UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica
DEM/POLI/UFRJ
ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE SIMULAÇÃO NUMÉRICA E DADOS
EXPERIMENTAIS DA PERDA DE CARGA EM UM ESCOAMENTO INTERNO
Pedro Luiz Magalhães da Silva
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO
DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECÂNICO.
Aprovado por:
________________________________________________
Prof. Nísio de Carvalho Lobo Brum, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Albino José Kalab Leiróz, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Manuel Ernani de Carvalho Cruz, Ph.D.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
i
Silva, Pedro
Análise comparativa entre simulação numérica e dados experimentais
da perda de carga em um escoamento interno / Pedro Silva. – Rio de
Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2014.
IV, 31 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Nísio de Carvalho Lobo Brum
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Departamento de
Engenharia Mecânica, 2014.
Referências Bibliográficas: p. 31.
1. Simulação Numérica. 2. SU². 3. Expansão. I. Brum, Nísio de
Carvalho Lobo. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola
Politécnica, Departamento de Engenharia Mecânica. III. Título
ii
"Keep Ithaca always in your mind.
Arriving there is what you are destined for.
But do not hurry the journey at all.
Better if it lasts for years,
so you are old by the time you reach the island,
wealthy with all you have gained on the way,
not expecting Ithaca to make you rich.
Ithaca gave you the marvelous journey.
Without her you would not have set out."
Constantine P. Cavafy
iii
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço às duas pessoas mais importantes da minha vida:
minha mãe Selma e meu pai Renato. Sem eles eu não teria o apoio e o incentivo
necessários para alcançar mais esta realização em minha vida. Aos dois o meu mais
sincero carinho, vocês são os melhores pais que eu poderia pedir.
Agradeço também ao meu orientador, o professor Nísio, pelo seu suporte e suas
sugestões ao longo da elaboração do texto, e por sua paciência ao lidar com os
empecilhos apresentados ao longo da realização do projeto.
Não poderia também deixar de agradecer à toda a minha família, em especial às
minhas duas irmãs, Renata e Beatriz, por estarem presentes sempre que possível,
ajudando a aliviar o estresse da confecção de um trabalho de tamanha importância e
impacto na minha vida.
Em seguida, agradeço a todos os meus amigos, em especial à minha segunda
família: as amizades formadas na época do colégio. Embora não compartilhemos
sangue, vejo-os como irmãos. Mesmo que grandes distâncias nos separem, estarei
sempre disponível para apoiá-los ao menor chamado. Vocês constituem uma grande
parte da pessoa que sou hoje, e por isso não há como agradecer o suficiente.
Finalmente, agradeço a todos os professores e funcionários da Escola
Politécnica, que me deram a experiência necessária para lidar com o mercado da
engenharia, cada um da sua forma. Boa parte da minha paixão pela área se deve à
dedicação de alguns professores ao ministrar suas aulas, sempre com conteúdo relevante
e atraente.
iv
Resumo do projeto apresentado ao DEM/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico
ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE SIMULAÇÃO NUMÉRICA E DADOS
EXPERIMENTAIS DA PERDA DE CARGA EM UM ESCOAMENTO INTERNO
Pedro Silva
Agosto/2014
Orientador: Nísio de Carvalho Lobo Brum
Curso: Engenharia Mecânica
O presente trabalho apresenta uma análise comparativa entre uma simulação
realizada no software SU² para um escoamento interno atravessando uma expansão e os
dados obtidos para o mesmo escoamento através de medição experimental realizada
pela ASHRAE.
Ao longo do texto será explicada a modelagem utilizada para tratamento
numérico do problema, incluindo o método de preparo da malha e do arquivo de
configuração, responsável pela descrição do problema e dos métodos numéricos
selecionados para a simulação.
v
Abstract of Undergraduate Project presented to DEM/UFRJ as a part of fulfillment of
the requirements for the degree of Mechanical Engineer
COMPARATIVE ANALYSIS BETWEEN NUMERICAL SIMULATION AND
EXPERIMENTAL DATA FOR THE PRESSURE DROP OF AN INTERNAL FLOW
Pedro Silva
August/2014
Advisor: Nísio de Carvalho Lobo Brum
Course: Mechanical Engineering
The following work presents a comparative analysis between a simulation
performed with the SU² software for an internal flow going through an expansion and
the data acquired for the same flow through experiments organized by ASHRAE.
Throughout the text, you'll find explanations about the model built for the
numerical treatment of the flow, including the preparation methods for the mesh and the
configuration file, which is responsible for describing the flow and the numerical
schemes chosen for the simulation.
