Topografia Sebenta Civil 0405

8/6/2019 Topografia Sebenta Civil 0405

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ndiceIntroduo ........................................................ ........................................................... ................................ 1

Captulo 1 - Representao da Terra..............................................................................................31.1 A forma da Terra ....................................................... ............................................................. ............3

1.1.1 O Geide......................................................................................................................................31.1.2 O Elipside..................................................................................................................................4

1.2 Noo de escala..................................................................................................................................51.3 Representao plana da Terra.............................................................................................................51.3.1 Coordenadas Geogrficas............................................................................................................51.3.2 Coordenadas Rectangulares.........................................................................................................61.3.3 Projeces Cartogrficas ..................................................................... ......................................111.3.4 Data geodsicos e altimtricos...................................................................................................161.3.5 Os sistemas de projeco cartogrfica.......................................................................................171.3.6 Cartas.........................................................................................................................................211.3.7 Representao de pequenas reas .............................................................. ................................23

Captulo 2 - Levantamentos Topogrficos...................................................................................262.1 Infra-estruturas cartogrficas............................................................................................................26

2.1.1 A rede Geodsica.......................................................................................................................26

2.1.2 Triangulao topogrfica...........................................................................................................292.2 Estudo do teodolito...........................................................................................................................302.2.1 Constituio do teodolito...........................................................................................................312.2.2 Nivelas.......................................................................................................................................322.2.3 A luneta .......................................................... ................................................................. ..........362.2.4 Condies para a medio de ngulos.......................................................................................37

2.3 Mtodos para determinao de coordenadas do esqueleto de apoio topogrfico .............................432.3.1 Irradiao...................................................................................................................................432.3.2 Triangulao..............................................................................................................................442.3.3 Interseces ...................................................... .............................................................. ...........452.3.4 Poligonao .................................................. .................................................................. ...........48

2.4 Medio de Distncias......................................................................................................................572.4.1 Processos de medio................................................................................................................572.4.2 Medio indirecta de distncias.................................................................................................642.5 Nivelamento ........................................................ ................................................................... ..........732.5.1 Noes de altimetria ................................................................ .................................................. 732.5.2 Mtodos de nivelamento............................................................................................................74

Captulo 3 - Outros Processos de Recolha de Informao Geogrfica ........................................ 873.1 Fotogrametria ....................................................... .................................................................. ..........87

3.1.1 Aquisio e processamento de fotografias areas......................................................................883.1.2 Escala de uma fotografia area..................................................................................................893.1.3 Estereoscopia.............................................................................................................................903.1.4 Paralaxe estereoscpica ............................................................. ................................................ 913.1.5 Utilizao e produtos obtidos a partir de fotografias areas ...................................................... 91

3.2 Sistema de Posicionamento Global (Global Positioning System - GPS)..........................................923.2.1 Princpio de posicionamento de pontos utilizando satlites artificiais.......................................92

Captulo 4 - Representao do relevo..........................................................................................964.1 Com pontos cotados ................................................... ............................................................ ..........96

4.1.1 Casos em que se utilizam pontos cotados..................................................................................964.2 Com curvas de nvel.........................................................................................................................97

4.2.1 Formas fundamentais do relevo.................................................................................................984.3 Modelos digitais de terreno ............................................................. ............................................... 100

4.3.1 Construo de um MDT ............................................... ........................................................... 1014.3.2 Exemplos de aplicao dos MDT............................................................................................102

Captulo 5 - Cartometria .................................................... ........................................................ 1045.1 Medio de reas............................................................................................................................104

5.1.1 Mtodo analtico......................................................................................................................1045.1.2 Mtodos geomtricos...............................................................................................................105

Bibliografia...............................................................................................................................................108


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Introduo

A Topografia, (do grego TOPOS (lugar) + GRAFIA (descrio)) ocupava-se

tradicionalmente da representao plana de regies pouco extensas da superfcieterrestre. A representao de uma zona restrita simplifica os problemas decorrentes de

representao causadas pela curvatura da superfcie terrestre. Contudo a representao

de zonas vizinhas e contnuas deve ser compatvel, pelo menos no mbito geogrfico

dum pas, o que tem como consequncia a necessidade de utilizar uma representao

cartogrfica que no pode ignorar o facto da superfcie terrestre ser curva.

A representao da superfcie terrestre pode ser planimtrica e altimtrica, sendo

a planimetria relativa representao bidimensional da posio dos pontos no plano da

carta e a altimetria relativa representao da distncia vertical dos pontos a umasuperfcie de referncia, o que permite fazer a representao do relevo.

A operao de recolha de informao necessria para a elaborao de uma planta

ou carta topogrfica de uma regio designada por levantamento topogrfico. Os

levantamentos topogrficos podem ser executados utilizando:

os mtodos clssicos da Topografia, que se baseiam fundamentalmente

na medio de ngulos e distncias recorrendo a instrumentos tais como

teodolitos, nveis e distanciometros;

mtodos fotogramtricos, sendo a informao obtida a partir de

fotografias areas mtricas, ou imagens numricas multiespectrais recolhidas por

sensores instalados em satlites artificiais da Terra;

o Sistema de Posicionamento Global, mais conhecido por GPS, que

utiliza receptores dos sinais emitidos pelos satlites da constelao GPS,

permitindo a determinao precisa das coordenadas dos locais onde as antenas

dos receptores so colocadas.

Quaisquer dos mtodos expostos requer, para alm do trabalho de recolha de

informao, denominado de trabalho de campo, a posterior execuo de ajustamentos e

clculos necessrios obteno das quantidades pretendidas, a que se chama

usualmente trabalho de gabinete.

Outros trabalhos do domnio da Topografia incluem por exemplo a implantao

e apoio construo de obras e a auscultao do comportamento de grandes obras de

Engenharia, tais como barragens e pontes.


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A implantao de obras consiste na transferncia para o terreno duma obra

projectada numa carta (planta). So utilizados mtodos anlogos aos dos

levantamentos topogrficos directos.

A construo de obras de grande dimenso tem de ser acompanhada comoperaes topogrficas medio de distncias e de ngulos.

Em obras de grande responsabilidade e aps a sua concluso, torna-se

necessrio, como medida de segurana, estudar periodicamente o seu

comportamento.


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Captulo 1 - Representao da Terra

1.1 A forma da Terra

A Terra um planeta aproximadamente esfrico, apresentando no entanto algunsdesvios relativamente forma esfrica, bem como irregularidades desigualmente

distribuidas na sua superfcie.

1.1.1 O GEIDE

A forma da Terra definida com base no campo gravtico terrestre, campo este

fundamentalmente resultante da fora de atraco newtoniana e da fora centrfuga

devida ao movimento de rotao da Terra. A sua superfcie, abstraindo das ondulaes

do terreno, pode ser definida pela superfcie do nvel mdio das guas do mar, supostaprolongada debaixo dos continentes. Esta superfcie de nvel, chamada GEIDE, uma

superfcie mal conhecida, no definida matemticamente, cujo estudo do mbito da

Geodesia. No entanto sabe-se que a sua forma bastante prxima da superfcie de um

elipside de revoluo achatado, diferindo dela devido existncia de ondulaes

desigualmente distribudas, provocadas por uma desigual repartio das massas na

crosta terrestre.

Superfcie fsica

Elipside

Geide

Vertical do lugar Normal ao Elipside

Figura 1 - Representao do elipside e do geide numa dada regio, onde o ngulo representa o desvio da vertical.

