Navegao astronmica e derrotas 589
Trigonometria Plana e Esfrica
APNDICE AO CAPTULO 17
TRIGONOMETRIA PLANA E ESFRICA
1 INTRODUO
A Trigonometria Esfrica essencial para compreenso dos conceitos e resoluodos problemas de Navegao Astronmica e Navegao Ortodrmica. , ainda, impor-tante para entendimento dos princpios fundamentais de alguns sistemas de NavegaoEletrnica.
A Trigonometria Plana indispensvel para entendimento dos conceitos e resolu-o dos problemas de derrotas loxodrmicas, alm de ser usada em outros tipos e mtodosde navegao.
Assim, antes de prosseguir, necessrio recordar as noes e as frmulas daTrigonometria Plana e da Trigonometria Esfrica, o que possibilitar melhor compre-enso dos assuntos abordados nos Captulos seguintes.
2 TRIGONOMETRIA PLANA
I CONCEITOS E SINAIS DAS LINHASTRIGONOMTRICAS
a) Primeiro Quadrante: 0 a 90 (figura 17.A.1)
Figura 17.A.1 Primeiro Quadrante
sen a = PM = OQ ; sinal positivo (+)
cos a = OP = QM ; sinal positivo (+)
tg a =sen a
= AT ; sinal positivo (+)cos a
sec a = 1
= OT ; sinal positivo (+)cos a
cosec a = 1
= OS ; sinal positivo (+)sen a
cotg a = 1
= BS ; sinal positivo (+) tg a
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590
b) Segundo Quadrante: 90 a 180 (figura 17.A.2)
c) Terceiro Quadrante: 180 a 270 (figura 17.A.3.)
Figura 17.A.2 Segundo Quadrante
Figura 17.A.3 Terceiro Quadrante
sen a = PM = OQ ; sinal positivo (+)
cos a = OP = QM ; sinal negativo ()
tg a = sen a = AT ; sinal negativo () cos a
sec a = 1
= OT ; sinal negativo () cos a
cosec a = 1
= OS ; sinal positivo (+) sen a
cotg a = 1 = BS ; sinal negativo () tg a
sen a = PM = OQ ; sinal negativo ()
cos a = OP = QM ; sinal negativo ()
tg a =sen a
= AT ; sinal positivo (+)cos a
sec a = 1
= OT ; sinal negativo ()cos a
cosec a = 1
= OS ; sinal negativo ()sen a
cotg a = 1
= BS ; sinal positivo (+) tg a
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sen a = PM = OQ ; sinal negativo ()
cos a = OP = QM ; sinal positivo (+)
tg a =sen a
= AT ; sinal negativo ()cos a
sec a = 1
= OT ; sinal positivo (+)cos a
cosec a = 1
= OS ; sinal negativo ()sen a
cotg a = 1
= BS ; sinal negativo () tg a
Figura 17.A.4 Quarto Quadrante
QUADRANTE
LINHA
d) Quarto quadrante: 270 a 360 (figura 17.A.4)
II RESUMO DOS SINAIS DAS LINHASTRIGONOMTRICAS
PRIMEIRO SEGUNDO TERCEIRO QUARTO
0 a 90 90 a 180 180 a 270 270 a 360
SENO + + COSSENO + +TANGENTE + + SECANTE + +COSSECANTE + + COTANGENTE + +
III VARIAES DAS LINHAS TRIGONOMTRICAS
1o +1 a 0 0 a + + a 0 +1 a + + a +1
2o +1 a 0 0 a 1 a 0 0 a a 1 +1 a +
3o 0 a 1 1 a 0 0 a + + a 0 1 a a 1
4o 1 a 0 0 a +1 a 0 0 a + a +1 1 a
QUADRANTE SENO COSSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSSECANTE
0 a +1
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592
IV PRIMEIRAS RELAES ENTRE AS FUNESTRIGONOMTRICAS
sen ( a) = sen a tg ( a) = tg a sec ( a) = sec a
cos ( a) = cos a cotg ( a) = cotg a cosec ( a) = cosec a