vi
Sumário
Lista de Figuras .............................................................................................................. vii
Lista de Tabelas ............................................................................................................. viii
Lista de abreviaturas e símbolos...................................................................................... ix
I - Introdução .....................................................................................................................1
II - Objetivo .......................................................................................................................3
III - Descrição do problema ...............................................................................................4
IV - Simulador SU² ............................................................................................................6
IV.1 - Arquivo de Malha ............................................................................................... 7
IV.2 - Arquivo de Configuração ................................................................................... 9
V - Teste de perda de carga .............................................................................................17
VI - Simulação do experimento .......................................................................................20
VI.1 - Modelo com menor rigidez .............................................................................. 20
VI.2 - Modelo com maior rigidez ............................................................................... 23
VII - Análise de resultados ..............................................................................................27
VIII - Observações finais.................................................................................................29
IX - Referências Bibliográficas .......................................................................................31
vii
Lista de Figuras
Figura 2.1 - Esquema da geometria do problema ......................................... 4
Figura 4.1 - Inicialização do simulador ........................................................ 7
Figura 4.2 - Malha axisimétrica .................................................................... 9
Figura 5.1 - Escoamento Desenvolvido ...................................................... 18
Figura 6.1 - Definição das paredes (com menor rigidez) ............................ 20
Figura 6.2 - Mapa térmico de velocidades (com menor rigidez) ................ 23
Figura 6.3 - Definição das paredes (com maior rigidez)............................. 24
Figura 7.1 - Mapa térmico de velocidades (com maior rigidez) ................. 27
viii
Lista de Tabelas
Tabela 3.1 - Dados do experimento .............................................................. 5
Tabela 5.1 - Teste de perda de carga ........................................................... 18
Tabela 6.1 - Simulação final ....................................................................... 26
ix
Lista de abreviaturas e símbolos
ASHRAE American Society of Heating, Refrigerating and Air-
conditioning Engineers
SU² Stanford University Unstructured
SST (Menter's) Shear Stress Transport
CFD Computer Fluid Dynamics
CGNS CFD General Notation System
CFL Courant-Friedrichs-Lewy
Q Vazão volumétrica
D0 Diâmetro de entrada
D1 Diâmetro de saída
L Comprimento da expansão
ρ Massa específica
V0 Velocidade de entrada
V1 Velocidade de saída
θ Ângulo da expansão
ΔP Perda de carga
f Fator de atrito
Re Número de Reynolds
A Área da seção circular
R Constante do gás
T Temperatura
C Condição de CFL
x
u Velocidade no elemento da malha mais fina
Δt Passo temporal
Δx Comprimento característico da malha mais fina
1
I - Introdução
Os avanços na tecnologia da informação no final do século passado e início
deste trouxeram à engenharia uma importante ferramenta de trabalho: os simuladores
computacionais. Análises que outrora teriam de ser modeladas em laboratório através de
medições experimentais podem agora ser reduzidas ou até eliminadas através de uma
modelagem prévia em algum software de simulação.
Algumas empresas desenvolveram softwares altamente capazes, sempre em
processo de melhoria. Estes simuladores são utilizados em larga escala por boa parte da
indústria de engenharia e em universidades, porém, devido ao seu alto custo de
aquisição e dificuldade de manipulação, não são todos que têm acesso ao seu uso. Além
disso, estes simuladores normalmente possuem código fechado, dificultando a análise
dos métodos utilizados na simulação. Com isto em mente, algumas pessoas ou grupos
desenvolvem códigos abertos de simulação ("open-source"), tanto para o uso pessoal
quanto para uso na comunidade de engenharia. Assim, estes softwares recebem
contribuições de diversas regiões do globo no seu desenvolvimento, sendo liberadas
novas versões de tempos em tempos. Além disso, o usuário pode adaptar o código para
uso pessoal, escrevendo pequenos scripts de programação próprios para a simulação que
deseja realizar.
Um destes códigos open-source está sendo desenvolvido por professores e
alunos de Stanford, sempre com o auxílio de programadores externos, como qualquer
código aberto. O código trabalha com malhas não-estruturadas, o que levou à escolha do
nome: SU², Stanford University Unstructured [1]. Ele foi criado inicialmente para
simulação de escoamentos externos, geralmente utilizada na otimização de formatos de
aerofólios e outras estruturas, buscando reduzir arrasto ou aumentar sustentação, entre
2
outras possibilidades. Por este motivo, o que o diferencia de demais simuladores já
existentes é que ele foi construído desde o começo para simular escoamentos
compressíveis.
Na sua versão mais recente, o software sofreu algumas adições que permitem
agora a simulação de escoamentos internos. que é onde se encaixa o objetivo do
trabalho.
3
II - Objetivo
O propósito deste trabalho é desenvolver e aplicar os conhecimentos adquiridos
ao longo do curso, através de uma análise de um problema de engenharia. O software
utilizado será o SU², para avaliarmos a viabilidade de uso do simulador para
escoamentos internos.
Serão estudados ao longo do texto os conceitos físicos por trás do problema em
questão, sendo mencionadas as aproximações realizadas e as configurações que serão
utilizadas como base na simulação computacional. Além disso, será explicada a forma
adequada de uso do programa no qual será feita a simulação, incluindo alguns conceitos
de simulação numérica, mais especificamente tratando-se de conceitos utilizados na
dinâmica de fluidos computacional (CFD, em inglês).
Ao final, serão feitos a análise e o tratamento dos resultados, onde se destacará a
interpretação geral das características observadas no escoamento. Para completar, uma
pequena conclusão descreverá o objetivo alcançado após o estudo das simulações.
