TRANSFORMADA DE LAPLACE
Histórico: Pierre Simon de Laplace (1749-1827), matemático francês, desenvolveu os
Fundamentos da Teoria do Potencial e fez importantes contribuições à mecânica
celeste e à teoria das probabilidades. Em sua obra “Theórie Analitique”(1812)
apresenta a transformação que leva o seu nome, isto é, a Transformada de Laplace.
Objetivo: Resolver equações diferenciais lineares que surgem na matemática aplicada.
Aplicações: Circuitos elétricos; Condução de calor; Flexão de vigas; Problemas
econômicos.
ETAPAS DA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA ATRAVÉS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Equação diferencial em t Solução da equação diferencial em t
Aplico a Transf. de Laplace Aplico a Transf. Inversa de Laplace
Equação algébrica em s Solução para f(s)
Vantagem de aplicar a Transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais
é que encontramos a solução particular, sem determinarmos a solução geral, pois as
condições iniciais são incorporadas inicialmente na resolução da equação.
Definição: Seja F(t) uma função real definida para todos valores positivos de t. Se a
integral ( ) ( )f s e F t dtst= −∞
∫ 0 existe, onde s x yj= + é uma variável complexa, a função
1
f(s) é chamada de “Transformada de Laplace da função F(t)” e é representada por
( )( )L F t . Exemplo: F(t) = 1 então ( )( )L F t =L(1) = 1s
.
Demonstração:
( )
( ) ]
( ) ]
( )
( )
( )s
L
ssL
esesL
esL
es
L
dteL
ss
st
st
st
11
11011
11111
111
11
11
0
0
0
0
=
⋅−−
⋅−=
⋅−−
⋅−=
⋅−=
−=
⋅=
⋅∞⋅
∞
∞−
∞ −∫
Propriedades:
1ª) ( )( ) ( )( )L aF t aL F t=
Exemplos: ( ) ( )tLtL 33 =
( ) ( )155 LL =
( ) ( )tt etLetL 5252 33 −− =
2ª) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )L F t G t L F t L G t+ = +
Exemplos: ( ) ( ) ( )L t e L t L et tcos cos+ = +3 3
( ) ( ) ( )tt teLtLtLtettL 3232 )(3sen()3sen( −+=−+
3ª) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )L aF t bG t aL F t bL G t+ = + Teorema da Linearidade
Exemplos: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )L e t t L e L t L t Lt t3 4 2 6 5 3 4 2 6 5 15 5− + − = − + −sen sen( )
( )( ) ( ) ( ) ( )14) 3sen(534 3sen53 22 LtLtLttL −−=−−
2
( )( ) ( )( ) ( ) ( )152 2cos452 2cos4 432432 LetLteLetteL tttt ++=++ −−
TRANSFORMADAS DE LAPLACEF(t) f(s)
1 0 0
3
2 1 s1
3t
21s
41−nt
nsn )!1( −
5ate
as −1
6atn et 1−
nasn
)()!1(
−−
7 )sen(at 22 asa+
8 )cos(at 22 ass+
9 )sen(atebt 22)( absa
+−
10 )cos(atebt 22)( absbs+−
−
11 )senh(at 22 asa−
12 )cosh(at 22 ass−
13 )senh(atebt 22)( absa
−−
14 )cosh(atebt 22)( absbs
−−−
CÁLCULO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DA TABELA E DO TEOREMA DA LINEARIDADE.
Ex: 1: 5)(3)( += ttF ?) )( ( =tFL
4
5)(3t L ) (t) F ( +=L
Aplicando o Teorema da Linearidade, temos:
2
)1(53
3L(t)) (t) F (FL
FL +=
Assim: ss
sf 1.51.3)( 2 +=
sssf 53)( 2 +=
Ex. 2: tetttF 32 456)( +−=
)]45L[(6t ) F(t) ( 32 tetL +−=
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
F5
)3tL(e 43)( 5
4)2L(t 6 ) F(t) ( +−=
FtL
FL
)L(t )L(t 1-n2 = onde 3n 21 =⇒=−n
)L(e )L(e at3t = onde 3=a
Assim:
3-s
1 . 415- s2!.6)( 23 +⋅=
ssf
34512)( 23 −
+−=sss
sf
Ex. 3: (3t) cos 2 5)( 4 += − tettF
]) (3t) cos 25t L[( ) F(t) ( 4 += − teL
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
5
8
)3( (cos 26
)4t-eL(t 5 (F(t))F
tLF
L +=
). 1-n4 att- eL(t) L(t e = onde -4a e 2n 11 ==⇒=−n
(at)) L(t)) (L( cos3cos = onde 3=a
Assim:
232 3ss2.
))4((!1.5))((
++
−−=
stFL
92
)4(5)( 22 +
++
=s
ss
sf
↓
Não precisa desenvolver o quadro.
