Eletromagnetismo II - 2018.1 - Prova 2 1
Eletromagnetismo II - Prova 2Prof. Marco Polo
21 de maio de 2018Inıcio: 14:00 - duracao: 3:00 horas
So serao consideradas as respostas que forem devidamente justificadas.Nao e permitido o uso de calculadoras.
Questao 01: Guia de ondas quadrado
Suponha o guia de ondas apresentado na figura abaixo, e que estamos interessados na pro-pagacao das ondas TE no eixo z. Conforme visto em sala de aula, as amplitudes longitudinaisdos campos podem ser determinadas via solucao das EDP’s abaixo:
(∂2
∂x2+
∂2
∂y2+ω2
c2− k2
)Ez = 0
(∂2
∂x2+
∂2
∂y2+ω2
c2− k2
)Bz = 0
a
a
x
y
z
(a) (1,0) Mostre que, ao escrevermos Bz com separacao de variaveis, Bz(x, y) = X(x)Y (y),chegamos nas seguintes EDO’s desacopladas:
d2X
dx2= −k2xX,
d2Y
dy2= −k2yY,
onde −k2x − k2y + ω2/c2 = k2. Encontre a solucao geral para X(x) e Y (y).
(b) (1,0) Da solucao geral acima e das condicoes de contorno, onde ∂Bz/∂x = ∂Bz/∂x = 0nas paredes internas, mostre que kx e ky devem satisfazer as seguintes condicoes:
kx = nπ/a, (n = 0, 1, 2, . . .) ky = mπ/a, (m = 0, 1, 2, . . .)
(c) (1,0) Assim, mostre que a solucao para o modo nm e dada por
Bnmz (x, y) = B0 cos(nπx/a) cos(mπy/a),
onde B0 e uma constante.
(d) (1,0) Por fim, mostre que a frequencia de corte do modo TEnm (isto e, a menor frequenciaque a onda pode ter para se propagar na cavidade) e dada por
ωnm =πc
a
√n2 +m2
Dica: Lembre-se de que um k imaginario implica em atenuacao exponencial da amplitudeda onda na cavidade.
Departamento de Fısica de Ji-Parana Universidade Federal de Rondonia
Eletromagnetismo II - 2018.1 - Prova 2 2
Questao 02: Campos de uma corrente nao estacionaria
Considere um fio retilıneo e infinito, localizado no eixo z. No instante t = 0, um pulso decorrente extremamente curto passa pelo fio, de forma que a equacao da corrente pode serescrita como
i(t) = q0δ(t),
onde δ e o delta de Dirac e q0 e uma constante.
(a) (2,0) Calcule o potencial vetorial no instante t e a uma distancia s do fio, isto e, A(s, t).
(b) (2,0) A partir do item anterior, encontre os campos eletrico e magnetico no mesmo instantee na mesma posicao.
(c) (2,0) Calcule novamente os campos, mas dessa vez resolvendo diretamente as equacoes deJefimenko:
E(r, t) =1
4πε0
∫ [ρ(r′, tr)
r2 r +ρ(r′, tr)
cr r− J(r′, tr)
c2 r
]dV ′
B(r, t) =µ0
4π
∫ [J(r′, tr)
r2 +J(r′, tr)
cr
]× r dV ′,
onde tr = t−rc
e o tempo retardado.
Algumas relacoes e formulas que podem ser uteis:
∇× F(s, φ, z) =
[1
s
∂Fz∂φ− ∂Fφ
∂z
]s +
[∂Fs∂z− ∂Fz
∂s
]φ+
1
s
[∂
∂s(sFφ)− ∂Fs
∂φ
]z∫ ∞
−∞f(x)δ(x− a) dx = f(a)∫ ∞
−∞f(x)δ′(x− a) dx = −f ′(a)
δ(ax) =1
|a|δ(x)
δ′(ax) =1
a2δ(x) se a > 0
Departamento de Fısica de Ji-Parana Universidade Federal de Rondonia
Recommended