4
III - Descrição do problema
O estudo aqui realizado se baseará em um experimento realizado pela ASHRAE,
onde o objetivo era tabelar a perda de carga em um escoamento de ar através de uma
tubulação. O diâmetro inicial da tubulação é de 200 mm, e em determinado ponto, após
o escoamento estar completamente desenvolvido, a tubulação sofre uma expansão suave
de comprimento igual a 300 mm, resultando em um novo diâmetro de 300 mm. O
ângulo desta expansão é, portanto, aproximadamente igual a 19 graus.
O fluxo volumétrico de entrada é mantido constante e igual a 700 L/s, onde o ar
entra com uma massa específica igual a 1,184 kg/m³. Sob estas condições, a perda de
carga medida pela ASHRAE na região de expansão equivale a 59 Pa.
Ao longo do trabalho será simulado o problema apresentado, e ao final
utilizaremos os resultados experimentais para avaliar a veracidade dos resultados
numéricos obtidos.
A geometria pode ser observada na imagem seguinte:
Figura 2.1 - Esquema da geometria do problema
5
Além disso, um resumo completo dos dados pode ser observado na tabela
seguinte, construída pela própria ASHRAE e aqui remontada:
Tabela 3.1 - Dados do experimento
INPUTS
OUTPUTS
Diâmetro (D0, mm) 200 Ângulo (θ, graus) 19
Diâmetro (D1, mm) 300 Velocidade de entrada (V0, m/s) 22.3
Comprimento (L, mm) 300 Velocidade de saída (V1, m/s) 9.9
Vazão Volumétrica (Q, L/s) 700 Pressão Dinâmica na entrada (Pa) 294
Massa Específica (ρ, kg/m³) 1.184 Pressão Dinâmica na saída (Pa) 58
Coeficiente de perda 0.20
Perda de Carga (ΔP, Pa) 59
6
IV - Simulador SU²
Este software é uma iniciativa de alunos e professores no departamento de
aeronáutica de Stanford que objetiva a formação de um código open-source de CFD,
visto que a maioria dos softwares estabelecidos nessa área possuem preço fora do
alcance da maioria dos indivíduos no ramo acadêmico, sendo o seu público-alvo as
entidades maiores, como empresas ou universidades.
Ele é uma coleção de ferramentas escritas em C++ para a resolução de sistemas
de equações diferenciais parciais (como as de Navier-Stokes), e por isso o seu foco
encontra-se na formulação dos scripts de solução e otimização, não possuindo portanto
nenhuma interface gráfica (por enquanto). A leitura dos resultados pode ser feita em
outros programas, como TecPlot (privado) ou ParaView (open-source). Também vale
notar que, como o nome insinua, os scripts de simulação trabalham com malhas não-
estruturadas.
Com o recente aumento da divulgação do programa, outros softwares
começaram a incorporar scripts de geração de arquivo de malha com extensão .su2,
formato específico utilizado por este simulador. Alguns destes programas são: EnGrid,
PointWise e Gmsh. Como será tratado no sub-item IV.1, o gerador de malha utilizado
para este trabalho foi o Gmsh.
Dentre os executáveis centrais do programa, o que será utilizado neste estudo é o
SU2_CFD.exe, que é o executável responsável por chamar os scripts utilizados para a
simulação de escoamentos, sejam eles internos ou externos. Podemos inicializar este
executável abrindo um prompt de comando, caminhando para a pasta onde o executável
estiver localizado (padrão: C:\SU2) e chamando o arquivo SU2_CFD seguido do
arquivo de configuração a ser lido para a simulação, como observado na figura 4.1:
7
Figura 4.1 - Inicialização do simulador
Vale notar que serão necessários dois arquivos de entrada para o correto
funcionamento do script, sendo um arquivo correspondente à malha e outro arquivo
correspondente às configurações gerais do problema a ser simulado e dos métodos
numéricos a serem utilizados no processo. Ambos os arquivos de entrada serão descritos
nos sub-itens a seguir.
IV.1 - Arquivo de Malha
O SU² lê o arquivo de malha em um formato diferente do padronizado (CGNS -
CFD General Notation System). Existe um script interno de conversão de malha CGNS
para SU², porém optamos pelo uso de um software que já possuísse a formatação de
malha .su2 embutida em seu código. Por este motivo, escolhemos o software Gmsh, um
código open-source e de fácil aprendizado, com input paramétrico, como será mostrado
adiante.
A malha consistirá justamente na região interna à tubulação por onde o
escoamento passa, e nela serão marcados alguns lugares geométricos, como as
superfícies das paredes e as superfícies de entrada e de saída do escoamento. Vale
observar que, para redução do esforço computacional, o problema será trabalhado em
8
uma malha 2D, utilizando-se de coordenadas cilíndricas para indicar a simetria axial do
escoamento.
Define-se então a geometria em um arquivo de texto de extensão .geo, seguindo
a notação própria do Gmsh. Inicialmente, para facilitar um posterior refino de malha,
determina-se um comprimento característico, atribuído a uma variável "cc", que definirá
o tamanho dos elementos. Então, são passadas as coordenadas dos pontos desejados
(acompanhadas de seu comprimento característico, definido na variável "cc"), que são
posteriormente conectados por linhas que formam uma geometria fechada, a qual define
a superfície 2D do escoamento.