Aquelas ondulaes so pouco significativas, quando comparadas com as

dimenses do geide, no ultrapassando geralmente os 30 m o afastamento vertical

entre o geide e o elipside que dele mais se aproxima. Ao ngulo formado pela vertical

do lugar (normal ao geide) e pela normal ao elipside (normal) chama-se desvio da

vertical(Figura 1), este ngulo mede a inclinao do geide relativamente ao elipside e

o seu valor no ultrapassa normalmente os 10 segundos centesimais. A vertical do lugar,

por ser normal s superfcies de nvel do geide, d a direco do campo gravtico

terrestre e muito importante em Topografia pois essa direco que orienta os

instrumentos de medida.


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1.1.2 O ELIPSIDE

Dada a complexidade do geide usual utilizar como superfcie de referncia

um elipside de revoluo.

Um elipside de revoluo o slido gerado pela rotao de uma semi-elipse em

torno de um dos seus eixos. Para o caso em estudo a rotao feita em torno de eixo

polar N-S, sendo a e b respectivamente o semi-eixo equatorial e o semi-eixo polar

(Figura 2).

Vrios tm sido os geodetas que, em diferentes partes do globo, se tm dedicado

determinao do comprimento dos semi-eixos do elipside que melhor se adapta ao

Geide. Estas determinaes permitiram concluir que para diferentes regies do globo

se obtm elipsides diferentes. Por este motivo a escolha do elipside tem de ter emconsiderao a regio que se pretende representar.

N

S

a

b

a

b

x

y

z

a

Figura 2 - Elipside de revoluo com semi- eixo maior a e semi-eixo menor b.

Assim temos, entre outros, os elipsides de Bessel, Clarke, Fisher, Hayford e oWGS-84 com as seguintes caractersticas:

ELIPSIDE SEMI-EIXO MAIOR (a) SEMI-EIXO MENOR (b) ACHATAMENTO = a-ba

Bessel (1841) 6377397 m 6356079 m 1/299

Clarke (1866) 6378301 m 6356584 m 1/294

Hayford (1909) 6378388 m 6356912 m 1/297

Fischer (1960) 6378155 m 6356773 m 1/298

WGS - 84 6378137 m 6356752 m 1/298


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Em Portugal foi inicialmente utilizado o elipside de Bessel, tendo-se mais

recentemente optado pelo de Hayford. O elipside de Clarke actualmente adoptado em

Frana e nos Estados Unidos, tendo sido o de Fischer adoptado pela NASA (National

Aeronautics and Space Administration). O elipside WGS-84 adoptado como

elipside de referncia para as medies feitas com GPS (Global Positioning System).

Como se pode ver no quadro acima, o achatamento do elipside muito

pequeno, aproximando-se a forma da Terra de uma esfera. Por isso, nos trabalhos em

que no se exige grande preciso, o elipside substituido por uma esfera de raio igual

mdia dos semi-eixos.

1.2 Noo de escala

Para efectuar a representao do terreno de forma a manter a grandeza e posiorelativa dos objectos, considera-se uma certa razo constante entre o comprimento de

uma linha medida na carta e a sua homloga no terreno, razo a que se chama escala. Sese representar por o comprimento na carta e por L o mesmo comprimento no terreno, a

escala ser dada por1

L E=

, sendo E normalmente um mltiplo de 10.

Diz-se que a escala1

1

E superior escala

2

1

Ese 1 2E E< .

Nas cartas em escalas pequenas (com denominador maior ou igual a 25 000)

utiliza-se, para comodidade de trabalho, uma escala grfica, constituda por um

segmento de recta dividido em segmentos mais pequenos, que indicam a

correspondncia entre os comprimentos medidos na carta e os comprimentos seus

equivalentes no terreno (Figura 3).

1.3 Representao plana da Terra

1.3.1 COORDENADAS GEOGRFICAS

A latitude de um ponto o ngulo formado pela normal ao elipside, ou ao

geide, nesse ponto e pelo plano do equador. Conta-se de -90 a +90 a partir do

equador, positivamente no hemisfrio Norte e negativamente no hemisfrio Sul.

1000 m 500 m 0 m 1 2 3 4 Quilmetros

Figura 3- Escala grfica de uma carta.


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N

S

EO

P

Meridiano de Greenwich

Equador

Meridiano quepassa por P

-90 +90

-180 +180

Figura 4 - Representao das coordenadas geogrficas (latitude e longitude ) de umponto P.

A longitude o ngulo diedro formado pelo plano do meridiano do lugar com

o plano do meridiano de referncia e conta-se de -180 a +180, positivamente para Este

e negativamente para Oeste. Por acordo internacional adoptou-se para meridiano de

referncia o meridiano do Observatrio de Greenwich em Inglaterra.

As coordenadas geogrficas quando determinadas sobre o elipside so

denominadas de Coordenadas Geodsicas e quando determinadas sobre o Geide, em

virtude de serem determinadas por via astronmica, so denominadas Coordenadas

Astronmicas ou Naturais.

A posio de qualquer ponto da superfcie da Terra fica perfeitamente definida

atravs das suas coordenadas geogrficas e a sua altitude.

1.3.2 COORDENADAS RECTANGULARES

Quando se pretende representar numa superfcie plana zonas extensas da

superfcie terrestre, necessrio adoptar sistemas de representao plana do elipside,

visto que este no planificvel. Isto , por intermdio de uma projeco geomtrica oupor frmulas analticas de transformao, establece-se uma correspondncia biunvoca

entre os pontos do elipside definidos pelas suas coordenadas geodsicas e os pontos do

plano definidos por coordenadas rectangulares. O posicionamento relativo do elipside

de referncia e do plano cartogrfico definido por intermdio de um ponto, situado de

preferncia no centro da regio a representar, designado porponto central.

Nestas condies, os meridianos e os paralelos so representados por linhas

rectas ou curvas, sendo sempre uma linha recta o meridiano que passa pelo ponto

central da zona considerada. a este meridiano central (designado por meridiana) e recta que lhe perpendicular e passa no ponto central da regio, que se referem as


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coordenadas rectangulares, designadas por M (distncia meridiana) e P (distncia

perpendicular) (Figura 5).

A

Meridiana

PerpendicularM

P

C

Figura 5 - Representao plana de uma regio da superfcie terrestre. O ponto C oponto central. M e P so as coordenadas rectangulares que definem a posio do ponto

A, sendo M a distncia meridiana e P a distncia perpendicular.

Os sistemas de projeco, que permitem representar num plano a superfcie de

um elipside, produzem inevitveis deformaes desta, competindo Cartografia o seu

estudo e a escolha dos sistemas de projeco mais convenientes para cada caso.

Uma direco qualquer AB pode ser posicionada relativamente ao sistema de

coordenadas rectangulares atravs do ngulo que forma com a direco da recta

meridiana. Este ngulo chama-se azimute cartogrfico ou rumo da direco AB,

representa-se por (AB) e, tendo vrtice no ponto A, conta-se no sentido retrgrado

(sentido dos ponteiros do relgio) a partir da direco definida pela meridiana, que

corresponde direco do Norte Cartogrfico, at direco definida pelos pontos A e

B (Figura 6). O rumo de uma direco varia entre zero e 400 grados.

A

B

(AB)

N.C.

Figura 6 - Rumo da direco definida pelos pontos A e B, que se representa por (AB).


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NOTA:

E

A

B

E

A

B

AB

BA

Figura 7 - Os ngulos AB e BA, descritos no sentido retrgrado, so os nguloscomplementares indicados na figura.

Os ngulos em Topografia so sempre descritos no sentido retrgrado. Deste

modo, duas semi-rectas com a mesma origem, como as semi-rectas EA e EB

representadas na Figura 7, definem dois ngulos distintos, o ngulo AB e o nguloBA. Note-se que 400AEB BEA g+ =

1.3.2.1 Principais problemas com coordenadas rectangulares

1 - Transmisso de Rumos

a) Clculo do Rumo Inverso

Suponhamos que se conhece o rumo da direco [AB] no sentido de A para B e

se pretende conhecer o rumo da mesma direco, mas agora no sentido de B para A. Ou

seja, conhece-se (AB) e pretende-se conhecer (BA).

