UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica

DEM/POLI/UFRJ

ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE SIMULAÇÃO NUMÉRICA E DADOS

EXPERIMENTAIS DA PERDA DE CARGA EM UM ESCOAMENTO INTERNO

Pedro Luiz Magalhães da Silva

PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO

DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECÂNICO.

Aprovado por:

________________________________________________

Prof. Nísio de Carvalho Lobo Brum, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Albino José Kalab Leiróz, Ph.D.

________________________________________________

Prof. Manuel Ernani de Carvalho Cruz, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

i

Silva, Pedro

Análise comparativa entre simulação numérica e dados experimentais

da perda de carga em um escoamento interno / Pedro Silva. – Rio de

Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2014.

IV, 31 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Nísio de Carvalho Lobo Brum

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Departamento de

Engenharia Mecânica, 2014.

Referências Bibliográficas: p. 31.

1. Simulação Numérica. 2. SU². 3. Expansão. I. Brum, Nísio de

Carvalho Lobo. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola

Politécnica, Departamento de Engenharia Mecânica. III. Título

ii

"Keep Ithaca always in your mind.

Arriving there is what you are destined for.

But do not hurry the journey at all.

Better if it lasts for years,

so you are old by the time you reach the island,

wealthy with all you have gained on the way,

not expecting Ithaca to make you rich.

Ithaca gave you the marvelous journey.

Without her you would not have set out."

Constantine P. Cavafy

iii

Agradecimentos

Primeiramente, agradeço às duas pessoas mais importantes da minha vida:

minha mãe Selma e meu pai Renato. Sem eles eu não teria o apoio e o incentivo

necessários para alcançar mais esta realização em minha vida. Aos dois o meu mais

sincero carinho, vocês são os melhores pais que eu poderia pedir.

Agradeço também ao meu orientador, o professor Nísio, pelo seu suporte e suas

sugestões ao longo da elaboração do texto, e por sua paciência ao lidar com os

empecilhos apresentados ao longo da realização do projeto.

Não poderia também deixar de agradecer à toda a minha família, em especial às

minhas duas irmãs, Renata e Beatriz, por estarem presentes sempre que possível,

ajudando a aliviar o estresse da confecção de um trabalho de tamanha importância e

impacto na minha vida.

Em seguida, agradeço a todos os meus amigos, em especial à minha segunda

família: as amizades formadas na época do colégio. Embora não compartilhemos

sangue, vejo-os como irmãos. Mesmo que grandes distâncias nos separem, estarei

sempre disponível para apoiá-los ao menor chamado. Vocês constituem uma grande

parte da pessoa que sou hoje, e por isso não há como agradecer o suficiente.

Finalmente, agradeço a todos os professores e funcionários da Escola

Politécnica, que me deram a experiência necessária para lidar com o mercado da

engenharia, cada um da sua forma. Boa parte da minha paixão pela área se deve à

dedicação de alguns professores ao ministrar suas aulas, sempre com conteúdo relevante

e atraente.

iv

Resumo do projeto apresentado ao DEM/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico

ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE SIMULAÇÃO NUMÉRICA E DADOS

EXPERIMENTAIS DA PERDA DE CARGA EM UM ESCOAMENTO INTERNO

Pedro Silva

Agosto/2014

Orientador: Nísio de Carvalho Lobo Brum

Curso: Engenharia Mecânica

O presente trabalho apresenta uma análise comparativa entre uma simulação

realizada no software SU² para um escoamento interno atravessando uma expansão e os

dados obtidos para o mesmo escoamento através de medição experimental realizada

pela ASHRAE.

Ao longo do texto será explicada a modelagem utilizada para tratamento

numérico do problema, incluindo o método de preparo da malha e do arquivo de

configuração, responsável pela descrição do problema e dos métodos numéricos

selecionados para a simulação.

v

Abstract of Undergraduate Project presented to DEM/UFRJ as a part of fulfillment of

the requirements for the degree of Mechanical Engineer

COMPARATIVE ANALYSIS BETWEEN NUMERICAL SIMULATION AND

EXPERIMENTAL DATA FOR THE PRESSURE DROP OF AN INTERNAL FLOW

Pedro Silva

August/2014

Advisor: Nísio de Carvalho Lobo Brum

Course: Mechanical Engineering

The following work presents a comparative analysis between a simulation

performed with the SU² software for an internal flow going through an expansion and

the data acquired for the same flow through experiments organized by ASHRAE.