Ex. 4: t)3(sen 6 .)( 52 −= tettF
t))] ( . e L[( tL(F(t)) t 3sen652 −=
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
7
) 3( (sen 66
5 (F(t)) 2
FtL
F)t eL(t L −=
).e L(t) eL(t atn-t 152 = onde 5a e 3n 21 ==⇒=−n
(at)) L( t)) (L( sen3sen = onde 3=a
Assim:
( )2233
365
2))((+
−−
=s
. )(s
!tFL
3
36)5(
2)( 23 +−
−=
sssf
6
Ex. 5: ( ) 4 t5)( tsenhtF +=
( ) ]5senh 4 t t L[L(F(t)) +=
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
( ) 4
)( 11
) t5L( ) F(t) ( 4
FtL
FsenhL +=
( ) ) )(atL(senh ) t5L( =senh onde 5=a
5n 41 onde )()L(t 14 =⇒=−= − ntL n
Assim:
522 s! 4
)5(5))(( +
−=
stFL
52
245
5)(ss
sf +−
=
Ex. 6: tt etetF 32 6)4sen(.)( += −
] L[ ) F(t) tt eteL 32 6)4sen(.( += −
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
5
)(6 9
))4sen(.L( ) F(t) ( 32
FeL
FteL tt += −
) )(at.sen L(e )4(.L( bt2 =− tsene t onde 4 e 2 =−= ab
3a onde )()L(e 3t == ateL
Assim:
3-s16.
4))2((4)( 22 +
+−−=
ssF
7
36
16)2(4)( 2 −
+++
=ss
sf
Ex. 7: t)7cosh(5)2cos(.)( 4 −= tetF t
t)]7cosh(5)2cos(.L[ ) F(t) ( 4 −= teL t
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
12
)t)7(cosh( 5- 10
))2cos(.L( ) F(t) ( 4
FL
FteL t=
)cos(.()2cos(.4 )L( ateLte btt = onde 2 e 4 == ab
a onde t)7( L(cosh 7))(cos() == atL
Assim:
2222 7)(-s75.
)2()4(4))(( −
+−−=
sstFL
7
752)4(
4)( 22 −−
+−−=
ssssf
↓
Não precisa desenvolver o quadro.
Ex. 8: 25 9)3cosh(..10)( ttetF t += −
]9)3cosh(..10L[ ) F(t) ( 25 tteL t += −
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
4
)t( 9 14
))3cosh(.L( 10. ) F(t) ( 25
FL
FteL t += −
)cos(.())3cosh(.5 )L( ateLte btt =− onde 3 e 5 =−= ab
3n e 21-n onde )()L(t 12 === −ntL
8
Assim:
322 s!29.
3))5(()5(10))(( +−−−
−−=s
stFL
32
189)5(
5010)(ss
ssf +−+
+=
Ex. 9: )5senh(..4)8sen(5)( tettF t−−=
]L[ ) F(t) )5senh(..4)8sen(5( tetL t−−=
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
13
t))5.senh(( 4- 7
)8L(s 5 ) F(t) ( -t
FeL
FtenL =
)(sen()8( )L(s atLten = onde 8=a
5a e b onde L(e t- =−== 1))5sen(.())5senh(. teLt bt
Assim:
2222 )5((-1))-(s54.-
)8(8.5))((
−+=
stFL
5)1(
548
85)( 22 −+−
+=
sssf
↓
Não precisa desenvolver o quadro.
Ex. 10: )cosh(5)cos(264)( ttetF t −+−−= −
]L[ ) F(t) )cosh(5)cos(264( tteL t −+−−= −
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
9
12
))(cosh(58
))(cos(25
)t-( 6- 2)L(14 ) F(t) ( tL
FtL
FeL
FL −+−=
)() ateL=t-L(e onde 1−=a
1a onde ))(cos())(L(cos == atLt
1a onde ))(cos())(L(cos == atLt
Assim:
2222 115
12
11614
−−
++
−−−=
s.
ss.
)(s. -
s.L(F(t))
1
5
1
21
64)(22 −
−+
++
−−=ss
sss
sf
A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Se ( )L F t f s( ) ( )= então a inversa de f(s) é F(t). Representamos por ( )L f s F t− =1 ( ) ( ) .