sen (180 a) = sen a tg (180 a) = tg a
cos (180 a) = cos a cotg (180 a) = cotg a
sen (180 + a) = sen a tg (180 + a) = tg a
cos (180 + a) = cos a cotg (180 + a) = cotg a
sen (90 + a) = cos a tg (90 + a) = cotg a
cos (90 + a) = sen a cotg (90 + a) = tg a
V IDENTIDADES DA TRIGONOMETRIA PLANA
Em um crculo de raio unitrio (r = 1), teremos:
sen2 a + cos2 a= 1
tg a = tg a = tg a =
cotg a = cotg a = cotg a =
sec2 a = 1 + tg2 a sec a =
cosec2 a = 1 + cotg2 a cosec a =
sen acos a
1tg a
1cotg a
cos asen a
1cos a
+ 1 sen2 a
sen a
sen a
+ 1 sen2 a
1sen a
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VI SOMA, SUBTRAO, MULTIPLICAO E DIVISODE ARCOS
sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b
sen (a b) = sen a . cos b cos a . sen b
cos (a + b) = cos a . cos b sen a . sen b
cos (a b) = cos a . cos b + sen a . sen b
VII FUNES TRIGONOMTRICAS EM UMTRINGULO RETNGULO
No tringulo retngulo ABC (figura 17.A.5) temos:
Figura 17.A.5 Tringulo Retngulo
tg (a + b) = tg a + tg b
1 tg a . tg b
sen 2a = 2 sen a . cos a
cos 2a = cos2 a sen2 a
tg 2a = 2 tg a1 tg2 a
sen a = + 1 cos a
2 2
cos a = + 1 + cos a
2 2
tg a = +1 cos a
2 1 + cos a
tg (a b) = tg a tg b1 + tg a . tg b
sen a = 2 sen a . cos a2 2
cos a = cos2 a sen2 a2 2
tg a = 2 tg
a 2
1 tg2 a 2
1 + cos a = 2 cos2 a 2
1 cos a = 2 sen2 a 2
sen B =b
=cateto oposto
a hipotenusa
cos B =c
=cateto adjacente
a hipotenusa
tg B =b
=cateto oposto
c cateto adjacente
sec B =a
=1
c cos B
cosec B =a
=1
b sen B
cotg B =c
=1
b tg B
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594
Ainda no tringulo retngulo ABC, B e C so ngulos complementares, isto :
B + C = 90.
Ento:
sen B = b = cos C = cos (90 B)a
cos B = c = sen C = sen (90 B)a
tg B = b = cotg C = cotg (90 B)c
sec B = a = cosec C = cosec (90 B)c
cosec B = a = sec C = sec (90 B)b
cotg B = c = tg C = tg (90 B)b
VIII RESOLUO DO TRINGULO RETNGULO
Consideram-se 4 casos na resoluo dos tringulos retngulos:
1o CASO: Dados a hipotenusa e um ngulo agudo (a e B, respectivamente)
Lados: b = a . sen B ngulo: C = 90 B
c = a . cos B rea: S = 1
a2 . sen 2 B4
2o CASO: Dados um cateto e um ngulo agudo (b e B, respectivamente)
3o CASO: Dados os dois catetos (b e c)
4o CASO: Dados a hipotenusa e um cateto (a e b, respectivamente)
^ ^
^^
Lados: a = b ngulo: C = 90 Bsen B
c = b . cotg B rea: S =1 b2 . cotg B2
ngulos: tg B =b Hipotenusa: a =
bc sen B
C = 90 B rea: S =1 bc2
ngulos: sen B =b Lado: c =a
C = 90 B rea: S =1 bc =
b2 2
b) (a b) (a +
b) (a b) (a +
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IX TRINGULO PLANO OBLIQUNGULO
Seja o tringulo obliqungulo ABC da figura 17.A.6. As seguintes Leis so teis pararesoluo desse tipo de tringulo:
Lei dos Senos: a b c
sen A sen B sen C
Lei dos Cossenos: a2 b2 + c2 2 bc cos A
X RESOLUO DO TRINGULO OBLIQUNGULO
Conforme os dados do problema, distinguiremos os 4 casos possveis (figura 17.A.6).
