Transformadas em Sinais e Sistemas (BC1509)
Aula 2
Professor: Alain Segundo Potts
Sala 721-1
Bibliografia
• LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, Bookman, 1a Ed., 2007.
• ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais e Sistemas, McGraw-Hill, 1a Ed., 2009.
• HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas, Bookman, 1a Ed., 2001.
• OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010
Sumário
• Descrição matemática de sinais contínuos no tempo.
• Redimensionamentos de escala e deslocamentos no tempo.
• Sinais Periódicas.
• Energia e potência dos sinais.
Funções de sinal
• Resumo de algumas das principais funções de sinal:
Redimensionamento da Escala da amplitude
• Consiste em multiplicar toda a função por uma constante:
• Esta operação varia o valor da variável dependente
(t) Ag(t)g
g
Deslocamento no tempo
• Consiste na mudança da variável independente
Onde é qualquer constante arbitraria.
Se o deslocamento é de unidades à esquerda.
Se o deslocamento é à direita.
0t t t
0t
0 0t
0t
0 0t
Deslocamento no tempo
Exemplo
Deslocamento no tempo
1. Obtenha a função ret(t) a partir de duas funções u(t).
2. Obtenha a função tri(t) a partir de funções r(t) deslocadas no tempo
1 1(t) u t u t
2 2ret
(t) r(t 1) 2r(t) r(t 1)tri
Redimensionamento de Escala de Tempo
• Consiste na mudança da variável independente
• Caso o fator de escala a > 1 o processo amplia a função na horizontal
tt
a
Redimensionamento de Escala de Tempo
Efeito Doppler
https://youtu.be/yWIMWqkcRDU?t=42
Exemplo
Redimensionamento de Escala de Tempo
• Considere agora a mudança da variável independente
• Quando o fator de escala a < 0 ocorre uma inversão no tempo. (Rotação de 180 graus em torno do eixo g(t)).
tt
a
Deslocamento e redimensionamento de Escala Simultâneos
Todas as três alterações provocadas em funções podem ser aplicadas simultaneamente:
Note que a ordem das operações altera o resultado final:
0
0
A
(t) (t) t t t t
ta
t ttg Ag Ag Ag
a a
0
00 0
A
(t) (t) tt t t
ta
t ttg Ag Ag t t Ag t Ag
a a
Deslocamento e redimensionamento de Escala Simultâneos
Deslocamento e redimensionamento de Escala Simultâneos
Diferenciação e Integração
• A derivada de uma função no instante t equivale à sua inclinação nesse mesmo instante t.
• A integral de uma função em qualquer instante t equivale à área acumulada sob a função até o referido instante t.
• Lembrando que dada uma função sua derivada é encontrada de modo não ambíguo, porém sua integral não.
Diferenciação e Integração
Diferenciação e Integração
• Integral contínua ou cumulativa:
Geometricamente, ela corresponde à área acumulada sob a função para todos os instantes de tempo antes do tempo t, e isso depende do valor de t.
Note que no caso que tenhamos conhecimento do valor da integral para a integral deixa de ser ambígua.
(t)
t
h g d
0t t
Diferenciação e Integração
Funções pares e ímpares
• Uma função par de t é aquela invariante para um redimensionamento de escala no tempo do tipo .
• Uma função ímpar de t é aquela invariante para um redimensionamento da escala da amplitude e de tempo:
• Uma função pode ser par, ímpar ou nenhuma das duas.
t t
(t) g( t)g
Funções pares e ímpares
Funções pares e ímpares
• Qualquer função g(t) pode ser expressa como a soma de seus componentes par e ímpar:
• Se a componente ímpar de uma função é zero, a função é par; se a componente par de uma função é zero a função é ímpar.
(t) g( t)(t)
2p
gg
(t) g( t)(t)
2i
gg
Funções pares e ímpares
• Exemplo:
Determine se a seguinte função é par ou ímpar?
Solução:
Portanto a função é ímpar.
Somas, produtos, diferenças e quocientes
Tipo de Função Soma Diferença Produto Quociente
Ambas pares Par Par Par Par
Ambas ímpares Ímpar Ímpar Par Par
Uma par e outra ímpar
Nenhum tipo Nenhum tipo
Ímpar Ímpar
Somas, produtos, diferenças e quocientes
Somas, produtos, diferenças e quocientes
Somas, produtos, diferenças e quocientes
Tipo de Função Derivada Integral
Par ímpar Ímpar + constante
Ímpar par par
Note que numa função par a Integral ao longo de um intervalo [-a;a] é:
0
2
a a
a
g t dt g t dt
Somas, produtos, diferenças e quocientes
Tipo de Função Derivada Integral
Par ímpar Ímpar + constante
Ímpar par par
No caso de uma função ímpar a Integral ao longo de um intervalo [-a;a] é:
0
a
a
g t dt
Funções Periódicas
• Uma função g(t) é periódica se satisfaz a seguinte expressão:
para qualquer valor inteiro de n.
• T é o período da função.
