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ndiceIntroduo ........................................................ ........................................................... ................................ 1
Captulo 1 - Representao da Terra..............................................................................................31.1 A forma da Terra ....................................................... ............................................................. ............3
1.1.1 O Geide......................................................................................................................................31.1.2 O Elipside..................................................................................................................................4
1.2 Noo de escala..................................................................................................................................51.3 Representao plana da Terra.............................................................................................................51.3.1 Coordenadas Geogrficas............................................................................................................51.3.2 Coordenadas Rectangulares.........................................................................................................61.3.3 Projeces Cartogrficas ..................................................................... ......................................111.3.4 Data geodsicos e altimtricos...................................................................................................161.3.5 Os sistemas de projeco cartogrfica.......................................................................................171.3.6 Cartas.........................................................................................................................................211.3.7 Representao de pequenas reas .............................................................. ................................23
Captulo 2 - Levantamentos Topogrficos...................................................................................262.1 Infra-estruturas cartogrficas............................................................................................................26
2.1.1 A rede Geodsica.......................................................................................................................26
2.1.2 Triangulao topogrfica...........................................................................................................292.2 Estudo do teodolito...........................................................................................................................302.2.1 Constituio do teodolito...........................................................................................................312.2.2 Nivelas.......................................................................................................................................322.2.3 A luneta .......................................................... ................................................................. ..........362.2.4 Condies para a medio de ngulos.......................................................................................37
2.3 Mtodos para determinao de coordenadas do esqueleto de apoio topogrfico .............................432.3.1 Irradiao...................................................................................................................................432.3.2 Triangulao..............................................................................................................................442.3.3 Interseces ...................................................... .............................................................. ...........452.3.4 Poligonao .................................................. .................................................................. ...........48
2.4 Medio de Distncias......................................................................................................................572.4.1 Processos de medio................................................................................................................572.4.2 Medio indirecta de distncias.................................................................................................642.5 Nivelamento ........................................................ ................................................................... ..........732.5.1 Noes de altimetria ................................................................ .................................................. 732.5.2 Mtodos de nivelamento............................................................................................................74
Captulo 3 - Outros Processos de Recolha de Informao Geogrfica ........................................ 873.1 Fotogrametria ....................................................... .................................................................. ..........87
3.1.1 Aquisio e processamento de fotografias areas......................................................................883.1.2 Escala de uma fotografia area..................................................................................................893.1.3 Estereoscopia.............................................................................................................................903.1.4 Paralaxe estereoscpica ............................................................. ................................................ 913.1.5 Utilizao e produtos obtidos a partir de fotografias areas ...................................................... 91
3.2 Sistema de Posicionamento Global (Global Positioning System - GPS)..........................................923.2.1 Princpio de posicionamento de pontos utilizando satlites artificiais.......................................92
Captulo 4 - Representao do relevo..........................................................................................964.1 Com pontos cotados ................................................... ............................................................ ..........96
4.1.1 Casos em que se utilizam pontos cotados..................................................................................964.2 Com curvas de nvel.........................................................................................................................97
4.2.1 Formas fundamentais do relevo.................................................................................................984.3 Modelos digitais de terreno ............................................................. ............................................... 100
4.3.1 Construo de um MDT ............................................... ........................................................... 1014.3.2 Exemplos de aplicao dos MDT............................................................................................102
Captulo 5 - Cartometria .................................................... ........................................................ 1045.1 Medio de reas............................................................................................................................104
5.1.1 Mtodo analtico......................................................................................................................1045.1.2 Mtodos geomtricos...............................................................................................................105
Bibliografia...............................................................................................................................................108
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Introduo
A Topografia, (do grego TOPOS (lugar) + GRAFIA (descrio)) ocupava-se
tradicionalmente da representao plana de regies pouco extensas da superfcieterrestre. A representao de uma zona restrita simplifica os problemas decorrentes de
representao causadas pela curvatura da superfcie terrestre. Contudo a representao
de zonas vizinhas e contnuas deve ser compatvel, pelo menos no mbito geogrfico
dum pas, o que tem como consequncia a necessidade de utilizar uma representao
cartogrfica que no pode ignorar o facto da superfcie terrestre ser curva.
A representao da superfcie terrestre pode ser planimtrica e altimtrica, sendo
a planimetria relativa representao bidimensional da posio dos pontos no plano da
carta e a altimetria relativa representao da distncia vertical dos pontos a umasuperfcie de referncia, o que permite fazer a representao do relevo.
A operao de recolha de informao necessria para a elaborao de uma planta
ou carta topogrfica de uma regio designada por levantamento topogrfico. Os
levantamentos topogrficos podem ser executados utilizando:
os mtodos clssicos da Topografia, que se baseiam fundamentalmente
na medio de ngulos e distncias recorrendo a instrumentos tais como
teodolitos, nveis e distanciometros;
mtodos fotogramtricos, sendo a informao obtida a partir de
fotografias areas mtricas, ou imagens numricas multiespectrais recolhidas por
sensores instalados em satlites artificiais da Terra;
o Sistema de Posicionamento Global, mais conhecido por GPS, que
utiliza receptores dos sinais emitidos pelos satlites da constelao GPS,
permitindo a determinao precisa das coordenadas dos locais onde as antenas
dos receptores so colocadas.
Quaisquer dos mtodos expostos requer, para alm do trabalho de recolha de
informao, denominado de trabalho de campo, a posterior execuo de ajustamentos e
clculos necessrios obteno das quantidades pretendidas, a que se chama
usualmente trabalho de gabinete.
Outros trabalhos do domnio da Topografia incluem por exemplo a implantao
e apoio construo de obras e a auscultao do comportamento de grandes obras de
Engenharia, tais como barragens e pontes.
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A implantao de obras consiste na transferncia para o terreno duma obra
projectada numa carta (planta). So utilizados mtodos anlogos aos dos
levantamentos topogrficos directos.
A construo de obras de grande dimenso tem de ser acompanhada comoperaes topogrficas medio de distncias e de ngulos.
Em obras de grande responsabilidade e aps a sua concluso, torna-se
necessrio, como medida de segurana, estudar periodicamente o seu
comportamento.
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Captulo 1 - Representao da Terra
1.1 A forma da Terra
A Terra um planeta aproximadamente esfrico, apresentando no entanto algunsdesvios relativamente forma esfrica, bem como irregularidades desigualmente
distribuidas na sua superfcie.
1.1.1 O GEIDE
A forma da Terra definida com base no campo gravtico terrestre, campo este
fundamentalmente resultante da fora de atraco newtoniana e da fora centrfuga
devida ao movimento de rotao da Terra. A sua superfcie, abstraindo das ondulaes
do terreno, pode ser definida pela superfcie do nvel mdio das guas do mar, supostaprolongada debaixo dos continentes. Esta superfcie de nvel, chamada GEIDE, uma
superfcie mal conhecida, no definida matemticamente, cujo estudo do mbito da
Geodesia. No entanto sabe-se que a sua forma bastante prxima da superfcie de um
elipside de revoluo achatado, diferindo dela devido existncia de ondulaes
desigualmente distribudas, provocadas por uma desigual repartio das massas na
crosta terrestre.
Superfcie fsica
Elipside
Geide
Vertical do lugar Normal ao Elipside
Figura 1 - Representao do elipside e do geide numa dada regio, onde o ngulo representa o desvio da vertical.