É importante observar que para a simulação 2D axisimétrica, a malha precisa
também ser simétrica em relação ao eixo central, portanto configuramos uma geometria
equivalente à metade superior da tubulação, e espelhamos uma duplicata do mesmo em
relação ao eixo axial para a definição da metade inferior.
Finalmente, são nomeadas as superfícies de contorno (entrada, saída e paredes).
Aqui é preciso ressaltar um importante detalhe: como o SU² só agora está sendo
estendido para escoamentos internos, ainda não foi implementada a possibilidade de
prescrever um perfil de velocidades na entrada (o único perfil possível é o "flat", ou
seja, velocidade de módulo constante ao longo do perfil), e isto conflita com a condição
de não-deslizamento na parede na região da entrada, pois pelo perfil "flat" a velocidade
é não nula, mas pela condição ela é nula.
Para contornar este problema, geramos um pequeno trecho inicial com paredes
sem atrito ("euler walls", como será descrito no arquivo de configuração) e somente
após esta entrada incluímos o atrito na parede. Com isto, pudemos contornar o conflito e
desenvolver o perfil parabólico de velocidades desejado.
9
Gerar a malha torna-se então um processo menos complexo, basta abrir o
arquivo de extensão .geo com o Gmsh, verificar a geometria e ordenar a geração da
malha (em 2D, neste caso). Após sua geração, podemos salvar o arquivo de malha em
diversas extensões; aqui utilizamos a .su2, extensão própria do simulador utilizado para
o trabalho. A malha simétrica pode ser observada na imagem (elementos com
comprimento característico grande para facilitar a visualização da simetria):
Figura 4.2 - Malha axisimétrica
IV.2 - Arquivo de Configuração
O segundo arquivo é responsável pela descrição do problema a ser simulado,
além da descrição e determinação de fatores de otimização e scripts numéricos
utilizados na hora dos cálculos. Ele caracteriza-se por ser um simples arquivo de texto
(aberto por qualquer visualizador de texto, como, por exemplo, o Bloco de Notas) onde
os comandos são passados em formato similar aos compiladores mais utilizados.
Este arquivo pode ser dividido em alguns setores para facilitar a visualização do
usuário, conforme sugerido pelos próprios tutoriais inclusos na instalação do SU², e
pelos guias encontrados em seu site [2]:
10
- Definição do problema (Direto, Adjunto e Linearizado)
- Definição do escoamento (Compressível e Incompressível)
- Constantes do fluido (Compressível e Incompressível)
- Definição de valores de referência
- Definição das condições de contorno
- Parâmetros comuns que definem o método numérico
- Definição do método numérico para o escoamento
- Definição do método numérico para a turbulência
- Parâmetros de convergência
- Informações de Input e Output
A seguir serão descritos os detalhes mais relevantes do arquivo de configuração
para o problema em questão, seguindo as divisões estabelecidas anteriormente. A
definição dos dados de entrada para escoamentos compressíveis difere da definição
utilizada para escoamentos incompressíveis, onde o SU² utiliza um script de
compressibilidade artificial. Como trabalharemos com um escoamento compressível,
somente a definição de entrada deste é mencionada.
- Definição do problema
Aqui descreve-se qual equacionamento será utilizado para tratar o escoamento.
Em outras palavras, qual modelagem física foi escolhida para aproximar o problema da
realidade. Neste caso, serão utilizadas as equações de Navier-Stokes, e essa informação
pode ser fornecida pelo comando:
11
PHYSICAL_PROBLEM = NAVIER_STOKES
Já quanto ao problema matemático do equacionamento, é possível dizer se o
mesmo será direto ou adjunto (para otimização). No nosso caso será utilizado o
tratamento direto, passado pelo comando:
MATH_PROBLEM = DIRECT
Definimos aqui também a modelagem turbulenta. Podemos escolher entre duas
opções: uma modelagem de uma equação, de Spalart-Allmaras, ou uma de duas
equações, de SST (Shear Stress Transport - Transporte de Tensão Cisalhante). Optamos
pelo modelo SST [3] devido à sua maior precisão e capacidade de lidar com gradientes
de pressão. Esta escolha é informada pelo comando:
KIND_TURB_MODEL = SST
Finalmente, definimos a simetria axial do problema, para que a simulação em
2D represente um escoamento no interior de uma tubulação, e não entre duas placas
paralelas:
AXISYMMETRIC = YES
- Definição do escoamento livre
Aqui se informa dados de entrada do fluido; é possível, por exemplo, descrever o
ângulo de entrada do escoamento (mais utilizado para escoamentos externos, como
ângulo de ataque do aerofólio). Como o nosso escoamento é no sentido da tubulação, o
ângulo de ataque é nulo:
AoA = 0.0
12
No problema compressível, para definição da massa específica, o SU² é bem
indireto. Definimos inicialmente o número de Mach e a temperatura no escoamento
livre:
MACH_NUMBER = M
FREESTREAM_TEMPERATURE = T (em Kelvin)
Com estes dados, o SU² calcula a velocidade do som no fluido ( ,
onde R é definido na próxima seção), e retoma a velocidade de entrada dimensional (em
m/s). Além disso, com a temperatura definida, ele calcula a viscosidade do fluido, para
então recorrer ao Reynolds fornecido (acompanhado da definição do comprimento
característico) para o cálculo da massa específica do fluido:
REYNOLDS_NUMBER = Re (adimensional)
REYNOLDS_LENGTH = L (em metros)
Com a massa específica calculada, é também obtida a pressão estática pela lei
geral dos gases ( ).