Dado: (AB) Pedido: (BA)

A

B

(AB)

N.C.

(BA)

(BA)N.C.

N.C.N.C.

(AB)

B

A

a) b)Figura 8 a) e b) - Rumo de uma direco (AB) e rumo inverso (BA).


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Observando a Figura 8a) pode-se concluir que:

(BA) = (AB) + 200g

Se os pontos A e B estiverem na posio indicada na Figura 8b) tem-se que(BA) = (AB) - 200g

Logo,

(BA) = (AB) 200g

considerando-se "+" quando (AB) < 200g e "-" quando (AB) > 200g.

b) Transporte de Rumos

Conhece-se o rumo da direco [AB] e o ngulo BC ou CB

(BC = 400g - CB) e pretende-se calcular o rumo da direco AC. Ou seja:

Dados: (AB); BC ou CB Pedido: (AC)

N.C.

(AB)

(AC)

A

B

C

Figura 9 - Transporte de rumos.

Observando a Figura 9 pode-se concluir que:

(AC) = (AB) + BC

ou, como 400BAC CAB=

(AC) = (AB) +400 - CB


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2 - Transporte de Coordenadas

O problema de transporte de coordenadas permite determinar as coordenadas de

um ponto B a partir das coordenadas de outro ponto A, conhecendo a distncia AB

entre os dois pontos e o rumo da direco que definem.

Dados: MA; PA; AB ; (AB) Pedido: MB; PB


MB - MA = AB sin (AB) e PB - PA = AB cos (AB)

deste modo:

MB = MA + AB sin (AB) e PB = PA + AB cos (AB)

O

A

B

(AB)

N.C.M

PMA

PB

MB

PA

Figura 10 - Transporte de coordenadas.

3 - Clculo de Rumos

Pretende-se neste ponto calcular o rumo de uma direco definida por dois

pontos, cujas coordenadas rectangulares so conhecidas.

Dados: MA; PA; MB; PB Pedido: (AB)


( )tan B A

B A

M MAB

P P

=


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Expresso que permite determinar o rumo (AB) sem ambiguidade uma vez que o

numerador tem o sinal do seno de (AB) e o denominador o sinal do coseno de (AB).

4 - Clculo de distncias

Pretende-se, conhecidas as coordenadas rectangulares de A e B, determinar a

distncia entre estes pontos.

Dados: MA; MB; PA; PB Pedido: AB

Observando a Figura 10 tambm se pode concluir que:

AB = (MB - MA)2 + (PB - PA)2

Ou, calculando o rumo de (AB), pode-se obter AB atravs de uma das

expresses seguintes:

AB =MB - MAsin (AB)

AB =PB - PAcos (AB)

1.3.3 PROJECES CARTOGRFICAS

A representao de zonas da superfcie da Terra implica o clculo das

coordenadas de pontos na sua superfcie. Quando se trata de zonas extensas o clculo

dessas coordenadas tem de ter em considerao a curvatura da Terra, e do domnio da

Geodesia. Quanto sua representao plana, ela s possvel atravs de sistemas de

projeco cartogrficas, sendo este assunto do domnio da Cartografia.

Como a forma da Terra no se afasta muito da forma de uma esfera, e para

simplificar o problema, vamos consider-la esfrica para estudar algumas projeces

cartogrficas.

No possvel representar exactamente num plano a superfcie de uma esfera

(ou esferide), da mesma forma que no possvel planificar a casca de uma laranja

sem a rasgar. Sendo assim, qualquer que seja o mtodo usado para representar sobre um

plano uma grande rea da superfcie da Terra, haver sempre distores.


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As projeces cartogrficas consistem em transformar as coordenadas

geogrficas, latitude e longitude em coordenadas rectangulares M e P. Ou seja,

pode-se dizer que as projeces cartogrficas so funes matemticas da seguinte

forma:

( , )

( , )M

P

M f

P f

=

=

Projeces ideais, sem distores, deveriam satisfazer as seguintes condies:

1) todas as distncias e reas representadas no mapa deveriam ter uma

magnitude relativa correcta;

2) todos os azimutes e ngulos deveriam estar correctamente representados nomapa;

3) todos os crculos mximos da Terra deveriam aparecer no mapa como linhas

rectas;

4) as latitudes e longitudes geodsicas de todos os pontos devem aparecer

correctos no mapa.

no entanto impossvel satisfazer todas estas condies num mesmo mapa,

podendo apenas satisfazer-se algumas delas numa representao plana. Podem-se assim

considerar algumas classes de projeces cartogrficas:

1) Projeces conformes ou ortomrficas - do origem a mapas que representam

correctamente os ngulos entre quaisquer pares de pequenas linhas que se

intersectem, fazendo com que pequenas reas apaream no mapa com a sua

forma correcta. Como a escala varia de ponto para ponto a forma de grandes

reas representada incorrectamente.

2) Projeces equivalentes - resultam em mapas em que as reas so

representadas nas suas dimenses relativas correctas, embora estas reas

tenham uma forma muito diferente da correcta e os mapas tenham ainda

outros defeitos.

3) Projeces afilticas Projeces que no so conformes nem equivalentes.

Sublinhe-se que, por exemplo, no se podem fazer medies de reas num mapa

que no tenha sido produzido utilizando uma projeco equivalente.


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1.3.3.1 Tipos de projeces

Todas as projeces so obtidas calculando os valores deMe P correspondentes

a cada par de valores e de pontos dos paralelos e meridianos, usando funesfMe fP.

Podem no entanto distinguir-se dois mtodos diferentes de construir a projeco:

1) projeces geomtricas;

2) projeces analticas.

Nas projeces geomtricas selecciona-se uma superfcie planificvel, como por

exemplo um plano, um cone ou um cilindro, de modo que intersecte ou seja tangente

Terra. Escolhe-se ento um ponto como centro de projeco e consideram-se linhas que

unem o centro de projeco com os pontos da superfcie da Terra, prolongando-se essas

linhas at que se intersectem com a superfcie do mapa. As projeces geomtricas

podem ser azimutais, cnicas ou cilndricas.

1.3.3.2 Projeces azimutais

A projeco cartogrfica mais fcil de visualizar a projeco em que a

superfcie de projeco um plano tangente Terra num ponto. Existem ento trs

possibilidades para a localizao do centro de projeco:

O

D

D'C

C'

B

B'A

P

A

A

D''

D' D

T

C''B''

C'B'

C B

A

BC

D

E

T

A'B'C'

E'D'

a) b) c)

Figura 11 - Projeces: a) gnomnica. b) estereogrfica. c) ortogrfica.

1) o centro de projeco o centro da esfera - projeco gnomnica;

2) o centro de projeco a extremidade oposta ao ponto de tangncia do

dimetro da esfera que passa por este - projeco estereogrfica;

3) o centro de projeco est no infinito, sendo neste caso as linhas de projeco

paralelas entre si - projeco ortogrfica.


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As projeces azimutais podem ainda ser classificadas em:

polares ou normais, quando o ponto de tangncia o polo

equatoriais ou transversas, quando o ponto de tangncia o equador

oblquas, quando o ponto de tangncia algures entre o equador e o polo.

1.3.3.3 Projeces cnicas e cilndricas

Ao contrrio de uma esfera, tanto um cone como um cilindro so figuras que se

podem planificar sem quaisquer distores, e so por isso utilizadas em projeces

cartogrficas. Tal como as projeces azimutais, as projeces cnicas e cilndricas

podem ser classificadas em funo da posio do cone ou cilindro em relao esferaque representa a Terra.