Aquelas ondulaes so pouco significativas, quando comparadas com as
dimenses do geide, no ultrapassando geralmente os 30 m o afastamento vertical
entre o geide e o elipside que dele mais se aproxima. Ao ngulo formado pela vertical
do lugar (normal ao geide) e pela normal ao elipside (normal) chama-se desvio da
vertical(Figura 1), este ngulo mede a inclinao do geide relativamente ao elipside e
o seu valor no ultrapassa normalmente os 10 segundos centesimais. A vertical do lugar,
por ser normal s superfcies de nvel do geide, d a direco do campo gravtico
terrestre e muito importante em Topografia pois essa direco que orienta os
instrumentos de medida.
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1.1.2 O ELIPSIDE
Dada a complexidade do geide usual utilizar como superfcie de referncia
um elipside de revoluo.
Um elipside de revoluo o slido gerado pela rotao de uma semi-elipse em
torno de um dos seus eixos. Para o caso em estudo a rotao feita em torno de eixo
polar N-S, sendo a e b respectivamente o semi-eixo equatorial e o semi-eixo polar
(Figura 2).
Vrios tm sido os geodetas que, em diferentes partes do globo, se tm dedicado
determinao do comprimento dos semi-eixos do elipside que melhor se adapta ao
Geide. Estas determinaes permitiram concluir que para diferentes regies do globo
se obtm elipsides diferentes. Por este motivo a escolha do elipside tem de ter emconsiderao a regio que se pretende representar.
N
S
a
b
a
b
x
y
z
a
Figura 2 - Elipside de revoluo com semi- eixo maior a e semi-eixo menor b.
Assim temos, entre outros, os elipsides de Bessel, Clarke, Fisher, Hayford e oWGS-84 com as seguintes caractersticas:
ELIPSIDE SEMI-EIXO MAIOR (a) SEMI-EIXO MENOR (b) ACHATAMENTO = a-ba
Bessel (1841) 6377397 m 6356079 m 1/299
Clarke (1866) 6378301 m 6356584 m 1/294
Hayford (1909) 6378388 m 6356912 m 1/297
Fischer (1960) 6378155 m 6356773 m 1/298
WGS - 84 6378137 m 6356752 m 1/298
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Em Portugal foi inicialmente utilizado o elipside de Bessel, tendo-se mais
recentemente optado pelo de Hayford. O elipside de Clarke actualmente adoptado em
Frana e nos Estados Unidos, tendo sido o de Fischer adoptado pela NASA (National
Aeronautics and Space Administration). O elipside WGS-84 adoptado como
elipside de referncia para as medies feitas com GPS (Global Positioning System).
Como se pode ver no quadro acima, o achatamento do elipside muito
pequeno, aproximando-se a forma da Terra de uma esfera. Por isso, nos trabalhos em
que no se exige grande preciso, o elipside substituido por uma esfera de raio igual
mdia dos semi-eixos.
1.2 Noo de escala
Para efectuar a representao do terreno de forma a manter a grandeza e posiorelativa dos objectos, considera-se uma certa razo constante entre o comprimento de
uma linha medida na carta e a sua homloga no terreno, razo a que se chama escala. Sese representar por o comprimento na carta e por L o mesmo comprimento no terreno, a
escala ser dada por1
L E=
, sendo E normalmente um mltiplo de 10.
Diz-se que a escala1
1
E superior escala
2
1
Ese 1 2E E< .
Nas cartas em escalas pequenas (com denominador maior ou igual a 25 000)
utiliza-se, para comodidade de trabalho, uma escala grfica, constituda por um
segmento de recta dividido em segmentos mais pequenos, que indicam a
correspondncia entre os comprimentos medidos na carta e os comprimentos seus
equivalentes no terreno (Figura 3).
1.3 Representao plana da Terra
1.3.1 COORDENADAS GEOGRFICAS
A latitude de um ponto o ngulo formado pela normal ao elipside, ou ao
geide, nesse ponto e pelo plano do equador. Conta-se de -90 a +90 a partir do
equador, positivamente no hemisfrio Norte e negativamente no hemisfrio Sul.
1000 m 500 m 0 m 1 2 3 4 Quilmetros
Figura 3- Escala grfica de uma carta.
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N
S
EO
P
Meridiano de Greenwich
Equador
Meridiano quepassa por P
-90 +90
-180 +180
Figura 4 - Representao das coordenadas geogrficas (latitude e longitude ) de umponto P.
A longitude o ngulo diedro formado pelo plano do meridiano do lugar com
o plano do meridiano de referncia e conta-se de -180 a +180, positivamente para Este
e negativamente para Oeste. Por acordo internacional adoptou-se para meridiano de
referncia o meridiano do Observatrio de Greenwich em Inglaterra.
As coordenadas geogrficas quando determinadas sobre o elipside so
denominadas de Coordenadas Geodsicas e quando determinadas sobre o Geide, em
virtude de serem determinadas por via astronmica, so denominadas Coordenadas
Astronmicas ou Naturais.
A posio de qualquer ponto da superfcie da Terra fica perfeitamente definida
atravs das suas coordenadas geogrficas e a sua altitude.
1.3.2 COORDENADAS RECTANGULARES
Quando se pretende representar numa superfcie plana zonas extensas da
superfcie terrestre, necessrio adoptar sistemas de representao plana do elipside,
visto que este no planificvel. Isto , por intermdio de uma projeco geomtrica oupor frmulas analticas de transformao, establece-se uma correspondncia biunvoca
entre os pontos do elipside definidos pelas suas coordenadas geodsicas e os pontos do
plano definidos por coordenadas rectangulares. O posicionamento relativo do elipside
de referncia e do plano cartogrfico definido por intermdio de um ponto, situado de
preferncia no centro da regio a representar, designado porponto central.
Nestas condies, os meridianos e os paralelos so representados por linhas
rectas ou curvas, sendo sempre uma linha recta o meridiano que passa pelo ponto
central da zona considerada. a este meridiano central (designado por meridiana) e recta que lhe perpendicular e passa no ponto central da regio, que se referem as
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coordenadas rectangulares, designadas por M (distncia meridiana) e P (distncia
perpendicular) (Figura 5).
A
Meridiana
PerpendicularM
P
C
Figura 5 - Representao plana de uma regio da superfcie terrestre. O ponto C oponto central. M e P so as coordenadas rectangulares que definem a posio do ponto
A, sendo M a distncia meridiana e P a distncia perpendicular.
Os sistemas de projeco, que permitem representar num plano a superfcie de
um elipside, produzem inevitveis deformaes desta, competindo Cartografia o seu
estudo e a escolha dos sistemas de projeco mais convenientes para cada caso.
Uma direco qualquer AB pode ser posicionada relativamente ao sistema de
coordenadas rectangulares atravs do ngulo que forma com a direco da recta
meridiana. Este ngulo chama-se azimute cartogrfico ou rumo da direco AB,
representa-se por (AB) e, tendo vrtice no ponto A, conta-se no sentido retrgrado
(sentido dos ponteiros do relgio) a partir da direco definida pela meridiana, que
corresponde direco do Norte Cartogrfico, at direco definida pelos pontos A e
B (Figura 6). O rumo de uma direco varia entre zero e 400 grados.
A
B
(AB)
N.C.
Figura 6 - Rumo da direco definida pelos pontos A e B, que se representa por (AB).
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NOTA:
E
A
B
E
A
B
AB
BA
Figura 7 - Os ngulos AB e BA, descritos no sentido retrgrado, so os nguloscomplementares indicados na figura.
Os ngulos em Topografia so sempre descritos no sentido retrgrado. Deste
modo, duas semi-rectas com a mesma origem, como as semi-rectas EA e EB
representadas na Figura 7, definem dois ngulos distintos, o ngulo AB e o nguloBA. Note-se que 400AEB BEA g+ =
1.3.2.1 Principais problemas com coordenadas rectangulares
1 - Transmisso de Rumos
a) Clculo do Rumo Inverso
Suponhamos que se conhece o rumo da direco [AB] no sentido de A para B e
se pretende conhecer o rumo da mesma direco, mas agora no sentido de B para A. Ou
seja, conhece-se (AB) e pretende-se conhecer (BA).