- Constantes do fluido
Aqui são informadas as propriedades do fluido do escoamento, como o índice
adiabático γ, a constante específica do gás (neste caso, o ar) e os número de Prandtl
(laminar e turbulento). Todas estas constantes podem ser informadas, respectivamente,
pelos comandos:
GAMMA_VALUE = GAMMA
GAS_CONSTANT = R
13
PRANDTL_LAM = PrLAM
PRANDTL_TURB = PrTURB
- Definição de valores de referência
O SU² trabalha com determinados valores de referência padronizados, e aqui é
possível alterar estes valores. Caso alterados, é preciso lembrar que os valores
calculados ao final da simulação estarão todos em escala; por este motivo, mantivemos
todos os valores de referência como unitários, para o cálculo dos valores absolutos.
- Definição das condições de contorno
O caso aqui estudado possui paredes, um ponto de entrada e um de saída. Os
nomes das superfícies de parede, entrada e saída são todos definidos no arquivo de
malha, e aqui chamados para definir as condições de contorno.
As definições são então feitas como a seguir:
As paredes podem ser definidas como isotérmicas à temperatura do fluido ou
como adiabáticas. Optamos por manter as paredes como isotérmicas, devido à maior
facilidade de avaliação dos resultados ao se remover perturbações na temperatura.
MARKER_ISOTHERMAL = ( wall marker, temperature (K) )
O trecho inicial definido como parede sem atrito (devido ao conflito previamente
mencionado) é informado pelo comando:
MARKER_EULER = ( wall marker )
Finalmente, as superfícies de entrada e saída são definidas. A entrada pode ser
definida de duas formas. A padrão é:
14
MARKER_INLET = ( inlet marker, temperatura de estagnação, pressão de estagnação,
direção de escoamento x, direção de escoamento y, direção de escoamento z )
Porém, aqui utilizamos a forma secundária, de fluxo mássico. Para isto
modificamos o tipo de entrada:
INLET_TYPE = ( MASS_FLOW )
E então definimos a entrada:
MARKER_INLET = ( inlet marker, massa específica, magnitude da velocidade, direção
de escoamento x, direção de escoamento y, direção de escoamento z )
A saída é definida somente pela pressão de saída (estática):
MARKER_OUTLET= ( outlet marker, pressão estática )
- Parâmetros comuns que definem o método numérico
Aqui são definidos os parâmetros mais gerais do método numérico. Define-se o
método para os gradientes espaciais (mínimos quadrados, mínimos quadrados
ponderados, Green-Gauss), a condição de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) [4] para a
malha mais fina, os coeficientes alfa para o Runge-Kutta (padrão: {2/3, 2/3, 1}), e o
número máximo de iterações da simulação.
Um dos elementos mais importantes nesta seção é a condição de CFL, uma boa
estimativa para o seu valor leva a uma economia computacional e convergência mais
rápida, e uma má escolha pode levar à divergência da solução. Testamos aqui alguns
valores, buscando otimizar o tempo computacional sem perder a convergência da
solução.
15
- Definição do método numérico para o escoamento
Os comandos para o método numérico para a convecção, para a viscosidade e
para a discretização temporal do escoamento encontram-se nessa seção.
Convecção - JST, Lax-Friedrich, Roe 1ª e 2ª ordem
Viscosidade - gradiente médio, gradiente médio corrigido, Galerkin
Discretização temporal - Runge-Kutta explícito, Euler Implícito ou Explícito
- Definição do método numérico para a turbulência
Similar à seção anterior, os comandos para o método numérico para a
convecção, para a viscosidade e para a discretização temporal da turbulência encontram-
se nesta seção.
- Parâmetros de convergência
Aqui se estabelece o critério de convergência, além de parâmetros para a
redução residual, seu valor mínimo, em qual iteração começar a aplicar o critério, o
número de elementos no qual aplicar o critério, entre outros fatores.
- Informações de Input e Output
O SU² possui cinco arquivos de output, que retém informações da solução e
histórico de convergência, e é possível aqui nomear os arquivos que serão criados ao
término da simulação. Os dois comandos mais importantes nesta seção são a chamada
do arquivo da malha na qual será simulado o escoamento e o formato dos arquivos de
saída (principalmente o arquivo "flow" - nome padrão), que podem ser escritos para
visualização no TecPlot ou no ParaView. Estes comandos são:
16
MESH_FILENAME = NOME_DA_MALHA
OUTPUT_FORMAT = PARAVIEW
- Lista completa de comandos
Uma listagem completa dos comandos possíveis pode ser encontrada no arquivo
de configuração "CONFIG_TEMPLATE.cfg", que se encontra na pasta raiz de
instalação do SU² ou pode ser lido diretamente na seção do GitHub [5] destinada ao
programa. GitHub é um centro de colaboração onde usuários de diversos softwares
open-source trocam idéias e informações com o objetivo de desenvolver e melhorar tais
programas.
