ISEL CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA SEMESTRE Mar.07 a Jul.07 2.º Teste RepetiçãoMECÂNICA DE MATERIAIS I (04-07-07)
Casimiro Pinto
T2RV-130300Mat1-07.doc
Alumínio
Alumínio
Latã
o
P Problema 1Duas barras de latão (10 mm X 40 mm) e duas barras de alumínio (10 mm X 40 mm) foram unidas de modo a constituir uma viga cuja secção transversal se indica na fig.1. Sabendo que EAlumínio=70 GPa ELatão=105Gpa, σadmAlumínio=100MPa e σadmLatão=160MPa determine: a) Os valores da tensão máxima no alumínio e no latão quando a viga é
flectida segundo o eixo horizontal com um momento M = 2 kN.m . b) O momento flector máximo admissível quando a viga é flectida
segundo o eixo horizontal.
40 60
Fig.1 La
tão
10
40
P Problema 2 A viga cuja secção transversal está indicada na Fig.2,construída em aço, foi submetida a uma flexão positiva em torno do eixo horizontal. Sabendo que o aço tem um comportamento elastoplástico com E=200Gpa e σ=300MPa resolva as seguintes alíneas:
a)-Determine o momento flector e o raio de curvatura para o qual a espessura das zonas plastificadas é de 20mm
b)- Para M= 4 kN.m, calcule:
b.1)- As tensões nas fibras mais afastadas e o raio de curvatura.
b.2)-A tensão na fibra que passa em A, bem como a deformação específica.
c) –Trace o diagrama das tensões e das deformações específicas, nas alíneas anteriores.
P Problema 3
O veio da fig.3, construído em material τ=100 MPa e G=80 Gpa, está solicitado por dois binários de torção. Calcule:
a)- O máximo valor de F
b)-Para o F calculado anteriormente qual o valor do ângulo de rotação à torção.
1,5 F F
F
2m 2m 4m
Fig.3
φ=40 φ=80
1,5 F
P Problema 4Um veio maciço foi unido a um veio oco através de 8 parafusos com 5mm de diâmetro. Sabendo que a tensão de corte do material dos veios e dos parafusos é de 100 MPa , calcule o momento Torsor máximo que se pode aplicar.
Casimiro Pi
RESOLUÇÃO
nto T2RV-130300Mat1-07.doc
Alumínio
Alumínio
Cobr
e
Cobr
e
P Problema 1Duas barras de latão (10 mm X 40 mm) e duas barras de alumínio (10 mm X 40 mm) foram unidas de modo a constituir uma viga cuja secção transversal se indica na fig.1. Sabendo que EAlumínio=70 GPa ELatão=105Gpa, σadmAlumínio=100MPa e σadmLatão=160MPa determine: a) Os valores de tensão máxima no alumínio e no latão
quando a viga é flectida segundo o eixo horizontal com um momento M = 2 kN.m
b) O momento flector máximo admissível quando a viga é flectida segundo o eixo horizontal.
40 60
Fig.1
10
40
1) - Homogeneização da secção
Uma vez que n =alumínio
Latão
EE
n =70
105 n = 1,5
a obtemos a secção homogeneizada multiplicando as dimensões horizontais do cobre por 1,5, ficando a secção transformada toda em alumínio como se representa na figura.
2) - Cálculo do I em relação à LN
I = I1 + I2
15 10
40 60
15
L.N.
M
2
1
1 1
1
30
30
I= 12. 3HB -
12. 3hb I=
1260.40 3
- 1240.10 3
I= 666666,7 mm4
I= 0,0000006666667 m4
a) - Cálculo da tensão no latão e no Alumínio
σAl = ICM 1.
σAl = 7,66666630.10.2000 3
σAl = 90 MPa
σlatão = nICM 2.
σlatão = 1,5 7,66666620.10.2000 3
σlatão = 90 MPa
b) - Fazendo σadmissível do alumínio = 100 MPa, obtém-se: σadm alunínio =maxσICM 1.
100 =7,666666
30.M
M = 2222222,3 N.mm M = 2222 N.m M = 2,222kN.mm
Casimiro Pi
Fazendo σadmissível do latão = 160 MPa, obtém-se: σadm latão =nmaxσICM 1.
160 =1,57,666666
20.M
M = 3555555,73 N.mm M = 3555,55573 N.m M = 3,555kN.mm Logo o Momento máximo admissível = 2222 N.m = 2,222 kN.m
P Problema 2 A viga cuja secção transversal está indicada na Fig.2,construída em aço, foi submetida a uma flexão positiva em torno do eixo horizontal. Sabendo que o aço tem um comportamento elastoplástico com E=200Gpa e σ=300MPa resolva as seguintes alíneas: a)-Determine o momento flector e o raio de curvatura para o qual a espessura das zonas plastificadas é de 20mm b)- Para M= 4 kN.m, calcule: b.1)- As tensões nas fibras mais afastadas e o raio de curvatura. b.2)-A tensão na fibra que passa em A, bem como a deformação específica.
c) –Trace o diagrama das tensões e das deformações específicas, nas alíneas anteriores.
a)- Cálculo do momento flector e o raio de curvatura para o qual a espessura das zonas plastificadas é de 20mm
1) - Cálculo do I em relação à LN
I = I1 + I2+ I3
I= 12. 3
11 hb +12. 3
22 hb +12. 3
33 hb
I= 1248.14 3
+ 1288.30 3
+ 1248.14 3
I=129024 +1703680 +129024
I= 1961728 mm4
I = 0,000001961728m4
I =1,961728.10-6 m4
20
48
20
14 14 30
nto T2RV-130300Mat1-07.doc
M
L.N.
44 2
1 3
44
Casimiro Pinto T2RV-130300Mat1-07.doc
20
48
20
14 14 30
M
L.N.