Dado: (AB) Pedido: (BA)
A
B
(AB)
N.C.
(BA)
(BA)N.C.
N.C.N.C.
(AB)
B
A
a) b)Figura 8 a) e b) - Rumo de uma direco (AB) e rumo inverso (BA).
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Observando a Figura 8a) pode-se concluir que:
(BA) = (AB) + 200g
Se os pontos A e B estiverem na posio indicada na Figura 8b) tem-se que(BA) = (AB) - 200g
Logo,
(BA) = (AB) 200g
considerando-se "+" quando (AB) < 200g e "-" quando (AB) > 200g.
b) Transporte de Rumos
Conhece-se o rumo da direco [AB] e o ngulo BC ou CB
(BC = 400g - CB) e pretende-se calcular o rumo da direco AC. Ou seja:
Dados: (AB); BC ou CB Pedido: (AC)
N.C.
(AB)
(AC)
A
B
C
Figura 9 - Transporte de rumos.
Observando a Figura 9 pode-se concluir que:
(AC) = (AB) + BC
ou, como 400BAC CAB=
(AC) = (AB) +400 - CB
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2 - Transporte de Coordenadas
O problema de transporte de coordenadas permite determinar as coordenadas de
um ponto B a partir das coordenadas de outro ponto A, conhecendo a distncia AB
entre os dois pontos e o rumo da direco que definem.
Dados: MA; PA; AB ; (AB) Pedido: MB; PB
Observando a Figura 10 pode-se concluir que:
MB - MA = AB sin (AB) e PB - PA = AB cos (AB)
deste modo:
MB = MA + AB sin (AB) e PB = PA + AB cos (AB)
O
A
B
(AB)
N.C.M
PMA
PB
MB
PA
Figura 10 - Transporte de coordenadas.
3 - Clculo de Rumos
Pretende-se neste ponto calcular o rumo de uma direco definida por dois
pontos, cujas coordenadas rectangulares so conhecidas.
Dados: MA; PA; MB; PB Pedido: (AB)
Observando a Figura 10 pode-se concluir que:
( )tan B A
B A
M MAB
P P
=
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Expresso que permite determinar o rumo (AB) sem ambiguidade uma vez que o
numerador tem o sinal do seno de (AB) e o denominador o sinal do coseno de (AB).
4 - Clculo de distncias
Pretende-se, conhecidas as coordenadas rectangulares de A e B, determinar a
distncia entre estes pontos.
Dados: MA; MB; PA; PB Pedido: AB
Observando a Figura 10 tambm se pode concluir que:
AB = (MB - MA)2 + (PB - PA)2
Ou, calculando o rumo de (AB), pode-se obter AB atravs de uma das
expresses seguintes:
AB =MB - MAsin (AB)
AB =PB - PAcos (AB)
1.3.3 PROJECES CARTOGRFICAS
A representao de zonas da superfcie da Terra implica o clculo das
coordenadas de pontos na sua superfcie. Quando se trata de zonas extensas o clculo
dessas coordenadas tem de ter em considerao a curvatura da Terra, e do domnio da
Geodesia. Quanto sua representao plana, ela s possvel atravs de sistemas de
projeco cartogrficas, sendo este assunto do domnio da Cartografia.
Como a forma da Terra no se afasta muito da forma de uma esfera, e para
simplificar o problema, vamos consider-la esfrica para estudar algumas projeces
cartogrficas.
No possvel representar exactamente num plano a superfcie de uma esfera
(ou esferide), da mesma forma que no possvel planificar a casca de uma laranja
sem a rasgar. Sendo assim, qualquer que seja o mtodo usado para representar sobre um
plano uma grande rea da superfcie da Terra, haver sempre distores.
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As projeces cartogrficas consistem em transformar as coordenadas
geogrficas, latitude e longitude em coordenadas rectangulares M e P. Ou seja,
pode-se dizer que as projeces cartogrficas so funes matemticas da seguinte
forma:
( , )
( , )M
P
M f
P f
=
=
Projeces ideais, sem distores, deveriam satisfazer as seguintes condies:
1) todas as distncias e reas representadas no mapa deveriam ter uma
magnitude relativa correcta;
2) todos os azimutes e ngulos deveriam estar correctamente representados nomapa;
3) todos os crculos mximos da Terra deveriam aparecer no mapa como linhas
rectas;
4) as latitudes e longitudes geodsicas de todos os pontos devem aparecer
correctos no mapa.
no entanto impossvel satisfazer todas estas condies num mesmo mapa,
podendo apenas satisfazer-se algumas delas numa representao plana. Podem-se assim
considerar algumas classes de projeces cartogrficas:
1) Projeces conformes ou ortomrficas - do origem a mapas que representam
correctamente os ngulos entre quaisquer pares de pequenas linhas que se
intersectem, fazendo com que pequenas reas apaream no mapa com a sua
forma correcta. Como a escala varia de ponto para ponto a forma de grandes
reas representada incorrectamente.
2) Projeces equivalentes - resultam em mapas em que as reas so
representadas nas suas dimenses relativas correctas, embora estas reas
tenham uma forma muito diferente da correcta e os mapas tenham ainda
outros defeitos.
3) Projeces afilticas Projeces que no so conformes nem equivalentes.
Sublinhe-se que, por exemplo, no se podem fazer medies de reas num mapa
que no tenha sido produzido utilizando uma projeco equivalente.
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1.3.3.1 Tipos de projeces
Todas as projeces so obtidas calculando os valores deMe P correspondentes
a cada par de valores e de pontos dos paralelos e meridianos, usando funesfMe fP.
Podem no entanto distinguir-se dois mtodos diferentes de construir a projeco:
1) projeces geomtricas;
2) projeces analticas.
Nas projeces geomtricas selecciona-se uma superfcie planificvel, como por
exemplo um plano, um cone ou um cilindro, de modo que intersecte ou seja tangente
Terra. Escolhe-se ento um ponto como centro de projeco e consideram-se linhas que
unem o centro de projeco com os pontos da superfcie da Terra, prolongando-se essas
linhas at que se intersectem com a superfcie do mapa. As projeces geomtricas
podem ser azimutais, cnicas ou cilndricas.
1.3.3.2 Projeces azimutais
A projeco cartogrfica mais fcil de visualizar a projeco em que a
superfcie de projeco um plano tangente Terra num ponto. Existem ento trs
possibilidades para a localizao do centro de projeco:
O
D
D'C
C'
B
B'A
P
A
A
D''
D' D
T
C''B''
C'B'
C B
A
BC
D
E
T
A'B'C'
E'D'
a) b) c)
Figura 11 - Projeces: a) gnomnica. b) estereogrfica. c) ortogrfica.
1) o centro de projeco o centro da esfera - projeco gnomnica;
2) o centro de projeco a extremidade oposta ao ponto de tangncia do
dimetro da esfera que passa por este - projeco estereogrfica;
3) o centro de projeco est no infinito, sendo neste caso as linhas de projeco
paralelas entre si - projeco ortogrfica.
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As projeces azimutais podem ainda ser classificadas em:
polares ou normais, quando o ponto de tangncia o polo
equatoriais ou transversas, quando o ponto de tangncia o equador
oblquas, quando o ponto de tangncia algures entre o equador e o polo.
1.3.3.3 Projeces cnicas e cilndricas
Ao contrrio de uma esfera, tanto um cone como um cilindro so figuras que se
podem planificar sem quaisquer distores, e so por isso utilizadas em projeces
cartogrficas. Tal como as projeces azimutais, as projeces cnicas e cilndricas
podem ser classificadas em funo da posio do cone ou cilindro em relao esferaque representa a Terra.