Throughout the text, you'll find explanations about the model built for the

numerical treatment of the flow, including the preparation methods for the mesh and the

configuration file, which is responsible for describing the flow and the numerical

schemes chosen for the simulation.

vi

Sumário

Lista de Figuras .............................................................................................................. vii

Lista de Tabelas ............................................................................................................. viii

Lista de abreviaturas e símbolos...................................................................................... ix

I - Introdução .....................................................................................................................1

II - Objetivo .......................................................................................................................3

III - Descrição do problema ...............................................................................................4

IV - Simulador SU² ............................................................................................................6

IV.1 - Arquivo de Malha ............................................................................................... 7

IV.2 - Arquivo de Configuração ................................................................................... 9

V - Teste de perda de carga .............................................................................................17

VI - Simulação do experimento .......................................................................................20

VI.1 - Modelo com menor rigidez .............................................................................. 20

VI.2 - Modelo com maior rigidez ............................................................................... 23

VII - Análise de resultados ..............................................................................................27

VIII - Observações finais.................................................................................................29

IX - Referências Bibliográficas .......................................................................................31

vii

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Esquema da geometria do problema ......................................... 4

Figura 4.1 - Inicialização do simulador ........................................................ 7

Figura 4.2 - Malha axisimétrica .................................................................... 9

Figura 5.1 - Escoamento Desenvolvido ...................................................... 18

Figura 6.1 - Definição das paredes (com menor rigidez) ............................ 20

Figura 6.2 - Mapa térmico de velocidades (com menor rigidez) ................ 23

Figura 6.3 - Definição das paredes (com maior rigidez)............................. 24

Figura 7.1 - Mapa térmico de velocidades (com maior rigidez) ................. 27

viii

Lista de Tabelas

Tabela 3.1 - Dados do experimento .............................................................. 5

Tabela 5.1 - Teste de perda de carga ........................................................... 18

Tabela 6.1 - Simulação final ....................................................................... 26

ix

Lista de abreviaturas e símbolos

ASHRAE American Society of Heating, Refrigerating and Air-

conditioning Engineers

SU² Stanford University Unstructured

SST (Menter's) Shear Stress Transport

CFD Computer Fluid Dynamics

CGNS CFD General Notation System

CFL Courant-Friedrichs-Lewy

Q Vazão volumétrica

D0 Diâmetro de entrada

D1 Diâmetro de saída

L Comprimento da expansão

ρ Massa específica

V0 Velocidade de entrada

V1 Velocidade de saída

θ Ângulo da expansão

ΔP Perda de carga

f Fator de atrito

Re Número de Reynolds

A Área da seção circular

R Constante do gás

T Temperatura

C Condição de CFL

x

u Velocidade no elemento da malha mais fina

Δt Passo temporal

Δx Comprimento característico da malha mais fina

1

I - Introdução

Os avanços na tecnologia da informação no final do século passado e início

deste trouxeram à engenharia uma importante ferramenta de trabalho: os simuladores

computacionais. Análises que outrora teriam de ser modeladas em laboratório através de

medições experimentais podem agora ser reduzidas ou até eliminadas através de uma

modelagem prévia em algum software de simulação.

Algumas empresas desenvolveram softwares altamente capazes, sempre em

processo de melhoria. Estes simuladores são utilizados em larga escala por boa parte da

indústria de engenharia e em universidades, porém, devido ao seu alto custo de

aquisição e dificuldade de manipulação, não são todos que têm acesso ao seu uso. Além

disso, estes simuladores normalmente possuem código fechado, dificultando a análise

dos métodos utilizados na simulação. Com isto em mente, algumas pessoas ou grupos

desenvolvem códigos abertos de simulação ("open-source"), tanto para o uso pessoal

quanto para uso na comunidade de engenharia. Assim, estes softwares recebem

contribuições de diversas regiões do globo no seu desenvolvimento, sendo liberadas

novas versões de tempos em tempos. Além disso, o usuário pode adaptar o código para

uso pessoal, escrevendo pequenos scripts de programação próprios para a simulação que

deseja realizar.