Um outro bom local para discussões relacionadas ao uso do simulador é o sub-
fórum do site CFD-Online [6], onde podem também ser encontrados diversos outros
sub-fóruns relacionados a outros códigos open-source de CFD. Alguns dos
desenvolvedores também participam das discussões, enriquecendo-as.
17
V - Teste de perda de carga
Para verificar a habilidade do programa em uma análise de perda de carga,
decidimos realizar um simples teste inicial: um escoamento ao longo de um tubo reto.
Com isto, poderemos comparar a perda de carga simulada em um trecho de
comprimento L com a obtida utilizando-se da equação de Blasius [7] para o cálculo do
fator de atrito de Darcy. Esta equação é utilizada primariamente para escoamentos
turbulentos em tubulações lisas, sendo necessário somente o valor do Reynolds para a
determinação do fator de atrito, como observado pela equação 5.2.
Estabelecemos um trecho de 30 metros para uma tubulação de 0.2 metro de
diâmetro, porém com velocidade de entrada diferente do experimento da ASHRAE,
pois com uma velocidade de o número de Reynolds ficaria fora da faixa
ótima para o uso da equação de Blasius. Estabelecemos portanto uma velocidade de
, resultando em um Reynolds igual a e simulamos com alguns refinos
de malha para verificar a convergência da perda de carga. As relações entre número de
elementos e perda de carga obtida (em um trecho de 2 metros na região onde o
escoamento já está completamente desenvolvido) podem ser observadas na tabela 5.1.
Podemos também perceber pela figura 5.1 que o escoamento já se encontra
completamente desenvolvido, fato confirmado numericamente tomando-se os valores
das velocidades nas seções demarcadas por linhas transversais à tubulação. Nestas
seções, medimos as pressões e calculamos a diferença entre as mesmas, como
apresentado na tabela 5.1.
18
Figura 5.1 - Escoamento Desenvolvido
Com a perda de carga medida, calculamos o fator de atrito pela relação:
Comparamos este valor com o obtido pela aproximação de Blasius, escrita a
seguir:
Comparando então os fatores de atrito para diferentes refinos de malha,
montamos a tabela 5.1, apresentada abaixo:
Tabela 5.1 - Teste de perda de carga
Número de Elementos
Perda de carga na simulação (Pa)
Fator de Atrito (simulado)
Fator de Atrito (Blasius)
Desvio (%)
4812 7.02 0.03900 0.0190 105.26%
10564 6.38 0.03544 0.0190 86.55%
14972 6.21 0.03450 0.0190 81.58%
38436 6.18 0.03433 0.0190 80.70%
19
Esta comparação nos dá maior segurança quanto à capacidade de utilização do
software para análise de perda de carga; pois percebemos que o fator de atrito simulado
se encontra na mesma ordem de grandeza do teórico. Partiremos então para um teste
com modelo simplificado do experimento da ASHRAE seguido de uma simulação com
modelo mais rígido.
20
VI - Simulação do experimento
VI.1 - Modelo com menor rigidez
Retornando ao experimento da ASHRAE, foi decidido realizar um rápido teste
inicial com um modelo simplificado antes de se prosseguir para uma simulação mais
fiel. Dadas as limitações do programa, estabelecemos uma malha onde as paredes só
possuem atrito na região da expansão. Isso significa que o perfil de velocidades não
chega desenvolvido, como no experimento, mas sim com o perfil constante ("flat")
previamente mencionado.
A geometria utilizada foi a seguinte:
Figura 6.1 - Definição das paredes (com menor rigidez)
Sabendo a vazão volumétrica e área de entrada, facilmente calculamos a
velocidade de entrada:
21
Este valor é informado juntamente com a massa específica na definição da
superfície de entrada (inlet), pelos comandos:
As paredes recebem então suas definições seguindo o mostrado na figura 6.1,
onde os tubos de entrada e de saída são definidos como paredes sem atrito (tipo A), e a
expansão definida como parede com atrito e isotérmica à temperatura do escoamento
(tipo B):
Resta somente definir a pressão na superfície de saída. Considerando que o ar
sairá à mesma temperatura, calculamos então:
E definimos tal pressão pelo comando:
Com uma rápida seleção dos métodos numéricos (melhor explicados no tópico
seguinte, III.3.3), simulamos o problema e chegamos à perda de carga na expansão:
Na visualização dos resultados no ParaView, extraímos os valores de 101
pontos na seção de entrada da expansão e outros 101 pontos na saída. Em uma
modelagem teórica, dois pontos equidistantes do eixo de simetria deveriam possuir a
22
mesma pressão, porém na simulação numérica podem haver pequenas variações devido
às aproximações numéricas durante o cálculo computacional. Por este motivo, fizemos
as médias das pressões dos pontos equidistantes, gerando um perfil de pressões similar
ao modelo teórico, onde a pressão em pontos equidistantes do centro é igual. Assim,
pudemos integrar por trapézios o valor da pressão nas seções circulares desejadas.
Finalmente, a perda de carga é obtida pela diferença entre as pressões de entrada e
saída.