Classificao Projeces Cnicas Projeces Cilndricas
Projeco
Normal
o eixo do cone coincide com oeixo polar da esfera
o eixo do cilindro coincide com oeixo polar da esfera
Projeco
Transversa
o eixo do cone perpendicularao eixo polar da esfera
o eixo do cilindro perpendicularao eixo polar da esfera
Projeco
Oblqua
o eixo do cone inclinado
relativamente ao eixo da esfera
o eixo do cilindro inclinado
relativamente ao eixo da esfera
Quando o apex do cone que vai ser usado como superfcie de projeco est
sobre o eixo polar, ao colocar-se este sobre a esfera ele fica apoiado num crculo de
latitude a que se chama paralelo standard. medida que a altura do cone aumenta o
paralelo standard vai-se aproximando do equador. Finalmente, quando o paralelo
standard coincide com o equador, os elementos do cone tornam-se paralelos e o cone
transforma-se num cilindro. Quando a altura do cone diminui, o paralelo standard vai-se
deslocando para latitudes mais elevadas, e finalmente o cone transforma-se num planotangente esfera no polo. Deste modo se mostra que as projeces sobre planos
(projeces azimutais) e cilindros (projeces cilndricas) so casos particulares de
projeces cnicas.
Uma vez que um cone tangente a uma esfera tem um paralelo de altitude comum
com a esfera, a sua representao no mapa ser em verdadeira escala, aumentando as
distores de escala medida que os pontos estejam mais para norte ou sul do paralelo
standard. Por esta razo muitas das projeces cnicas utilizam um cone que intersecta a
esfera em dois paralelos standard, para minimizar as distores de escala.
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Figura 12 - a) Um cone tangente a uma esfera. b) Um cone tangente a uma esfera com oparalelo standard mais prximo do equador. c) Um cilindro tangente a uma esfera noequador. d) Cone com o paralelo standard a uma latitude mais elevada. e) Plano tangentea uma esfera no polo.
Nas projeces analticas no existe nenhum ponto de projeco, so utilizadas
as funes fMefP para calcular os valores deMe P correspondentes a cada par , .
As projeces analticas podem apresentam caractersticas semelhantes s das
projeces geomtricas. Por exemplo uma projeco analtica que transforme os
meridianos e paralelos em linhas semelhantes s imagens dos meridianos e paralelos por
uma projeco geomtrica cnica, diz-se uma projeco pseudo-cnica.Algumas das
projeces cartogrficas usadas em Portugal so:
Projeco de Lambert -projeco cnica conforme, com dois paralelos standard.
Figura 13 Projeco de Lambert cnica e conforme
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Projeco de Bonne projeco analtica pseudo-cnica equivalente. O conecartogrfico disposto em posio normal e tangente ao paralelo do ponto central.
Projeco de Gauss - projeco de Mercator transversa - uma projeco
analtica conforme, sobre um cilindro tangente Terra no meridiano central.
Figura 14 Projeco de Mercator transversa
1.3.4 DATA GEODSICOS E ALTIMTRICOS
Um datum (no plural data) um conjunto de quantidades numricas ou entidades
geomtricas que so utilizadas como referncia para outras quantidades numricas ougeodsicas. Consideram-se os data geodsicos, para definir posies geodsicas
elipsidais (latitudes, longitudes e altitudes geodsicas) e rectangulares dos pontos do
terreno; e os data altimtricos, para definir as altitudes ortomtricas (relativamente ao
geide) dos pontos do terreno.
Os data geodsicos podem ser locais ou globais. Um datum local constitudo
por um elipside de referncia, posicionado num ponto terrestre de coordenadas
astronmicas conhecidas de forma a que as coordenadas elipsidais desse ponto
coincidam com as coordenadas astronmicas. Um datum global constitudo por um
elipside de referncia, posicionado de modo a que o seu centro coincida com o centro
de massa da Terra e o seu eixo polar coincida com a posio mdia do eixo de rotao
da terra.
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Figura 15 Representao de um elipside local e de um elipside global.
Caso se pretenda representar a totalidade da superfcie terrestre ou um
hemisfrio, adoptado um datum global, designando-se o elipside associado por
elipside geocntrico. Saliente-se que o afastamento vertical entre o geide e o
elipside que dele mais se aproxima no ultrapassa os 30 m.
Caso se pretenda representar uma pequena zona do globo, como por exemplo um
continente ou um pas, escolhemos um datum local, tambm denominado por
astronmico. Saliente-se que o elipside associado a um datum local no necessariamente um elipside geocntrico.
Designa-se por ponto astronmico fundamental o ponto de um datum local
onde efectuada a coincidncia entre as coordenadas astronmicas e geodsicas.
1.3.5 OS SISTEMAS DE PROJECO CARTOGRFICA
Por sistema de projeco cartogrfica entende-se um conjunto formado por:
um datum geodsico,
um ponto central
um factor de escala, prximo da unidade
uma origem para as coordenadas cartogrficas
De entre os sistemas de projeco cartogrfica utilizados em Portugal,
salientamos:
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Sistema Puissant-Bonne:
As coordenadas geogrficas da rede geodsica so calculadas sobre o elipside
de Puissant, com origem no vrtice Lisboa ( Castelo de S. Jorge) de coordenadas
38 42 56 .73 , 0 0 0 .00o oN = =
As correspondentes coordenadas rectangulares so relativas projeco pseudo-
cnica de Bonne, com origem no vrtice Lisboa.
Este sistema de projeco foi utilizado na primeira carta topogrfica de Portugal
executada em moldes cientficos modernos, a Carta Geral do Reyno, escala
1:100 000, cujo levantamento decorreu na segunda metade do sculo XIX.
Sistema Bessel-Bonne :
Nos finais do sculo XIX foi adoptado o sistema Bessel-Bonne. As coordenadas
geogrficas da rede geodsica so calculadas sobre o elipside de Bessel, com origem
no vrtice Lisboa ( Castelo de S. Jorge) de coordenadas
38 42 43 .631 , 9 07 54.806o oN = =
As correspondentes coordenadas rectangulares so relativas projeco pseudo-
cnica de Bonne, com origem no ponto central.
NOTA:
Nos sistemas que utilizam como origem das coordenadas o ponto central, a
direco N-S cartogrfico a direco definida pela representao plana do meridiano
central (meridiano que passa pelo ponto central). Nestas condies, e uma vez que os
ngulos so descritos no sentido retrgrado, no nosso pas, o primeiro quadrante (M>0,
P>0) o N-E; o segundo quadrante (M>0; P
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Figura 16 - Sistema Portugus de coordenadas rectangulares.
Os sistemas Hayford-Gauss
No sistema Hayford-Gauss Antigo (HGA) as coordenadas geogrficas da rede
geodsica so calculadas sobre o elipside de Hayford, com origem no vrtice Lisboa
(Castelo de S. Jorge) de coordenadas
38 42 43 .631 , 9 07 54 .862o oN = =
As correspondentes coordenadas rectangulares so relativas projeco de
Gauss, com origem no ponto central.
O sistema Hayford-Gauss Militar (HGM), deriva do sistema anterior por uma
translao da origem das coordenadas cartogrficas para o ponto fictcio, situado a S-W
do Cabo de S. Vicente e distanciado 200 Km para Oeste e 300 Km para Sul do ponto
central e com eixos paralelos aos do Sistema HGA. Esta deslocao tem como
consequncia imediata colocar todo o territrio de Portugal Continental no primeiro
quadrante, o que significa que todos os pontos tm coordenadas militares positivas.
