somente das posições inicial e final da partícula, então dizemos que esta força é conservativa
● Exemplos de forças conservativas– Força constante, gravitacional, elétrica, mola
● Exemplos de forças não conservativas– Atrito
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Qual a condição a ser satisfeita para que uma força seja conservativa? Vejamos.
Força conservativa implica:
qualquer que seja a curva ligando A e B
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Qual a condição a ser satisfeita para que uma força seja conservativa? Vejamos.
Para qualquer
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Conclusão: para que uma força seja conservativa deve existir uma função V (energia potencial) de modo que
● Mas dado como saber se existe uma tal função V?– Teste do rotacionalSe , então
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Vejamos o que é o rotacional
● Note que se , então
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● A recíproca é verdadeira? Isto é, se então– “Quase” sempre
– Os casos degenerados (funções “multivalentes” e problemas de domínios) serão abordados no curso de cálculo vetorial
● OBS.: Pode-se mostrar que uma força é conservativa se, e somente se,
Para qualquer curva fechada “bem comportada”
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● OBS.: Gradiente e rotacional em coordenadas cilíndricas
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● OBS.: Gradiente e rotacional em coordenadas esféricas
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Exemplo: Verifique se o campo de força
é conservativo. Se for, determine uma função energia potencial associada.
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Resposta: é conservativo
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Exemplo: Verifique se o campo de força
é conservativo. Se for, determine uma função energia potencial associada.
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Resposta: Não é conservativo
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Exemplo: Mostre que toda força central é conservativa– Consequência: a força gravitacional e a força
elétrica são conservativas
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Exemplo: usando o sistema de coordenadas esféricas
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Exemplo: Encontre a expressão da energia potencial gravitacional
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Exemplo: – Método 1: igualar a força a menos o gradiente da
energia potencial
Escolhemos C de modo que V no infinito seja zero
4.5 – Forças conservativas e energia potencial
● Exemplo: – Método 2: usando a definição de trabalho
Escolhemos C de modo que V no infinito seja zero