Classificao Projeces Cnicas Projeces Cilndricas

Projeco

Normal

o eixo do cone coincide com oeixo polar da esfera

o eixo do cilindro coincide com oeixo polar da esfera

Projeco

Transversa

o eixo do cone perpendicularao eixo polar da esfera

o eixo do cilindro perpendicularao eixo polar da esfera

Projeco

Oblqua

o eixo do cone inclinado

relativamente ao eixo da esfera

o eixo do cilindro inclinado

relativamente ao eixo da esfera

Quando o apex do cone que vai ser usado como superfcie de projeco est

sobre o eixo polar, ao colocar-se este sobre a esfera ele fica apoiado num crculo de

latitude a que se chama paralelo standard. medida que a altura do cone aumenta o

paralelo standard vai-se aproximando do equador. Finalmente, quando o paralelo

standard coincide com o equador, os elementos do cone tornam-se paralelos e o cone

transforma-se num cilindro. Quando a altura do cone diminui, o paralelo standard vai-se

deslocando para latitudes mais elevadas, e finalmente o cone transforma-se num planotangente esfera no polo. Deste modo se mostra que as projeces sobre planos

(projeces azimutais) e cilindros (projeces cilndricas) so casos particulares de

projeces cnicas.

Uma vez que um cone tangente a uma esfera tem um paralelo de altitude comum

com a esfera, a sua representao no mapa ser em verdadeira escala, aumentando as

distores de escala medida que os pontos estejam mais para norte ou sul do paralelo

standard. Por esta razo muitas das projeces cnicas utilizam um cone que intersecta a

esfera em dois paralelos standard, para minimizar as distores de escala.


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Figura 12 - a) Um cone tangente a uma esfera. b) Um cone tangente a uma esfera com oparalelo standard mais prximo do equador. c) Um cilindro tangente a uma esfera noequador. d) Cone com o paralelo standard a uma latitude mais elevada. e) Plano tangentea uma esfera no polo.

Nas projeces analticas no existe nenhum ponto de projeco, so utilizadas

as funes fMefP para calcular os valores deMe P correspondentes a cada par , .

As projeces analticas podem apresentam caractersticas semelhantes s das

projeces geomtricas. Por exemplo uma projeco analtica que transforme os

meridianos e paralelos em linhas semelhantes s imagens dos meridianos e paralelos por

uma projeco geomtrica cnica, diz-se uma projeco pseudo-cnica.Algumas das

projeces cartogrficas usadas em Portugal so:

Projeco de Lambert -projeco cnica conforme, com dois paralelos standard.

Figura 13 Projeco de Lambert cnica e conforme


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Projeco de Bonne projeco analtica pseudo-cnica equivalente. O conecartogrfico disposto em posio normal e tangente ao paralelo do ponto central.

Projeco de Gauss - projeco de Mercator transversa - uma projeco

analtica conforme, sobre um cilindro tangente Terra no meridiano central.

Figura 14 Projeco de Mercator transversa

1.3.4 DATA GEODSICOS E ALTIMTRICOS

Um datum (no plural data) um conjunto de quantidades numricas ou entidades

geomtricas que so utilizadas como referncia para outras quantidades numricas ougeodsicas. Consideram-se os data geodsicos, para definir posies geodsicas

elipsidais (latitudes, longitudes e altitudes geodsicas) e rectangulares dos pontos do

terreno; e os data altimtricos, para definir as altitudes ortomtricas (relativamente ao

geide) dos pontos do terreno.

Os data geodsicos podem ser locais ou globais. Um datum local constitudo

por um elipside de referncia, posicionado num ponto terrestre de coordenadas

astronmicas conhecidas de forma a que as coordenadas elipsidais desse ponto

coincidam com as coordenadas astronmicas. Um datum global constitudo por um

elipside de referncia, posicionado de modo a que o seu centro coincida com o centro

de massa da Terra e o seu eixo polar coincida com a posio mdia do eixo de rotao

da terra.


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Figura 15 Representao de um elipside local e de um elipside global.

Caso se pretenda representar a totalidade da superfcie terrestre ou um

hemisfrio, adoptado um datum global, designando-se o elipside associado por

elipside geocntrico. Saliente-se que o afastamento vertical entre o geide e o

elipside que dele mais se aproxima no ultrapassa os 30 m.

Caso se pretenda representar uma pequena zona do globo, como por exemplo um

continente ou um pas, escolhemos um datum local, tambm denominado por

astronmico. Saliente-se que o elipside associado a um datum local no necessariamente um elipside geocntrico.

Designa-se por ponto astronmico fundamental o ponto de um datum local

onde efectuada a coincidncia entre as coordenadas astronmicas e geodsicas.

1.3.5 OS SISTEMAS DE PROJECO CARTOGRFICA

Por sistema de projeco cartogrfica entende-se um conjunto formado por:

um datum geodsico,

um ponto central

um factor de escala, prximo da unidade

uma origem para as coordenadas cartogrficas

De entre os sistemas de projeco cartogrfica utilizados em Portugal,

salientamos:


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18

Sistema Puissant-Bonne:

As coordenadas geogrficas da rede geodsica so calculadas sobre o elipside

de Puissant, com origem no vrtice Lisboa ( Castelo de S. Jorge) de coordenadas

38 42 56 .73 , 0 0 0 .00o oN = =

As correspondentes coordenadas rectangulares so relativas projeco pseudo-

cnica de Bonne, com origem no vrtice Lisboa.

Este sistema de projeco foi utilizado na primeira carta topogrfica de Portugal

executada em moldes cientficos modernos, a Carta Geral do Reyno, escala

1:100 000, cujo levantamento decorreu na segunda metade do sculo XIX.

Sistema Bessel-Bonne :

Nos finais do sculo XIX foi adoptado o sistema Bessel-Bonne. As coordenadas

geogrficas da rede geodsica so calculadas sobre o elipside de Bessel, com origem

no vrtice Lisboa ( Castelo de S. Jorge) de coordenadas

38 42 43 .631 , 9 07 54.806o oN = =

As correspondentes coordenadas rectangulares so relativas projeco pseudo-

cnica de Bonne, com origem no ponto central.

NOTA:

Nos sistemas que utilizam como origem das coordenadas o ponto central, a

direco N-S cartogrfico a direco definida pela representao plana do meridiano

central (meridiano que passa pelo ponto central). Nestas condies, e uma vez que os

ngulos so descritos no sentido retrgrado, no nosso pas, o primeiro quadrante (M>0,

P>0) o N-E; o segundo quadrante (M>0; P


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19

Figura 16 - Sistema Portugus de coordenadas rectangulares.

Os sistemas Hayford-Gauss

No sistema Hayford-Gauss Antigo (HGA) as coordenadas geogrficas da rede

geodsica so calculadas sobre o elipside de Hayford, com origem no vrtice Lisboa

(Castelo de S. Jorge) de coordenadas

38 42 43 .631 , 9 07 54 .862o oN = =

As correspondentes coordenadas rectangulares so relativas projeco de

Gauss, com origem no ponto central.

O sistema Hayford-Gauss Militar (HGM), deriva do sistema anterior por uma

translao da origem das coordenadas cartogrficas para o ponto fictcio, situado a S-W

do Cabo de S. Vicente e distanciado 200 Km para Oeste e 300 Km para Sul do ponto

central e com eixos paralelos aos do Sistema HGA. Esta deslocao tem como

consequncia imediata colocar todo o territrio de Portugal Continental no primeiro

quadrante, o que significa que todos os pontos tm coordenadas militares positivas.