Tem-se ento que as coordenadas militares MHGM e PHGM so obtidas atravs de:
200 , 300HGM HGA HGM HGAM M km P P km= + = +
M +P -
M +
P +
M -
P +
M -P -
+-
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Figura 17 Origem das coordenadas do Sistema Hayford Gauss Militar.
Aps 1973 foi considerado o sistema Hayford-Gauss Moderno, tambm
conhecido por sistema do datum 73 (SHG73). Neste sistema as coordenadas geogrficas
da rede geodsica so calculadas sobre o elipside de Hayford, com origem no vrtice
Melria com as seguintes coordenadas
39 40 , 8 07 54 .862o o = =
Deve notar-se que, embora o ponto central dos SHGA e SHGM seja definido
pelas mesmas coordenadas geodsicas elipsoidais do que o ponto central do SHG73,
devido mudana do ponto de fixao do elipside de Hayford de Lisboa para Melria,
aquelas coordenadas no identificam o mesmo ponto do terreno. Para minimizar
globalmente as diferenas entre as coordenadas cartogrficas SHG73 e SHGA, a origem
das coordenadas cartogrficas do SHG73 sofre uma pequena translao relativamente
ao ponto central:
73 73
73 73
180.598
86.990HG HG
HG HG
M M m
P P m
= +
=
Assim, as diferenas entre as duas coordenadas so inferiores a poucos metros
em todo o territrio.
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1.3.6 CARTAS
A informao, qualitativa e quantitativa, relativa aos fenmenos de natureza
fsica, humana, etc., que se distribuem espacialmente sobre a superfcie terrestre,
designada por informao geogrfica. Acartografia topogrfica tem como objectivo arepresentao plana da informao geogrfica designada por informao topogrfica: o
relevo, as linhas de gua, a vegetao, construes, vias de comunicao, redes de
transporte de energia. etc.. A informao geogrfica no topogrfica (demografia,
exposio solar, pluviosidade, aptido para construo, etc.) designada por informao
temtica e a sua representao sobre uma base topogrfica designada porcartografia
temtica.
As representaes cartogrficas so classificadas em trs categorias: os mapas
geogrficos, as cartas e as plantas topogrficas. Designam-se pormapas geogrficos as
representaes de informao topogrfica a escalas inferiores a 1:500 000, que podem
utilizar uma esfera para substituir o geide como superfcie de referncia. As cartas
topogrficas so representaes nacionais ou regionais a escalas iguais ou superiores a
1:500 000 e geralmente inferiores a 1:10 000. So de grande utilidade para o engenheiro
em estudos gerais de vias de comunicao, de hidrulica, etc. As plantas topogrficas
so representaes de mbito local, a escalas iguais ou superiores a 1:10 000.
As cartas que derivam directamente de um levantamento denominam-se decartas de base, e as cartas obtidas a partir das cartas de base, com ou sem reduo
destas, so chamadas cartas derivadas, entre as quais se contam as cartas temticas,
como por exemplo as cartas geolgicas, florestais, etc..
Nas cartas e nas plantas, a representao do terreno feita tanto em planimetria
como em altimetria. Por planimetria entende-se a representao bidimensional da
posio dos pontos na carta e por altimetria a representao do relevo. Esta ltima
normalmente feita por intermdio de curvas de nvel ou pontos cotados.
Numa carta esto traados os meridianos e os paralelos, e tambm as linhas
rectas paralelas aos eixos rectangulares, que se denominam as rectas meridianas e as
rectas paralelas, cujo conjunto constitui a quadrcula da carta.
As rectas paralelas recta meridiana formam com as linhas que representam os
meridianos na carta, um ngulo que aumenta medida que nos afastamos do meridiano
origem. Esse ngulo denomina-se aconvergncia dos meridianos, e pode, sem grande
erro, ser considerado constante nas zonas em que se divide a carta de um pas. Sendo o
Norte Cartogrfico (N.C.) a direco definida pelo meridiano central e o Norte
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Geogrfico (N.G.) a direco definida pelos outros meridianos representados na carta,
pode-se dizer que a convergncia dos meridianos o ngulo formado pelo N.C. e pelo
N.G. (ver Figura 18).
Figura 18 Quadrcula de uma carta e representao do ngulo formado pelo NorteCartogrfico e Norte Geogrfico, denominado de convergncia dos meridianos.
Usualmente indica-se na margem das folhas as direces do Norte Geogrfico,
do Norte Cartogrfico e do Norte Magntico (N.M.), elementos que so destinados a
permitir a orientao de direces quando se conhece ou o rumo Cartogrfico, ou o
rumo Geogrfico, ou o azimute ou rumo Magntico (Figura 19).
..
.G. .C.
1
Figura 19 - Ao ngulo , formado pelas direces do N.G. e do N.M., chama-sedeclinao magntica. Ao ngulo , formado pelas direces do N.G. e do N.C.,chama-se convergncia de meridianos. O ngulo 1, formado pela direco do N.M. e doN.C., a declinao relativamente quadrcula da carta.
Se for a declinao magntica (ngulo formado pela direco do Norte
Magntico e pela direco do Norte Geogrfico) e a convergncia dos meridianos,tem-se que a declinao relativamente quadrcula da carta 1 dada por:
1 =
Meridiana
Perpendicular C
(NC) (NC)(NG)
- Convergncia dos meridianos
Meridiana
Perpendicular C
(NC) (NC)(NG)
- Convergncia dos meridianos
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aplicando-se o sinal positivo (negativo) quando o ponto considerado estiver situado a
Leste (Oeste) do meridiano origem.
1.3.6.1 Cartas em Portugal
Os principais produtores portugueses de cartografia so o Instituto Geogrfico
Portugus, formado em 2002 e integrando os entretanto extintos Instituto Portugus de
Cartografia e Cadastro (IPCC) e o Centro Nacional de Informao Geogrfica (CNIG),
e o Instituto Geogrfico do Exrcito (IGeoE). Em Portugal as cartas mais utilizadas
relativas a grandes extenses so as cartas de base do antigo IPCC, disponveis por
exemplo nas escalas 1:50 000 e 1:100 000 e a carta 1:25 000 do Instituto Geogrfico do
Exrcito (IGeoE). Existem ainda mais cartas em vrias escalas inferiores, tais como a
1:200 000 do IPCC.
Quanto s cartas de maiores escalas, as mais usadas so as de 1:10 000, 1:5 000,
1:2 000, 1:1 000, 1:500, competindo ao Engenheiro a sua escolha de acordo com a
natureza do trabalho a realizar. Est em fase de execuo por parte do Instituto
Geogrfico a cobertura nacional na escala 1:10 000. As cartas em escalas maiores so
da competncia das administraes regionais, nomeadamente Cmaras Municipais.
No h normas rgidas para a escolha da escala das cartas a utilizar, existindo, no
entanto, casos em que a escala est mais ou menos consagrada. Assim, nos
levantamentos de povoaes usam-se, para estudos de urbanizao, redes dedistribuio de guas, de evacuao de esgotos e de energia elctrica, levantamentos nas
escalas 1:1 000 e 1:2 000; nos estudos de pormenor de obras usam-se cartas com escalas
de 1:100 a 1:500.
1.3.7 REPRESENTAO DE PEQUENAS REAS
Vamos de seguida mostrar que, se as zonas que se pretendem representar so
pouco extensas, admissvel considerar a Terra como uma superfcie plana, podendo-se
substituir o elipside de referncia por um plano que lhe tangente no ponto central da
regio a representar, cometendo-se um erro inferior ao erro de graficismo. Falta agora
saber at que dimenses se pode fazer a referida substituio, o que vai evidentemente
depender da escala da representao.
