Organização clara e funcional:dupla página com explicação – Aprendo
páginas 58 e 59
59
ÁREAS
Como qualquer quadrado é um retângulo, a medida da sua área é � × � = �2.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
A D
B C
1
A D
B C
1
1—18
A D
B C
1
1 1 1— x — = — 3 6 18
1—6
1—3
1—3
1—3
1—61—61—61—61—6
Um quadrado unitárioé um quadrado de ladoigual a 1, ou seja, umquadrado com umaunidade de área.
PARA RECORDAR
A medida da área de um retângulo e dada pelo produto das medidas dos comprimentos de dois lados consecutivos.
Área = �0,6 × �15
�� cm2 = 0,12 cm2
EXEMPLO
Área = (2,2 × 2,2) dm2 = 4,84 dm2
EXEMPLO
Se o quadrado unitário [ABCD] representado na figura 1 for dividido em 18 retân-gulos geometricamente iguais (6 × 3), como representado na figura 2, a área de cada
um desses retângulos será dezoito vezes menor do que a área do quadrado, ou seja,
será igual a �118� unidades quadradas.
Repara que, com esta divisão, as medidas de comprimento de dois lados conse-
cutivos de cada um desses retângulos são �16
� e �13
� (figura 3).
Observa que �16
� × �13
� = �118� e que a área de cada um dos retângulos é, como já
vimos, �118� unidades de área. Esta situação exemplifica a propriedade seguinte.
0,6 cm
1— cm 5
2,2 dm
3 Área do retângulo
ATENÇÃO
�2 lê-se ‘‘� ao quadrado’’.
ℓ
c
retângulo
Área = c x ℓ
largura
comprimento
ℓ
ℓ
quadrado
Área = ℓ x ℓ = ℓ2
lado
PROFESSOR
GM5_4.1 a 4.4
Rene Descartes teve umpapel fundamental no desenvolvimento daGeometria, por ter sidoum dos primeiros a utilizar métodos algébricos para resolverproblemas geométricos,tornando-se um dos precursores da atualGeometria Analítica.
NOTA HISTÓRICA
58
5 APRENDO
Considera uma reta r e um ponto P, não pertencente à reta.
Existe apenas uma reta que, passando em P, é perpendicular a r. Para construiressa reta, basta utilizar uma régua e um esquadro.
O ponto de interseção das duas retas, ponto E, designa-se por pé da perpendicular.
Considera agora duas retas paralelas, r e s.
Os pontos A, B e C pertencem à reta r e os pontos D, E e F pertencem à reta s.
Repara que os segmentos de reta [AD], [BE] e [CF], perpendiculares às retas r e s, sãoiguais. O comprimento dos segmentos é a distância entre as duas retas paralelas.
Se P não pertencer à reta r, o pé da perpendicular é sempre o ponto da reta maispróximo de P. Assim, a distância do ponto P à reta r é a distância do ponto P ao péda perpendicular.
A distância de um ponto P a uma reta r e a distancia do ponto P ao pe da perpendicular trac ada de P para r.
Os segmentos de reta que unem duas retas paralelas e que lhes sãoperpendiculares são iguais. O comprimento desses segmentos
de reta é a distância entre as retas.
r
P
Se o ponto Ppertencesse a reta r, continuaria a existir apenas uma reta perpendicular a r, passando por P. Nesse caso, o próprioponto P seria o pé da perpendicular.
NOTA
r
PPé da
perpendicular
r
s
A B C
D E F
2 Distância entre retas paralelas
1 Distância de um ponto a uma reta
r0 1 2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
8 9 10 11 12
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
88 99
10111
12
r
P
EPé da
perpendicular
PROFESSOR
GM5_2.18 a 2.20
PROFESSOR
GM5_2.22
58
5 APRENDO
Considera uma reta r e um ponto P, não pertencente à reta.
Existe apenas uma reta que, passando em P, é perpendicular a r. Para construiressa reta, basta utilizar uma régua e um esquadro.
O ponto de interseção das duas retas, ponto E, designa-se por pé da perpendicular.
Considera agora duas retas paralelas, r e s.
Os pontos A, B e C pertencem à reta r e os pontos D, E e F pertencem à reta s.
Repara que os segmentos de reta [AD], [BE] e [CF], perpendiculares às retas r e s, sãoiguais. O comprimento dos segmentos é a distância entre as duas retas paralelas.
Se P não pertencer à reta r, o pé da perpendicular é sempre o ponto da reta maispróximo de P. Assim, a distância do ponto P à reta r é a distância do ponto P ao péda perpendicular.