1o CASO: Dados um lado e dois ngulos quaisquer (a, A e B)
Lados: b =a . sen B ngulo: C = 180 (A + B) sen A
c =a . sen C rea: S =
a2 . sen B . sen (A + B) sen A 2 sen A
2o CASO: Dados dois lados e o ngulo que eles formam (a, b e C)
ngulos: tg A + B = cotg C Lado: c =
a . sen C
2 2 sen A
tg A B =a b . cotg C rea: S =
ab . sen C 2 a + b 2 2
ou: tg A = a . sen Cb a . cos C
e: B = 180 (A + C)
3o CASO: Dados os trs lados (a, b e c)
==
=
2p c b a : Permetro =++
B) (A180 C :ou ; ab
b) (p a) (p
2
C sen
2ac
b c a B cos :ou ;
ac
c) (p a) (p
2
B sen
2bc
a b c Acos :ou ;
bc
c) (p b) (p
2
A sen:ngulos
222
222
+==
+==
+==
Figura 17.A.6 Tringulo Plano Obliqungulo
aC
c
A
b
B
c) (p b) (p a) (p p S : rea =
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596
4o CASO: Dados dois lados e o ngulo oposto a um deles (a, b e A)
3 TRIGONOMETRIA ESFRICA
I FINALIDADE DA TRIGONOMETRIA ESFRICA
O navegante admite que a Terra tem forma esfrica, com o propsito de simplificar asoluo dos problemas de Navegao Astronmica. Por outro lado, os astros so supostosestar projetados sobre a superfcie interna de uma imensa esfera, denominada Esfera Celes-te, de raio infinito e concntrica com a Terra.
Eis porque, quando um navegante efetua Navegao Astronmica, o seguinte procedi-mento se impe:
1o. Observar astros que lhe parecem estar na superfcie interna da Esfera Celeste; e
2o. resolver tringulos esfricos pertencentes superfcie interna dessa esfera (fi-gura 17.A.7).
A RESOLUO DESTES TRINGULOS ESFRICOS CONSTITUI, PARAO NAVEGANTE, O FIM PRINCIPAL DA TRIGONOMETRIA ESFRICA.
Figura 17.A.7 Tringulo Esfrico na Esfera Celeste
ngulos: sen B =b . sen A Lado: c =
a . sen C a sen A
C = 180 (A + B) rea: S =1 ab . sen C2
Navegao astronmica e derrotas 597
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As Tbuas para Navegao Astronmica (PUB. 229, PUB. 249, RADLER, NORIE, etc.)constituem, na realidade, uma srie de solues pr-computadas de tringulos esfricos, paratodas as combinaes possveis de Latitude, Declinao e ngulo Horrio (ou ngulo no plo),a fim de facilitar ao navegante a resoluo do tringulo de posio e a determinao rpida eprecisa do ponto no mar.
II PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS TRINGULOSESFRICOS
TRINGULO ESFRICO a poro da superfcie esfrica compreendida entre trsarcos de circunferncias mximas, cada um deles inferior a 180.
Os ngulos do tringulo esfrico ABC (figura 17.A.8) so simbolizados com as letras A,B, C e os lados opostos, com as minsculas respectivas: a, b, c. A cada tringulo esfrico ABC,de lados menores que 180, corresponde um ngulo tridrico convexo, 0ABC, cujo vrticeest no centro O da esfera. Os lados do tringulo esfrico tm por medida as faces respectivasdo ngulo tridrico correspondente. Realmente, a medida de cada lado igual medida dorespectivo ngulo central:
lado a = ngulo central BOC
lado b = ngulo central AOC
lado c = ngulo central AOB
Figura 17.A.8 Tringulo Esfrico A B C
Os ngulos do tringulo esfrico tm por medida os diedros do ngulo tridrico cor-respondente:
A = diedro OCAB B = diedro OABC C = diedro OACB
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598
| b c | < a < b + c| c a | < b < c + a| a b | < c < a + b
Propriedades dos tringulos esfricos:
1a. A soma dos 3 lados de um tringulo esfrico maior que 0 e menor que 360.
0 < a + b + c < 360
2a. A soma dos 3 ngulos de um tringulo esfrico maior que 2 retos e menor que 6 retos.