Exemplo: ( )L es
t5 15
=−
logo Ls
e t−
−
=1 51
5
Propriedades:1ª) ( )L af s aL f s− −=1 1( ) ( ( ))2ª) L f s g s L f s L g s− − −+ = +1 1 1( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))3ª) L af s bg s aL f s bL g s− − −+ = +1 1 1( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) Teorema da Linearidade
TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACEf(s) F(t)
1 0 0
10
2 s1
1
3 21s t
4ns
1 para n = 1, 2, 3, ... ( )!1
1
−
−
nt n
0! = 1
5as −
1 ate6
nas )(1
− para n = 1, 2, 3, ... ( )!1
1
−
−
net atn
0! = 1
722
1as + a
at)sen(
822 as
s+ )cos(at
922)(
1abs +− a
atebt )sen(
1022)( abs
bs+−
− )cos(atebt
1122
1as − a
at)senh(
1222 as
s− )cosh(at
1322)(
1abs −− a
atebt )senh(
1422)( abs
bs−−
− )cosh(atebt
DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
INVERSA IMEDIATA
EXEMPLO 1: ( )5
82
32 +
−+
=ss
sf ( ) ?=tF
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
11
( )( )
+−
+= −−−
58
23
2111
sL
sLsfL
( )( )
+−
+= −−−
518
21.3 2
111
sL
sLsfL
Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas:
ateas
L =
−− 11 onde no nosso exemplo →=− 2a 2−=a
e
( )a
atsenas
L =
+−
221 1
onde no nosso exemplo 552 = →= aa
Logo a função ( )tF procurada é:
( ) ( )5
583 2 tsenetF t −= −
EXEMPLO 2: ( ) ( )32 56
74
−+
+=
ssssf ( ) ?=tF
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
( )( ) ( )
−+
+= −−−
31
211
56
74
sL
ssLsfL
( )( ) ( )
−+
+= −−−
31
211
51.6
7.4
sL
ssLsfL
Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas:
( )atas
sL cos221 =
+− onde no nosso exemplo 772 = →= aa
e
( ) ( )!11 1
1
−=
−
−−
net
asL
atn
n onde no nosso exemplo 55 = →−=− aa 3=n
12
Logo a Função ( )tF procurada é:
( ) ( ) ( ) .!13
.6 7cos.4513 tetttF
−+=
−
ou ( ) ( ) tetttF 52.3 7cos.4 +=
EXEMPLO 3: ( )2
35422 −
+−=sss
sf ( ) ?=tF
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
( )( ) +
−
= −−−
sL
sLsfL 54 1
211
−−
23
21
sL
( )( ) +
−
= −−−
sL
sLsfL 1.51.4 1
211
−−
21.3 2
1
sL
Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas:
ts
L =
−
21 1
111 =
−
sL e
( )a
atsenhas
L =
−−
221 1
onde o nosso exemplo 222 aa →=
Logo a função ( )tF procurada é:
( ) ( )tttF 2senh.2
254 +−=
EXEMPLO 4: ( )96
42 +−
=ss
sf ( ) ?=tF
O denominador da ( )sf é um trinômio quadrado perfeito, portanto 962 +− ss ( ) 23−= s
Assim ( )sf( ) 23
4−
=s
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
13
( )( )( )
−
= −−2
11
34
sLsfL
( )( )( )
−
= −−2
11
31.4
sLsfL
Podemos aplicar a fórmula:
( ) ( )!11 1
1
−⋅=
−
−−
net
asL
atn
n onde no nosso exemplo 33 = →−=− aa 2=n
Logo a função ( )tF procurada é:
( )tF = ( )!124 312
−⋅− tet
ou ( ) ttetF 34=
EXEMPLO 5: ( )954
2 ++=
sssf ou ( )
95
94
22 ++
+=
ssssf ( ) ?=tF
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
( )( )
++
+= −−
95
94
2211
sssLsfL
Aplicando o Teorema da Linearidade, temos:
( )( )
+⋅+
+⋅= −−−
915
94 2
12
11
sL
ssLsfL
Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas:
( )atas
sL cos221 =
+− onde no nosso exemplo 392 = →= aa
e
( )a
atsenas
L =
+−
221 1
onde no nosso exemplo 392 = →= aa
14
Logo a função ( )tF procurada é:
3)3sen(5)3cos(4)( tttF +=
ou
)3sen(35)3cos(4)( tttF +=
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO E SUA REESCRITA
Sabemos que:
1.) ( ) 222 2 aassas ++=+ ⇒ ( ) 222 2 asaass +=++
15
2.) ( ) 222 2 aassas +−=− ⇒ ( ) 222 2 asaass −=+−
Exemplo 1:
( ) 963323 2222 ++=+⋅+=+ sssss ⇒ ( ) 22 396 +=++ sss , pois,
ss =2 , 39 = e ss 632 =⋅⋅
Exemplo 2:
( ) 963323 2222 +−=+⋅−=− sssss ⇒ ( ) 22 396 −=+− sss , pois,
ss =2 , 39 = e ss 632 =⋅⋅
Vejamos agora o seguinte:
Exemplo 1: ?1462 =++ ss
O termo s6 é resultado de ssa 62 =⋅⋅ logo 326 =÷ , Assim teremos:
kssss +++=++ 222 36146
Mas 1432 =+ k
Logo 914 −=k ⇒ 5=k
Assim 536146 222 +++=++ ssss
Ou podemos escrever ( ) 53146 22 ++=++ sss
Exemplo 2: ?862 =++ ss
O termo s6 é resultado de ssa 62 =⋅⋅ logo 326 =÷ , Assim teremos:
kssss +++=++ 222 3686
Mas 832 =+ k
16
Logo 98 −=k ⇒ 1−=k
Assim 136146 222 −++=++ ssss
Ou podemos escrever ( ) 13146 22 −+=++ sss
Exemplo 3: ?852 =+− ss
O termo s5 é resultado de ssa 52 =⋅⋅ logo 2525 =÷ , Assim teremos:
kssss +
+−=+−
222
25585
Mas 825 2
=+
k
Logo 4258 −=k ⇒
42532 −=k ⇒
47=k
Assim 47
25585
222 +
+−=+− ssss
Ou podemos escrever 47
2585
22 +
−=+− sss
DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
MÉTODO: COMPLEMENTAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
EXEMPLO 1: 2910
3)( 2 ++=
sssf ( )( ) ?1 =−
sfL
O denominador da )(sf pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio
quadrado perfeito
17
sas 102 = ⇒ 5=a
kssss +++=++ 222 5102910 Mas 2925 =+ k ⇒ 4=k
Logo ( ) 452910 22 ++=++ sss
Portanto ( ) 453)( 2 ++
=s
sf
Mas ( )
++= −−
453)( 2
1)(
1
sLfL s
Então ( ) ( )
++⋅=
++−−
4513
453
21
21
sL
sL
A qual é possível aplicar a fórmula ( )
+− 221
abs cuja inversa é a função
aatetF
bt )sen()( ⋅=
No exemplo acima temos como 5=− b ⇒ 5−=b e 42 =a ⇒ 2=a
Assim ( )
++⋅= −−
4513)( 2
1)(
1
sLfL s onde a função procurada é :
2)2sen(3)(
5 tetFt ⋅⋅=
− ou )2sen(
23)( 5 tetF t ⋅⋅= −
EXEMPLO 2: 258
5)( 2 +−=
ssssf ( )( ) ?1 =−
sfL
O denominador da )(sf pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio
quadrado perfeito
sas 82 = ⇒ 4=a
kssss ++−=+− 222 48258 Mas 2516 =+ k ⇒ 9=k
18
Logo ( ) 94258 22 +−=+− sss
Portanto ( ) 945)( 2 +−
=s
ssf
Mas ( )
+−= −−
945)( 2
1)(
1
ssLfL s
Então ( ) ( )
+−⋅=
+−−−
945
945
21
21
ssL
ssL
A qual parece ser possível aplicar a fórmula:
( )
+−−
22 absbs
cuja inversa é a função )cos()( atetF bt ⋅=
Porém para aplicarmos a referida fórmula, precisamos aplicar um artifício matemático
no numerador, isto é, acrescentar e tirar o valor corresponde a b . Neste caso
acrescentaremos 4 e diminuiremos 4.
Assim ( ) ( )
+−+−⋅=
+−−−
94445
945
21
21
ssL
ssL
( )( )
( )
+−+−⋅=
+−−−
94445
945
21
21
ssL
ssL
Separando em duas frações, temos:
( )( )
( ) ( )
+−+
+−−⋅=
+−−−−
944
9445
945
21
21
21
sL
ssL
ssL
ou ainda multiplicando por 5, temos:
( )( )
( ) ( )
+−⋅⋅+
+−−⋅=
+−−−−
94145
9445
945
21
21
21
sL
ssL
ssL
Agora poderemos aplicar as fórmulas:
19
( )
+−−
22 absbs
cuja inversa é a função )cos()( atetF bt ⋅=
e
( )
+− 221
abs cuja inversa é a função cuja inversa é a função
aatetF
bt )sen()( ⋅=
No exemplo acima temos como 4−=− b ⇒ 4=b e 92 =a ⇒ 3=a
Assim ( )( )
( ) ( )
+−⋅+
+−−⋅=
+−−−−
94120
9445
945
21
21
21
sL
ssL
ssL
onde a função procurada é
3)3sen(20)3cos(5)(
44 tetetF
tt ⋅⋅+⋅⋅= ou )3sen(
320)3cos(5)( 44 tetetF tt ⋅⋅+⋅⋅=
EXEMPLO 3: 2012
7)( 2 ++=
sssf ( )( ) ?1 =−
sfL
O denominador da )(sf pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio
quadrado perfeito
sas 122 = ⇒ 6=a
kssss +++=++ 222 6122012 Mas 2036 =+ k ⇒ 16−=k
Logo ( ) 1662012 22 −+=++ sss
Portanto ( ) 1667)( 2 −+
=s
sf
20
Mas ( )
−+= −−
1667)( 2
1)(
1
sLfL s
Então ( ) ( )
−+⋅=
−+−−
16617
1667
21
21
sL
sL
A qual é possível aplicar a fórmula ( )
−− 221
abs cuja inversa é a função
aatetF
bt )senh()( ⋅=
No exemplo acima temos como 6=− b ⇒ 6−=b e 162 =a ⇒ 4=a
Assim ( )
−+⋅= −−
16617)( 2
1)(
1
sLfL s onde a função procurada é :
4)4sen(7)(
6 tetFt ⋅⋅=
− ou )4sen(
47)( 6 tetF t ⋅⋅= −
EXEMPLO 4: 78
2)( 2 +−=
ssssf ( )( ) ?1 =−
sfL
O denominador da )(sf pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio
quadrado perfeito
sas 82 = ⇒ 4=a
kssss ++−=+− 222 4878 Mas 716 =+ k ⇒ 9−=k
Logo ( ) 9478 22 −−=+− sss
Portanto ( ) 942)( 2 −−
=s
ssf
Mas ( )
−−= −−
942)( 2
1)(
1
ssLfL s
Então ( ) ( )
−−⋅=
−−−−
942
942
21
21
ssL
ssL
21
A qual parece ser possível aplicar a fórmula:
( )
−−−
22 absbs
cuja inversa é a função )cosh()( atetF bt ⋅=
Porém para aplicarmos a referida fórmula, precisamos aplicar um artifício matemático
no numerador, isto é, acrescentar e tirar o valor corresponde a b . Neste caso
acrescentaremos 4 e diminuiremos 4.