• As funções periódicas são invariantes a deslocamentos no tempo do tipo
(t) (t nT), g g n
t t nT
Funções Periódicas
• O intervalo menor positivo sobre a qual a função se repete é denominado período fundamental T0.
• Expressões equivalentes ao período fundamental são a frequência fundamental e a frequência angular
0
0
1f
T
0
0
2
T
Funções Periódicas
• Considere duas funções periódicas x1(t) e x2(t) de períodos fundamentais T01 e T02 .
• Se a relação é um número racional o mínimo múltiplo comum (T0) entre T01 e T02 é finito e a função x(t) = x1(t) + x2(t) é periódica de período fundamental T0.
• Se a relação é um número irracional, x(t) é aperiódica.
01 02T T
01 02T T
Funções Periódicas
• A frequência fundamental de x(t) é o máximo divisor comum (MDC) entre as duas frequências fundamentais e é portanto o recíproco do mínimo múltiplo comum (MMC) relativo aos dos períodos fundamentais.
• Caso as funções periódicas estejam-se multiplicando o período da função resultante será igual ao maior período das funções envolvidas na multiplicação.
Funções Periódicas
x(t) sen(12 t) cos(18 t)
1x (t) sen(12 t)
2x (t) cos(18 t)
Exemplo:
Funções Periódicas
• O período da primeira função é:
• O período da segunda função é:
• Como
• Utilizando as frequências temos que o MCD de ambas frequências é 3. Logo o sinal x(t) terá uma frequência fundamental f0 = 3 ou T0=1/3.
01 01
01
2 112 t 6
6t T f
T
02 02
02
2 118 t 9
9t T f
T
01 02 3 2T T a função x(t) = x1(t)+x2(t) é periódica
Funções Periódicas
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-10
0
10
x1(t)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-5
0
5
x2(t)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-50
0
50
x(t)=x1(t)*x
2(t)
x(t) sen(12 t)cos(18 t)
1x (t) sen(12 t)
2x (t) cos(18 t)
Funções Periódicas
• Exemplo:
Determine se a seguinte função é periódica:
Solução:
10sin 12 4cos 18g t t t
01
02
02
01 02
1
6
218
9
1 9 3
6 2
T
t t TT
T T
Logo a função não é periódica.
Funções Periódicas
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-10
0
10
x1(t)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-5
0
5
x2(t)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-20
0
20
x(t)=x1(t)+x
2(t)
Energia e Potência de Sinal
• A energia de sinal de um sinal é definida como a área sob a magnitude do sinal ao quadrado:
• Desta forma a energia de sinal é proporcional à energia física real presente em um sinal.
• Muitos sinais possuem energia infinita devido a que o sinal não é limitado no tempo (não nulo sobre apenas um tempo finito).
2
(t)xE x dt
Energia e Potência de Sinal
• Exemplo:
Calcule a energia de sinal da seguinte função de sinal:
Solução:
De acordo à definição de energia de sinal:
3 1 4 , 4
0, caso contrário
t tx t
2 4
2
4
(t) 3 1 4xE x dt t dt
Energia e Potência de Sinal
• Solução
-6 -4 -2 0 2 4 60
0.5
1
1.5
2
2.5
3x(t)
Como o sinal é par:
3 1 4 3 1 4(t) g( t)(t)
2 2
= 3 1 4
3 1 4 3 1 4(t) g( t)(t) 0
2 2
p
i
t tgg
t
t tgg
44 4 2 2 3
2
0 0 0
2 3 1 4 18 1 18 242 16 4 48
x
t t t tE t dt dt t
Energia e Potência de Sinal
• Nos casos de sistema de energia de sinal infinita trabalha-se com a potência média do sinal:
• Sinais que têm energia de sinal finita são denominados sinais de energia e sinais que têm energia de sinal infinita mas potência média finita são denominados sinais de potência.
22
2
1(t)lim
T
xT T
P x dtT
Energia e Potência de Sinal
• Para sinais periódicos o calculo pode ser feito sobre qualquer período do sinal.
• Logo a expressão toma a forma:
0
0
2 21 1(t) (t)
t T
xT
t
P x dt x dtT T
Energia e Potência de Sinal
• Exemplo:
Determine a potência média do seguinte sinal:
Solução:
Como o sinal é periódico temos:
0cos 2x t A f t
0
0
2 21 1(t) (t)
t T
xT
t
P x dt x dtT T
Energia e Potência de Sinal
222
0
0
2
2 2 22 2 2
0 0 0 0 0
2 2 2
0
2
1 1(t) cos 2
Utilizando a seguinte identidade:
1cos cos cos cos
2
4 41 cos 2 cos 2
2 2 2
2
T
xT
T
T T T
x
T T T
x
P x dt A f t dtT T
x y x y x y
A A AP t dt dt t dt
T T T T T
AP
Note que a potência do sinal não depende nem da frequência nem da fase do sinal senoidal.
Trabalho extraclasse
Exercícios do 32 até o 59 do capítulo 2 do livro de Roberts.