Anotacoes sobre somatorios trigonometricos.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
‡
24 de janeiro de 2012
Sumario
1 Somatorios de funcoes trigonometricas e hiperbolicas 5
1.1 Notacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Somatorio e diferenca de funcoes trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Somatorio e diferenca de seno e cosseno. . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2∑k
cos(ak + b) =sen(ak + b− a
2)
2sen(a2)
e∑k
sen(ak + b) =−cos(ak + b− a
2)
2sen(a2)
. 6
1.2.3 ∆ de tg(f(x)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4n∑
x=0
tg(c.2x)
cos(c.2x+1)= tg(c.2n+1)− tg(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5n∑
x=0
tg(c
2x)sec(
c
2x−1) = tg(2c)− tg(
c
2n). . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.6n∑
x=1
sec(a(x+ 1)).sec(ax) =tga(n+ 1)
sena− tga
sena. . . . . . . . . . . . 12
1.2.7 ∆ de cotgf(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.8n∑
x=1
cossec(ax+ a).cossec(ax) =cotg(a(n+ 1))− cotg(a)
sen(a). . . . . . . 13
1.2.9 ∆ de arctgf(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.10∑x
arctg(1
1 + x+ x2) = arctg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.11 Somatorio de cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.12n−1∑k=0
cos(2kπ
n) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.13n−1∑k=0
cos(kπ
n) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.14 Somatorio de cosn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.15∑x
cos2(ax+ c) =x
2+
sen(a(2x− 1) + 2c)
4sena. . . . . . . . . . . . . 19
2
SUMARIO 3
1.2.16n−1∑k=1
cos2(kπ
n) =
n− 2
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.17n∑
x=1
cosx(θ).cos(xθ) =sen(nθ).cosn+1(θ)
sen(θ). . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.18 Somatorio de cosseno hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.19∑x
cosh(bx+ a) =senh(bx+ a− b/2)
2senh( b2)
. . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.20 Somatorio de seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.21n−1∑k=1
sen(kπ
n) = cotg(
π
2n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.22∑x
xsen(ax+ c) = −xcos(a(2x−1
2) + c)
2sen(a/2)+
sen(ax+ c)
(2sen(a/2))2. . . . . . . . 23
1.2.23∑x
(2xsen2 a
2x
)2
=
(2x−1sen
a
2x−1
)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.24n−1∑k=1
sen2(kπ
n) =
n
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.25
n−1∑k=0
sen(2kx+ x)
n−1∑k=0
cos(2kx+ x)
= tg(nx). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.26n∑
k=0
(2k+1sen(π
2k+1)− 2ksen(
π
2k)) = 2n+1sen(
π
2n+1) . . . . . . . . . . 27
1.2.27∑x
2xsen(a
2x)sen2(
a
2x+1) = 2x−2sen(
a
2x−1). . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.29 Somas∑k
xkcos(ak + b) e∑k
xksen(ak + b). . . . . . . . . . . . . 29
1.2.30n−1∑k=0
sen3(c3k)
3k+1=
−1
4(sen3(c3n)
3n− sen(c)). . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.31 Somatorio de seno hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.32∑x
senh(bx+ a) =cosh(bx− b
2+ a)
2senh b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3 Somatorio envolvendo tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.1∑k
tg(xk).tg(xk + x) =tg(kx)
tgx− k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.2∑k
1
2ktg(
a
2k) =
1
2k−1cotg(
a
2k−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.3∑k
2ktg(a.2k) = −2kcotg(a.2k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
SUMARIO 4
1.3.4∑x
1
2xlog( tg(2xa)) = − 1
2x−1log( 2sen(2xa)). . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.5n−1∑k=1
tg2(kπ
n) = n(n− 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4 Somatorio envolvendo secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.1n−1∑k=1
sec2(kπ
n) = n2 − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.2∑x
(1
2xsec(
θ
2x))2 = −(
1
2x−1cossec(
θ
2x−1))2 . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5 Somatorio envolvendo cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.1∑k
cotg(kx+ x)cotg(kx) = −cotg(x)cotg(kx)− k. . . . . . . . . . . 35
1.6 Somatorio envolvendo cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6.1∑k
cossec( a2k) = −cotg( a2k−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6.2n−1∑k=1
cossec2(kπ
n) =
n2 − 1
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.3n−1∑k=0
cossec2(z +kπ
n) = n2cossec2(zn) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7 Somas e polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7.1m∑k=1
cot2(kπ
2m+ 1) =
2m(2m− 1)
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7.2m∏k=1
cotg
(kπ
2m+ 1
)=
1√2m+ 1
em∏k=1
tg
(kπ
2m+ 1
)=
√(2m+ 1). . 40
1.7.3m∑k=1
tg2(
kπ
2m+ 1
)= (2m+ 1)(m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7.4n−1∏k=1
(tgkπ
n) = n(−1)
n−12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7.5m∑k=1
cossec2(kπ
2m+ 1) =
2m(2m+ 2)
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8 Somatorios e numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.8.1n∑
k=0
(n
k
)coskx = 2n
(cos(
x
2)
)n
cosnx
2. . . . . . . . . . . . . . . . 44
Capıtulo 1
Somatorios de funcoes
trigonometricas e hiperbolicas
Esse texto ainda nao se encontra na sua versao final, sendo, por enquanto, cons-
tituıdo apenas de anotacoes informais. Sugestoes para melhoria do texto, correcoes da
parte matematica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email
1.1 Notacoes
� Usaremos o ∆ para simbolizar o operador que faz a diferenca de termos consecutivos
de uma funcao
∆f(x) := f(x+ 1)− f(x).
Em geral ∆nf(x) e a n-esima diferenca e e definida recursivamente
∆0f(x) = f(x)
∆n+1f(x) = ∆nf(x+ 1)−∆nf(x) n ∈ N.
� Usaremos a soma telescopica
b∑k=a
∆f(k) = f(b+ 1)− f(a) = f(k)
∣∣∣∣b+1
a
.
5
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS6
� A notacao de soma indefinida,∑k
f(k) = g(k) significa que ∆g(k) = f(k), a par-
tir de somas indefinidas podemos resolver somas definidas ( com limite superior e
inferior dado), pois aplicando a soma telescopica na expressao ∆g(k) = f(k) tem-se
b∑k=a
f(k) =b∑
k=a
∆g(k) = g(b+ 1)− g(a).
� Os numeros b e a emb∑
k=a
f(k) sao chamados respectivamente de limite superior e
inferior do somatoriob∑
k=a
f(k).
� A notacao D sera usada para simbolizar a derivada.
1.2 Somatorio e diferenca de funcoes trigonometricas.
1.2.1 Somatorio e diferenca de seno e cosseno.
Vamos comecar achando expressoes fechadas para os somatorios
d∑k=c
sen(ak + b)d∑
k=c
cos(ak + b).
1.2.2∑k
cos(ak+b) =sen(ak + b− a
2)
2sen(a2)e∑k
sen(ak+b) =−cos(ak + b− a
2)
2sen(a2).
Propriedade 1. Valem as identidades
∑k
cos(ak + b) =sen(ak + b− a
2)
2sen(a2)∑
k
sen(ak + b) =−cos(ak + b− a
2)
2sen(a2)
.
Demonstracao.
Usaremos a relacao trigonometrica
sen(p)− sen(q) = 2sen(p− q
2)cos(
p+ q
2)
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS7
tomando p+q = 2ak+2c+a e p−q = a segue pela soma p = a(k+1)+ c e pela diferenca
q = ak + c, logo
sen(a(k + 1) + c)− sen(ak + c) = ∆(sen(ak + c)) = 2sen(a
2)cos(ak + c+
a
2)
usando soma telescopica tem-se
2sen(a
2)∑k
cos(ak + c+a
2) = sen(ak + c)
tomando c+a
2= b, c = b− a
2logo
∑k
cos(ak + b) =sen(ak + b− a
2)
2sen(a2)
derivando em relacao a k
−a∑k
sen(ak + b) = acos(ak + b− a
2)
2sen(a2)
daı ∑k
sen(ak + b) =−cos(ak + b− a
2)
2sen(a2)
.
Chegamos entao nas expressoes de soma de seno e cosseno∑k
cos(ak + b) =sen(ak + b− a
2)
2sen(a2)
∑k
sen(ak + b) =−cos(ak + b− a
2)
2sen(a2)
.
Vamos agora dar expressoes para n-esima diferenca de seno e cosseno .
Propriedade 2.