Considerando a Terra como esfrica, de centro O e raio mdio R=6400 Km, seja
D a maior das distncias, sobre a superfcie de referncia, entre o ponto central e a
fronteira de uma regio a representar. Sejam ainda A e B dois pontos do terreno cujas
projeces ortogonais sobre a superfcie de referncia so respectivamente a e b, sendo
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b' o ponto de interseco da recta projectante de B sobre b, com o plano tangente
superfcie de referncia no ponto a (Figura 20).
Figura 20
Determinem-se agora as distncias D e D':
D = ab = R (com em radianos) (1)
D' = ab' = R tan
deste modo,
D = D' - D = R(tan - )
Uma vez que quando toma valores pequenos se pode truncar odesenvolvimento de tg em srie de Mac-Laurin sem cometer um erro considervel,
tem-se que
tan +33
logo D poder-se- escrever da seguinte forma:
D
R 3
3
aD
D'b
b'
B
M
O
A
R
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e como de (1) se pode tirar que =DR tem-se
D D3
3 R2
Quando D puder ser considerado nulo pode-se substituir a superfcie de
referncia (neste caso uma esfera) pelo plano que lhe tangente no ponto central da
zona a representar. Quando se faz a representao da rea numa carta, D pode ser
considerado nulo quando for inferior ao erro de graficismo, que aproximadamente
0.1 mm. Assim, se a escala da carta for 1/E, poderemos substituir o elipside por um
plano tangente superfcie quando:
D
E < erro de graficismo (0.1 mm = 10-7 Km)
ou seja, quando
D3
3 R2 E< 10-7 D 2 o topo
da torre aparecer mais prximo do observador do que a sua base, e o observador ter
uma viso tridimensional da torre. A viso estereoscpica de imagens muito
importante tanto para a fotogrametria mtrica como interpretativa.
3.1.4 PARALAXE ESTEREOSCPICA
O termo paralaxe utilizado para indicar o movimento da imagem de um objecto
fixo em relao a outro objecto fixo quando o ponto de observao est em movimento.
Se olharmos atravs da janela de um comboio em movimento, vemos os objectos mais
prximos a deslocarem-se a uma velocidade maior do que os mais afastados. O
deslocamento relativo destes objectos chama-se paralaxe (os objectos mais prximos
deslocaram-se aparentemente mais do que os mais afastados, logo tm uma paralaxe
maior). Ao utilizarmos uma cmara area para tirar fotografias em intervalos de tempoconstantes, de modo que exista sobreposio da regio fotografada, ela vai registar a
posio das imagens nos vrios instantes de exposio. A mudana de posio dos
pontos de uma fotografia para a prxima, provocada pelo deslocamento do avio,
chamada de paralaxe estereoscpica ou simplesmente paralaxe. Existe paralaxe em
todas as imagens que aparecem em fotografias sucessivas sendo, de uma forma anloga
ao deslocamento de um comboio, a paralaxe dos pontos mais elevados (portanto mais
prximos do avio) superior paralaxe dos pontos mais baixos. A variao da paralaxe
com a altitude dos objectos pode ser medida nas fotografias, sendo a determinao daelevao dos pontos com medies fotogramtricas baseada neste efeito.
3.1.5 UTILIZAO E PRODUTOS OBTIDOS A PARTIR DE FOTOGRAFIAS AREAS
As fotografias areas tm como principal aplicao a construo de:
Mapas planimtricos - mapas que contm apenas informao acerca da posio
horizontal dos pontos do terreno.
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Mapas topogrficos - mapas que indicam o detalhe planimtrico bem como
informao altimtrica (normalmente curvas de nvel).
Ortofotomapas - representaes fotogrficas preparadas de forma a que no
existam as distores normalmente existentes nas fotografias, e que podem serutilizados como mapas.
Existem ainda variadssimas outras aplicaes para as fotografias areas, como
por exemplo desenho e construo de auto-estradas e barragens, estudos de trfego,
anlise da cobertura dos solos, identificao de tipos de culturas, etc.
3.2 Sistema de Posicionamento Global (Global Positioning System -GPS)
3.2.1 PRINCPIO DE POSICIONAMENTO DE PONTOS UTILIZANDO SATLITES ARTIFICIAIS
O que se pretende com o posicionamento de pontos superfcie da Terra
utilizando satlites artificiais determinar a posio da antena i (antena que recebe os
sinais emitidos pelos satlites). Conhecendo as coordenadas da posio de cada satlite
num sistema de coordenadas com origem no centro da Terra, conhece-se o vector rj do
centro da Terra ao satlite j, que emite o sinal. ento necessrio determinar o vector
eiji
j formado pelo ponto i onde est colocada a antena e o satlite j. Desta forma:
R r eij
ij
ij=
Figura 72 - Posicionamento de pontos superfcie da Terra com o auxlio de satlitesartificiais.
O vector eij
ij
pode ser medido por vrias tcnicas, dando origem a vriosmtodos de posicionamento.
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Outro mtodo de determinar o posicionamento de pontos em vez de determinar
o vector e determinar apenas a distncia da antena ao satlite, sendo no entanto neste
caso necessrio determinar a distncia a pelo menos 3 satlites para, a partir da
interseco de trs esferas de raio e centro conhecido, se poder determinar a posio da
antena.
Figura 73 - Posicionamento de ponto i (clculo das trs coordenadas do vector Ri)medindo trs distncias ( i
1, i2, i
3) e conhecendo a posio dos trs satlites r1, r2, r3.
r Rj i ij = j=1,2,3
O Sistema de Posicionamento Global no permite obter grande preciso no
posicionamento absoluto de pontos, embora a preciso conseguida seja suficiente para
muitas aplicaes, como por exemplo navegao martima e area, etc. A grande
preciso conseguida apenas com posicionamento relativo.
3.2.1.1 Posicionamento relativo
Sendo R1 a posio conhecida do ponto P1 e R2 a posio a determinar do ponto
P2, tem-se que:
R R R2 1 12= +
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Figura 74- Esquema de um posicionamento relativo, medindo distncias.
Sabendo que R r ej j j1 1 1= e que R r ej j j
2 2 2= temos que:
R R R e ej j j j12 2 1 1 1 2 2= =
3.2.1.2 Componentes do Sistema de Posicionamento Global
O sistema GPS (Global Positioning System) formado por trs componentes:
Componente espacial - Constituda por 24 satlites, que orbitam a Terra em 12horas, a uma altitude de cerca de 20200 Km. Cada satlite contm vrios relgios
atmicos de alta preciso e transmite continuamente sinais de rdio utilizando um
cdigo que o permite identificar. No sinal transmitido so enviadas vrias mensagens,
entre as quais a sua posio e informao acerca da sade do satlite, informao esta
que depois descodificada pelos receptores.
Figura 75 - Representao esquemtica dos satlites GPS e suas rbitas.
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Componente de controlo - formada por estaes monitoras, estaes emissoras
de dados para os satlites e uma estao de controlo. As estaes monitoras recebem
continuamente a informao enviada pelos satlites, fornecendo dados para a estao de
controlo calcular as novas posies dos satlites e as correces a fazer aos relgios de
bordo. Estes dados so depois enviados para as estaes emissoras, para serem emitidospara os satlites, pelo menos uma vez por dia.
Componente do utilizador - constituda por todos os receptores, civis e
militares, que utilizam os sinais emitidos pelos satlites para calcular a sua posio.
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Captulo 4 - Representao do relevo
4.1 Com pontos cotados
Neste mtodo de representao do relevo, ele definido por um conjunto depontos do terreno assinalados na carta, cuja cota indicada.
