Eletromagnetismo II - 2018.1 - Prova 2 1

Eletromagnetismo II - Prova 2Prof. Marco Polo

21 de maio de 2018Inıcio: 14:00 - duracao: 3:00 horas

So serao consideradas as respostas que forem devidamente justificadas.Nao e permitido o uso de calculadoras.

Questao 01: Guia de ondas quadrado

Suponha o guia de ondas apresentado na figura abaixo, e que estamos interessados na pro-pagacao das ondas TE no eixo z. Conforme visto em sala de aula, as amplitudes longitudinaisdos campos podem ser determinadas via solucao das EDP’s abaixo:

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+ω2

c2− k2

)Ez = 0

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+ω2

c2− k2

)Bz = 0

a

a

x

y

z

(a) (1,0) Mostre que, ao escrevermos Bz com separacao de variaveis, Bz(x, y) = X(x)Y (y),chegamos nas seguintes EDO’s desacopladas:

d2X

dx2= −k2xX,

d2Y

dy2= −k2yY,

onde −k2x − k2y + ω2/c2 = k2. Encontre a solucao geral para X(x) e Y (y).

(b) (1,0) Da solucao geral acima e das condicoes de contorno, onde ∂Bz/∂x = ∂Bz/∂x = 0nas paredes internas, mostre que kx e ky devem satisfazer as seguintes condicoes:

kx = nπ/a, (n = 0, 1, 2, . . .) ky = mπ/a, (m = 0, 1, 2, . . .)

(c) (1,0) Assim, mostre que a solucao para o modo nm e dada por

Bnmz (x, y) = B0 cos(nπx/a) cos(mπy/a),

onde B0 e uma constante.

(d) (1,0) Por fim, mostre que a frequencia de corte do modo TEnm (isto e, a menor frequenciaque a onda pode ter para se propagar na cavidade) e dada por

ωnm =πc

a

√n2 +m2

Dica: Lembre-se de que um k imaginario implica em atenuacao exponencial da amplitudeda onda na cavidade.

Departamento de Fısica de Ji-Parana Universidade Federal de Rondonia

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Questao 02: Campos de uma corrente nao estacionaria

Considere um fio retilıneo e infinito, localizado no eixo z. No instante t = 0, um pulso decorrente extremamente curto passa pelo fio, de forma que a equacao da corrente pode serescrita como

i(t) = q0δ(t),

onde δ e o delta de Dirac e q0 e uma constante.

(a) (2,0) Calcule o potencial vetorial no instante t e a uma distancia s do fio, isto e, A(s, t).

(b) (2,0) A partir do item anterior, encontre os campos eletrico e magnetico no mesmo instantee na mesma posicao.

(c) (2,0) Calcule novamente os campos, mas dessa vez resolvendo diretamente as equacoes deJefimenko:

E(r, t) =1

4πε0

∫ [ρ(r′, tr)

r2 r +ρ(r′, tr)

cr r− J(r′, tr)

c2 r

]dV ′

B(r, t) =µ0

4π

∫ [J(r′, tr)

r2 +J(r′, tr)

cr

]× r dV ′,

onde tr = t−rc

e o tempo retardado.

Algumas relacoes e formulas que podem ser uteis:

∇× F(s, φ, z) =

[1

s

∂Fz∂φ− ∂Fφ

∂z

]s +

[∂Fs∂z− ∂Fz

∂s

]φ+

1

s

[∂

∂s(sFφ)− ∂Fs

∂φ

]z∫ ∞

−∞f(x)δ(x− a) dx = f(a)∫ ∞

−∞f(x)δ′(x− a) dx = −f ′(a)

δ(ax) =1

|a|δ(x)

δ′(ax) =1

a2δ(x) se a > 0

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