∆nsen(ax+ b) =(2sen
a
2
)n
.sen
(ax+ b+
n(a+ π)
2
)Demonstracao. Vamos provar por inducao sobre n, para n = 0 temos
∆0sen(ax+ b) = sen(ax+ b) =(2sen
a
2
)0
.sen
(ax+ b+
0(a+ π)
2
)= sen(ax+ b)
tomando a hipotese
∆nsen(ax+ b) =(2sen
a
2
)n
.sen
(ax+ b+
n(a+ π)
2
)
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS8
Vamos provar para n+ 1
∆n+1sen(ax+ b) =(2sen
a
2
)n+1
.sen
(ax+ b+
(n+ 1)(a+ π)
2
)
∆n+1sen(ax+ b) = ∆[∆nsen(ax+ b)] = ∆(2sen
a
2
)n
.sen
(ax+ b+
n(a+ π)
2
)Vamos chamar
c = b+n(a+ π)
2
entao
∆n+1sen(ax+ b) = ∆[∆nsen(ax+ b)] = ∆(2sen
a
2
)n
.sen (ax+ c) =(2sen
a
2
)n
.∆sen (ax+ c)
Vamos analisar agora
∆sen (ax+ c) = sen(ax+ a+ c)− sen(ax+ c)
usando formula de Werner, tomando (p = ax+ a+ c), (q = ax+ c), (p− q = ax+ a+ c−ax− c = a) e (p+ q = ax+ a+ c+ ax+ c = 2ax+ a+ 2c) logo
∆sen (ax+ c) = sena
2.sen(ax+
a
2+ c)
Entao
∆n+1sen(ax+ b) =(2sen
a
2
)n
.sena
2.sen(ax+
a+ π
2+ c) =
=(2sen
a
2
)n+1
sen(ax+a+ π
2+ c) =
(2sen
a
2
)n+1
sen(ax+a+ π
2+ b+
n(a+ π)
2) =
=(2sen
a
2
)n+1
sen(ax+ b+(n+ 1)(a+ π)
2).
Para a diferenca do cosseno nao precisamos de todo esse trabalho, podemos aplicar a
derivada em ambos os lados da diferenca do seno e deduzir a formula do cosseno
Corolario 1.
∆ncos(ax+ b) =(2sen
a
2
)n
.cos
(ax+ b+
n(a+ π)
2
)Tomando a Derivada em
∆nsen(ax+ b) =(2sen
a
2
)n
.sen
(ax+ b+
n(a+ π)
2
)
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS9
temos
D∆nsen(ax+ b) = D(2sen
a
2
)n
.sen
(ax+ b+
n(a+ π)
2
)=
= ∆nDsen(ax+ b) =(2sen
a
2
)n
.Dsen
(ax+ b+
n(a+ π)
2
)∆nacos(ax+ b) =
(2sen
a
2
)n
.a.cos
(ax+ b+
n(a+ π)
2
)Se a = 0, temos
∆ncos(ax+ b) =(2sen
a
2
)n
.cos
(ax+ b+
n(a+ π)
2
)Corolario 2. Usamos a formula de interpolacao de Newton
f(n) =n∑
k=0
(n
k
)∆kf(0).
Tomamos f(n) = sen(an+ b)
∆ksen(an+b) =(2sen
a
2
)k
.sen
(an+ b+
k(a+ π)
2
)⇒ ∆kf(0) =
(2sen
a
2
)k
.sen
(b+
k(a+ π)
2
)daı
sen(an+ b) =n∑
k=0
(n
k
)(2sen
a
2
)k
.sen
(b+
k(a+ π)
2
)da mesma forma com cosseno
cos(an+ b) =n∑
k=0
(n
k
)(2sen
a
2
)k
.cos
(b+
k(a+ π)
2
).
Exemplo 1. Calcular o somatorio
1
2+
n∑x=1
cos(ax)
em funcao de seno. Usando a expressao encontrada para a soma de cosseno temos que
∑x
cos(ax) =
sena
(2x−12
)2sena
2
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS10
aplicando os limites no somatorio tem-se
n∑x=1
cos(ax) =
sena
(2x−12
)2sena
2
∣∣∣∣n+1
1
=
sena
(2n+2−1
2
)2sena
2
−sena
(2−12
)2sena
2
=
sena
(2n+1
2
)2sena
2
− 1
2
assim
1
2+
n∑x=1
cos(ax) =
sena
(2n+1
2
)2sena
2
.
Esse resultado podemos integrar de ambos lados em a no intervalo [0, π]
∫ π
0
1
2da+
∫ π
0
n∑x=1
cos(ax)da =
∫ π
0
sena
(2n+1
2
)2sena
2
da =
=π
2+
n∑x=1
∫ π
0
cos(ax)da =π
2+
n∑x=1
senax
x
∣∣∣∣π0
=π
2+
n∑x=1
senxπ
x− senx0
x=
π
2.
Pois os valores de x sao naturais e o seno se anula em xπ.
∫ π
0
sena
(2n+1
2
)2sena
2
da =π
2.
Podemos tambem calcular uma integral indefinida a partir da relacao
1
2+
n∑k=1
cos(ak) =
sena
(2n+1
2
)2sena
2
.
tomando a = 2x temos
1
2+
n∑k=1
cos(2xk) =
senx
(2n+ 1
)2senx
1 + 2n∑
k=1
cos(2xk) =
senx
(2n+ 1
)senx
integrando em relacao a x
∫ senx
(2n+ 1
)senx
dx = x+n∑
k=1
2sen(2xk)
2k+ c = x+
n∑k=1
sen(2xk)
k+ c
∫ senx
(2n+ 1
)senx
dx = x+n∑
k=1
sen(2xk)
k+ c.
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS11
Vejamos agora o resultado da aplicacao do operador ∆ em outras funcoes trigo-
nometricas, que dao origem a outras somas .
1.2.3 ∆ de tg(f(x))
Propriedade 3. Vale que
∆tg(f(x)) =sen(∆f(x))
cos(f(x+ 1))cos(f(x)).
Demonstracao.
∆tg(f(x)) = tg(f(x+ 1))− tg(f(x)) =sen(f(x+ 1))
cos(f(x+ 1))− sen(f(x))
cos(f(x))=
=sen(f(x+ 1)).cos(f(x))− cos(f(x+ 1))sen(f(x))
cos(f(x+ 1))cos(f(x))=
sen(f(x+ 1)− f(x))
cos(f(x+ 1))cos(f(x))=
=sen∆f(x)
cos(f(x+ 1))cos(f(x)).
1.2.4n∑
x=0
tg(c.2x)
cos(c.2x+1)= tg(c.2n+1)− tg(c).
Corolario 3. Tome f(x) = c.2x entao ∆c.2x = c.2x daı
∆tg(c.2x) =sen(c.2x)
cos(c.2x+1)cos(c.2x)=
tg(c.2x)
cos(c.2x+1)
isso implica que
∑x
tg(c.2x)
cos(c.2x+1)= tg(c.2x).
Em especial
n∑x=0
tg(c.2x)
cos(c.2x+1)= tg(c.2n+1)− tg(c)
n∑x=0
tg(c.2x)sec(c.2x+1) = tg(c.2n+1)− tg(c).
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS12
1.2.5n∑
x=0
tg(c
2x)sec(
c
2x−1) = tg(2c)− tg(
c
2n).
Corolario 4. Tomando f(x) =c
2x−1tem-se ∆f(x) = − c
2xdaı
∆tg(c
2x−1) = −tg(
c
2x)sec(
c
2x−1)
isso implica
∑x
tg(c
2x)sec(
c
2x−1) = −tg(
c
2x−1)
n∑x=0
tg(c
2x)sec(
c
2x−1) = tg(2c)− tg(
c
2n).
Exemplo 2. Calcular o somatorio
88∑x=0
1
cos(x)cos(x+ 1).
Da identidade
∆tgf(x) =sen∆f(x)
cosf(x+ 1)cosf(x)
com f(x) = x segue
∆tgf(x)
sen1=
1
cosf(x+ 1)cosf(x)
aplicando o somatorio temos
88∑x=0
1
cos(x)cos(x+ 1)=
1
sen1tgx
∣∣∣∣890
=tg89
sen1.
1.2.6n∑
x=1
sec(a(x+ 1)).sec(ax) =tga(n+ 1)
sena− tga
sena.
Corolario 5. Seja f(x) = ax temos
∆tgax =sen∆ax
cosa(x+ 1)cosa(x),
∆tgax
sena= seca(x+ 1).secax
aplicando a soma em x temos∑x
seca(x+1).secax =tgax
sena,
n∑x=1
sec(a(x+1)).sec(ax) =tgax
sena
∣∣∣∣n+1
1
=tga(n+ 1)
sena− tga
sena.
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS13
n∑x=1
sec(a(x+ 1)).sec(ax) =tga(n+ 1)
sen(a)− tg(a)
sen(a).
1.2.7 ∆ de cotgf(x)
Propriedade 4. Vale
∆cotg(f(x)) =sen[∆f(x)]
sen(f(x+ 1)).sen(f(x)).
Demonstracao.
∆cotg(f(x)) = cotg(f(x+ 1))− cotg(f(x)) =cos(f(x+ 1))
sen(f(x+ 1))− cos(f(x))
sen(f(x))=
=cos(f(x+ 1)).sen(f(x))− cos(f(x)).sen(f(x+ 1))
sen(f(x+ 1)).cos(f(x))=
sen[f(x)− f(x+ 1)]
sen(f(x+ 1))sen(f(x))=
sen[−∆f(x)]
sen(f(x+ 1)).sen(f(x))= − sen[∆f(x)]
sen(f(x+ 1)).sen(f(x)).
1.2.8n∑
x=1
cossec(ax+ a).cossec(ax) =cotg(a(n+ 1))− cotg(a)
sen(a).
Corolario 6. Da identidade ∆cotg(f(x)) =sen[∆f(x)]
sen(f(x+ 1)).sen(f(x)), tomando f(x) =
ax temos
∆cotg(ax) =sen[a]
sen(ax+ a).sen(ax)⇒ ∆cotg(ax)
sen(a)=
1
sen(ax+ a).sen(ax)
aplicando a soma∑x
temos
∑x
1
sen(ax+ a).sen(ax)=
cotg(ax)
sen(a),
isto e, ∑x
cossec(ax+ a).cossec(ax) =cotg(ax)
sen(a)
aplicando limites
n∑x=1
cossec(ax+ a).cossec(ax) =cotg(a(n+ 1))− cotg(a)
sen(a).