Assim ( ) ( )
−−+−⋅=
−−−−
94442
942
21
21
ssL
ssL
( )( )
( )
−−+−⋅=
−−−−
94442
942
21
21
ssL
ssL
Separando em duas frações, temos:
( )( )
( ) ( )
−−+
−−−⋅=
−−−−−
944
9442
942
21
21
21
sL
ssL
ssL
ou ainda multiplicando por 2, temos:
( )( )
( ) ( )
−−⋅⋅+
−−−⋅=
−−−−−
94142
9442
942
21
21
21
sL
ssL
ssL
Agora poderemos aplicar as fórmulas:
( )
−−−
22 absbs
cuja inversa é a função )cosh()( atetF bt ⋅=
e
( )
−− 221
abs cuja inversa é a função cuja inversa é a função
aatetF
bt )senh()( ⋅=
22
No exemplo acima temos como 4−=− b ⇒ 4=b e 92 =a ⇒ 3=a
Assim ( )( )
( ) ( )
−−⋅+
−−−⋅=
−−−−−
9418
9442
942
21
21
21
sL
ssL
ssL
onde a função procurada é
3
)3senh(8)3cosh(2)(4
4 tetetFt
t ⋅⋅+⋅⋅=
ou
)3senh(38)3cosh(2)( 44 tetetF tt ⋅⋅+⋅⋅=
IMPORTANTÍSSIMO:
SEMPRE QUE USARMOS O ARTIFÍCIO MATEMÁTICO DE ACRESCENTAR E DIMINUIR O MESMO NÚMERO, SÉRÁ POSSÍVEL APLICAR AS FÓRMULAS:
23
( )
+−−
22 absbs
cuja inversa é a função )cos()( atetF bt ⋅=
e
( )
+− 221
abs cuja inversa é a função cuja inversa é a função
aatetF
bt )sen()( ⋅=
(Sempre ambas ao mesmo tempo)
OU AINDA :
( )
−−−
22 absbs
cuja inversa é a função )cosh()( atetF bt ⋅=
e
( )
−− 221
abs cuja inversa é a função cuja inversa é a função
aatetF
bt )senh()( ⋅=
(Sempre ambas ao mesmo tempo)
FRAÇÕES PARCIAIS ALGÉBRICAS
Para representar uma fração algébrica sob forma de uma soma de frações
algébricas mais simples, deveremos considerar:
1º) a classificação das raízes do denominador, as quais podem ser:
• Reais e não repetidas;
Exemplos:
24
a) )2(1+ss Para que 0)2( =+ss , temos que as raízes do denominador são:
2 e 0 −== ss , as quais são reais e não repetidas.
b) ( )5)4(10
2 −− sss
Para que ( ) 05)4( 2 =−− ss , temos que as raízes do denominador
são: 5 e 2 ,2 =−== sss , as quais são reais e não repetidas.
• Reais e repetidas n vezes;
Exemplos:
a) 32 )2(1+ss Para que 0)2( 32 =+ss , temos que as raízes do denominador são:
2 e 0 −== ss , as quais são reais e repetidas duas e três vezes, respectivamente.
b) ( ) 422 5)4(10
−− sss
Para que ( ) 05)4( 422 =−− ss , temos que as raízes do denominador
são: 5 e 2 ,2 =−== sss , as quais são reais e repetidas duas, duas e quatro vezes,
respectivamente.
• Complexas e não repetidas;
a) ( ) )4(321
22 ++−
sss
Para que ( ) 0)4(3 22 =++ ss , temos que as raízes do denominador
são: isis 2 e 3 ±=±= , as quais são complexas e não repetidas.
b) ( ) )9(13
22
2
++ sss
Para que ( ) 0)9(1 22 =++ ss , temos que as raízes do denominador são:
isis 3 e ±=±= , as quais são complexas e não repetidas.
• Complexas e repetidas n vezes.
a) ( ) 3222 )4(321
++−
sss
Para que ( ) 0)4(3 3222 =++ ss , temos que as raízes do denominador
são: isis 2 e 3 ±=±= , as quais são complexas e repetidas duas e três vezes.
25
b) ( ) 2242
2
)9(13
++ sss
Para que ( ) 0)9(1 2242 =++ ss , temos que as raízes do denominador
são:
isis 3 e ±=±= , as quais são complexas e repetidas quatro e duas vezes.
2º) o número de frações parciais dependerá do tipo de raízes que possuir o
denominador, que poderemos escrever da seguinte forma:
• Raízes reais e não repetidas:
nsN
csC
bsB
asA
sgsf
−++
−+
−+
−= ...
