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7/25/2019 Texto 3_mtodos _funes Trig e Subst Trig
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CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALMtodos de IntegraoAdelmo R. de
Jesus/Ilka R. Freire/MaAmlia Barbosa
2.4
Integrais de Funes TrigonomtricasJ sabemos calcular as integrais
de senx, cosx, tgx, secx, sec
2x, etc. Resta-nos calcular integrais que
contm potencias de seno e cosseno , como dxxsen2 , dxxcos2 ,
dxxsen3 etc.Vamos dividir o estudo em dois casos.
Integrais envolvendo potncias de seno e cosseno: dx)x(cos)x(sen
nm com m, n 0
1oCaso: Um dos expoentes mpar
A idia escrever o termo que tem o expoente mpar como produto de
duas potncias, sendo uma delas
igual a 1 e manter o outro termo fixo, ou seja, se m mpar
ento
= dx)xsen()x(cos)x(sendx)x(cos)x(sen n1mnm , onde )x(sen 1m
escrito em termos de cos(x)
mediante a identidade trigonomtrica )x(cos1)x(sen22 = ; se n
mpar ento
= dx)xcos()x(cos)x(sendx)x(cos)x(sen 1nmnm , onde )x(cos 1n
escrito em termos de sen(x)
mediante a relao trigonomtrica )x(sen1)x(cos 22 = .
Exemplos: )xsen()x(sen)x(sen23
= ,
)xsen()x(sen)x(sen,)xcos()x(cos)x(cos,)xcos()x(cos)x(cos 896745
=== , etc.
Exemplo 1: dx)x(sen3 Faa )xsen()x(sen)x(sen 23 = . Escreva agora
)x(cos1)x(sen 22 = para fazer a substituio t = cos x
Temos assim: t = cos x e dt = sen x dx. Substituindo na
integral:
=++==== C3t
tdt)t1(dx)x(sen))x(cos1(dx)x(sen)x(sendx)x(sen3
2223
C3
)x(cos)xcos(
3
++
Exemplo 2: dx)x(cos)x(sen 23 Faa )xsen()x(sen)x(sen 23 = .
Escreva agora )x(cos1)x(sen 22 = para fazer a substituio t = cos
x
Temos assim: t = cos x e dt = sen x dx. Substituindo na
integral:
== dtt)t1(xsenxdxcos)xcos1(dx)x(cos)x(sen222223
C5
t
3
t 53
++= =
C5
xcos
3
xcos53
++
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Exemplo 3: dx)x(sen)x(cos 75
Faa )xcos()x(cos)x(cos 45 = (Observe que no caso de duas
potncias mpares, escolhemos a menor delas para
facilitar os clculos). Escreva 22224 ))x(sen1())x((cos)x(cos ==
para fazer a substituio t = sen(x) e
dt = cos(x) dx. Substituindo na integral:
K +=== dut)tt21(dtt)t1(dx)xcos()x(sen))x(sen1(dx)x(sen)x(cos
74272272275
2oCaso: Os dois expoentes so pares
Neste caso usamos as identidades trigonomtricas2
)x2cos(1xcos2
+= e
2
)x2cos(1xsen 2
=
Exemplo 4: xdxsenxcos 22 Neste exemplo vamos precisar tambm
escrever cos
2(2x) como
2
)x4cos(1)x2(cos
2 += (veja frmula acima)
dx4
x2cos1dx
2
x2cos1
2
x2cos1 2
=
+
= +
dx2
x4cos1
4
1dx
4
1 =
Cxdx4cos8
1x
8
1x
4
1+ = C32
x4sen
8
x+
Exemplo 5: dx)x(sen 4
)*(dx))x2(cos)x2(cos21(4
1dx
2
)x2cos(1)x(sendxxsen 2
2224 =+=
==
Observe que preciso usar novamente a identidade trigonomtrica
supra citada para escrever
2)x4cos(1)x2(cos2 += = )x4(cos
21
21 +
Da, ( * ) = Cx4sen32
1x2sen
4
1x
8
3dxx4cos
2
1x2cos2
2
3
4
1++=
+
2.5 Integrais de algumas funes irracionais com substituies
trigonomtricas
Vamos analisar algumas integrais que contm expresses
(irracionais) da forma
i) 22 xa ; ii) 22 xa + ; iii) 22 ax , onde a uma constante.