Este resultado foi alcançado utilizando-se uma malha de 1128 elementos. Após
alguns refinos na malha, onde no último teste possuíamos o comprimento característico
dos elementos 10 vezes menor (resultando em uma malha de 125598 elementos), a
perda de carga igual simulada era igual a , diferindo somente do valor
encontrado para a malha inicial. Percebemos então que, para este caso simplificado, a
malha de 1128 elementos apresenta maior atratividade, devido ao reduzido esforço
computacional necessário para alcançar um resultado próximo. Um estudo de refino de
malha mais detalhado será realizado na simulação com escoamento desenvolvido, no
item seguinte; como esta simulação foi somente um teste inicial, não é necessário maior
aprofundamento em sua análise.
Como curiosidade, o espectro de velocidades resultante pode ser visto na figura
6.2:
23
Figura 6.2 - Mapa térmico de velocidades (com menor rigidez)
Comparando o resultado numérico à perda de carga medida experimentalmente
pela ASHRAE (59 Pa), o desvio percentual é de . Porém, a simulação não foi
uma representação tão fiel quanto o desejado, devido à ausência do perfil desenvolvido
na entrada da expansão. Partimos então para uma representação mais apurada da
situação real.
VI.2 - Modelo com maior rigidez
Com o resultado do modelo simplificado em mãos, partimos agora para um
modelo melhorado, buscando aproximar a simulação numérica da realidade. Para isto,
adicionamos atrito às tubulações de entrada e saída, para que o escoamento se
desenvolva completamente antes da expansão e observarmos o perfil de velocidades
após a mesma. Realizaremos também alterações nos comprimentos das tubulações de
entrada e saída, para garantir que não há influência das superfícies que limitam o
sistema, e refinaremos sucessivamente a malha para verificar a convergência de valores.
Para escoamentos turbulentos, estima-se o comprimento de entrada (distância
necessária para o desenvolvimento do escoamento) entre 25 e 40 vezes o diâmetro da
24
tubulação. Tomamos, então, um comprimento igual a 40 vezes o diâmetro do tubo de
entrada, mais um pequeno pedaço de paredes sem atrito, para evitar o conflito de
velocidades já mencionado. Com isto, observamos o completo desenvolvimento do
perfil de velocidades antes da chegada na região de expansão. A definição das
condições de contorno pode ser compreendida pelo seguinte esquema:
Figura 6.3 - Definição das paredes (com maior rigidez)
O modelo de turbulência selecionado foi o SST (Shear Stress Transport),
proposto por Menter. Este é um modelo que adiciona duas equações ao nosso sistema
para representar as propriedades turbulentas do escoamento. Ele utiliza a formulação
na região interna da camada limite, e troca para a formulação na região de
escoamento livre, evitando assim o problema da sensibilidade do modelo às
propriedades de turbulência na superfície de entrada; além disso, a utilização do modelo
próximo à região da parede leva a um melhor comportamento quanto tratamos de
gradientes de pressão adversos, como pode ocorrer em uma situação de expansão ou
contração do escoamento, dependendo de suas propriedades.
25
A massa específica definida na entrada irá agora ser diferente. O objetivo é que o
escoamento na região de expansão se assemelhe ao experimento montado pela
ASHRAE para a medição da perda de carga, e para isso as propriedades do ar no
processo simulado devem também ser semelhantes às experimentais. Como estamos
forçando o desenvolvimento do escoamento ao longo da tubulação de entrada, haverá
perda de carga até que o ar alcance a região de expansão. Esta perda de carga é
traduzida em uma redução da massa específica do ar, visto que a temperatura é mantida
constante através das paredes isotérmicas. Assim, definimos uma massa específica
superior à informada ( na entrada, para que, após a perda de carga sofrida
ao longo do desenvolvimento do escoamento, o ar chegue a uma massa específica
semelhante na região de expansão.
Nas definições dos métodos numéricos utilizados, faremos algumas observações:
- Primeiro, selecionamos o método dos mínimos quadrados ponderados para o
cálculo dos gradientes espaciais, pois ele apresenta maior estabilidade para simulações
de Navier-Stokes, especialmente na região de camada limite, do que o método de Green
Gauss, permitindo a tomada de valores mais altos para a condição de CFL, reduzindo o
esforço computacional.
- A estimativa inicial para a condição de CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) foi
calculada da seguinte forma:
Nas primeiras simulações atribuímos o valor de 10 à condição de CFL, e após
algumas tentativas chegamos a um valor ótimo igual a 6, que garante a convergência do
problema sem aumentar desnecessariamente o esforço computacional. Isto significa que
26
o passo temporal entre as iterações da solução falso-transiente equivale a
aproximadamente segundos.
- O método numérico para o cálculo das forças viscosas é simplesmente o dos
gradientes médios, pois trabalhamos com um fluido Newtoniano, onde a tensão
cisalhante é diretamente proporcional ao gradiente da velocidade.
- Escolhemos o método de Euler implícito [8] para a discretização temporal, pois
é um método estável para variadas escolhas de passos temporais, e pela característica de
métodos implícitos constituírem ótimos scripts de iteração para a solução de
escoamentos permanentes, onde os resultados intermediários na solução falso-transiente
são irrelevantes.
