Oscilações
Movimento OscilatórioCinemática do Movimento Harmônico Simples (MHS)MHS e Movimento Circular UniformeForça e Energia do MHSExemplosExercícios
Universidade Federal de São PauloInstituto de Ciência e TecnologiaBacharelado em Ciência e Tecnologia
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Movimento Oscilatório
� Cordas vocais
� Diapasão
� Instrumentos de cordas
� Ondas na água
� Ondas sonoras
� Ondas em cordas
“Variações temporais” “Variações espaciais”
Vibrações Ondase
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Movimento Oscilatório
� Hélice na água
� Asas de abelha
� Elétrons em uma lâmpada
� Ondas na água
� Ondas sonoras
� Ondas de luz
“Variações temporais” “Variações espaciais”
Vibrações Ondase
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Movimento Harmônico Simples
Movimento oscilatório que se repete periodicamente.Resulta em ondas senoidais.
Exemplos:• Massa em uma mola• Pêndulo
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Uma massa vibrante conectada a uma mola é deslocada da
posição de equilíbrio, e depois solta.
O deslocamento máximo é chamado amplitude da vibração.
Um ciclo é uma vibração completa.
O período é o tempo necessário para completar um ciclo
completo.
A frequência é a conta de quantos ciclos o sistema
completa em 1 s.
Movimento Harmônico Simples
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Movimento Harmônico Simples
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Movimento Harmônico Simples
O gráfico de um Movimento Harmônico Simples (MHS)é descrito por uma curva senoidal.
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Movimento Harmônico Simples
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Movimento Harmônico Simples
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Movimento Harmônico Simples
Quando o corpo é deslocado de uma distância x a partirde sua posição de equilíbrio, a mola exerce sobre umaforça -kx, dada pela lei de Hooke.
xF kx= −
onde k é a constante de força da mola, uma medida desua rigidez.
O sinal negativo indica que a força é uma forçarestauradora, isto é, ela tem o sentido oposto ao dodeslocamento a partir da posição de equilíbrio.
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Condições para o Movimento Harmônico Simples:
No movimento harmônico simples, a aceleração, e
portanto, também a força resultante, são ambas
proporcionais e opostas ao deslocamento a partir da
posição de equilíbrio.
Movimento Harmônico Simples
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O tempo que leva para um objeto deslocado executar um
ciclo completo de movimento oscilatório – de um extremo
ao outro e de volta ao anterior – é chamado de período T.O inverso do período é a frequência f, que é o número de
ciclos por unidade de tempo:
Movimento Harmônico Simples
1f
T=
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Movimento Harmônico Simples
Unidade de Frequência:
A unidade de frequência é o ciclo por segundo (ciclo/s),
chamado de hertz (Hz).
Exemplo:
Se o tempo para um ciclo completo de oscilações é 0,25 s,
a frequência é 4,0 Hz.
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Movimento Harmônico Simples
Posição no Movimento Harmônico Simples:
A figura abaixo mostra como podemos, experimentalmente,
obter x versus t para uma massa presa a uma mola. A
equação geral para esta curva é
cos( )x A tω δ= +
onde A, ω e δ são constantesO deslocamento máximo xmáx do equilíbrio é chamado de
amplitude A.
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Movimento Harmônico Simples
O argumento da função cosseno, ωωωωt+δδδδ, é a fase do
movimento, e a constante δδδδ é a constante de fase, que é
igual à fase em t=0.
Nota que:
cos( ) sen( 2),t tω δ ω δ π+ = + +
assim, expressar a equação como uma função cosseno ou
como uma função seno depende simplesmente da fase da
oscilação em t=0.
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Movimento Harmônico Simples
Podemos mostrar que:
2
2
x
x
kx ma
ou
k d x ka x ou x
m dt m
− =
= − = −
É solução de:
cos( )x A tω δ= +
Velocidade no Movimento Harmônico Simples
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Movimento Harmônico Simples
A primeira derivada de x dá a velocidade vx
( )senx
dxv A t
dtω ω δ= = − +
Aceleração no Movimento Harmônico Simples
Derivando a velocidade em relação ao tempo temos a
aceleração:
( )2
2
2cosx
d xa A t
dtω ω δ= = − +
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Movimento Harmônico Simples
Substituindo ( )senA tω δ+
A frequência angular:
por x fica 2
2
2x
d xa x
dtω= = −
k
mω =
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Movimento Harmônico Simples
A frequência se relaciona com a frequência angular da
forma1
2 2 fT
ω π π= =
Como ,k mω =
a frequência e o período de um corpo preso a uma mola se
relaciona com a constante de força k e a massa m da forma
1 1
2
kf
T mπ= =
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Movimento Harmônico Simples
A frequência aumenta com o aumento de k (rigidez da
mola) e diminui com o aumento da massa m.
A Equação para frequência fornece uma maneira de se
medir a massa inercial de um astronauta em um ambiente
“sem gravidade”.
A frequência (e, portanto, também o período) do
movimento harmônico simples (MHS) é independente da
amplitude.
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Movimento Harmônico Simples
Exercício 1:
Você está sentado na prancha de surfe, que sobe e desce
ao flutuar sobre algumas ondas. O deslocamento vertical
da prancha y é dado por
( )1
1,2 cos2,0 6
y m ts
π = +
a) Determine a amplitude, a frequência, a frequência
angular, a constante de fase, a frequência e o período do
movimento.
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Movimento Harmônico Simples
b) Onde está a prancha, em t=1,0 s?
c) Determine a velocidade e a aceleração, como funções
do tempo t.
d) Determine os valores iniciais da posição, da velocidade
e da aceleração da prancha.
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Movimento Harmônico Simples
Exercício 2:
Um corpo oscila com uma frequência angular w=8,0 rad/s.
Em t=0, o corpo está em x=4,0 cm com uma velocidade
inicial vx=-25 cm/s.
a) Determine a amplitude e a constante de fase do
movimento.
b) Escreva x como função do tempo.