)()(
(tantas frações quanto for o número de raízes)
Exemplo:
a) ( ) 220)2(1
++=
−−+
−=
+ sB
sA
sB
sA
ss
b) ( ) ( ) 5225225)4(10
2 −+
++
−=
−+
−−+
−=
−− sC
sB
sA
sC
sB
sA
sss
• Raízes reais e repetidas n vezes:
( ) ( ) ( ) nasN
asC
asB
asA
sgsf
−++
−+
−+
−= ...
)()(
32 (tantas frações quanto for o número de
vezes que a raiz se repete)
Exemplo:
a) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 32232 22200)2(1
−−+
−−+
−−+
−+
−=
+ sE
sD
sC
sB
sA
ss
b) ( ) ( ) ( ) 32232 222)2(1
++
++
+++=
+ sE
sD
sC
sB
sA
ss
• Complexas e não repetidas; kssg += 2)(
ksBsA
sgsf
++= 2)(
)( (o denominador da fração parcial será o termo que possui raízes
complexas)
Exemplo:
a) ( ) 43)4(321
2222 +++
++=
++−
sDsC
sBsA
sss
26
b) ( ) 91)9(13
2222
2
+++
++=
++ sDsC
sBsA
sss
• Complexas e repetidas n vezes.
( ) ( )nksNsM
ksDsC
ksBsA
sgsf
++++
+++
++=
2222 ...)()(
(o denominador da fração parcial será o termo
que possui raízes complexas e será repetido tantas vezes quanto indicar o seu
expoente)
Exemplo:
( ) ( ) ( ) ( )322222223222 44433)4(321
+++
+++
+++
+++
++=
++−
sJsI
sHsG
sFsE
sDsC
sBsA
sss
As constantes ,...,,, DCBA do numerador determinamos através da resolução de
um sistema de equações lineares.
EXEMPLOS COMPLETOS
Exemplo 1: A fração algébrica ( )41
2 +ss pode ser expressa numa soma de frações
parciais algébricas mais simples da seguinte forma:
• As raízes do denominador são 0=s , que é real e não repetida e o termo 42 +s
possui raízes complexas e também não repetidas. Desta forma, temos que:
( ) 4041
22 +++
−=
+ sCsB
sA
ss
( ) 4441
222 ++
++=
+ sCs
sB
sA
ss
• Reduzindo as frações ao mesmo denominador, temos que o ( )4M 2 += ssMC
( )( )
( )44
41
2
2
2 ++++=
+ ssCssBssA
ss
( ) ( )44
41
2
22
2 ++++=
+ ssCsBsAAs
ss
Como os denominadores são iguais trabalharemos somente com os numeradores, para
que possamos determinar os valores das constantes A, B e C.
27
• Agrupando os termos semelhantes, temos:
( ) ( ) ( )AsBsCA 41 2 +++=
• Para que tenhamos uma igualdade os coeficientes dos termos do 1º membro devem
ser iguais aos respectivos coeficientes dos termos do 2º membro. Assim teremos o
seguinte sistema de equações lineares:
=⇒==
−=⇒=+
41 14
041 0
AAB
CCA
• Retomando a fração inicial, temos:
( ) 4441
222 ++
++=
+ sCs
sB
sA
ss
( ) 441
404
1
41
222 ++
++
−=
+ s
s
ssss
Reescrevendo, temos a seguinte igualdade:
( ) 4411
41
41
22 +⋅+⋅−=
+ ss
sss
Exemplo 2: A fração algébrica ( )410
22 +sss
pode ser expressa numa soma de frações
parciais algébricas mais simples da seguinte forma:
• As raízes do denominador são 0=s , que é real e não repetida e o termo 42 +s
possui raízes complexas e também não repetidas. Desta forma, temos que:
( ) ( ) 400410
2222 +++
−+
−=
+ sDsC
sB
sA
sss
( ) 44410
22222 ++
+++=
+ sDs
sC
sB
sA
sss
• Reduzindo as frações ao mesmo denominador, temos que o ( )4M 22 += ssMC
( )( ) ( )
( )444
410
22
2222
22 ++++++=
+ ssDssCssBsAs
sss
28
( ) ( )444
410
22
3223
22 ++++++=
+ ssDsCsBBsAsAs
sss
Como os denominadores são iguais trabalharemos somente com os numeradores, para
que possamos determinar os valores das constantes A, B, C e D.
• Agrupando os termos semelhantes, temos:
( ) ( ) ( ) ( )BsAsCBsDAs 4410 23 +++++=
• Para que tenhamos uma igualdade os coeficientes dos termos do 1º membro devem
ser iguais aos respectivos coeficientes dos termos do 2º membro. Assim teremos o
seguinte sistema de equações lineares:
=⇒=
==⇒==⇒=+
−=⇒=+
0 0425
410 104
0 025 0
BB
AACCB
DDA
• Retomando a fração inicial, temos:
( ) 44410
22222 ++
+++=
+ sDs
sC
sB
sA
sss
( ) 425
4002
5
410
22222 +
−+
+++=
+ s
s
ssssss
Reescrevendo, temos a seguinte igualdade:
( ) 4251
25
410
222 +⋅−⋅=
+ ss
ssss
FORMULÁRIO INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Método para determinar L-1(f(s)):
29
Método das Frações Parciais Algébricas
1º caso: O denominador da f(s) possui n raízes reais e não repetidas:
nsN
csC
bsB
asA
sgshsf
−++
−+
−+
−== ...