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A idia bsica fazer uma substituio de maneira que o radical seja
eliminado. No caso i) , por exemplo,
fazendo x = a sent (poderia ser x = a cost ) /2 t /2
obtemos:
costatcosat)sen(1atsenaa 222222 === .
No caso ii) fazemos x = tg t (/2 < t < /2 ) e obtemos
22 xa + = asecttsecattg1attgaa 22222 ==+=+
No caso iii) fazemos x = a sect e obtemos22 ax =
tgta1tsecaatseca 2222 ==
Observao: Nem todas integrais que contm razes precisam ser
resolvidas por substituio trigonomtrica
Por exemplo, a integral dx
x1
5
2
imediata, e tem como primitiva a funo 5arcsen(x)
Exemplo 1 : A integral dxx1 2 aparece no clculo da rea do
circulo unitrio.
De fato, sendo x2+ y
2= 1 a equao do crculo, temos no primeiro quadrante que
y2= 1 x
2, e portanto y = 2x1
Para resolver esta integral, faamos x = sen t. Da , dx = cos t
dt . Substituindo no
integrando, temos
dxx1 2 = )tdt(costsen1 2 = tcos2 dt = +
2
)t2cos(1dt = C
4
)t2sen(
2
t++
Como x = sen t temos t = arc sen(x) e tambm sen (2t) = 2 sen t
cos t = 2 sen t tsen1 2 = 2x2
x1
Finalmente, temos dxx12 = C2
x1x
2
arcsenx 2+
+
Para obter a rea do circulo unitrio lembre que arcsen(0) = 0 e
arcsen(1) = /2 . Logo,
A = 4 dxx1
1
0
2
= 4 ( C2x1x
2
arcsenx 2
+
+ |10 ) = 4 ( 2111
2
arcsen(1) 2+ ) = 4 2
2
=
Exemplo 2 :
dxx
9x 2
O integrando contm 9x 2 , que da forma 22 ax com a = 3. Devemos
fazer a substituio
dtttgtsec3dx,tsec3x == . Assim,
ttg3ttg39tsec99x222
=== e portanto
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Ct3ttg3dt3dttsec3dt)1t(sec3dtttg3dtttgtsec3tsec3
ttg3dx
x
9x 2222
+=====
A resposta deve ser dada na varivel inicial x. Como sec t = x/3
,
podemos recorrer ao tringulo retngulo ao lado.
Considerando que tg t =3
9x2 e t = arcsec (x/3), obtemos
C3
xsecarc39xC
3
xsecarc3
3
9x3dx
x
9x 222
+
=+
=
Observao: Podemos terminar a integral sem uso do tringulo acima.
De fato, 1 + tg2t = sec
2t Logo,
tg t = 1tsec2 . Como sec t = x/3 temos tg t = 19x2 =
39x
2
Exemplo 3 :A integral + dxx1 2 aparece no clculo da rea
hachurada ao lado. Fazendo x = tg t temos dx = sec2t dt .
Logo,
+ dxx12 = + dtsecttg1
22 = tsectsec 22 dt = tsec3
dt , uma integral conhecida !
Esta ltima integral foi calculada anteriormente por partes. Esta
relao com reas uma das razes que
podem ter motivado os matemticos a calcular a integral xsec3
dx
Voltando ao nosso clculo, temos:
=+4
0
31
0
2 dt)t(secdxx1 =2
1( sect tg t + ln (sec t + tg t ) ) 40
=2
1( ))12ln(12 ++ 1,147793575
Observao: A figura ao lado mostra o processo de
integrao numrica de 2x1y += no intervalo 0 x 1.A depender do
nmero de subintervalos considerados e do
mtodo utilizado temos melhores aproximaes do
resultado.
t
3
x
9
2
x
x
y