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS14
1.2.9 ∆ de arctgf(x)
Propriedade 5. Vale a identidade
∆arctg(f(x)) = arctg
(∆f(x)
1 + f(x).f(x+ 1)
).
Demonstracao.
∆arctg(f(x)) = arctg(f(x+ 1))− arctg(f(x))
definindo arctg(f(x + 1)) = y e arctg(f(x)) = z segue tg(y) = f(x + 1) e tg(z) = f(x)
tomando agora
tg(y)− tg(z)
1 + tg(y).tg(z)=
(sen(y)
cos(y)− sen(z)
cos(z)
)(cos(y).cos(z)
cos(y).cos(z) + sen(y).sen(z)
)=
=
(sen(y).cos(z)− sen(z).cos(y)
cos(y).cos(z)
)(cos(y).cos(z)
cos(y).cos(z) + sen(y).sen(z)
)=
=sen(y).cos(z)− sen(z).cos(y)
cos(y).cos(z) + sen(y).sen(z)=
sen(y − z)
cos(y − z)= tg(y − z)
temos
tg(y − z) =tg(y)− tg(z)
1 + tg(y).tg(z)
logo
y − z = arctg
(tg(y)− tg(z)
1 + tg(y).tg(z)
)como tomamos y = arctg(f(x+ 1)) e z = arctg(f(x)), tem-se
arctg(f(x+ 1))− arctg(f(x)) = arctg
(f(x+ 1)− f(x)
1 + f(x).f(x+ 1)
)
∆arctg(f(x)) = arctg
(∆f(x)
1 + f(x).f(x+ 1)
).
1.2.10∑x
arctg(1
1 + x+ x2) = arctg(x)
Exemplo 3. Calcular ∑x
arctg1
1 + x+ x2.
da identidade
∆arctgf(x) = arctg∆f(x)
1 + f(x)f(x+ 1)
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS15
tomando f(x) = x segue
∆arctgx = arctg1
1 + x(x+ 1)= arctg
1
1 + x+ x2
logo ∑x
arctg(1
1 + x+ x2) = arctg(x)
tomando com limites [1, n]
n∑x=1
arctg1
1 + x+ x2= arctgx
∣∣∣∣n+1
1
= arctg(n+ 1)− arctg(1) = arctg(n+ 1)− π
4.
1.2.11 Somatorio de cosseno
Vamos analisar algumas somas envolvendo cosseno .
Corolario 7.∑x
cos(ax+ c) =sen(ax+ c− a/2)
2sena/2=
sen(a(x− 12) + c)
2sena/2=
sen(a(2x−12
) + c)
2sena/2
seja b =a(2x− 1)
2+ c ∑
x
cos(ax+ c) =sen(b)
2sen(a/2).
Aplicando o somatorio em [1, n]
n∑x=1
cos(ax+ c) =sen(a(2x−1)
2+ c)
2sen(a/2)
∣∣∣∣n+1
1
=sen(a(2n+1)
2+ c)− sen(a
2+ c)
2sen(a/2)=
n∑x=1
cos(ax+ c) =sen(an+ a
2+ c)− sen(a
2+ c)
2sen(a/2)
se c = 0n∑
x=1
cos(ax) =sen(an+ a
2)− sen(a
2)
2sen(a/2)
em [1, n− 1]n−1∑x=1
cos(ax) =sen(an− a
2)− sen(a
2)
2sen(a/2)
Em [0, n]
n∑x=0
cos(ax+ c) =sen(an+ a
2+ c)− sen(−a
2+ c)
2sen(a/2)=
sen(an+ a2+ c) + sen(a
2− c)
2sen(a/2).
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS16
Exemplo 4. Calcule
cos(π
11) + cos(
3π
11) + cos(
5π
11) + cos(
7π
11) + cos(
9π
11).
Tal soma e
5∑k=1
cos((2k − 1)π
11) =
5∑k=1
cos((2k)π
11− π
11)
usamos a expressaon∑
x=1
cos(ax + c) =sen(an+ a
2+ c)− sen(a
2+ c)
2sen(a/2)com a =
2π
11e c =
−π
11, resultando em
5∑k=1
cos((2k)π
11− π
11) =
sen(10π11
)
2sen( π11)=
escrevendo sen(10π
11) = sen(π − π
11) = sen(π)cos(
π
11) − cos(π)sen(
π
11) = sen(
π
11)
logo o denominador cancela o numerador resultando em
5∑k=1
cos((2k − 1)π
11) =
1
2.
Exemplo 5. Calcularn−1∑k=1
cos(2kπ
n).
n−1∑k=1
cos(2kπ
n) =
sen(2π − πn)− sen(π
n)
2sen(πn)
porem
sen(2π − π
n) = sen2π.cos
π
n− sen
π
n.cos2π = −sen
π
n
logo a soma fica
=−2sen(π
n)
2sen(πn)
= −1.
n−1∑k=1
cos(2kπ
n) = −1.
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS17
1.2.12n−1∑k=0
cos(2kπ
n) = 0.
Corolario 8. Comon−1∑k=1
cos(2kπ
n) = −1
logon−1∑k=0
cos(2kπ
n) = 1− 1 = 0.
1.2.13n−1∑k=0
cos(kπ
n) = 0.
Exemplo 6. Calculen−1∑k=1
cos(kπ
n).
n−1∑k=1
cos(kπ
n) =
sen(π − π2n)− sen π
2n
2sen π2n
=
tem-se sen(π − π
2n) = senπcos
π
2n− sen
π
2ncosπ = sen
π
2ndaı
n−1∑k=1
cos(kπ
n) = 0.
1.2.14 Somatorio de cosn(x)
Vamos deduzir uma maneira de expressar cosn(x) em funcao de fatores lineares de
cos(x) e depois aplicar o somatorio.
Propriedade 6. Vale
cosn(x) =1
2n
n∑t=0
(n
t
)cos((n− 2t)x).
Demonstracao.
(eix + e−ix)n =n∑
k=0
(n
k
)ekixeix(−n+k) =
n∑k=0
(n
k
)ekixeix(−n+k) =
n∑k=0
(n
k
)eix(2k−n)
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS18
porem eix + e−ix = 2cos(x), de onde segue
2n.cosn(x) =n∑
k=0
(n
k
)eix(2k−n)
como o resultado deve ser real entao vale
cosn(x) =1
2n
n∑t=0
(n
t
)cos((n− 2t)x)
Corolario 9. Tomando x = ak + c e aplicando a soma em ambos lados temos
∑k
cosn(ak + c) =1
2n
n∑t=0
(n
t
)∑k
cos((n− 2t)(ak + c)) =
tomando a′ = (n− 2t)a e c′ = (n− 2t)c
=1
2n
n∑t=0
(n
t
)∑k
cos(a′k + c′) =1
2n
n∑t=0
(n
t
)sen(a′k + c′ − a′/2)
2sen(a′
2)
∑k
cosn(ak + c) =1
2n
n∑t=0
(n
t
)sen(a′k + c′ − a′/2)
2sen(a′
2)
.
Exemplo 7. Calcular30∑k=1
cos3(2k − 1).
30∑k=1
cos3(2k − 1) =1
23
3∑t=0
(3
t
)sen(6− 4t)(k − 1)
2sen(3− 2t)
∣∣∣∣311
=1
23
3∑t=0
(3
t
)sen(6− 4t)(30)
2sen(3− 2t)=
=1
23
((3
0
)sen(180)
2sen(3)+
(3
1
)sen(60)
2sen(1)+
(3
2
)sen(60)
2sen(1)+
(3
3
)sen(−180)
2sen(−3)
)=
1
8
3sen(60)
sen(1)=
3√3
82sen(1)=
30∑k=1
cos3(2k − 1) =3√3
16.sen(1).
Exemplo 8. ∑cos(2ax+ 2c) =
∑cos(2(ax+ c)).
tomando a′ = 2a e c′ = 2c, escrevemos da forma
∑cos(2ax+ 2c) =
∑cos(a′x+ c′) =
sen(a′(2x−12
) + c′)
2sena′/2=
sen(2a(2x−12
) + 2c)
2sen2a/2=
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS19
=sen(a(2x− 1) + 2c)
2sena.
tomando b′ = (a(2x− 1) + 2c) = 2b∑cos(2ax+ 2c) =
sen(2b)
2sena
1.2.15∑x
cos2(ax+ c) =x
2+
sen(a(2x− 1) + 2c)
4sena
Exemplo 9. ∑x
cos2(ax+ c).
Usamos a identidade
cos2(ax+ c) =cos(2(ax+ c)) + 1
2
aplicando o somatorio temos∑x
cos2(ax+ c) =∑ cos(2(ax+ c)) + 1
2=
1
2
∑cos(2(ax+ c)) +
∑ 1
2=
=x
2+
1
2
sen(a(2x− 1) + 2c)
2sena
∑x
cos2(ax+ c) =x
2+
sen(2b)
4sena
1.2.16n−1∑k=1
cos2(kπ
n) =
n− 2
2.