)()()(
(tantas frações quanto for o número de raízes)
2º caso: O denominador da f(s) possui raízes reais e repetidas n vezes:
( ) ( ) ( ) nasN
asC
asB
asA
sgshsf
−++
−+
−+
−== ...
)()()( 32
(tantas frações quanto for o número de vezes que a raiz se repetir)
3º caso: O denominador da f(s) possui raízes complexas e não repetidas;
o denominador é do tipo kssg += 2)( ou kmsssg ++= 2)(
ksBsA
sgshsf
++== 2)(
)()( ou kmss
BsAsgshsf
+++== 2)(
)()(
(o denominador da fração parcial será o termo que possui raízes complexas)
DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
)())((1 tFsfL =−
30
MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS ALGÉBRICAS.
EXEMPLO 1: ( )sf ( )53 2 +
=ss
( ) ?=tF
Precisamos escrever a função ( )sf acima sob forma de uma soma de frações mais
simples, cujas inversas sejam imediatas.
O número de frações dependerá do tipo de raízes e do número de vezes que ela
aparece no denominador da ( )sf .
As raízes do denominador da ( )sf são: ( ) 05.2 =+ss
Para o 1º fator temos, 0 02 =⇒= ss raiz real e repetida duas vezes.
Logo trata-se do 2º caso do nosso formulário:
( ) ( ) 22 00
−+
−⇒
−+
− sB
sA
asB
asA
Para o 2º fator temos, 5 05 −=⇒=+ ss raiz real e não repetida.
Logo trata-se do 1º caso do nosso formulário:
5)5(
+=
−−⇒
− sA
sA
asA
mas como já utilizamos A e B então ficará 5+s
C
Portanto
( ) ( ) 5053
22 ++
−+
−=
+ sC
osB
sA
ss ou
( ) 553
22 +++=
+ sC
sB
sA
ss
Para determinarmos os valores das constantes A, B e C deveremos efetuar a soma das
frações parciais, reduzindo-as inicialmente ao mesmo denominador, o qual deverá ser
sempre igual ao denominador da ( )sf dada inicialmente.
( ) ( )5.5 e ,m.m.c 22 +=+ sssss
Assim ( )( ) ( )
( )555
53
2
2
2 +++++=
+ ssCssBsAs
ss
31
Como os denominadores são iguais, trabalharemos somente com os numeradores.
Aplicando a propriedade distributiva, temos:22 553 CsBBsAsAs ++++=
Agrupando os termos semelhantes, temos:
( ) ( ) ( )BsBAsCA 553 2 ++++=
Igualmente os coeficientes do 1º membro com os do 2º membro, respectivamente,
temos:
==+
=+
3505
0
BBA
CA
Resolvendo o sistema, temos:
6,0 12,0 =−= BA 12,0=C
Sabemos que:
( ) 553
22 +++=
+ sC
sB
sA
ss
Substituindo as constantes A,B e C pelos valores encontrados, temos:
( ) 512,06,012,0
53
22 +++−=
+ sssss
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
( ) =
+
−
53
21
ssL
+⋅+
⋅+
⋅− −−−
5112,016,0112,0 1
211
sL
sL
sL
Aplicando as fórmulas F2, F3, F5, respectivamente, do nosso formulário temos que a
função ( )tF procurada é:
( ) tettF 512,06,0112,0 −⋅+⋅+⋅−= ou ( ) tettF 512,06,012,0 −⋅+⋅+−=
EXEMPLO 2: ( ) ( ) ( )945
2 +−=
ssssf ( ) ?=tF
32
Precisamos escrever a função ( )sf acima sob forma de uma soma de frações mais
simples, cujas inversas sejam imediatas.
O número de frações dependerá do tipo de raízes e do número de vezes que ela
aparece no denominador da função ( )sf .
As raízes do denominador da função ( )sf são: ( ) ( ) 09.4 2 =+− ss
Para o 1º fator temos 4 04 =⇒=− ss raiz real e não repetida.
Logo trata-se do 1º caso do nosso formulário: 4−
⇒− s
Aas
A
Para o 2º fator temos:
9 9 09 22 −±=⇒−=⇒=+ sss raízes complexas e não repetidas.
Logo trata-se do 3º caso do nosso formulário:9222 +
+⇒++
sBsA
asBsA
Mas como já utilizamos A então ficará .92 +
+s
CsB
Portanto
( ) ( ) 94945
22 +++
−=
+− sCsB
sA
sss
Ou
( ) ( ) 994945
222 ++
++
−=
+− sCs
sB
sA
sss
Para determinarmos os valores das constantes A, B e C deveremos efetuar a soma das
frações parciais, reduzindo-as inicialmente ao mesmo denominador, o qual deverá ser
sempre igual ao denominador da ( )sf dada inicialmente.