A distância de um ponto P a uma reta r e a dista ncia do ponto P ao pe da perpendicular trac ada de P para r.
Os segmentos de reta que unem duas retas paralelas e que lhes sãoperpendiculares são iguais. O comprimento desses segmentos
de reta é a distância entre as retas.
r
P
Se o ponto Ppertencesse a reta r, continuaria a existir apenas uma reta perpendicular a r, passando por P. Nesse caso, o próprioponto P seria o pé da perpendicular.
NOTA
r
PPé da
perpendicular
r
s
A B C
D E F
2 Distância entre retas paralelas
1 Distância de um ponto a uma reta
r0 1 2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
8 9 10 11 12
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
88 99
10111
12
r
P
EPé da
perpendicular
PROFESSOR
GM5_2.18 a 2.20
PROFESSOR
GM5_2.22
Artur Jorge Ferreira Fátima Cerqueira Magro Fernando Fidalgo Pedro Louçano
Dupla página de exercíciosde aplicação direta – Pratico
(exercícios resolvidos e exercícios com grau de dificuldade progressiva)
páginas 60 e 61
Artur Jorge Ferreira Fátima Cerqueira Magro Fernando Fidalgo Pedro Louçano
5 PRATICO
60
PROFESSOR
SOLUÇÕES
1. 1.1 A = 81 cm2
1.2 A = �34
29� m2
1.3 A = �73
� m2
2.
2.1 A = �12610
� cm2
2.2 A = �94
� mm2
2.3 A = 79,75 m2
2.4 A = 6,25 dm2
3. A = 50,1 cm2
Na figura está representado o quadradounitário [ABCD].Os lados [AB] e [DC] estão divididos em trêspartes iguais e os lados [AD] e [BC] em seispartes iguais.
1.1 Determina a medida de comprimento dos lados[FC] e [IC] do retângulo [ICFS].
1.2 Determina a medida da área do retângulo [ICFS].
RESOLUÇÃO:
1.1 Os segmentos de reta resultantes da divisão do lado [DC] em três partes iguais têm
�13
� unidades de comprimento. Logo, o lado [FC] tem 2 × �13
� = �23
� unidades de compri-
mento. Os segmentos de reta resultantes da divisão do lado [BC] em seis partes
iguais têm �16
� unidades de comprimento.
Logo, o lado [IC] tem 5 × �16
� = �56
� unidades de comprimento.
1.2 A medida da a rea de um reta ngulo e dada pelo produto das medidas dos compri-mentos de dois lados consecutivos. Assim, como [FC] e [IC] são dois lados consecu-
tivos do retângulo [ICFS], podemos concluir que a sua área é igual a �59
�, uma vez que
�56
� × �23
� = �11
08� = �
59
�.
1
Determina a área de cada um dos seguintes retângulos.1
Determina a área do polígono da figura.3
1.1 1.2 1.3
Qual é a medida da área de:
2.1 um retângulo cujo lado menor mede �170� cm e cujo lado maior mede �
136� cm?
2.2 um quadrado de lado �32
� mm?
2.3 um retângulo com 40 m de perímetro, cujo lado menor mede 5,5 m?
2.4 um quadrado com 10 dm de perímetro?
2
A
B I C
S F
D
10 cm
8,1 cm
8 — m
7
4 — m
7
0,7 m
10 — m
3
12,5 cm
6 cm
3 cm
4,2 cm
5 PRATICO
60
PROFESSOR
SOLUÇÕES
1. 1.1 A = 81 cm2
1.2 A = �34
29� m2
1.3 A = �73
� m2
2.
2.1 A = �12610
� cm2
2.2 A = �94
� mm2
2.3 A = 79,75 m2
2.4 A = 6,25 dm2
3. A = 50,1 cm2
Na figura está representado o quadradounitário [ABCD].Os lados [AB] e [DC] estão divididos em trêspartes iguais e os lados [AD] e [BC] em seispartes iguais.
1.1 Determina a medida de comprimento dos lados[FC] e [IC] do retângulo [ICFS].
1.2 Determina a medida da área do retângulo [ICFS].
RESOLUÇÃO:
1.1 Os segmentos de reta resultantes da divisão do lado [DC] em três partes iguais têm
�13
� unidades de comprimento. Logo, o lado [FC] tem 2 × �13
� = �23
� unidades de compri-
mento. Os segmentos de reta resultantes da divisão do lado [BC] em seis partes
iguais têm �16
� unidades de comprimento.
Logo, o lado [IC] tem 5 × �16
� = �56
� unidades de comprimento.