Tem-se ento que as coordenadas militares MHGM e PHGM so obtidas atravs de:

200 , 300HGM HGA HGM HGAM M km P P km= + = +

M +P -

M +

P +

M -

P +

M -P -

+-


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Figura 17 Origem das coordenadas do Sistema Hayford Gauss Militar.

Aps 1973 foi considerado o sistema Hayford-Gauss Moderno, tambm

conhecido por sistema do datum 73 (SHG73). Neste sistema as coordenadas geogrficas

da rede geodsica so calculadas sobre o elipside de Hayford, com origem no vrtice

Melria com as seguintes coordenadas

39 40 , 8 07 54 .862o o = =

Deve notar-se que, embora o ponto central dos SHGA e SHGM seja definido

pelas mesmas coordenadas geodsicas elipsoidais do que o ponto central do SHG73,

devido mudana do ponto de fixao do elipside de Hayford de Lisboa para Melria,

aquelas coordenadas no identificam o mesmo ponto do terreno. Para minimizar

globalmente as diferenas entre as coordenadas cartogrficas SHG73 e SHGA, a origem

das coordenadas cartogrficas do SHG73 sofre uma pequena translao relativamente

ao ponto central:

73 73

73 73

180.598

86.990HG HG

HG HG

M M m

P P m

= +

=

Assim, as diferenas entre as duas coordenadas so inferiores a poucos metros

em todo o territrio.


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21

1.3.6 CARTAS

A informao, qualitativa e quantitativa, relativa aos fenmenos de natureza

fsica, humana, etc., que se distribuem espacialmente sobre a superfcie terrestre,

designada por informao geogrfica. Acartografia topogrfica tem como objectivo arepresentao plana da informao geogrfica designada por informao topogrfica: o

relevo, as linhas de gua, a vegetao, construes, vias de comunicao, redes de

transporte de energia. etc.. A informao geogrfica no topogrfica (demografia,

exposio solar, pluviosidade, aptido para construo, etc.) designada por informao

temtica e a sua representao sobre uma base topogrfica designada porcartografia

temtica.

As representaes cartogrficas so classificadas em trs categorias: os mapas

geogrficos, as cartas e as plantas topogrficas. Designam-se pormapas geogrficos as

representaes de informao topogrfica a escalas inferiores a 1:500 000, que podem

utilizar uma esfera para substituir o geide como superfcie de referncia. As cartas

topogrficas so representaes nacionais ou regionais a escalas iguais ou superiores a

1:500 000 e geralmente inferiores a 1:10 000. So de grande utilidade para o engenheiro

em estudos gerais de vias de comunicao, de hidrulica, etc. As plantas topogrficas

so representaes de mbito local, a escalas iguais ou superiores a 1:10 000.

As cartas que derivam directamente de um levantamento denominam-se decartas de base, e as cartas obtidas a partir das cartas de base, com ou sem reduo

destas, so chamadas cartas derivadas, entre as quais se contam as cartas temticas,

como por exemplo as cartas geolgicas, florestais, etc..

Nas cartas e nas plantas, a representao do terreno feita tanto em planimetria

como em altimetria. Por planimetria entende-se a representao bidimensional da

posio dos pontos na carta e por altimetria a representao do relevo. Esta ltima

normalmente feita por intermdio de curvas de nvel ou pontos cotados.

Numa carta esto traados os meridianos e os paralelos, e tambm as linhas

rectas paralelas aos eixos rectangulares, que se denominam as rectas meridianas e as

rectas paralelas, cujo conjunto constitui a quadrcula da carta.

As rectas paralelas recta meridiana formam com as linhas que representam os

meridianos na carta, um ngulo que aumenta medida que nos afastamos do meridiano

origem. Esse ngulo denomina-se aconvergncia dos meridianos, e pode, sem grande

erro, ser considerado constante nas zonas em que se divide a carta de um pas. Sendo o

Norte Cartogrfico (N.C.) a direco definida pelo meridiano central e o Norte


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Geogrfico (N.G.) a direco definida pelos outros meridianos representados na carta,

pode-se dizer que a convergncia dos meridianos o ngulo formado pelo N.C. e pelo

N.G. (ver Figura 18).

Figura 18 Quadrcula de uma carta e representao do ngulo formado pelo NorteCartogrfico e Norte Geogrfico, denominado de convergncia dos meridianos.

Usualmente indica-se na margem das folhas as direces do Norte Geogrfico,

do Norte Cartogrfico e do Norte Magntico (N.M.), elementos que so destinados a

permitir a orientao de direces quando se conhece ou o rumo Cartogrfico, ou o

rumo Geogrfico, ou o azimute ou rumo Magntico (Figura 19).

..

.G. .C.

1

Figura 19 - Ao ngulo , formado pelas direces do N.G. e do N.M., chama-sedeclinao magntica. Ao ngulo , formado pelas direces do N.G. e do N.C.,chama-se convergncia de meridianos. O ngulo 1, formado pela direco do N.M. e doN.C., a declinao relativamente quadrcula da carta.

Se for a declinao magntica (ngulo formado pela direco do Norte

Magntico e pela direco do Norte Geogrfico) e a convergncia dos meridianos,tem-se que a declinao relativamente quadrcula da carta 1 dada por:

1 =

Meridiana

Perpendicular C

(NC) (NC)(NG)

- Convergncia dos meridianos

Meridiana

Perpendicular C

(NC) (NC)(NG)

- Convergncia dos meridianos


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aplicando-se o sinal positivo (negativo) quando o ponto considerado estiver situado a

Leste (Oeste) do meridiano origem.

1.3.6.1 Cartas em Portugal

Os principais produtores portugueses de cartografia so o Instituto Geogrfico

Portugus, formado em 2002 e integrando os entretanto extintos Instituto Portugus de

Cartografia e Cadastro (IPCC) e o Centro Nacional de Informao Geogrfica (CNIG),

e o Instituto Geogrfico do Exrcito (IGeoE). Em Portugal as cartas mais utilizadas

relativas a grandes extenses so as cartas de base do antigo IPCC, disponveis por

exemplo nas escalas 1:50 000 e 1:100 000 e a carta 1:25 000 do Instituto Geogrfico do

Exrcito (IGeoE). Existem ainda mais cartas em vrias escalas inferiores, tais como a

1:200 000 do IPCC.

Quanto s cartas de maiores escalas, as mais usadas so as de 1:10 000, 1:5 000,

1:2 000, 1:1 000, 1:500, competindo ao Engenheiro a sua escolha de acordo com a

natureza do trabalho a realizar. Est em fase de execuo por parte do Instituto

Geogrfico a cobertura nacional na escala 1:10 000. As cartas em escalas maiores so

da competncia das administraes regionais, nomeadamente Cmaras Municipais.

No h normas rgidas para a escolha da escala das cartas a utilizar, existindo, no

entanto, casos em que a escala est mais ou menos consagrada. Assim, nos

levantamentos de povoaes usam-se, para estudos de urbanizao, redes dedistribuio de guas, de evacuao de esgotos e de energia elctrica, levantamentos nas

escalas 1:1 000 e 1:2 000; nos estudos de pormenor de obras usam-se cartas com escalas

de 1:100 a 1:500.

1.3.7 REPRESENTAO DE PEQUENAS REAS

Vamos de seguida mostrar que, se as zonas que se pretendem representar so

pouco extensas, admissvel considerar a Terra como uma superfcie plana, podendo-se

substituir o elipside de referncia por um plano que lhe tangente no ponto central da

regio a representar, cometendo-se um erro inferior ao erro de graficismo. Falta agora

saber at que dimenses se pode fazer a referida substituio, o que vai evidentemente

depender da escala da representao.