180 < A + B + C < 540
3a. Cada lado de um tringulo esfrico menor que a soma e maior que a diferena dosoutros dois.
4a. Se 2 lados de um tringulo esfrico so iguais, os ngulos opostos tambm soiguais. A recproca verdadeira.
Se a = b, ento A = B (e reciprocamente)
5a. Ao maior lado se ope o maior ngulo e vice-versa.
6a. A soma de dois ngulos menor que o terceiro acrescido de 180 e a diferena menor que o suplemento do terceiro.
A + B < C + 180 A B < 180 C
III FRMULAS GERAIS DA TRIGONOMETRIA ESFRICA
A Trigonometria Esfrica estabelece relaes convenientes entre os 6 elementos de umtringulo esfrico (3 lados e 3 ngulos), tornando possvel o clculo de 3 desses elementos,quando forem conhecidos os outros 3.
Assim, cada elemento desconhecido calculado em funo de outros 3, proporcionan-do, em cada caso, uma combinao de 4 elementos. Como so 6 os elementos de um tringulo,temos que ver quantas combinaes poderemos fazer com esses 6 elementos 4 a 4.
Deste modo, com 15 frmulas teremos abrangido todos os casos de resoluo a seguirexpostos.
1o CASO: COMBINAO DE 3 LADOS A CADA UM DOS NGULOS
Da figura 17.A.9, obtm-se: tg b = AL sec b = OLtg c = AK sec c = OK
Cnm PA
n
n
m= PA
4
46
1 x 2 x 3 x 46 x 5 x 4 x 3 15= = = = 15
Navegao astronmica e derrotas 599
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Os tringulos planos retilneos KOL e KAL permitem-nos escrever:
KL2 = OL2 + OK2 2 x OL x OK x cos a
KL2 = AL2 + AK2 2 x AL x AK x cos A
Igualando e substituindo:
sec2 b + sec2 c 2 . sec b . sec c . cos a = tg2 b + tg2 c 2 . tg b . tg c . cos A ou seja:
2 . sec b . sec c . cos a = tg2 b sec2 b + tg2 c sec2 2 tg b . tg c . cos A
Dividindo por (2) ambos os membros da igualdade acima, teremos:
sec b . sec c . cos a = 1 + tg b . tg c . cos A
Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por cos b . cos c, vir:
1 . 1 . cos a . cos b . cos c = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A . cos b . cos ccos b cos c cos b cos c
Por deduo semelhante, chegaramos s outras duas combinaes, completandoassim o grupo das chamadas FRMULAS FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMTRICAESFRICA:
2o CASO: COMBINAO DE 3 NGULOS A CADA UM DOS LADOS
Por simples aplicao da propriedade do tringulo polar ou suplementar, chega-ramos ao seguinte conjunto de frmulas:
Figura 17.A.9
Donde cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B
cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C
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600
3o CASO: COMBINAO DE 2 NGULOS A 2 LADOS OPOSTOS (ANALOGIA DOSSENOS OU LEI DOS SENOS)
Partindo das frmulas fundamentais, por fceis substituies algbricas, deduzir-amos:
4o CASO: COMBINAO DE 4 ELEMENTOS CONSECUTIVOS (FRMULA DASCOTANGENTES), NOS SENTIDOS MOSTRADOS NA FIGURA 17.A.10
Com origem nas frmulas fundamentais, chegaramos s ltimas 6 frmulas, atin-gindo o total das 15 combinaes procuradas:
Todo o trabalho restante da Trigonometria Esfrica se resume, praticamente, nasimplificao destas frmulas gerais, que so suficientes para resolver qualquer caso cls-sico que se apresente.
Acos . b cos Asen . Ccotg b sen . ccotg
B cos . a cos B sen . Ccotg a sen . ccotg
Acos . c cos Asen . Bcotg c sen . bcotg
C cos . a cos C sen . Bcotg a sen . bcotg
C cos . b cos C sen . cotg A b sen . acotg
B cos . c cos B sen . cotg A c sen . acotg
+=
+=
+=
+=
+=
+=
Figura 17.A.10
B
C
A
c
b
a
cos A = cos B . cos C + sen B . sen C . cos a
cos B = cos A . cos C + sen A . sen C . cos b
cos C = cos A . cos B + sen A . sen B . cos c
==sen asen A
sen bsen B
sen csen C
Navegao astronmica e derrotas 601
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IV SIMPLIFICAO DAS FRMULAS GERAIS NOSCASOS DOS TRINGULOS ESFRICOSRETNGULOS E RETILTEROS
TRINGULO ESFRICO RETNGULO aquele que tem um ngulo igual a 90.