1.2 A medida da a rea de um reta ngulo e dada pelo produto das medidas dos compri-mentos de dois lados consecutivos. Assim, como [FC] e [IC] são dois lados consecu-
tivos do retângulo [ICFS], podemos concluir que a sua área é igual a �59
�, uma vez que
�56
� × �23
� = �11
08� = �
59
�.
1
Determina a área de cada um dos seguintes retângulos.1
Determina a área do polígono da figura.3
1.1 1.2 1.3
Qual é a medida da área de:
2.1 um retângulo cujo lado menor mede �170� cm e cujo lado maior mede �
136� cm?
2.2 um quadrado de lado �32
� mm?
2.3 um retângulo com 40 m de perímetro, cujo lado menor mede 5,5 m?
2.4 um quadrado com 10 dm de perímetro?
2
A
B I C
S F
D
10 cm
8,1 cm
8 — m
7
4 — m
7
0,7 m
10 — m
3
12,5 cm
6 cm
3 cm
4,2 cm
61
ÁREAS
SOLUÇÕES
4.
4.1 �14
�
4.2
4.3 A = �18
� u.a.
5. [C]
6. O terreno quadrado.
7.7.1 Q é o pé da perpendicular
tirada de P para AB.
7.2 P�Q� < P�B�
PROFESSOR
Considera o retângulo [ABCD], representado na figura,e as respetivas dimensões, numa dada unidade.
4.1 Qual é a distância entre as retas AB e DC?
4.2 Constrói um quadrado de lado unitário decom-posto em retângulos iguais a [ABCD].
4.3 Determina a medida da área do retângulo [ABCD].
4
Se a medida do lado menor e a medida do lado maior de um retângulo se reduzirem a metade, o que acontece à área do retângulo?
[A] Reduz-se a metade.
[B] Aumenta para o dobro.
[C] Reduz-se à quarta parte.
[D] Aumenta para o quádruplo.
5
A Marta usou um rolo de fio para cercar um terreno com a forma de um qua-drado com 20 m de lado.
Utilizando um outro rolo de fio, com o mesmo comprimento do primeiro, elacercou um terreno retangular, cujo lado maior mede 24 m. Qual dos terrenos tem maior área?
6
Considera o segmento de reta [AB] e um ponto P quenão pertence à reta AB.
Sabe-se que PQ e AB são perpendiculares.
7.1 Como denominas o ponto Q relativamente àsretas PQ e AB?
7.2 Compara P�Q� com P�B� e justifica as tuas conclusões.
7.3 Explica por que razão Q é o ponto da reta AB à menor distância de P.
Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
7
A D
B C1—2
1—4
20 m 24 m
A Q
P
B
1—4
1—2
A D
B C
Dossiê do Professor
Questão de Aula n.o 1
Ficha n.o 1, pág. 70
61
ÁREAS
SOLUÇÕES
4.
4.1 �14
�
4.2
4.3 A = �18
� u.a.
5. [C]
6. O terreno quadrado.
7.7.1 Q é o pé da perpendicular
tirada de P para AB.
7.2 P�Q� < P�B�
PROFESSOR
Considera o retângulo [ABCD], representado na figura,e as respetivas dimensões, numa dada unidade.
4.1 Qual é a distância entre as retas AB e DC?
4.2 Constrói um quadrado de lado unitário decom-posto em retângulos iguais a [ABCD].
4.3 Determina a medida da área do retângulo [ABCD].
4
Se a medida do lado menor e a medida do lado maior de um retângulo se reduzirem a metade, o que acontece à área do retângulo?
[A] Reduz-se a metade.
[B] Aumenta para o dobro.
[C] Reduz-se à quarta parte.
[D] Aumenta para o quádruplo.
5
A Marta usou um rolo de fio para cercar um terreno com a forma de um qua-drado com 20 m de lado.
Utilizando um outro rolo de fio, com o mesmo comprimento do primeiro, elacercou um terreno retangular, cujo lado maior mede 24 m. Qual dos terrenos tem maior área?
6
Considera o segmento de reta [AB] e um ponto P quenão pertence à reta AB.
Sabe-se que PQ e AB são perpendiculares.
7.1 Como denominas o ponto Q relativamente àsretas PQ e AB?
7.2 Compara P�Q� com P�B� e justifica as tuas conclusões.
7.3 Explica por que razão Q é o ponto da reta AB à menor distância de P.
Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
7
A D
B C1—2
1—4
20 m 24 m
A Q
P
B
1—4
1—2
A D
B C
Dossiê do Professor
Questão de Aula n.o 1
Ficha n.o 1, pág. 70