Propriedade 7.n−1∑k=1
cos2(kπ
n) =
n− 2
2.
Demonstracao.
n−1∑k=1
cos2(kπ
n) =
n
2+
sen(2π − πn)
4sen(πn)
− 1
2−
sen(πn)
4sen(πn)=
n− 2
2.
Propriedade 8. Vale
∆sen(x− 1)θ.cosx(θ)
sen(θ)= cosx(θ).cos(xθ).
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS20
Demonstracao.
∆sen(x− 1)θ.cosx(θ)
sen(θ)=
sen(x)θ.cos(x+1)(θ)− sen(x− 1)θ.cosx(θ)
sen(θ)=
=[sen(xθ).cos(θ)− sen(x− 1)θ]cosx(θ)
sen(θ)=
porem temos que
sen(xθ).cos(θ)− sen(x− 1)θ = sen(xθ).cos(θ)− sen(xθ).cosθ + sen(θ).cos(xθ)
logo
∆sen(x− 1)θ.cosx(θ)
sen(θ)= cosx(θ).cos(xθ).
1.2.17n∑
x=1
cosx(θ).cos(xθ) =sen(nθ).cosn+1(θ)
sen(θ).
Corolario 10. Aplicando a soman∑
x=1
em ∆sen(x− 1)θ.cosx(θ)
sen(θ)= cosx(θ).cos(xθ) tem-se
n∑x=1
cosx(θ).cos(xθ) =sen(x− 1)θ.cosx(θ)
sen(θ)
∣∣∣∣n+1
1
=sen(n)θ.cosn+1(θ)
sen(θ)
n∑x=1
cosx(θ).cos(xθ) =sen(nθ).cosn+1(θ)
sen(θ).
1.2.18 Somatorio de cosseno hiperbolico
1.2.19∑x
cosh(bx+ a) =senh(bx+ a− b/2)
2senh( b2)
Corolario 11. Da identidade
∑x
cos(bx+ a) =sen(bx+ a− b/2)
2sen b2
substituindo b por ib e a por ai e usando as identidade sen(ix) = isenh(x) e cos(ix) =
cosh(x) temos
∑x
cos(i(bx+ a)) =∑x
cosh(bx+ a) =isenh(bx+ a− b/2)
2isenh( b2)
=senh(bx+ a− b/2)
2senh( b2)
.
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS21
1.2.20 Somatorio de seno
Corolario 12. ∑sen(ax+ c) = −
cos(a(2x−12
) + c)
2sen(a/2)∑sen(ax+ c) = − cos(b)
2sen(a/2)
em especial ∑x
sen(ax) = −cos(a(2x−1
2))
2sen(a/2).
Se aplicamos limites [1, n]
n∑x=1
sen(ax+ c) = −cos(a(2x− 1)/2 + c)
2sen(a/2)
∣∣∣∣n+1
1
=−cos(a(2n+ 1)/2 + c) + cos(a/2 + c)
2sen(a/2)=
n∑x=1
sen(ax+ c) =−cos(an+ a/2 + c) + cos(a/2 + c)
2sen(a/2)
se c = 0n∑
x=1
sen(ax) =−cos(an+ a/2) + cos(a/2)
2sen(a/2).
n∑x=1
sen(x) =−cos(n+ 1
2) + cos(1
2)
2sen(12)
A soma em [0, n]
n∑x=0
sen(ax+ c) = −cos(a(2x− 1)/2 + c)
2sen(a/2)
∣∣∣∣n+1
0
=−cos(an+ a/2 + c) + cos(−a/2 + c)
2sen(a/2)=
=−cos(an+ a/2 + c) + cos(a/2− c)
2sen(a/2).
1.2.21n−1∑k=1
sen(kπ
n) = cotg(
π
2n).
Exemplo 10. Calcular a soman−1∑k=1
sen(kπ
n).
n−1∑k=1
sen(kπ
n) =
−cos( (n−1)πn
+ π2n) + cos( π
2n)
2sen( π2n)
=−cos(π − π
n+ π
2n) + cos( π
2n)
2sen( π2n)
=
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS22
=−cos(π − 2π
2n+ π
2n) + cos( π
2n)
2sen( π2n)
=−cos(π − π
2n) + cos( π
2n)
2sen( π2n)
=
mas −cos(π − π
2n) = −cos(π).cos(
π
2n) + sen(π)sen(− π
2n) = cos
π
2n
=2cos( π
2n)
2sen( π2n)= cotg
π
2n
logon−1∑k=1
sen(kπ
n) = cotg(
π
2n).
Exemplo 11. ∑sen2(ax+ c).
Usamos a identidade
sen2(ax+ c) =1− cos2(ax+ c)
2
aplicando o somatorio em ambos lados temos∑sen2(ax+ c) =
∑ 1
2− 1
2
∑cos2(ax+ c) =
x
2− sen(a(2x− 1) + 2c)
4sena.
No caso da soma aplicada em [1, n]
n∑x=1
sen2(ax+c) =x
2−sen(a(2x− 1) + 2c)
4sena
∣∣∣∣n+1
1
=n+ 1
2−sen(a(2n+ 1) + 2c)
4sena−1
2+sen(a+ 2c)
4sena=
=n
2+
sen(a+ 2c)− sen(a(2n+ 1) + 2c)
4sena.
Exemplo 12. Calcular2009∑k=1
sen(kπ
2009).
Usaremos a expressao
n∑k=1
sen(ak) =−cos(an+ a/2) + cos(a/2)
2sen(a/2).
com a =π
2009e n = 2009 temos an = π
2009∑k=1
sen(kπ
2009) =
−cos(π + π4018
) + cos( π4018
)
2sen( π4018
)=
=−cos(π + π
4018) + cos( π
4018)
2sen( π4018
)=
2cos( π4018
)
2sen( π4018
)= cotg[
π
4018]
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS23
1.2.22∑x
xsen(ax+ c) = −xcos(a(2x−1
2 ) + c)
2sen(a/2)+
sen(ax+ c)
(2sen(a/2))2.
Exemplo 13. Calcular ∑xsen(ax+ c).
Por partes, tomamos g(x) = x logo ∆g(x) = 1 e ∆f(x) = sen(ax+ c) temos
f(x) = −cos(a(2x−1
2) + c)
2sen(a/2)
e
f(x+ 1) = −cos(a(2x+1
2) + c)
2sen(a/2)= −
cos(ax+ a2+ c)
2sen(a/2)= −cos(ax+ c′)
2sen(a/2)
∑xsen(ax+ c) = −
xcos(a(2x−12
) + c)
2sen(a/2)+
1
2sen(a/2)
∑cos(ax+ c′) =
= −xcos(a(2x−1
2) + c)
2sen(a/2)+sen(ax+ c′ − a/2)
(2sen(a/2))2= −
xcos(a(2x−12
) + c)
2sen(a/2)+sen(ax+ a/2 + c− a/2)
(2sen(a/2))2=
= −xcos(a(2x−1
2) + c)
2sen(a/2)+
sen(ax+ c)
(2sen(a/2))2.
∑xsen(ax+ c) = −
xcos(a(2x−12
) + c)
2sen(a/2)+
sen(ax+ c)
(2sen(a/2))2.
Aplicando limites [1, n]
n∑k=1
xsen(ax+ c) = −xcos(a(2x−1
2) + c)
2sen(a/2)+
sen(ax+ c)
(2sen(a/2))2
∣∣∣∣n+1
1
=
= −(n+ 1)cos(a(2n+1
2) + c)
2sen(a/2)+
sen(an+ a+ c)
(2sen(a/2))2+
cos(a2+ c)
2sen(a/2)− sen(a+ c)
(2sen(a/2))2=
=cos(a
2+ c)− (n+ 1)cos(a(2n+1
2) + c)
2sen(a/2)+
sen(an+ a+ c)− sen(a+ c)
(2sen(a/2))2.
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS24
n∑x=1
xsen(ax+c) =cos(a
2+ c)− (n+ 1)cos(a(2n+1
2) + c)
2sen(a/2)+sen(an+ a+ c)− sen(a+ c)
(2sen(a/2))2=
=cos(a
2+ c)− (n+ 1)cos(a(2n+1
2) + c)
2sen(a/2)+
sen(a(n+ 1) + c)− sen(a+ c)
(2sen(a/2))2
Exemplo 14. Calcular89∑k=1
2xsen(2x)
Onde o coeficiente de x = k, 2 esta em graus.
89∑k=1
2xsen(2x) = 289∑k=1
xsen(2x)
calculando
89∑k=1
xsen(2x) =cos(2
2)− (90)cos(2(179
2))
2sen(2/2)+
sen(2(90))− sen(2)
(2sen(2/2))2=
=cos(1)− (90)cos(179)
2sen(1)− sen(2)
(2sen(1))2
multiplicando por 2
89∑k=1
2xsen(2x) =cos(1)− (90)cos(179)
sen(1)− sen(2)
2(sen(1))2=
=1
sen(1)(cos(1)− 90cos(179)− sen(2)
2sen(1)) =
=1
sen(1)(2sen(1))(2sen(1)cos(1)− 90cos(179)2sen(1)− sen(2)) =
=−90cos(179)2sen(1)
sen(1)2sen(1)=
−90cos(179)
sen(1)=
−90cos(180− 1)
sen(1)=
=−90(cos(180)cos(−1)− sen(180)sen(−1))
sen(1)=
90cos(1)
sen(1)= 90cotg(1).