TRINGULO ESFRICO RETILTERO aquele que tem um lado igual a 90.
Fazendo parte dos 3 elementos dados de um tringulo esfrico um ngulo igual a 90(tringulo esfrico retngulo), ou um lado igual a 90 (tringulo esfrico retiltero), evidenteque este elemento ir simplificar a combinao escolhida, como se verifica no quadro a seguir,no qual so apresentadas as frmulas gerais e as frmulas simplificadas que atendem reso-luo de qualquer caso dos tringulos esfricos retngulos e retilteros.
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A cos a = cos b . cos c cos A = cotg b . cotg c
cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B cos b = sen c . cos B
cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C cos c = sen b . cos C
cos A = cos B . cos C + sen B . sen C . cos a cos a = cotg B . cotg C cos A = cos B . cos C
cos B = cos A . cos C + sen A . sen C . cos b cos B sen C . cos b
cos C = cos A . cos B + sen A . sen B . cos c cos C sen B . cos c
sen a =
sen b sen b sen a . sen B sen B = sen b . sen A sen A sen B
sen a = sen c sen c sen a . sen C sen C = sen c . sen A
sen A sen C
sen b =
sen c sen B sen C
cotg a . sen c = cotg A . sen B + cos c . cos B cotg a = cotg c . cos B cotg A = cos c . cotg B
cotg a . sen b = cotg A . sen C + cos b . cos C cotg a = cotg b . cos C cotg A = cos b . cotg C
cotg b . sen a = cotg B . sen C + cos a . cos C cotg b = cotg B . sen C
cotg b . sen c = cotg B . sen A + cos c . cos A cotg B = cotg b . sen c
cotg c sen cotg C . sen B + cos a . cos B cotg c = cotg C . sen B
cotg c sen cotg C = cotg c . sen b
FRMULAS GERAIS FRMULAS SIMPLIFICADAS A = 90 a = 90
=
=
=
=
=a
= cotg C . sen A + cos b . cos A
.
. b
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602
V FRMULAS EMPREGADAS NA RESOLUO DOSTRINGULOS ESFRICOS OBLIQUNGULOS
1o CASO: DADOS OS TRS LADOS (a, b, c)
2o CASO: DADOS OS TRS NGULOS (A, B, C)
Figura 17.A.11
B
ab
C
c
A
3o CASO: DADOS DOIS LADOS E O NGULO COMPREENDIDO (A, b, c) FIGURA 17.A.11
2c b a
p sendo ; a) (p sen . p sen
c) (p sen . b) (p sen
2A
tg ++
=+=
c) (p sen . p sen
b) (p sen . a) (p sen
2C
tg
b) (p sen . p sen
c) (p sen . a) (p sen
2B
tg
+=
+=
B) (S cos . A)(S cosC) (S cos . S cos
2c
tg
2b
tg
2CB A
S sendo ; 2a
tg
+=
+=
++=+=
C) (S cos . A) (S cosB) (S cos . S cos
C) (S cos . B) (S cosA) (S cos . S cos
Navegao astronmica e derrotas 603
Trigonometria Plana e Esfrica
m cos
m) ~ (c cos . b cos a cos =
ssv A c. sen b. sen c) ~ (bssv assv +=
Para o clculo do lado a podemos empregar a frmula:
Em que o argumento auxiliar m dado por tg m = tg b. cos A ou, ento, lanar mo dafrmula do SEMI-SENO-VERSO:
oportuno recordar que se denomina semi-seno-verso (ssv) de um ngulo A expres-so:
fcil demonstrar a igualdade acima, desde que nos lembremos das seguintes iden-tidades:
multiplicando a segunda frmula por ( 1), teremos:
somando 1 a cada um dos membros, ficar:
como:
ou, ento:
2
A sen
2
A cos Acos
1 Acos Asen
22
22
=
=+
2
A sen
2
A cos Acos 22 +=
2
A sen
2
A cos 1 Acos 1 22 +=-
2
Asen A)cos (1
2
1 e ;
2
Asen 2 Acos1 22 ==
sen2 A + cos2 A
= 1, teremos: 2 2
2
Asen A)cos - (1
2
1 ssv A 2 ==
1 cos A = sen2 A + cos2 A cos2 A + sen2 A
2 2 2 22
Navegao astronmica e derrotas
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604
O semi-seno-verso (ssv) empregado na soluo do tringulo de posio em vriasTbuas para Navegao Astronmica. Em ingls, denominado haversine (hav). esta anotao empregada na Tbua Norie.
