ISEL CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA SEMESTRE Mar.07 a Jul.07 2.º Teste RepetiçãoMECÂNICA DE MATERIAIS I (04-07-07)

Casimiro Pinto

T2RV-130300Mat1-07.doc

Alumínio

Alumínio

Latã

o

P Problema 1Duas barras de latão (10 mm X 40 mm) e duas barras de alumínio (10 mm X 40 mm) foram unidas de modo a constituir uma viga cuja secção transversal se indica na fig.1. Sabendo que EAlumínio=70 GPa ELatão=105Gpa, σadmAlumínio=100MPa e σadmLatão=160MPa determine: a) Os valores da tensão máxima no alumínio e no latão quando a viga é

flectida segundo o eixo horizontal com um momento M = 2 kN.m . b) O momento flector máximo admissível quando a viga é flectida

segundo o eixo horizontal.

40 60

Fig.1 La

tão

10

40

P Problema 2 A viga cuja secção transversal está indicada na Fig.2,construída em aço, foi submetida a uma flexão positiva em torno do eixo horizontal. Sabendo que o aço tem um comportamento elastoplástico com E=200Gpa e σ=300MPa resolva as seguintes alíneas:

a)-Determine o momento flector e o raio de curvatura para o qual a espessura das zonas plastificadas é de 20mm

b)- Para M= 4 kN.m, calcule:

b.1)- As tensões nas fibras mais afastadas e o raio de curvatura.

b.2)-A tensão na fibra que passa em A, bem como a deformação específica.

c) –Trace o diagrama das tensões e das deformações específicas, nas alíneas anteriores.

P Problema 3

O veio da fig.3, construído em material τ=100 MPa e G=80 Gpa, está solicitado por dois binários de torção. Calcule:

a)- O máximo valor de F

b)-Para o F calculado anteriormente qual o valor do ângulo de rotação à torção.

1,5 F F

F

2m 2m 4m

Fig.3

φ=40 φ=80

1,5 F

P Problema 4Um veio maciço foi unido a um veio oco através de 8 parafusos com 5mm de diâmetro. Sabendo que a tensão de corte do material dos veios e dos parafusos é de 100 MPa , calcule o momento Torsor máximo que se pode aplicar.

Casimiro Pi

RESOLUÇÃO

nto T2RV-130300Mat1-07.doc

Alumínio

Alumínio

Cobr

e

Cobr

e

P Problema 1Duas barras de latão (10 mm X 40 mm) e duas barras de alumínio (10 mm X 40 mm) foram unidas de modo a constituir uma viga cuja secção transversal se indica na fig.1. Sabendo que EAlumínio=70 GPa ELatão=105Gpa, σadmAlumínio=100MPa e σadmLatão=160MPa determine: a) Os valores de tensão máxima no alumínio e no latão

quando a viga é flectida segundo o eixo horizontal com um momento M = 2 kN.m

b) O momento flector máximo admissível quando a viga é flectida segundo o eixo horizontal.

40 60

Fig.1

10

40

1) - Homogeneização da secção

Uma vez que n =alumínio

Latão

EE

n =70

105 n = 1,5

a obtemos a secção homogeneizada multiplicando as dimensões horizontais do cobre por 1,5, ficando a secção transformada toda em alumínio como se representa na figura.

2) - Cálculo do I em relação à LN

I = I1 + I2

15 10

40 60

15

L.N.

M

2

1

1 1

1

30

30

I= 12. 3HB -

12. 3hb I=

1260.40 3

- 1240.10 3

I= 666666,7 mm4

I= 0,0000006666667 m4

a) - Cálculo da tensão no latão e no Alumínio

σAl = ICM 1.

σAl = 7,66666630.10.2000 3

σAl = 90 MPa

σlatão = nICM 2.

σlatão = 1,5 7,66666620.10.2000 3

σlatão = 90 MPa

b) - Fazendo σadmissível do alumínio = 100 MPa, obtém-se: σadm alunínio =maxσICM 1.

100 =7,666666

30.M

M = 2222222,3 N.mm M = 2222 N.m M = 2,222kN.mm

Casimiro Pi

Fazendo σadmissível do latão = 160 MPa, obtém-se: σadm latão =nmaxσICM 1.

160 =1,57,666666

20.M

M = 3555555,73 N.mm M = 3555,55573 N.m M = 3,555kN.mm Logo o Momento máximo admissível = 2222 N.m = 2,222 kN.m

P Problema 2 A viga cuja secção transversal está indicada na Fig.2,construída em aço, foi submetida a uma flexão positiva em torno do eixo horizontal. Sabendo que o aço tem um comportamento elastoplástico com E=200Gpa e σ=300MPa resolva as seguintes alíneas: a)-Determine o momento flector e o raio de curvatura para o qual a espessura das zonas plastificadas é de 20mm b)- Para M= 4 kN.m, calcule: b.1)- As tensões nas fibras mais afastadas e o raio de curvatura. b.2)-A tensão na fibra que passa em A, bem como a deformação específica.

c) –Trace o diagrama das tensões e das deformações específicas, nas alíneas anteriores.

a)- Cálculo do momento flector e o raio de curvatura para o qual a espessura das zonas plastificadas é de 20mm

1) - Cálculo do I em relação à LN

I = I1 + I2+ I3

I= 12. 3

11 hb +12. 3

22 hb +12. 3

33 hb

I= 1248.14 3

+ 1288.30 3

+ 1248.14 3

I=129024 +1703680 +129024

I= 1961728 mm4

I = 0,000001961728m4

I =1,961728.10-6 m4

20

48

20

14 14 30

nto T2RV-130300Mat1-07.doc

M

L.N.

44 2

1 3

44

Casimiro Pinto T2RV-130300Mat1-07.doc

20

48

20

14 14 30

M

L.N.