Logo vale89∑k=1
2xsen(2x) = 90cotg(1)
observe que se adicionamos o termo com k = 90 na soma o termo sen(2.90) =
sen(180) = 0 logo o resultado e o mesmo
90∑k=1
2xsen(2x) = 90cotg(1).
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS25
1.2.23∑x
(2xsen2 a
2x
)2
=
(2x−1sen
a
2x−1
)2
.
Exemplo 15. Mostrar que
∑x
(2xsen2 a
2x
)2
=
(2x−1sen
a
2x−1
)2
.
Partimos da identidade sen2a = 2sena cosa, multiplicando por 2x−1
sena
2x−1= 2cos
a
2xsen
a
2x, 2x−1sen
a
2x−1= 2xcos
a
2xsen
a
2x
elevando ao quadrado
(2x−1sena
2x−1)2 = (2xcos
a
2xsen
a
2x)2 = (2xsen
a
2x)2(1−sen2 a
2x) = (2xsen
a
2x)2−(2xsen2 a
2x)2
entao
(2xsen2 a
2x)2 = (2xsen
a
2x)2 − (2x−1sen
a
2x−1)2 = ∆(2x−1sen
a
2x−1)2
de onde segue ∑x
(2xsen2 a
2x
)2
=
(2x−1sen
a
2x−1
)2
.
1.2.24n−1∑k=1
sen2(kπ
n) =
n
2.
Propriedade 9.n−1∑k=1
sen2(kπ
n) =
n
2.
Demonstracao. Da identidade sen2(x) = 1− cos2(x) segue que
n−1∑k=1
sen2(kπ
n) = n− 1− n− 2
2=
n
2.
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS26
1.2.25
n−1∑k=0
sen(2kx+ x)
n−1∑k=0
cos(2kx+ x)
= tg(nx).
Exemplo 16. Achar expressao fechada para a razao de somatorios
n−1∑k=0
sen(2kx+ x)
n−1∑k=0
cos(2kx+ x)
.
Vamos calcular atraves do somatorio indefinido
∑sen(ak + c) = −
cos(a(2k−1)2
+ c)
2sena2
sendo c = x e a = 2x temos
∑sen(2xk + x) = −cosx(2k)
2senx
da mesma maneira ∑cos(2xk + x) =
senx(2k)
2senx
aplicando limites [1, n− 1]
n−1∑k=0
sen(2xk + x) = −cosx(2k)
2senx=
−cosx(2n) + 1
2senx
n−1∑k=0
cos(2xk + x) =senx(2n)
2senx
tomando a razaon−1∑k=0
sen(2kx+ x)
n−1∑k=0
cos(2kx+ x)
=−cosx(2n) + 1
senx(2n)
que podemos simplificar
−cosx(2n) + 1
senx(2n)=
1− cos2nx+ sen2nx
2sennx.cosnx
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS27
usando cos2nx = 1− sen2nx
1− 1 + sen2nx+ sen2nx
2sennx.cosnx=
2sen2nx
2sennx.cosnx=
sennx
cosnx= tgnx
assimn−1∑k=0
sen(2kx+ x)
n−1∑k=0
cos(2kx+ x)
= tg(nx).
1.2.26n∑
k=0
(2k+1sen(π
2k+1)− 2ksen(
π
2k)) = 2n+1sen(
π
2n+1)
Exemplo 17. Calcular a soma
n∑k=0
(2k+1sen(2y
2k)− 2ksen(
2y
2k−1)).
Tomando f(k) = 2ksen(2y
2k−1) temos ∆f(k) = 2k+1sen(
2y
2k)− 2ksen(
2y
2k−1) logo
n∑k=0
(2ksen(2y
2k)− 2k−1sen(
2y
2k−1)) = 2ksen(
2y
2k−1)
∣∣∣∣n+1
0
= 2n+1sen(2y
2n)− 20sen(
2y
2−1) =
= 2n+1sen(2y
2n)− sen(4y).
Se y =π
4entao 4y = π e senπ = 0 daı
n∑k=0
(2k+1sen(π
2k+1)− 2ksen(
π
2k)) = 2n+1sen(
π
2n+1)
agora tomando o limite n → ∞, 2n+1 tambem tende ao infinito e1
2n+1tende a zero,
tomamos entao x =1
2n+1, logo 2n+1 =
1
x, com x tendendo a zero pela direita,
limx→0
senπx
x= π lim
x→0
senπx
πx= π
logo∞∑k=0
(2k+1sen(π
2k+1)− 2ksen(
π
2k)) = π.
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS28
1.2.27∑x
2xsen(a
2x)sen2(
a
2x+1) = 2x−2sen(
a
2x−1).
Propriedade 10. Vale∑x
2xsen(a
2x)sen2(
a
2x+1) = 2x−2sen(
a
2x−1).
Demonstracao. Vamos mostrar que
2xsen(a
2x)sen2(
a
2x+1) = ∆2x−2sen(
a
2x−1).
1− cos( a2x)
2= sen2(
a
2x+1) ⇒ 2sen2(
a
2x+1) = 1− cos(
a
2x)
multiplicando por 2sen(a
2x) tem-se
4sen(a
2x)sen2(
a
2x+1) = 2sen(
a
2x)− 2sen(
a
2x)cos(
a
2x)
usamos agora que 2sen(a
2x)cos(
a
2x) = sen(
2a
2x) portanto
4sen(a
2x)sen2(
a
2x+1) = 2sen(
a
2x)− sen(
a
2x−1)
multiplicando por 2x−2 segue
2xsen(a
2x)sen2(
a
2x+1) = 2x−1sen(
a
2x)− 2x−2sen(
a
2x−1) = ∆2x−2sen(
a
2x−1).
1.2.28
Propriedade 11. Vale que∑x
cos(xa)secx(a) =sen(xa)
sen(a)cosx−1(a).
Demonstracao. Vamos provar que
cos(xa)secx(a) = ∆sen(xa)
sen(a)cosx−1(a).
Partimos de
sen(xa)cos(a) + cos(xa)sen(a)︸ ︷︷ ︸sen(xa+a)
−sen(xa)cos(a) = sen(a)cos(xa)
multiplicamos por1
cosx(a)sen(a)
sen(xa+ a)
cosx(a)sen(a)− sen(xa)
cosx−1(a)sen(a)= cos(xa)secx(a)
logo esta provado.
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS29
1.2.29 Somas∑k
xkcos(ak + b) e∑k
xksen(ak + b).
Exemplo 18. Vamos agora calcular os somatorio indefinidos∑k
xkcos(ak + b) e∑k
xksen(ak + b)
usando numeros complexos. Temos
ei(ak+b) = cos(ak + b) + isen(ak + b) = ei(ak)eib
multiplicando por xk e somando
eib∑k
ei(ak)xk =∑k
xkcos(ak + b) + i∑k
xksen(ak + b)
a parte real sendo a soma com cos e a parte imaginaria com sen,∑k
ei(ak)xk =∑k
(ei(a)x)k =(ei(a)x)k
eiax− 1
eiax− 1 = xcosa+ ixsena− 1 logo seu conjugado e xcosa− ixsena− 1 = xe−ia − 1 sendo
o resultado do produto a2 + b2 = d onde a = xcosa− 1 e b = xsena∑k
(ei(a)x)k =1
dxkeiak(e−iax− 1) =
1
dxk(xeia(k−1) − eiak)
multiplicando agora por eib
xei[a(k−1)+b]−ei[ak+b] = xcos[a(k−1)+b]+ ixsen[a(k−1)+b]−cos[ak+b]− isen[ak+b] =
= xcos[a(k − 1) + b]− cos[ak + b] + i
{xsen[a(k − 1) + b]− sen[ak + b]
}a parte real multiplicada por
xk
de
∑k
xkcos(ak + b) =xk+1cos[a(k − 1) + b]− xkcos[ak + b]
d
e a parte imaginaria∑k
xksen(ak + b) =xk+1sen[a(k − 1) + b]− xksen[ak + b]
d
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS30
porem d = a2 + b2 = x2cos2a− 2xcosa+ 1 + x2sen2a = x2 − 2xcosa+ 1 entao temos
∑k
xkcos(ak + b) =xk+1cos[a(k − 1) + b]− xkcos[ak + b]
x2 − 2xcosa+ 1
e ∑k
xksen(ak + b) =xk+1sen[a(k − 1) + b]− xksen[ak + b]
x2 − 2xcosa+ 1
como corolario, se |x| < 1 temos as series
∞∑k=0
xkcos(ak + b) =cos(b)− xcos(b− a)
x2 − 2xcosa+ 1
∞∑k=0
xksen(ak + b) =sen(b)− xsen(b− a)
x2 − 2xcosa+ 1
1.2.30n−1∑k=0
sen3(c3k)
3k+1=
−1
4(sen3(c3n)
3n− sen(c)).
Exemplo 19. Calcularn−1∑k=0
sen3(c3k)
3k+1
Usando a identidade sen(3x) = 3sen(x)− 4sen3(x) com x = c3k e multiplicando por
1
3k+1
chegamos na identidade
sen3(c3k)
3k+1= (
sen(c3k+1)
3k+1− sen(c3k)
3k)−1
4
daı segue o resultado da soma
n−1∑k=0
sen3(c3k)
3k+1=
−1
4(sen3(c3n)
3n− sen(c)).