Quanto aos ngulos B e C, podem ser obtidos por meio das ANALOGIAS DE NEPER:
O lado a tambm pode ser obtido, aps o clculo dos ngulos B e C, utilizando a ANA-LOGIA DE NEPER:
4o CASO: DADOS DOIS NGULOS E O LADO COMPREENDIDO (LADO COMUM)
Dados: A, b, C
Utiliza-se a resoluo pela decomposio em tringulos retngulos.
Na figura 17.A.12, o ngulo B pode ser calculado pela frmula
2
Acotg .
2c b
sen
2c b
sen
2
C Btg
2
Acotg .
2c b
cos
2c b
cos
2
C Btg
+=
+=
+
2c b
tg .
2C B
cos
2C B
cos
2a
tg +
+
=
sen
Acos . sen B cos =
Figura 17.A.12
C
A
B
c
ab
Yd
Navegao astronmica e derrotas 605
Trigonometria Plana e Esfrica
Em que o argumento auxiliar Y dado por cotg Y = tg A . cos b, e o ngulo d = C Y.Ou, ento, lanando mo da frmula do SEMI-SENO-VERSO:
Os lados a e c podem ser calculados por meio das ANALOGIAS DE NEPER:
Calculados os lados a e c, pode-se utilizar a frmula seguinte, para calcular o nguloB, obtida da ANALOGIA DE NEPER:
5o CASO: DADOS DOIS LADOS E O NGULO OPOSTO DE UM DELES (a, b, A)
Na figura 17.A.13, temos:
2
C Atg .
2c a
cos
2c a
cos
2
Bcotg
++
=
Figura 17.A.13
m
c
dA
b a
B
2b
tg .
2C A
cos
2C A
cos
2
c atg
+=
+
2b
tg .
2C A
sen
2C A
sen
2
c atg
+=
Y d
ssv (180 B) = ssv (A + C) sen A. sen C . ssv b
C
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Trigonometria Plana e Esfrica
606
Sinais de d e d:
As grandezas m e Y sero sempre positivas.
As grandezas d e d sero positivas quando A e B forem do mesmo quadrante; quandoA e B no forem do mesmo quadrante, os valores de d e d sero precedidos do sinal (menos). Os sinais de d e d saem diretamente das frmulas acima, para cos d e cos d.
6o CASO: DADOS DOIS NGULOS E O LADO OPOSTO A UM DELES (A, B, b)
sen B =sen A . sen b
sen a
c = m + d tg m = cos A . tg b cos d =cos m . cos a
cos b
C = Y + d cotg Y = cos b . tg A cos d =cos Y . tg b
tg a
sen a =sen A . sen b
sen B
c = m + d cotg m = cos A . tg b cos d = cotg B . cos m
cotg A
C = Y + d tg Y = cos b . tg A cos d = cos Y . cos B
cos A
Figura 17.A.14
Na figura 17.A.14, temos:
AB
a
m
b
d
C
dY
c
Navegao astronmica e derrotas 607
Trigonometria Plana e Esfrica
Sinais de d e d:
Os sinais de Y e m so sempre positivos.
Os sinais de d e d so sempre iguais, pois estes so sempre do mesmo quadrante(o que acontece, igualmente, com m e Y). Os sinais de d e d saem diretamentedas frmulas acima, para cos d e cos d.
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