- O critério de convergência selecionado foi o de Cauchy. Este é um critério
muito utilizado para simulação de escoamentos permanentes, pois a sua confirmação
numérica de convergência ocorre quando a oscilação dos valores avaliados tende a zero,
ou seja, o escoamento falso-transiente convergiu para o permanente.
Após as devidas entradas dos métodos numéricos selecionados, seguindo a
construção do arquivo de configuração padrão, partimos para sucessivas simulações
variando o número de elementos da malha. A evolução dos dados obtidos pode ser
observada na tabela a seguir:
Tabela 6.1 - Simulação final
Número de Elementos Perda de carga na simulação (Pa)
2746 98.06
4952 112.76
8656 118.23
20564 116.08
83106 115.47
27
VII - Análise de resultados
O mapa térmico de velocidades na região de expansão pode ser observado na
seguinte figura (as tubulações de entrada e saída foram cortadas para preservar a
qualidade da imagem, sem alterar a relação de escalas horizontal/vertical):
Figura 7.1 - Mapa térmico de velocidades (com maior rigidez)
Na tabela 6.1, pudemos observar que o desvio percentual na perda de carga
continua grande, porém o valor absoluto já se encontra na mesma ordem de grandeza do
valor experimental.
28
Vale observar que a massa específica varia na expansão, ao contrário do que os
dados da ASHRAE dão a entender. A expansão de volume contribui para a redução na
massa específica, porém a redução na velocidade do escoamento contribui em maior
peso para o aumento da mesma. Com isto, a massa específica do ar que sai da expansão
é levemente superior à do ar que entra na expansão: 1,181 kg/m³ na entrada, contra
1,186 kg/m³ na saída. Para um problema onde a perda de carga é de 59 Pa, esta ligeira
variação na massa específica pode impactar nos resultados numéricos. Além disso, erros
de truncamento ou aproximações que levem a uma pequena perturbação nesta grandeza
são o suficiente para aumentar a imprecisão do resultado.
Podemos concluir que esta simulação confirmou um fato já esperado: cálculos
numéricos ainda estão longe de representar fielmente situações com alto grau de
variáveis livres. Valores aproximados podem ser obtidos, dando uma idéia da ordem de
grandeza a ser esperada, porém, no quesito precisão, tais simulações ainda não
competem com dados experimentais. A sua vantagem reside na habilidade de estimar
valores para uma dada variável de trabalho sem a necessidade de montar bancadas de
teste, as quais, muitas vezes, apresentam alto custo.
29
VIII - Observações finais
Se tratando de escoamentos internos, o simulador SU² ainda possui muito a
melhorar. Como os scripts de simulação para escoamento interno foram desenvolvidos
após a base do programa, algumas particularidades deste tipo de escoamento ainda não
foram cobertas, como, por exemplo, a determinação de um perfil de velocidades pré-
estabelecido na entrada.
Além disso, apesar de os tutoriais disponíveis no site oficial esclarecerem
algumas dúvidas, a ausência de uma documentação precisa (como um manual do
usuário) dificulta enormemente a construção de um arquivo de configuração para um
caso mais particular. As alternativas são a consulta ao código-fonte encontrado no
GitHub ou a fóruns frequentados por usuários do software. Há bastante material
disponível em relação a escoamentos externos, por ser o objetivo primário para o qual o
simulador foi desenvolvido, mas como a extensão para tratar de escoamentos internos é
mais recente (início de 2013), não é tão simples encontrar tópicos e estudos de caso
relacionados a esta última opção.
Apesar destes obstáculos nesta etapa de desenvolvimento e teste do
software, particularmente para escoamentos internos, é possível contornar a maior parte
dos problemas e realizar uma boa simulação. Como previamente mencionado, um dos
maiores cuidados a se tomar neste tipo de análise recai na sensibilidade dos resultados
em relação às variáveis de entrada. Uma ligeira perturbação na massa específica, que
pode ocorrer independentemente da modelagem física, mas devido a erros numéricos,
pode nos levar ao comprometimento da medição de perda de carga, como observado.
30
Concluímos então que os avanços na simulação numérica certamente facilitam
os estudos de problemas em engenharia, mas em geral ainda não são precisos o
suficiente para serem soluções definitivas sem o respaldo experimental.
31
IX - Referências Bibliográficas
1 - PALACIOS, F., COLONNO, M. R., et. al. "Stanford University Unstructured (SU²):
An open-source integrated computational environment for multi-physics simulation and
design.", AIAA Aerospace Sciences Meeting, 2013
2 - http://adl-public.stanford.edu/docs/display/SUSQUARED/SU2+Home, 2014
3 - MENTER, F. R., "Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Models for
Engineering Applications", AIAA Journal, 1994
4 - COURANT, R., FRIEDRICHS, K., LEWY, H., "On the Partial Difference
Equations of Mathematical Physics", 1928
5 - https://github.com/su2code/SU2, 2014
6 - http://www.cfd-online.com/Forums/su2/, 2014
7 - SUBRAMANYA, K., Fluid Mechanics and Hydraulic Machines, McGraw-Hill,
2011
8 - BUTCHER, J. C., "Numerical Methods for Ordinary Differential Equations", Nova
Iorque, 2003