Plástica
Plástica
Elástica
σy=300MPa
σy=300MPay y
F1
F2
F3
F4
34
34
16
16
y
σz F
– Cálculo das forças
F1 = −300.106.0,03.0,020 F1 = −180000 N F1 = −180 kN F4 = F1 = 300.106.0,03.0,020 F4 = 180000 N F4 = 180 kN
F2 = −210.300 6
. 0,024.0,058 F2 = − 208800 N F2 = −208,8 kN
F3 = F2 = 210.300 6
. 0,024.0,058 F3 = 208800 N F3 = 208,8 kN
– Cálculo do momento flector Somando os momentos de F1 , F2, F3 e F4 em relação ao eixo dos zz vem: M = F1 . 0,034 + F2 . 0,016 + F3 . 0,016 + F4 . 0,034 M = 180 . 0,034 + 208,8 . 0,016 + 208,8 . 0,016 + 180 . 0,034 M = 18,9216 kN.m
– Cálculo do raio de curvatura
Como se tira da figura YY = 24 mm YY = 0,024 m e εY = 9
6
10.20010.300
=E
yσ=0,0015
Pela equação YY = εY . ρ ou seja 0,024 = 0,0015 ρ ρ=16 m
b.1) – Cálculo das tensões normais nas fibras mais afastadas
σsuperiores=ICM 1. =−
196172844.1000.4000 σsuperiores= − 89,72 MPa
σinferiores= ICM 2. =+
196172844.1000.4000
σinferiores= + 89,72 MPa
Casimiro Pi
Cálculo do raio de curvatura
1.ª maneira ρ
ε C= (2) mas
Eσ
ε = 9
6
10.20089,72.10
=ε ε = 0,0004486 substituindo em (2)
vem 0,0004486 ρ044,0 = ρ = 98,08 m
2.ª maneira
ρ =MEI =
4000 01,961728.1.10.200 -69
=98,08m
c) –Diagrama das tensões e das deformações específicas, nas alíneas anteriores.
nto T2RV-130300Mat1-07.doc
M
L.N.
σy=300MPa
σy=-300MPay y
σ z
σ=-89,72MPa
σ=89,72MPa
ε=-1000.20072,89
ε=-1000.20072,89
P Problema 3 O veio da figura, construído em material τ=100MPa e G=80 Gpa, está solicitado por dois binários de torção. Calcule: a)- O máximo valor de F b)-Para o F calculado anteriormente qual o valor do ângulo de rotação à torção.
1,5 F F
F
2m 2m 4m
φ=40 φ=80
1,5 F
A B
C D
a)- Cálculo do máximo valor de F Momento Torsor em D T1= F.40 T1= 40F T1= 0,04F Momento Torsor em B T2= F.80.1,5 T2= 120F T2= 0,12F TROÇO DC
Casimiro Pi
0
.IRT
=τ
2
.4
1
RRTmáx
ED πτ = 4
6
02,0.02,0.04,0.210.100
πF
= F≈ 31416 N
TROÇO DB
0
.IRT
=τ
2
.4
1
RRTmáx
ED πτ = 4
6
04,0.04,0.04,0.210.100
πF
= F≈ 251327 N
TROÇO BA
2
).(421
RRTT
πτ
+= 3
6
04,0.)12,004,0.(210.100
πFF +
= 36
04,0.16,0.210.100
πF
= F≈ 62832 N
Conclui-se que o F máx a aplicar será de F≈ 31416 N b)-Para o F calculado anteriormente qual o valor do ângulo de rotação à torção
θDA = θDC +θCB +θBA
b.1)-O ângulo de rotação θDC
0..IGLT
=θ
2)020,0(.8010
4.04,0.314164
9 πθ =DC θDC= 0,23529 Rad
b.2)-O ângulo de rotação θCB
0..IGLT
=θ
204,0..8010
2.04,0.314164
9 πθ =CB θCB= 0,0078125 Rad
b.3)-O ângulo de rotação θBA
0..IGLT
=θ
204,0.8010
2).08,0.5,1.3141604,0.31416(4
9 πθ +
=BA
204,0.8010
2.5026,564
9 πθ =BA θBA=0,031250 Rad
θDA = 0,23529 + 0,0078125 + 0,031250 = 0,2743525 Rad
P Problema 4Um veio maciço foi unido a um veio oco através de 8 parafusos com 5mm de diâmetro. Sabendo que a tensão de corte do material dos veios e dos parafusos é de 100 MPa, calcule o momento Torsor máximo que se pode aplicar.
nto
T2RV-130300Mat1-07.doc
Casimiro Pi
a .1)-Cálculo do Tmáx que troço maciço suporta
0
.IRT
=τ
2
.4m
madm R
RT=τ 4
6
020,0.020,0.10.100
πT
= T=Tmáx = 2513 N.m
a .2)- Cálculo do Tmáx que troço oco suporta
2)(
.44 rR
RTadm −
=π
τ )02,0025,0(
2.025,0.10.100 446
−=π
T T=Tmáx = 1449 N.m
a) Cálculo do Tmáx que os parafusos suportam. Os parafusos estão solicitados ao corte. Como a tensão admissível ao corte é de 100 MPa, cada parafuso suporta uma força de corte F1 de:
AF
adm =τ 100.106
40050,0. 2
1
πF
= logo o esforço em cada parafuso é de F1= 1963,5 N
Como existem 8 parafusos o esforço total suportado será: F= 8.F1= 8.1963,5 = 15708 N O esforço de corte transmitido aos parafusos na união será : T=F.R ⇒ T = 15708. 0,020 ⇒T = 314,16 N.m Logo o Momento Torsor máximo que se pode aplicar à união é 314,16 NM
nto T2RV-130300Mat1-07.doc
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