Considerando a Terra como esfrica, de centro O e raio mdio R=6400 Km, seja

D a maior das distncias, sobre a superfcie de referncia, entre o ponto central e a

fronteira de uma regio a representar. Sejam ainda A e B dois pontos do terreno cujas

projeces ortogonais sobre a superfcie de referncia so respectivamente a e b, sendo


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b' o ponto de interseco da recta projectante de B sobre b, com o plano tangente

superfcie de referncia no ponto a (Figura 20).

Figura 20

Determinem-se agora as distncias D e D':

D = ab = R (com em radianos) (1)

D' = ab' = R tan

deste modo,

D = D' - D = R(tan - )

Uma vez que quando toma valores pequenos se pode truncar odesenvolvimento de tg em srie de Mac-Laurin sem cometer um erro considervel,

tem-se que

tan +33

logo D poder-se- escrever da seguinte forma:

D

R 3

3

aD

D'b

b'

B

M

O

A

R


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e como de (1) se pode tirar que =DR tem-se

D D3

3 R2

Quando D puder ser considerado nulo pode-se substituir a superfcie de

referncia (neste caso uma esfera) pelo plano que lhe tangente no ponto central da

zona a representar. Quando se faz a representao da rea numa carta, D pode ser

considerado nulo quando for inferior ao erro de graficismo, que aproximadamente

0.1 mm. Assim, se a escala da carta for 1/E, poderemos substituir o elipside por um

plano tangente superfcie quando:

D

E < erro de graficismo (0.1 mm = 10-7 Km)

ou seja, quando

D3

3 R2 E< 10-7 D 2 o topo

da torre aparecer mais prximo do observador do que a sua base, e o observador ter

uma viso tridimensional da torre. A viso estereoscpica de imagens muito

importante tanto para a fotogrametria mtrica como interpretativa.

3.1.4 PARALAXE ESTEREOSCPICA

O termo paralaxe utilizado para indicar o movimento da imagem de um objecto

fixo em relao a outro objecto fixo quando o ponto de observao est em movimento.

Se olharmos atravs da janela de um comboio em movimento, vemos os objectos mais

prximos a deslocarem-se a uma velocidade maior do que os mais afastados. O

deslocamento relativo destes objectos chama-se paralaxe (os objectos mais prximos

deslocaram-se aparentemente mais do que os mais afastados, logo tm uma paralaxe

maior). Ao utilizarmos uma cmara area para tirar fotografias em intervalos de tempoconstantes, de modo que exista sobreposio da regio fotografada, ela vai registar a

posio das imagens nos vrios instantes de exposio. A mudana de posio dos

pontos de uma fotografia para a prxima, provocada pelo deslocamento do avio,

chamada de paralaxe estereoscpica ou simplesmente paralaxe. Existe paralaxe em

todas as imagens que aparecem em fotografias sucessivas sendo, de uma forma anloga

ao deslocamento de um comboio, a paralaxe dos pontos mais elevados (portanto mais

prximos do avio) superior paralaxe dos pontos mais baixos. A variao da paralaxe

com a altitude dos objectos pode ser medida nas fotografias, sendo a determinao daelevao dos pontos com medies fotogramtricas baseada neste efeito.

3.1.5 UTILIZAO E PRODUTOS OBTIDOS A PARTIR DE FOTOGRAFIAS AREAS

As fotografias areas tm como principal aplicao a construo de:

Mapas planimtricos - mapas que contm apenas informao acerca da posio

horizontal dos pontos do terreno.


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92

Mapas topogrficos - mapas que indicam o detalhe planimtrico bem como

informao altimtrica (normalmente curvas de nvel).

Ortofotomapas - representaes fotogrficas preparadas de forma a que no

existam as distores normalmente existentes nas fotografias, e que podem serutilizados como mapas.

Existem ainda variadssimas outras aplicaes para as fotografias areas, como

por exemplo desenho e construo de auto-estradas e barragens, estudos de trfego,

anlise da cobertura dos solos, identificao de tipos de culturas, etc.

3.2 Sistema de Posicionamento Global (Global Positioning System -GPS)

3.2.1 PRINCPIO DE POSICIONAMENTO DE PONTOS UTILIZANDO SATLITES ARTIFICIAIS

O que se pretende com o posicionamento de pontos superfcie da Terra

utilizando satlites artificiais determinar a posio da antena i (antena que recebe os

sinais emitidos pelos satlites). Conhecendo as coordenadas da posio de cada satlite

num sistema de coordenadas com origem no centro da Terra, conhece-se o vector rj do

centro da Terra ao satlite j, que emite o sinal. ento necessrio determinar o vector

eiji

j formado pelo ponto i onde est colocada a antena e o satlite j. Desta forma:

R r eij

ij

ij=

Figura 72 - Posicionamento de pontos superfcie da Terra com o auxlio de satlitesartificiais.

O vector eij

ij

pode ser medido por vrias tcnicas, dando origem a vriosmtodos de posicionamento.


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93

Outro mtodo de determinar o posicionamento de pontos em vez de determinar

o vector e determinar apenas a distncia da antena ao satlite, sendo no entanto neste

caso necessrio determinar a distncia a pelo menos 3 satlites para, a partir da

interseco de trs esferas de raio e centro conhecido, se poder determinar a posio da

antena.

Figura 73 - Posicionamento de ponto i (clculo das trs coordenadas do vector Ri)medindo trs distncias ( i

1, i2, i

3) e conhecendo a posio dos trs satlites r1, r2, r3.

r Rj i ij = j=1,2,3

O Sistema de Posicionamento Global no permite obter grande preciso no

posicionamento absoluto de pontos, embora a preciso conseguida seja suficiente para

muitas aplicaes, como por exemplo navegao martima e area, etc. A grande

preciso conseguida apenas com posicionamento relativo.

3.2.1.1 Posicionamento relativo

Sendo R1 a posio conhecida do ponto P1 e R2 a posio a determinar do ponto

P2, tem-se que:

R R R2 1 12= +


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Figura 74- Esquema de um posicionamento relativo, medindo distncias.

Sabendo que R r ej j j1 1 1= e que R r ej j j

2 2 2= temos que:

R R R e ej j j j12 2 1 1 1 2 2= =

3.2.1.2 Componentes do Sistema de Posicionamento Global

O sistema GPS (Global Positioning System) formado por trs componentes:

Componente espacial - Constituda por 24 satlites, que orbitam a Terra em 12horas, a uma altitude de cerca de 20200 Km. Cada satlite contm vrios relgios

atmicos de alta preciso e transmite continuamente sinais de rdio utilizando um

cdigo que o permite identificar. No sinal transmitido so enviadas vrias mensagens,

entre as quais a sua posio e informao acerca da sade do satlite, informao esta

que depois descodificada pelos receptores.

Figura 75 - Representao esquemtica dos satlites GPS e suas rbitas.


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Componente de controlo - formada por estaes monitoras, estaes emissoras

de dados para os satlites e uma estao de controlo. As estaes monitoras recebem

continuamente a informao enviada pelos satlites, fornecendo dados para a estao de

controlo calcular as novas posies dos satlites e as correces a fazer aos relgios de

bordo. Estes dados so depois enviados para as estaes emissoras, para serem emitidospara os satlites, pelo menos uma vez por dia.

Componente do utilizador - constituda por todos os receptores, civis e

militares, que utilizam os sinais emitidos pelos satlites para calcular a sua posio.


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Captulo 4 - Representao do relevo

4.1 Com pontos cotados

Neste mtodo de representao do relevo, ele definido por um conjunto depontos do terreno assinalados na carta, cuja cota indicada.