Plástica

Plástica

Elástica

σy=300MPa

σy=300MPay y

F1

F2

F3

F4

34

34

16

16

y

σz F

– Cálculo das forças

F1 = −300.106.0,03.0,020 F1 = −180000 N F1 = −180 kN F4 = F1 = 300.106.0,03.0,020 F4 = 180000 N F4 = 180 kN

F2 = −210.300 6

. 0,024.0,058 F2 = − 208800 N F2 = −208,8 kN

F3 = F2 = 210.300 6

. 0,024.0,058 F3 = 208800 N F3 = 208,8 kN

– Cálculo do momento flector Somando os momentos de F1 , F2, F3 e F4 em relação ao eixo dos zz vem: M = F1 . 0,034 + F2 . 0,016 + F3 . 0,016 + F4 . 0,034 M = 180 . 0,034 + 208,8 . 0,016 + 208,8 . 0,016 + 180 . 0,034 M = 18,9216 kN.m

– Cálculo do raio de curvatura

Como se tira da figura YY = 24 mm YY = 0,024 m e εY = 9

6

10.20010.300

=E

yσ=0,0015

Pela equação YY = εY . ρ ou seja 0,024 = 0,0015 ρ ρ=16 m

b.1) – Cálculo das tensões normais nas fibras mais afastadas

σsuperiores=ICM 1. =−

196172844.1000.4000 σsuperiores= − 89,72 MPa

σinferiores= ICM 2. =+

196172844.1000.4000

σinferiores= + 89,72 MPa

Casimiro Pi

Cálculo do raio de curvatura

1.ª maneira ρ

ε C= (2) mas

Eσ

ε = 9

6

10.20089,72.10

=ε ε = 0,0004486 substituindo em (2)

vem 0,0004486 ρ044,0 = ρ = 98,08 m

2.ª maneira

ρ =MEI =

4000 01,961728.1.10.200 -69

=98,08m

c) –Diagrama das tensões e das deformações específicas, nas alíneas anteriores.

nto T2RV-130300Mat1-07.doc

M

L.N.

σy=300MPa

σy=-300MPay y

σ z

σ=-89,72MPa

σ=89,72MPa

ε=-1000.20072,89

ε=-1000.20072,89

P Problema 3 O veio da figura, construído em material τ=100MPa e G=80 Gpa, está solicitado por dois binários de torção. Calcule: a)- O máximo valor de F b)-Para o F calculado anteriormente qual o valor do ângulo de rotação à torção.

1,5 F F

F

2m 2m 4m

φ=40 φ=80

1,5 F

A B

C D

a)- Cálculo do máximo valor de F Momento Torsor em D T1= F.40 T1= 40F T1= 0,04F Momento Torsor em B T2= F.80.1,5 T2= 120F T2= 0,12F TROÇO DC

Casimiro Pi

0

.IRT

=τ

2

.4

1

RRTmáx

ED πτ = 4

6

02,0.02,0.04,0.210.100

πF

= F≈ 31416 N

TROÇO DB

0

.IRT

=τ

2

.4

1

RRTmáx

ED πτ = 4

6

04,0.04,0.04,0.210.100

πF

= F≈ 251327 N

TROÇO BA

2

).(421

RRTT

πτ

+= 3

6

04,0.)12,004,0.(210.100

πFF +

= 36

04,0.16,0.210.100

πF

= F≈ 62832 N

Conclui-se que o F máx a aplicar será de F≈ 31416 N b)-Para o F calculado anteriormente qual o valor do ângulo de rotação à torção

θDA = θDC +θCB +θBA

b.1)-O ângulo de rotação θDC

0..IGLT

=θ

2)020,0(.8010

4.04,0.314164

9 πθ =DC θDC= 0,23529 Rad

b.2)-O ângulo de rotação θCB

0..IGLT

=θ

204,0..8010

2.04,0.314164

9 πθ =CB θCB= 0,0078125 Rad

b.3)-O ângulo de rotação θBA

0..IGLT

=θ

204,0.8010

2).08,0.5,1.3141604,0.31416(4

9 πθ +

=BA

204,0.8010

2.5026,564

9 πθ =BA θBA=0,031250 Rad

θDA = 0,23529 + 0,0078125 + 0,031250 = 0,2743525 Rad

P Problema 4Um veio maciço foi unido a um veio oco através de 8 parafusos com 5mm de diâmetro. Sabendo que a tensão de corte do material dos veios e dos parafusos é de 100 MPa, calcule o momento Torsor máximo que se pode aplicar.

nto

T2RV-130300Mat1-07.doc

Casimiro Pi

a .1)-Cálculo do Tmáx que troço maciço suporta

0

.IRT

=τ

2

.4m

madm R

RT=τ 4

6

020,0.020,0.10.100

πT

= T=Tmáx = 2513 N.m

a .2)- Cálculo do Tmáx que troço oco suporta

2)(

.44 rR

RTadm −

=π

τ )02,0025,0(

2.025,0.10.100 446

−=π

T T=Tmáx = 1449 N.m

a) Cálculo do Tmáx que os parafusos suportam. Os parafusos estão solicitados ao corte. Como a tensão admissível ao corte é de 100 MPa, cada parafuso suporta uma força de corte F1 de:

AF

adm =τ 100.106

40050,0. 2

1

πF

= logo o esforço em cada parafuso é de F1= 1963,5 N

Como existem 8 parafusos o esforço total suportado será: F= 8.F1= 8.1963,5 = 15708 N O esforço de corte transmitido aos parafusos na união será : T=F.R ⇒ T = 15708. 0,020 ⇒T = 314,16 N.m Logo o Momento Torsor máximo que se pode aplicar à união é 314,16 NM

nto T2RV-130300Mat1-07.doc