Em especial∞∑k=0
sen3(c3k)
3k+1=
1
4sen(c).
De maneira similar, podemos tomar x =c
3k+1e multiplicar a expressao por 3k, de onde
chegamos em
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS31
n−1∑k=0
3ksen3(c
3k+1) =
1
4(3nsen3(
c
3n)− sen(c)).
1.2.31 Somatorio de seno hiperbolico
1.2.32∑x
senh(bx+ a) =cosh(bx− b
2 + a)
2senh b2
.
Corolario 13. Usando a identidade
∑sen(bx+ a) = −
cos(bx− b2+ a)
2sen b2
substituindo b por bi e a por ai e usando as relacoes com numeros complexos
∑seni(bx+ a) = i
∑senh(bx+ a) = −
cosh(bx− b2+ a)
i2senh b2
logo ∑senh(bx+ a) =
cosh(bx− b2+ a)
2senh b2
.
1.3 Somatorio envolvendo tangente
1.3.1∑k
tg(xk).tg(xk + x) =tg(kx)
tgx− k.
Exemplo 20. Calcular o somatorio indefinido
∑k
tg(kx)tg(xk + x).
Temos que
tg(x) = tg(xk + x− xk) =tg(xk + x)− tg(xk)
1 + tg(xk).tg(xk + x)
logo
tg(xk).tg(xk + x) =tg(xk + x)− tg(xk)
tg(x)− 1 =
∆tg(kx)
tg(x)− 1
∑k
tg(xk).tg(xk + x) =tg(kx)
tgx− k.
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS32
∑k
cotg(xk + x)cotg(xk)
cotg(x) = cotg(kx+ x− kx) =−cotg(kx+ x)cotg(kx)− 1
cotg(kx+ x)− cotg(kx)
−cotg(x)∆cotg(kx) = cotg(kx+ x)cotg(kx) + 1
logo
cotg(kx+ x)cotg(kx) = −cotg(x)∆cotg(kx)− 1
de onde segue ∑k
cotg(kx+ x)cotg(kx) = −cotg(x)cotg(kx)− k.
1.3.2∑k
1
2ktg(
a
2k) =
1
2k−1cotg(
a
2k−1)
Exemplo 21. Da identidade
tgx = cotgx− 2cotg2x
fazendo x =a
2ktemos
tga
2k= cotg
a
2k− 2cotg2
a
2k= cotg
a
2k− 2cotg
a
2k−1
dividindo ambos membros por1
2ksegue
1
2ktg
a
2k=
1
2kcotg
a
2k− 1
2k−1cotg
a
2k−1= ∆
1
2k−1cotg
a
2k−1
aplicando a soma
∑k
1
2ktg
a
2k=
1
2k−1cotg
a
2k−1,
n∑k=0
1
2ktg
a
2k=
1
2k−1cotg
a
2k−1
∣∣∣∣n+1
0
=1
2ncotg
a
2n− 2cotg2a.
n∑k=0
1
2ktg
a
2k=
1
2ncotg
a
2n− 2cotg2a.
Como lim1
2ncotg
a
2n=
1
aentao
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS33
∞∑k=0
1
2ktg
a
2k=
1
a− 2cotg2a.
Tomando a = π, n = ∞ e comecando a soma de k = 2, temos
∞∑k=2
1
2ktg
π
2k=
1
π− 1
2cotg
π
2
mas cotgπ
2=
cosπ2
senπ2
= 0 logo
∞∑k=2
1
2ktg
π
2k=
1
π.
1.3.3∑k
2ktg(a.2k) = −2kcotg(a.2k)
Exemplo 22. Da identidade
tgx = cotgx− 2cotg2x
podemos tomar agora x = a.2k, depois multiplicar por 2k
tga.2k = cotga.2k−2cotga.2k+1, 2ktga.2k = 2kcotga.2k−2k+1cotga.2k+1 = −∆2kcotga.2k
logo
∑k
2ktga.2k = −2kcotga.2k,n∑
k=0
2ktga.2k = −2kcotga.2k∣∣∣∣n+1
0
= −2n+1cotga.2n+1 + cotga.
1.3.4∑x
1
2xlog( tg(2xa)) = − 1
2x−1log( 2sen(2xa)).
Exemplo 23. Calcular a soma
∑x
1
2xlog tg(2xa).
Partimos da identidade trigonometrica sen2b = 2senb cosb fazendo b = 2xa temos
sen2x+1a = 2sen2xa cos2xa,1
cos2xa=
2sen2xa
sen2x+1a
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS34
multiplicando por sen2xa em ambos lados
sen2xa
cos2xa= tg2xa =
2sen22xa
sen2x+1a
tomando o logaritmo em ambos lados
logtg2xa = log(2sen22xa
sen2x+1a) = log(
4sen22xa
2sen2x+1a) = log4sen22xa− log2sen2x+1a =
= 2log2sen2xa− log2sen2x+1a = logtg2xa
dividindo por 2x em ambos lados
− 1
2xlog2sen2x+1a+
1
2x−1log2sen2xa = −(
1
2xlog2sen2x+1a− 1
2x−1log2sen2xa) =
= ∆− 1
2x−1log2sen2xa =
1
2xlogtg2xa
daı segue ∑x
1
2xlog tg2xa = − 1
2x−1log 2sen2xa.
1.3.5n−1∑k=1
tg2(kπ
n) = n(n− 1)
Propriedade 12.n−1∑k=1
tg2(kπ
n) = n(n− 1)
com n ımpar .
Demonstracao.
1.4 Somatorio envolvendo secante
1.4.1n−1∑k=1
sec2(kπ
n) = n2 − 1
Propriedade 13.n−1∑k=1
sec2(kπ
n) = n2 − 1
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS35
Demonstracao.
Da identidade tg2(x) + 1 = sec2(x) e da identidaden−1∑k=1
tg2(kπ
n) = n(n− 1) tem-se
n−1∑k=1
sec2(kπ
n) = n− 1 + n(n− 1) = (n− 1)(n+ 1) = n2 − 1
para n ımpar .
1.4.2∑x
(1
2xsec(
θ
2x))2 = −(
1
2x−1cossec(
θ
2x−1))2
Propriedade 14. ∑x
(1
2xsec(
θ
2x))2 = −(
1
2x−1cossec(
θ
2x−1))2.
Demonstracao. Partimos da identidade sen(2a) = 2sen(a)cos(a) que implica sec(a) =
2sen(a)cossec(2a), tomando a =θ
2xsegue
sec(θ
2x) = 2sen(
θ
2x)cossec(
θ
2x−1)
multiplicando por1
2xe depois elevando ao quadrado tem-se
(1
2xsec(
θ
2x))2 = (
1
2x−1cossec(
θ
2x−1))2(1− cos2(
θ
2x)) =
= (1
2x−1cossec(
θ
2x−1))2 − (
1
2xcossec(
θ
2x))2
daı segue o resultado .
Aplicando limites temos
n∑x=1
(1
2xsec(
θ
2x))2 = −(
1
2x−1cossec(
θ
2x−1))2
∣∣∣∣n+1
1
= −(1
2ncossec(
θ
2n))2 + cossec2(θ).
1.5 Somatorio envolvendo cotangente
1.5.1∑k
cotg(kx+ x)cotg(kx) = −cotg(x)cotg(kx)− k.
Exemplo 24. Calcular o somatorio indefinido
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS36
∑k
cotg(xk + x)cotg(xk).
cotg(x) = cotg(kx+ x− kx) =−cotg(kx+ x)cotg(kx)− 1
cotg(kx+ x)− cotg(kx)
−cotg(x)∆cotg(kx) = cotg(kx+ x)cotg(kx) + 1
logo
cotg(kx+ x)cotg(kx) = −cotg(x)∆cotg(kx)− 1
de onde segue ∑k
cotg(kx+ x)cotg(kx) = −cotg(x)cotg(kx)− k.
Exemplo 25. Da identidade
cossecx = cotgx
2− cotgx
tomando x =a
2ktemos
cosseca
2k= cotg
a
2k+1− cotg
a
2k= ∆cotg
a
2k
logo ∑k
cosseca
2k= cotg
a
2k,
n∑k=0
cosseca
2k= cotg
a
2k
∣∣∣∣n+1
0
= cotga
2n+1− cotga.
Propriedade 15.n−1∑k=1
cotg2(kπ
n) =
(n− 1)(n− 2)
3.
Demonstracao.
1.6 Somatorio envolvendo cossecante
1.6.1∑k
cossec( a2k) = −cotg( a2k−1)
Exemplo 26. Da identidade
cossec(x) = cotg(x
2)− cotg(x)
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS37
tomando x = a2k temos
cossec a2k = cotg a2k−1 − cotg a2k = −∆cotg a2k−1
logo
∑k
cossec a2k = −cotg a2k−1,
n∑k=0
cossec a2k = −cotg a2k−1
∣∣∣∣n+1
0
= −cotg a2n + cotga
2.
Exemplo 27. Da mesma maneira do exemplo anterior , tomando x =a
2ktem-se
cossec(a
2k) = cotg(
a
2k+1)− cotg(
a
2k) = ∆cotg(
a
2k)
logo ∑k
cossec(a
2k) = cotg(
a
2k).