Os pontos escolhidos para representar o relevo devem defini-lo perfeitamente,
isto , a sua escolha fica condicionada a que entre cada ponto e os pontos mais prximos
se possa considerar constante a inclinao do terreno, dentro da preciso exigida. Tais
pontos chamam-sepontos notveis do terreno.
Escolhendo os pontos notveis do terreno, a inclinao do terreno entre dois
pontos A e B a inclinao da recta que por eles passa. tangente trigonomtrica dainclinao d-se o nome de declive e o seu valor dado por:
ABABdN
AB=
4.1.1 CASOS EM QUE SE UTILIZAM PONTOS COTADOS
No muito usual a representao do relevo por pontos cotados embora, em
certas situaes, se torne til a sua utilizao. So a seguir expostos dois casos em que
isto acontece:
4.1.1.1 Representao de zonas urbanas
Nos arruamento escolhem-se para pontos cotados os pontos de mudana de
declive e os pontos dos cruzamentos dos seus eixos, representao altimtrica esta que
permite ao tcnico efectuar o estudo do traado das redes de saneamento bsico (ver
Figura 76).
Figura 76 - Representao do relevo de uma regio urbana com pontos cotados.
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4.1.1.2 Representao de regies pouco acidentadas
Neste caso a utilizao de pontos cotados feita especialmente em trabalhos de
hidrulica fluvial e agrcola, quando se trata de regies extensas. A densidade dos
pontos a representar funo da preciso exigida.4.1.1.3 Completagem do traado das curvas de nvel
Quando o relevo definido por curvas de nvel, os pontos mais altos e os mais
baixos, alm de outros pontos de interesse especial para o trabalho em questo, so
sempre pontos notveis do terreno e, deste modo, so sempre representados como
pontos cotados.
4.2 Com curvas de nvel
Neste tipo de representao considera-se o terreno cortado por superfcies de
nvel equidistantes, e projectam-se sobre a superfcie de referncia as linhas de
interseco das superfcies de nvel com o terreno, linhas estas a que chama curvas de
nvel. Junto a cada curva de nvel indicada a sua cota. A representao do relevo com
curvas de nvel muito sugestiva.
distncia constante entre as curvas de nvel d-se o nome de equidistncia
natural (En), que no caso da Figura 77, de 10 m.
30
40
50
60
30
4050
60
En
30
40
50
60
30
4050
60
En
Figura 77 - Representao do relevo de uma regio com curvas de nvel.
Ao valor da equidistncia natural reduzida escala da carta d-se o nome de
equidistncia grfica (e), deste modo:
eE
Ln=
Para escolher a equidistncia natural das curvas de nvel a representar numacarta, necessrio ter em considerao a escala da carta, o relevo do terreno e o
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objectivo do levantamento. No entanto so normalmente utilizadas as seguintes
equidistncias para as diferentes escalas:
ESCALA En
1/50 000 ...................................25 m
1/25 000 ...................................10 m
1/10 000 ...................................10 m
1/5 000 .....................................5 m
1/1 000 .....................................1 m
1/500..................................... 0.5 m
Note-se que para as quatro ltimas escalas eE
Lmn= = 0001. o que garante uma
certa uniformidade na representao do mesmo terreno em qualquer delas.
Em terrenos muito acidentados deve duplicar-se o valor da equidistncia grfica
pois, caso contrrio, as curvas de nvel apresentam-se muito prximas, o que dificulta a
leitura da carta e a consequente representao do relevo. Pelo contrrio, para terrenos
muito pouco acidentados deve adoptar-se uma equidistncia grfica de 0.5 mm ou
mesmo 0.25 mm.
A noo de declive dada anteriormente aplica-se aqui entre pontos das curvas de
nvel e chama-se linha de maior declive linha do terreno que forma o maior ngulo
com o plano horizontal. Em face desta definio a linha de maior declive normal s
curvas de nvel.
evidente que quanto menor for a distncia entre as curvas de nvel tanto maior
o declive do terreno nessa zona e, por isso mesmo, a observao das curvas de nvel
d uma ideia da forma do relevo.
4.2.1 FORMAS FUNDAMENTAIS DO RELEVO
Para melhor compreender a leitura de uma carta vejamos como certas formas do
terreno aparecem nas cartas topogrficas.
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Tergo - a forma de relevo constituda pela interseco de duas superfcies com
a concavidade voltada para baixo. Na representao dum tergo as curvas de nvel
aparecem com a concavidade virada para o cimo do terreno.
Figura 78 - Representao de um tergo com curvas de nvel.
Vale - constituda pela interseco de duas superfcies com a concavidade
voltada para cima. Na representao de um vale as curvas de nvel aparecem com a
concavidade voltada para a base do terreno.
Figura 79 - Representao de um vale com curvas de nvel
Todas as outras formas de relevo aparecem como uma associao conveniente detergos e vales. Assim:
Colina, outeiro ou monte uma associao de dois tergos.
C
D
CD Talvegue ou linha de juno de guas
C
D
CD Talvegue ou linha de juno de guas
110A
B
AB Linha de festo ou de separao de guas
100
9080
110A
B
AB Linha de festo ou de separao de guas
100
9080
100
90
80
70
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100
Figura 80 - Representao de uma colina com curvas de nvel.
Bacia ou covo uma associao de dois vales.
Figura 81 - Representao de uma bacia ou covo com curvas de nvel.
Colo, portela ou garganta uma combinao adequada de dois tergos e dois
vales.
Figura 82 - Representao de um colo, portela ou garganta com curvas de nvel.
4.3 Modelos digitais de terreno
Um modelo digital de terreno (MDT) uma representao numrica e
matemtica duma poro de terreno, a partir de um conjunto discreto de pontos, cuja
distribuio e caractersticas permitem calcular por interpolao, em todos os pontos doterreno, a cota z f(x, y)= com uma determinada preciso. Isto significa que se pode
atribuir apenas um valor de z a cada par (x, y), no sendo portanto possvel representar
por exemplo cavernas, paredes verticais, etc.
80 90100 110
8090
100110
7080
90
100110
70
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101
A aquisio de informao para a construo de um MDT usualmente feita por
processos fotogramtricos, no entanto, os dados necessrios para a construo do
modelo podem ter como origem a digitalizao de curvas de nvel de mapas j
existentes, trabalhos taqueomtricos, deteco remota ou qualquer outro tipo de
mtodos ou sistemas que permitam a obteno de coordenadas planas e altitude depontos do terreno.
4.3.1 CONSTRUO DE UM MDT
O processo de recolha de dados gera um conjunto de pontos cujas cotas so
conhecidas. Para a construo de um modelo digital de terreno coerente necessrio
estabelecer relaes topolgicas entre os pontos de cotas conhecidas e escolher um
modelo de interpolao para gerar uma superfcie que se aproxime da forma do terreno.
Para a construo de superfcie interpoladora necessrio ter uma rede de pontos
de cota conhecida, rede esta que normalmente ou uma rede em grelha rectangular
(GRID), ver Figura 83a), ou uma rede irregular de tringulos (Triangulated Irregular
Network - TIN), ver Figura 83b). As vantagens e desvantagens de um e outro tipo de
redes so expostas no quadro seguinte.
Figura 83 - a) Grelha rectangular (GRID). b) Rede irregular de tringulos (TIN).
Vantagens Desvantagens
Grelhasrectangular(GRID)
O seu manuseamento emcomputador simples;
mais simples construirmodelos de interpolao paragrelhas rectangulares.
A densidade de pontos no pode seraumentada para se adaptar complexidade dorelevo;
necessrio um grande nmero de pontospara ser possvel fazer a representao dorelevo com determinada preciso;
No conseguem descrever caractersticasestruturais do terreno como caractersticastopogrficas .