Os pontos escolhidos para representar o relevo devem defini-lo perfeitamente,

isto , a sua escolha fica condicionada a que entre cada ponto e os pontos mais prximos

se possa considerar constante a inclinao do terreno, dentro da preciso exigida. Tais

pontos chamam-sepontos notveis do terreno.

Escolhendo os pontos notveis do terreno, a inclinao do terreno entre dois

pontos A e B a inclinao da recta que por eles passa. tangente trigonomtrica dainclinao d-se o nome de declive e o seu valor dado por:

ABABdN

AB=

4.1.1 CASOS EM QUE SE UTILIZAM PONTOS COTADOS

No muito usual a representao do relevo por pontos cotados embora, em

certas situaes, se torne til a sua utilizao. So a seguir expostos dois casos em que

isto acontece:

4.1.1.1 Representao de zonas urbanas

Nos arruamento escolhem-se para pontos cotados os pontos de mudana de

declive e os pontos dos cruzamentos dos seus eixos, representao altimtrica esta que

permite ao tcnico efectuar o estudo do traado das redes de saneamento bsico (ver

Figura 76).

Figura 76 - Representao do relevo de uma regio urbana com pontos cotados.


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4.1.1.2 Representao de regies pouco acidentadas

Neste caso a utilizao de pontos cotados feita especialmente em trabalhos de

hidrulica fluvial e agrcola, quando se trata de regies extensas. A densidade dos

pontos a representar funo da preciso exigida.4.1.1.3 Completagem do traado das curvas de nvel

Quando o relevo definido por curvas de nvel, os pontos mais altos e os mais

baixos, alm de outros pontos de interesse especial para o trabalho em questo, so

sempre pontos notveis do terreno e, deste modo, so sempre representados como

pontos cotados.

4.2 Com curvas de nvel

Neste tipo de representao considera-se o terreno cortado por superfcies de

nvel equidistantes, e projectam-se sobre a superfcie de referncia as linhas de

interseco das superfcies de nvel com o terreno, linhas estas a que chama curvas de

nvel. Junto a cada curva de nvel indicada a sua cota. A representao do relevo com

curvas de nvel muito sugestiva.

distncia constante entre as curvas de nvel d-se o nome de equidistncia

natural (En), que no caso da Figura 77, de 10 m.

30

40

50

60

30

4050

60

En

30

40

50

60

30

4050

60

En

Figura 77 - Representao do relevo de uma regio com curvas de nvel.

Ao valor da equidistncia natural reduzida escala da carta d-se o nome de

equidistncia grfica (e), deste modo:

eE

Ln=

Para escolher a equidistncia natural das curvas de nvel a representar numacarta, necessrio ter em considerao a escala da carta, o relevo do terreno e o


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objectivo do levantamento. No entanto so normalmente utilizadas as seguintes

equidistncias para as diferentes escalas:

ESCALA En

1/50 000 ...................................25 m

1/25 000 ...................................10 m

1/10 000 ...................................10 m

1/5 000 .....................................5 m

1/1 000 .....................................1 m

1/500..................................... 0.5 m

Note-se que para as quatro ltimas escalas eE

Lmn= = 0001. o que garante uma

certa uniformidade na representao do mesmo terreno em qualquer delas.

Em terrenos muito acidentados deve duplicar-se o valor da equidistncia grfica

pois, caso contrrio, as curvas de nvel apresentam-se muito prximas, o que dificulta a

leitura da carta e a consequente representao do relevo. Pelo contrrio, para terrenos

muito pouco acidentados deve adoptar-se uma equidistncia grfica de 0.5 mm ou

mesmo 0.25 mm.

A noo de declive dada anteriormente aplica-se aqui entre pontos das curvas de

nvel e chama-se linha de maior declive linha do terreno que forma o maior ngulo

com o plano horizontal. Em face desta definio a linha de maior declive normal s

curvas de nvel.

evidente que quanto menor for a distncia entre as curvas de nvel tanto maior

o declive do terreno nessa zona e, por isso mesmo, a observao das curvas de nvel

d uma ideia da forma do relevo.

4.2.1 FORMAS FUNDAMENTAIS DO RELEVO

Para melhor compreender a leitura de uma carta vejamos como certas formas do

terreno aparecem nas cartas topogrficas.


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Tergo - a forma de relevo constituda pela interseco de duas superfcies com

a concavidade voltada para baixo. Na representao dum tergo as curvas de nvel

aparecem com a concavidade virada para o cimo do terreno.

Figura 78 - Representao de um tergo com curvas de nvel.

Vale - constituda pela interseco de duas superfcies com a concavidade

voltada para cima. Na representao de um vale as curvas de nvel aparecem com a

concavidade voltada para a base do terreno.

Figura 79 - Representao de um vale com curvas de nvel

Todas as outras formas de relevo aparecem como uma associao conveniente detergos e vales. Assim:

Colina, outeiro ou monte uma associao de dois tergos.

C

D

CD Talvegue ou linha de juno de guas

C

D

CD Talvegue ou linha de juno de guas

110A

B

AB Linha de festo ou de separao de guas

100

9080

110A

B

AB Linha de festo ou de separao de guas

100

9080

100

90

80

70


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100

Figura 80 - Representao de uma colina com curvas de nvel.

Bacia ou covo uma associao de dois vales.

Figura 81 - Representao de uma bacia ou covo com curvas de nvel.

Colo, portela ou garganta uma combinao adequada de dois tergos e dois

vales.

Figura 82 - Representao de um colo, portela ou garganta com curvas de nvel.

4.3 Modelos digitais de terreno

Um modelo digital de terreno (MDT) uma representao numrica e

matemtica duma poro de terreno, a partir de um conjunto discreto de pontos, cuja

distribuio e caractersticas permitem calcular por interpolao, em todos os pontos doterreno, a cota z f(x, y)= com uma determinada preciso. Isto significa que se pode

atribuir apenas um valor de z a cada par (x, y), no sendo portanto possvel representar

por exemplo cavernas, paredes verticais, etc.

80 90100 110

8090

100110

7080

90

100110

70


103/110

101

A aquisio de informao para a construo de um MDT usualmente feita por

processos fotogramtricos, no entanto, os dados necessrios para a construo do

modelo podem ter como origem a digitalizao de curvas de nvel de mapas j

existentes, trabalhos taqueomtricos, deteco remota ou qualquer outro tipo de

mtodos ou sistemas que permitam a obteno de coordenadas planas e altitude depontos do terreno.

4.3.1 CONSTRUO DE UM MDT

O processo de recolha de dados gera um conjunto de pontos cujas cotas so

conhecidas. Para a construo de um modelo digital de terreno coerente necessrio

estabelecer relaes topolgicas entre os pontos de cotas conhecidas e escolher um

modelo de interpolao para gerar uma superfcie que se aproxime da forma do terreno.

Para a construo de superfcie interpoladora necessrio ter uma rede de pontos

de cota conhecida, rede esta que normalmente ou uma rede em grelha rectangular

(GRID), ver Figura 83a), ou uma rede irregular de tringulos (Triangulated Irregular

Network - TIN), ver Figura 83b). As vantagens e desvantagens de um e outro tipo de

redes so expostas no quadro seguinte.

Figura 83 - a) Grelha rectangular (GRID). b) Rede irregular de tringulos (TIN).

Vantagens Desvantagens

Grelhasrectangular(GRID)

O seu manuseamento emcomputador simples;

mais simples construirmodelos de interpolao paragrelhas rectangulares.

A densidade de pontos no pode seraumentada para se adaptar complexidade dorelevo;

necessrio um grande nmero de pontospara ser possvel fazer a representao dorelevo com determinada preciso;

No conseguem descrever caractersticasestruturais do terreno como caractersticastopogrficas .