1.6.2n−1∑k=1
cossec2(kπ
n) =
n2 − 1
3
Propriedade 16.n−1∑k=1
cossec2(kπ
n) =
n2 − 1
3
Demonstracao. Partindo da identidaden−1∑k=1
cotg2(kπ
n) =
(n− 1)(n− 2)
3usando que
cotg2(x) + 1 = cossec2(x) tem-se
n−1∑k=1
cossec2(kπ
n) = n− 1 +
(n− 1)(n− 2)
3=
n2 − 1
3
1.6.3n−1∑k=0
cossec2(z +kπ
n) = n2cossec2(zn)
Propriedade 17.n−1∑k=0
cossec2(z +kπ
n) = n2cossec2(zn)
Demonstracao.
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS38
1.7 Somas e polinomios
Propriedade 18. Valem as identidades
sen nx =
⌊n−12
⌋∑k=0
(n
2k + 1
)(−1)k(senx)2k+1(cosx)n−2k−1
cos nx =
⌊n2⌋∑
k=0
(n
2k + 1
)(−1)k(senx)2k(cosx)n−2k
Demonstracao. Temos a identidade
cos(nx) + isen(nx) = (cos(x) + isen(x))n
expandindo por binomio segue
n∑k=0
(n
k
)(isen(x))k(cos(x))n−k = cos(nx) + isen(nx)
o conjunto A = [0, n]N admite a particao B ∪ C = A onde B e o conjunto dos ımpares e
C o conjunto dos pares de k = 0 ate n, igualando a parte complexa segue
isen(x) =n∑
k=0
(n
2k + 1
)(i)2k+1(sen(x))2k+1.(cos(x))n−2k−1
sen(nx) =n∑
k=0
(n
2k + 1
)(−1)k(sen(x))2k+1.(cos(x))n−2k−1
2k + 1 = n implica 2k = n− 1, k =n− 1
2, entao vale
sen(nx) =
⌊n−12
⌋∑k=0
(n
2k + 1
)(−1)k(sen(x))2k+1.(cos(x))n−2k−1.
Agora tomando a parte par, temos
cos(nx) =n∑
k=0
(n
2k
)i2k(sen(x))2k(cos(x))n−2k =
n∑k=0
(n
2k
)(−1)k(senx)2k(cos(x))n−2k
se n = 2k, k =n
2, entao vale
cos(nx) =
⌊n2⌋∑
k=0
(n
2k
)(−1)k(sen(x))2k(cos(x))n−2k
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS39
1.7.1m∑k=1
cot2(kπ
2m+ 1) =
2m(2m− 1)
6.
Propriedade 19.m∑k=1
cot2(kπ
2m+ 1) =
2m(2m− 1)
6
Demonstracao. Temos a identidade
cos(nx) + isen(nx) = (cos(x) + isen(x))n
expandindo por binomio segue
n∑k=0
(n
k
)(isen(x))k(cos(x))n−k = cosnx+ isennx
o conjunto A = [0, n]N admite a particao B ∪ C = A onde B e o conjunto dos ımpares e
C o conjunto dos pares de k = 0 ate n, igualando a parte complexa segue
isen(x) =n∑
k=0
(n
2k + 1
)(i)2k+1(sen(x))2k+1.(cos(x))n−2k−1
senn(x) =n∑
k=0
(n
2k + 1
)(−1)k(sen(x))2k+1.(cos(x))n−2k−1
tomamos n = 2m+ 1 e o limite superior trunca em m logo
sen((2m+ 1)x) =m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k(sen(x))2k+1.(cosx)2m−2k
tomamos x =rπ
2m+ 1com r natural no intervalo [1,m] o maximo valor de r e m, nesse
caso temosmπ
2m+ 1<
π
2pois, 2m < 2m+1 alem disso 0 < x assim nenhum desses valores
sao zeros de sen(x) e podemos dividir por sen(x), esses valores ainda implicam
sen((2m+ 1)x) = 0
dividimos entao por (sen(x))2m+1, segue
0 =m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k
(sen(x))2k+1
(sen(x))2m+1.(cos(x))2m−2k =
m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k
(cos(x))2m−2k
(sen(x))2m−2k=
=m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k(cotg(x))2m−2k =
m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k(cotg(x))2(m−k)
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS40
fazendo y = (cotg(x))2
p(y) :=m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k(y)(m−k)
temos um polinomio de grau m cujas raızes conhecemos os valores de r nos fornecem as
raızes
xr = cotg2(
rπ
2m+ 1
)com r de 1 ate m o polinomio se fatora como
c
m∏k=1
(y − xk) =m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k(y)(m−k)
o coeficiente c podemos deduzir da seguinte maneira, vemos que o coeficiente de tm na
direita acontece com k = 0, entao ele e
(2m+ 1
1
)(−1)0 =
(2m+ 1
1
)esse e o mesmo
coeficiente c na esquerda daı c =
(2m+ 1
1
), agora usamos que que o coeficiente de yn−1
em cm∏k=1
(y − xk) e dado por −cm∑k=1
xk comparando com o coeficiente de yn−1 na outra
expressao que e
(2m+ 1
3
)(−1)1 = −
(2m+ 1
3
), que acontece para k = 1 segue
−(2m+ 1
1
) m∑k=1
xk = −(2m+ 1
3
)m∑k=1
xk =
(2m+1
3
)(2m+1
1
) =(2m+ 1)(2m)(2m− 1)
6(2m+ 1)=
2m(2m− 1)
6
logom∑k=1
cotg2(
(kπ
2m+ 1
)) =
2m(2m− 1)
6.
1.7.2m∏k=1
cotg
(kπ
2m+ 1
)=
1√2m+ 1
em∏k=1
tg
(kπ
2m+ 1
)=
√(2m+ 1).
Corolario 14. Comparando os termos constantes em
(2m+ 1
1
) m∏k=1
(y − xk) =m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k(y)(m−k)
(2m+ 1)(−1)mm∏k=1
xk = (−1)m
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS41
daım∏k=1
cotg2(
kπ
2m+ 1
)=
1
2m+ 1
m∏k=1
cotg
(kπ
2m+ 1
)=
1√2m+ 1
usando que cotg(x) =1
tg(x)e invertendo a identidade acima tem-se
m∏k=1
tg
(kπ
2m+ 1
)=
√(2m+ 1).
1.7.3m∑k=1
tg2(
kπ
2m+ 1
)= (2m+ 1)(m).
Corolario 15.
sen(2m+ 1)x =m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k(senx)2k+1.(cosx)2m−2k
tomamos x =rπ
2m+ 1com r natural no intervalo [1,m] o maximo valor de r e m, nesse
caso temosmπ
2m+ 1<
π
2pois, 2m < 2m+1 alem disso 0 < x assim nenhum desses valores
sao zeros de cosx e podemos dividir por cosx, esses valores ainda implicam
sen(2m+ 1)x = 0
dividimos entao por (cosx)2m+1, segue
0 =m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k
(senx)2k+1
(cos)2m+1.(cosx)2m−2k =
m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k
(senx)2k+1
(cosx)2k+1=
=m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k(tgx)2k+1 = (tgx)
m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k(tg2x)(k)
fazendo y = (tgx)2
p(y) := ym∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k(y)(k)
temos um polinomio de grau m (excluindo o fator y) cujas raızes conhecemos os valores
de r nos fornecem as raızes
xr = tg2(
rπ
2m+ 1
)
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS42
com r de 1 ate m o polinomio se fatora como
c
m∏k=1
(y − xk) =m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k(y)(k)
o coeficiente c podemos deduzir da seguinte maneira, vemos que o coeficiente de ym na
direita acontece com k = m, entao ele e
(2m+ 1
2m+ 1
)(−1)m = (−1)m esse e o mesmo
coeficiente c na esquerda daı c = (−1)m, agora usamos que que o coeficiente de ym−1
em c
m∏k=1
(y − xk) e dado por −c
m∑k=1
xk comparando com o coeficiente de ym−1 na outra
expressao que e
(2m+ 1
2m− 1
)(−1)m−1 = (2m + 1)(m)(−1)m−1, que acontece para k = 1
segue
(−1)m+1
m∑k=1
xk = (2m+ 1)(m)(−1)m−1
m∑k=1
xk = (2m+ 1)(m)
logom∑k=1
tg2(
kπ
2m+ 1
)= (2m+ 1)(m).
Corolario 16. Da identidade
(−1)mm∏k=1
(y − xk) =m∑k=0
(2m+ 1
2k + 1
)(−1)k(y)(k)
igualando os termos constante em cada uma tem-se
(−1)2mm∏k=1
(xk) = (2m+ 1)
m∏k=1
tg2(
kπ
2m+ 1
)= (2m+ 1).
1.7.4n−1∏k=1
(tgkπ
n) = n(−1)
n−12 .