( ) ( ) ( )949 e 4m.m.c 22 +⋅−=+− ssss
Assim ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )94449
945
2
2
2 +⋅−−+−++=
+⋅− sssCssBsA
sss
Como os denominadores são iguais, trabalharemos somente com os numeradores.
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
CsCsBBsAAss 4495 22 −+−++=
Agrupando os termos semelhantes, temos:
33
( ) ( ) ( )BAsCBsCAs 4945 2 −+−++=
Igualmente os coeficientes do 1º membro com os do 2º membro, respectivamente,
temos:
=−=−
=+
04954
0
BACB
CA
Resolvendo o sistema, temos:
8,1 8,0 == BA 8,0−=C
Sabemos que:
( ) ( ) 994945
222 ++
++
−=
+− sCs
sB
sA
sss
Substituindo as constantes A, B e C pelos valores encontrados, temos:
( ) ( ) 98,0
98,1
48,0
945
222 +⋅−+
++
−=
+− ss
sssss
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
( ) ( ) =
+−−
945
21
sssL
+−
++
−−−−
9.8,0
91.8,1
41.8,0 2
12
11
ssL
sL
sL
Aplicando as fórmulas F5, F7 e F8, respectivamente, do nosso formulário temos que a
função ( )tF procurada :
( ) )3cos(8,03
)3sen(.8,1.8,0 4 ttetF t −+= ou
( ) )3cos(8,0)3sen(6,08,0 4 ttetF t ⋅−⋅+⋅=
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
34
1ª) Calcule a Transformada de Laplace ( )( )tFL , sendo:
a) ( ) ( ) 33 78sen52 ttetF t +−= −
b) ( ) ( )tetF t 4cos2 6−= + ( )te t 3sen4 5−
c) ( ) ( ) 104cos64 52 −+= tettF t
d) ( ) ( ) 46 26cos45 ttetF t −+=
e) ( ) ( ) 98sen43 65 +−= − tettF t
2ª) Calcule a inversa da Transformada de Laplace ( )( )sfL 1− , sendo:
a) ( )5
29
8623 −
++
−=sss
sf b) ( )( ) 32 6
581
43+
++
+=ss
ss
sf
c) ( ) ( )142
2 ++=
ssssf d) ( )
( )51013
2 ++−=
ssssf e) ( ) ( )1
232 +
−=ssssf
f) ( )9
449
382 −
−+
+=ss
ss
sf g) ( )( ) 36
77
32245 +
+−
−=sss
sf
h) ( )
+−−=
2562
2 ssssf i) ( )
++−=
100122
2 ssssf
J) ( )
++=
40122 ssssf k) ( )
+−=
2582 ssssf
3ª) Resolva as seguintes equações diferenciais, através de Laplace:
a) 06' =− yy onde ( ) 50 =y ; b) 08' =− yy onde ( ) 70 =y ;
c) 04'' =+ yy onde ( ) 40 =y e ( ) 40' =y ;
d) ( )tyy 3cos30' =− onde ( ) 00 =y ; e) ( )tyy 2cos15' =+ onde ( ) 00 =y ;
f) 09'' =+ yy onde ( ) 30 =y e ( ) 30' =y ;
g) teyy 3'' 5016 =+ onde ( ) 00 =y e ( ) 00' =y ;
h) tyyy 3632 ''' =−− onde ( ) 00 =y e ( ) 00' =y ;
i) ( )tyyy 2cos252 ''' =+− onde ( ) 00 =y e ( ) 00' =y .
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
35
1ª) a) f(s) = 442
6432
ss+
++ 2s40-
b) f(s) = ( ) ( ) 9+5+s12
+16+6+s
12+s222
c) f(s) = ( ) s10
-16+s
s6+
5-s8
23
d) f(s) = 52 s48
-36+s
s4+
6-s5
e) f(s) = ( ) s9
+64+s
32-
6+s360
26
2ª) a) F(t) = 3t2 - 38 sen(3t) + 2e5t b) F(t) = 3 + 4 cos(9t) +
25 t2e-6t
c) F(t) = 4 – 4 cos(t) +2 sen(t) d) F(t) = -3 +2t + 3 e-5t
e) F(t) = -2 +2 cos(t) +3 sen(t) f) F(t) = 8 + 3 cos(7t) –4e9t
g) F(t) = )t6sen(67
+et21
-12t t73
4 h) F(t) = )t4sen(e
41
+)t4cos(e t3t3
i) F(t) = e-6tcos(8t) – e-6tsen(8t) j) F(t) = e-6tcos(2t) – 3e-6tsen(2t)
k) F(t) = e4tcos(3t) + 34 e4tsen(3t)
3ª) a) y(t) = 5e6t b) y(t) = 7e8t c) y(t) = 4cos(2t) + 2sen(2t)
d) y(t) = -10cos(3t) + 30sen(3t) + 10et
e) y(t) = 3cos(2t) + 6sen(2t) – 3e-t f) y(t) = 3cos(3t) + sen(3t)
g) y(t) = 2e3t – 2cos(4t) - 23 sen(4t) h) y(t) = 8 – 12t + e3t – 9e-t
i) tt teet)(t)-(-y(t) 532sen42cos3 ++=
36