RedeIrregular de

Tringulos(TIN)

Permitem representar oterreno com maior fiabilidade.

So necessrios menos

pontos para se construir umMDT com determinadapreciso.

So mais complexos e mais difceis demanusear;

mais difcil construir o modelo deinterpolao.


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4.3.2 EXEMPLOS DE APLICAO DOS MDT

Os modelos digitais de terreno permitem, para alm de visualizar o terreno a trs

dimenses, atravs de por exemplo diagramas de blocos, mapas de sombreados ou com

as tradicionais curvas de nvel, calcular por exemplo volumes de aterro e escavao,regies de visibilidade, declives ou orientao de encostas, sendo portanto de muita

utilidade na execuo de projectos de Engenharia Civil, como a construo de vias de

comunicao e barragens.

Figura 84 - a) Aspecto da paisagem vista de um determinado ponto.

C

b)

CC

b) Figura 85 - a) Esquema do clculo de regies de visibilidade. C o ponto de observao,S e S as regies no visveis e V e V as regies visveis de C. b)Representao daregio visvel do ponto C.

C


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103

Figura 86 - - a) Mapa de declives (em graus). b) Mapa de orientao das encostas (emgraus).

Figura 87 - Diagrama de blocos construdo a partir de um MDT.


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Captulo 5 - Cartometria

5.1 Medio de reas

As reas que se medem numa carta so sempre reas em projeco horizontal.Analisemos pois os principais mtodos para a sua medio:

5.1.1 MTODO ANALTICO

Aplica-se a figuras com contorno poligonal, desde que se conheam as

coordenadas dos seus vrtices, o que normalmente exige o levantamento da extrema da

regio cuja rea se pretende determinar. um mtodo rigoroso e que se utiliza sempre

que se pretende calcular uma rea com bastante preciso.

Figura 88 - Polgono fechado com vrtices nos pontos 1, 2, 3, 4 e 5, com coordenadasrespectivamente (M1,P1), (M2,P2), (M3,P3), (M4,P4) e (M5,P5).

Analisando a Figura 88 tem-se que:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]S M M P P M M P P M M P P M M P P M M P P= + + + + + + +1

2 2 1 2 1 3 2 3 2 4 3 4 3 4 5 5 4 1 5 1 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]S P M M P M M P M M P M M P M M = + + + + 1

2 1 2 5 2 3 1 3 4 2 4 5 3 5 1 4

Ou, considerando M0 M5 e M6 M1, tem-se:

( )S P M M i i ii

= + =12 1 1

1

5

Generalizando para o caso de n vrtices ter-se-:

( )S P M M i i ii

n

= + =1

2 1 11

1

2

3

4

5P1

P2

P3 P4

P5

M1 M2 M3 M4M5 P

M

1

2

3

4

5P1

P2

P3 P4

P5

M1 M2 M3 M4M5 P

M


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105

5.1.2 MTODOS GEOMTRICOS

Neste tipo de mtodo de determinao de reas temos que separar o caso em que

a figura limitada por uma linha poligonal ou por uma linha curva.

5.1.2.1 Figuras limitadas por um contorno poligonal

Neste caso faz-se a decomposio da rea do polgono em reas mais simples,

cuja rea se sabe determinar. As distncias necessrias so medidas directamente na

carta.

Figura 89 - A rea S da figura indicada S = S1 + S2 + S3 + S4

5.1.2.2 Figuras limitadas por uma linha curva

Mtodo dos trapzios

um mtodo expedito que permite calcular uma rea aproximada. Substitui-se a

linha curva por uma linha poligonal e transforma-se a figura cuja rea se pretendedeterminar numa srie de trapzios todos com a mesma altura d (ver Figura 90).

A

D

B

C

y0 y1 y2 y3 y4 yi-1 yi yn-1 yn

d

A

D

B

C

y0 y1 y2 y3 y4 yi-1 yi yn-1 yn

d

Figura 90 - Diviso de uma rea em trapzios de altura d, para determinao da reautilizando o mtodo dos trapzios.

Tm-se ento que:

( )0 1 1 2 1 11

...2 n n nS d y y y y y y y = + + + + + + +

S1 S2S3 S4

S1 S2S3 S4


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106

01 2 1...2

nn

y yS d y y y

+ = + + + +

Caso a rea a medir seja totalmente limitada por uma linha curva, pode fazer-se

uma adaptao deste mtodo traando um segmento de recta segundo a maior dimensoda figura.

Figura 91 - Adaptao do mtodo dos trapzios para clculo da rea da figura, sendo

( )1 2 1... nS d y y y = + + + .

5.1.2.3 Mtodo de Simpson ou das parbolas

Quando se pretende atingir uma preciso mais elevada do que o mtodo anterior

permite atingir, pode utilizar-se o mtodo de Simpson, segundo o qual se divide o

segmento AB num nmero par (2n) de partes iguais com dimenso d, e substituir a

curva entre cada grupo de trs pontos consecutivos (tais como A, C, D) por um arco de

parbola que passe por esses trs pontos.

A

A

BA2n

X

y0 y1 y2 y3 y4 y2n-1 y2ny5 y6 y2n-2

O A2 A4 A6 A2n-2

C D

Y

A

A

BA2n

X

y0 y1 y2 y3 y4 y2n-1 y2ny5 y6 y2n-2

O A2 A4 A6 A2n-2

C D

Y

Figura 92 - Esquema da definio da posio sucessiva dos eixos coordenados para adeterminao de uma rea pelo mtodo de Simpson.

Considerando um sistema de eixos como o definido na Figura 92 essas parbolas

tero uma equao da forma:

y a a x a x= + +0 1 2

2

A B

y1 y2 y3 yi-1 yi yn-1

dA B

y1 y2 y3 yi-1 yi yn-1

d


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A rea da figura AACDA2A ser ento dada por:

( )S a a x a x dxd

d

1 0 1 22= + +

[ ]=

+ +

d

da x a x a x0 1

22

31

2

1

3 = +2 2

30 23a d a d ( )= +d a a d

36 20 2

2

Como a parbola passa pelos pontos A(-d,y0), C(0,y1) e D(d,y2), tem-se:

y a a d a d0 0 1 22= +

y a1 0=

y a a d a d2 0 1 22= + +

pelo que:

y y a a d0 2 0 222 2+ = +

com y a1 0= obtm-se que:

2 222

0 1 2a d y y y= +

Entrando com este valor na expresso de S1, vem:

( )Sd

y y y1 0 1 2

3

4= + +

Deslocando agora o eixo OY da forma indicada na Figura 92 pode-se escrever:

( )Sd

y y y1 0 1 234= + +

( )Sd

y y y23

42 3 4= + +

( )Sd

y y y33

44 5 6= + +

( )Sd

y y yn n n n= + + 342 2 2 1 2

Como S = S1 + S2 + ... + Sn, somando membro a membro estas igualdades

obtm-se a chamada frmula de Simpson:

( ) ( )[ ]Sd

y y y y y y y yn n n= + + + + + + + + + 32 40 2 2 4 2 2 1 3 2 1... ...

Caso se trate de uma regio totalmente limitada por uma linha curva, procede-sede forma anloga descrita para o mtodo dos trapzios.


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Bibliografia

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Matemtica da FCTUC, 1991.

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[3] Casaca, Joo, Matos, J, Baio, M: Topografia Geral. Lidel, 2000.

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[6] Laurila, S.: Electronic Surveying in Practice, John Wiley & Sons,

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[9] Weibel, R; Heller, M.:Digital Terrain Modeling. In: Geographical

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Documents

Topografia Sebenta Civil 0405