Corolario 17.
sennx =n∑
k=0
(n
2k + 1
)(−1)k(senx)2k+1.(cosx)n−2k−1
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS43
dividindo por (cosx)n segue
sennx =n∑
k=0
(n
2k + 1
)(−1)k(tgx)2k+1
fazendo tgx = y
sennx = y
n∑k=0
(n
2k + 1
)(−1)k(y)2k
com n ımpar o limite do superior do somatorio trunca emn− 1
2que e natural pois n
ımpar implica n− 1 par, logo divisıvel por 2
sennx = y
n−12∑
k=0
(n
2k + 1
)(−1)k(y)2k
Tomando x =kπ
ncom k = 0 ate n − 1 tem-se sen(nx) = 0 logo temos n raızes do
polinomio, ignorando a raiz 0 podemos fatorar com as n− 1 raızes xk = tgkπ
n
n−12∑
k=0
(n
2k + 1
)(−1)k(y)2k = c
n−1∏k=1
(y − xk)
descobrimos c usando o coeficiente de yn−1 que no polinomio e (−1)n−12 usando o termo
constante do polinomio deduzimos que
(−1)n−12 (−1)n−1
n−1∏k=1
(xk) = n
n−1∏k=1
(xk) = n(−1)n−12 (−1)
2n−22 = n(−1)
3n−32
logon−1∏k=1
(tgkπ
n) = n(−1)
n−12 .
1.7.5m∑k=1
cossec2(kπ
2m+ 1) =
2m(2m+ 2)
6
Corolario 18. Usando as identidades
cotg2x+ 1 = cossec2x
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS44
m∑k=1
cotg2(kπ
2m+ 1) =
2m(2m− 1)
6
aplicandom∑k=1
em ambos lados na primeira identidade (com argumento alterado do modo
da segunda) segue
m∑k=1
cotg2(kπ
2m+ 1) +m =
m∑k=1
cossec2(kπ
2m+ 1) =
2m(2m+ 2)
6.
1.8 Somatorios e numeros complexos
Resultados sobre numeros complexos podem nos ajudar a deduzir alguns resultados
sobre somatorios.
Exemplo 28. Da identidade eix = cosx+ isenx, tomando o somatorio da expressao
n−1∑k=1
e2kπ.i
n =e
2kπ.in
e2π.in − 1
∣∣∣∣n1
=e
2nπ.in − e
2π.in
e2π.in − 1
=e2πi − e
2π.in
e2π.in − 1
=
como e2πi = cos2π + isen2π = 1
=1− e
2π.in
e2π.in − 1
= −1
que e igual a seguinte soma
n−1∑k=1
(cos
2kπ
n+ isen
2kπ
n
)=
n−1∑k=1
cos2kπ
n+ i
n−1∑k=1
sen2kπ
n= −1 + 0.i
logo temos como corolario igualando as partes reais e imaginarias
n−1∑k=1
cos2kπ
n= −1.
n−1∑k=1
sen2kπ
n= 0.
1.8.1n∑
k=0
(n
k
)coskx = 2n
(cos(
x
2)
)n
cosnx
2
Exemplo 29. Achar expressoes fechadas para
n∑k=0
(n
k
)senkx
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS45
n∑k=0
(n
k
)coskx.
Temos
(eix + 1)n =n∑
k=0
(n
k
)eixk =
n∑k=0
(n
k
)coskx+ i
n∑k=0
(n
k
)senkx
e temos
eix + 1 = (eix2 + e−
ix2 )(e
ix2 ) = 2(
eix2 + e−
ix2
2)(e
ix2 ) = 2cos(
x
2).(e
ix2 )
logo
(eix + 1)n = 2n(cos(
x
2)
)n
.(einx2 ) = 2n
(cos(
x
2)
)n
cosnx
2+ i2n
(cos(
x
2)
)n
sennx
2
logo igualando as partes no somatorio temos
n∑k=0
(n
k
)coskx = 2n
(cos(
x
2)
)n
cosnx
2
n∑k=0
(n
k
)senkx = 2n
(cos(
x
2)
)n
sennx
2
Exemplo 30. Calcule a soma
n−2∑k=0
(n− 2
k
)cos
kπ
2.
Da identidaden∑
k=0
(n
k
)coskx = 2n
(cos(
x
2)
)n
cosnx
2
segue tomando x =π
2
n−2∑k=0
(n− 2
k
)cos
kπ
2= 2n−2
(√2
2
)n−2
cos(n− 2)π
4.
Exemplo 31. Calcular a soma
n−1∑k=0
(n− 1
k
)sen
kπ
2.
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS46
Da identidaden∑
k=0
(n
k
)senkx = 2n
(cos(
x
2)
)n
sennx
2
tem-sen−1∑k=0
(n− 1
k
)senkx = 2n−1
(cos(
x
2)
)n−1
sen(n− 1)x
2
tomando x =π
2segue
n−1∑k=0
(n− 1
k
)sen
kπ
2= 2n−1
(cos(
π
4)
)n−1
sen(n− 1)π
4
comoπ
4=
√2
2n−1∑k=0
(n− 1
k
)sen
kπ
2= 2n−1
(√2
2
)n−1
sen(n− 1)π
4.
Exemplo 32. Calcular a soma
n∑k=0
(n
k
)kcos
kπ
2.
n∑k=0
(n
k
)kcos
kπ
2=
n∑k=1
(n
k
)kcos
kπ
2= n
n∑k=1
(n− 1
k − 1
)cos
kπ
2= n
n−1∑k=0
(n− 1
k
)cos
(k + 1)π
2=
mas cos(kπ
2+
π
2) = −sen
π
2.sen
kπ
2= −sen
kπ
2
= −nn−1∑k=0
(n− 1
k
)sen
kπ
2= −n2n−1
(√2
2
)n−1
sen(n− 1)π
4.
Exemplo 33. Calcularn∑
k=0
(n
k
)k(k − 1)cos
kπ
2.
n∑k=0
(n
k
)k(k − 1)cos
kπ
2=
n∑k=2
(n
k
)k(k − 1)cos
kπ
2= n(n− 1)
n∑k=2
(n− 2
k − 2
)cos
kπ
2=
= n(n− 1)n−2∑k=0
(n− 2
k
)cos
(k + 2)π
2= −n(n− 1)
n−2∑k=0
(n− 2
k
)cos
(k)π
2=
= −n(n− 1)2n−2
(√2
2
)n−2
cos(n− 2)π
4.
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS47
Exemplo 34. Calcularn∑
k=0
(n
k
)k2cos
kπ
2.
Escrevendo k2 = k + k(k − 1) segue
n∑k=0
(n
k
)kcos
kπ
2+
n∑k=0
(n
k
)k(k − 1)cos
kπ
2=
= −n2n−1
(√2
2
)n−1
sen(n− 1)π
4− n(n− 1)2n−2
(√2
2
)n−2
cos(n− 2)π
4
Exemplo 35. Calcular
1
4
n∑k=0
(n
k
)k2(1 + (−1)k + 2cos
kπ
2).
Vamos calcular por pedacos
1
4
n∑k=0
(n
k
)k2 = (n+ 1)(n)2n−4
1
4
n∑k=0
(n
k
)k2(−1)k =
δ(0,(n−1)(n−2))n!(−1)n
4
1
2
n∑k=0
(n
k
)k2cos
kπ
2= −n2n−2
(√2
2
)n−1
sen(n− 1)π
4−n(n−1)2n−3
(√2
2
)n−2
cos(n− 2)π
4
1
4
n∑k=0
(n
k
)k2(1 + (−1)k + 2cos
kπ
2) =
= −n2n−2
(√2
2
)n−1
sen(n− 1)π
4− n(n− 1)2n−3
(√2
2
)n−2
cos(n− 2)π
4+
+δ(0,(n−1)(n−2))n!(−1)n
4+ (n+ 1)(n)2n−4.
Exemplo 36. Calcular as somas
1.n∑
k=0
(n
k
)(k
p
)sen(kx)
2.n∑
k=0
(n
k
)(k
p
)cos(kx).
CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS48
1.
n∑k=0
(n
k
)(k
p
)sen(kx) =
n∑k=p
(n
k
)(k
p
)sen(kx) =
n∑k=p
(n− p
k − p
)(n
p
)sen(kx) =
=
(n
p
) n−p∑k=0
(n− p
k
)sen(kx+ px) =
=
(n
p
)cos(px)
n−p∑k=0
(n− p
k
)sen(kx) +
(n
p
)sen(px)
n−p∑k=0
(n− p
k
)cos(kx) =
=
(n
p
)2n−p
(cos(
x
2)
)n−p
[cos(px).sen(n− p)x
2+ sen(px)cos
(n− p)x
2] =
=
(n
p
)2n−p
(cos(
x
2)
)n−p
sen(x(n+ p)
2).
n∑k=0
(n
k
)(k
p
)sen(kx) =
(n
p
)2n−p
(cos(
x
2)
)n−p
sen(x(n+ p)
2).
2.
n∑k=0
(n
k
)(k
p
)cos(kx) =
n∑k=p
(n
k
)(k
p
)cos(kx) =
n∑k=p
(n− p
k − p
)(n
p
)cos(kx) =
=
(n
p
) n−p∑k=0
(n− p
k
)cos(kx+ px) =
=
(n
p
)cos(px)
n−p∑k=0
(n− p
k
)cos(kx)−
(n
p
)sen(px)
n−p∑k=0
(n− p
k
)sen(kx) =
=
(n
p
)2n−p
(cos(
x
2)
)n−p
[cos(px).cos(n− p)x
2− sen(px)sen
(n− p)x
2] =
=
(n
p
)2n−p
(cos(
x
2)
)n−p
cos(x(n+ p)
2).
n∑k=0
(n
k
)(k
p
)cos(kx) =
(n
p
)2n−p
(cos(
x
2)
)n−p
cos(x(n+ p)
2).
Exemplo 37. Calcular as somas