RedeIrregular de
Tringulos(TIN)
Permitem representar oterreno com maior fiabilidade.
So necessrios menos
pontos para se construir umMDT com determinadapreciso.
So mais complexos e mais difceis demanusear;
mais difcil construir o modelo deinterpolao.
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4.3.2 EXEMPLOS DE APLICAO DOS MDT
Os modelos digitais de terreno permitem, para alm de visualizar o terreno a trs
dimenses, atravs de por exemplo diagramas de blocos, mapas de sombreados ou com
as tradicionais curvas de nvel, calcular por exemplo volumes de aterro e escavao,regies de visibilidade, declives ou orientao de encostas, sendo portanto de muita
utilidade na execuo de projectos de Engenharia Civil, como a construo de vias de
comunicao e barragens.
Figura 84 - a) Aspecto da paisagem vista de um determinado ponto.
C
b)
CC
b) Figura 85 - a) Esquema do clculo de regies de visibilidade. C o ponto de observao,S e S as regies no visveis e V e V as regies visveis de C. b)Representao daregio visvel do ponto C.
C
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Figura 86 - - a) Mapa de declives (em graus). b) Mapa de orientao das encostas (emgraus).
Figura 87 - Diagrama de blocos construdo a partir de um MDT.
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Captulo 5 - Cartometria
5.1 Medio de reas
As reas que se medem numa carta so sempre reas em projeco horizontal.Analisemos pois os principais mtodos para a sua medio:
5.1.1 MTODO ANALTICO
Aplica-se a figuras com contorno poligonal, desde que se conheam as
coordenadas dos seus vrtices, o que normalmente exige o levantamento da extrema da
regio cuja rea se pretende determinar. um mtodo rigoroso e que se utiliza sempre
que se pretende calcular uma rea com bastante preciso.
Figura 88 - Polgono fechado com vrtices nos pontos 1, 2, 3, 4 e 5, com coordenadasrespectivamente (M1,P1), (M2,P2), (M3,P3), (M4,P4) e (M5,P5).
Analisando a Figura 88 tem-se que:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]S M M P P M M P P M M P P M M P P M M P P= + + + + + + +1
2 2 1 2 1 3 2 3 2 4 3 4 3 4 5 5 4 1 5 1 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]S P M M P M M P M M P M M P M M = + + + + 1
2 1 2 5 2 3 1 3 4 2 4 5 3 5 1 4
Ou, considerando M0 M5 e M6 M1, tem-se:
( )S P M M i i ii
= + =12 1 1
1
5
Generalizando para o caso de n vrtices ter-se-:
( )S P M M i i ii
n
= + =1
2 1 11
1
2
3
4
5P1
P2
P3 P4
P5
M1 M2 M3 M4M5 P
M
1
2
3
4
5P1
P2
P3 P4
P5
M1 M2 M3 M4M5 P
M
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5.1.2 MTODOS GEOMTRICOS
Neste tipo de mtodo de determinao de reas temos que separar o caso em que
a figura limitada por uma linha poligonal ou por uma linha curva.
5.1.2.1 Figuras limitadas por um contorno poligonal
Neste caso faz-se a decomposio da rea do polgono em reas mais simples,
cuja rea se sabe determinar. As distncias necessrias so medidas directamente na
carta.
Figura 89 - A rea S da figura indicada S = S1 + S2 + S3 + S4
5.1.2.2 Figuras limitadas por uma linha curva
Mtodo dos trapzios
um mtodo expedito que permite calcular uma rea aproximada. Substitui-se a
linha curva por uma linha poligonal e transforma-se a figura cuja rea se pretendedeterminar numa srie de trapzios todos com a mesma altura d (ver Figura 90).
A
D
B
C
y0 y1 y2 y3 y4 yi-1 yi yn-1 yn
d
A
D
B
C
y0 y1 y2 y3 y4 yi-1 yi yn-1 yn
d
Figura 90 - Diviso de uma rea em trapzios de altura d, para determinao da reautilizando o mtodo dos trapzios.
Tm-se ento que:
( )0 1 1 2 1 11
...2 n n nS d y y y y y y y = + + + + + + +
S1 S2S3 S4
S1 S2S3 S4
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01 2 1...2
nn
y yS d y y y
+ = + + + +
Caso a rea a medir seja totalmente limitada por uma linha curva, pode fazer-se
uma adaptao deste mtodo traando um segmento de recta segundo a maior dimensoda figura.
Figura 91 - Adaptao do mtodo dos trapzios para clculo da rea da figura, sendo
( )1 2 1... nS d y y y = + + + .
5.1.2.3 Mtodo de Simpson ou das parbolas
Quando se pretende atingir uma preciso mais elevada do que o mtodo anterior
permite atingir, pode utilizar-se o mtodo de Simpson, segundo o qual se divide o
segmento AB num nmero par (2n) de partes iguais com dimenso d, e substituir a
curva entre cada grupo de trs pontos consecutivos (tais como A, C, D) por um arco de
parbola que passe por esses trs pontos.
A
A
BA2n
X
y0 y1 y2 y3 y4 y2n-1 y2ny5 y6 y2n-2
O A2 A4 A6 A2n-2
C D
Y
A
A
BA2n
X
y0 y1 y2 y3 y4 y2n-1 y2ny5 y6 y2n-2
O A2 A4 A6 A2n-2
C D
Y
Figura 92 - Esquema da definio da posio sucessiva dos eixos coordenados para adeterminao de uma rea pelo mtodo de Simpson.
Considerando um sistema de eixos como o definido na Figura 92 essas parbolas
tero uma equao da forma:
y a a x a x= + +0 1 2
2
A B
y1 y2 y3 yi-1 yi yn-1
dA B
y1 y2 y3 yi-1 yi yn-1
d
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A rea da figura AACDA2A ser ento dada por:
( )S a a x a x dxd
d
1 0 1 22= + +
[ ]=
+ +
d
da x a x a x0 1
22
31
2
1
3 = +2 2
30 23a d a d ( )= +d a a d
36 20 2
2
Como a parbola passa pelos pontos A(-d,y0), C(0,y1) e D(d,y2), tem-se:
y a a d a d0 0 1 22= +
y a1 0=
y a a d a d2 0 1 22= + +
pelo que:
y y a a d0 2 0 222 2+ = +
com y a1 0= obtm-se que:
2 222
0 1 2a d y y y= +
Entrando com este valor na expresso de S1, vem:
( )Sd
y y y1 0 1 2
3
4= + +
Deslocando agora o eixo OY da forma indicada na Figura 92 pode-se escrever:
( )Sd
y y y1 0 1 234= + +
( )Sd
y y y23
42 3 4= + +
( )Sd
y y y33
44 5 6= + +
( )Sd
y y yn n n n= + + 342 2 2 1 2
Como S = S1 + S2 + ... + Sn, somando membro a membro estas igualdades
obtm-se a chamada frmula de Simpson:
( ) ( )[ ]Sd
y y y y y y y yn n n= + + + + + + + + + 32 40 2 2 4 2 2 1 3 2 1... ...
Caso se trate de uma regio totalmente limitada por uma linha curva, procede-sede forma anloga descrita para o mtodo dos trapzios.
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Bibliografia
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Matemtica da FCTUC, 1991.
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Practice". Library of Congress Cataloging in Publication Data, 1981.
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[6] Laurila, S.: Electronic Surveying in Practice, John Wiley & Sons,
1983.
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New York, 1980.
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[9] Weibel, R; Heller, M.:Digital Terrain Modeling. In: Geographical
information Systems: principals and applications, John Wiley & Sons,
Inc., New York, 1991.
[10] Wells, David: Guide to GPS Positioning. Canadian GPS Associates,
Recommended