Um destes códigos open-source está sendo desenvolvido por professores e

alunos de Stanford, sempre com o auxílio de programadores externos, como qualquer

código aberto. O código trabalha com malhas não-estruturadas, o que levou à escolha do

nome: SU², Stanford University Unstructured [1]. Ele foi criado inicialmente para

simulação de escoamentos externos, geralmente utilizada na otimização de formatos de

aerofólios e outras estruturas, buscando reduzir arrasto ou aumentar sustentação, entre

2

outras possibilidades. Por este motivo, o que o diferencia de demais simuladores já

existentes é que ele foi construído desde o começo para simular escoamentos

compressíveis.

Na sua versão mais recente, o software sofreu algumas adições que permitem

agora a simulação de escoamentos internos. que é onde se encaixa o objetivo do

trabalho.

3

II - Objetivo

O propósito deste trabalho é desenvolver e aplicar os conhecimentos adquiridos

ao longo do curso, através de uma análise de um problema de engenharia. O software

utilizado será o SU², para avaliarmos a viabilidade de uso do simulador para

escoamentos internos.

Serão estudados ao longo do texto os conceitos físicos por trás do problema em

questão, sendo mencionadas as aproximações realizadas e as configurações que serão

utilizadas como base na simulação computacional. Além disso, será explicada a forma

adequada de uso do programa no qual será feita a simulação, incluindo alguns conceitos

de simulação numérica, mais especificamente tratando-se de conceitos utilizados na

dinâmica de fluidos computacional (CFD, em inglês).

Ao final, serão feitos a análise e o tratamento dos resultados, onde se destacará a

interpretação geral das características observadas no escoamento. Para completar, uma

pequena conclusão descreverá o objetivo alcançado após o estudo das simulações.

4

III - Descrição do problema

O estudo aqui realizado se baseará em um experimento realizado pela ASHRAE,

onde o objetivo era tabelar a perda de carga em um escoamento de ar através de uma

tubulação. O diâmetro inicial da tubulação é de 200 mm, e em determinado ponto, após

o escoamento estar completamente desenvolvido, a tubulação sofre uma expansão suave

de comprimento igual a 300 mm, resultando em um novo diâmetro de 300 mm. O

ângulo desta expansão é, portanto, aproximadamente igual a 19 graus.

O fluxo volumétrico de entrada é mantido constante e igual a 700 L/s, onde o ar

entra com uma massa específica igual a 1,184 kg/m³. Sob estas condições, a perda de

carga medida pela ASHRAE na região de expansão equivale a 59 Pa.

Ao longo do trabalho será simulado o problema apresentado, e ao final

utilizaremos os resultados experimentais para avaliar a veracidade dos resultados

numéricos obtidos.

A geometria pode ser observada na imagem seguinte:

Figura 2.1 - Esquema da geometria do problema

5

Além disso, um resumo completo dos dados pode ser observado na tabela

seguinte, construída pela própria ASHRAE e aqui remontada:

Tabela 3.1 - Dados do experimento

INPUTS

OUTPUTS

Diâmetro (D0, mm) 200 Ângulo (θ, graus) 19

Diâmetro (D1, mm) 300 Velocidade de entrada (V0, m/s) 22.3

Comprimento (L, mm) 300 Velocidade de saída (V1, m/s) 9.9

Vazão Volumétrica (Q, L/s) 700 Pressão Dinâmica na entrada (Pa) 294

Massa Específica (ρ, kg/m³) 1.184 Pressão Dinâmica na saída (Pa) 58

Coeficiente de perda 0.20

Perda de Carga (ΔP, Pa) 59

6

IV - Simulador SU²

Este software é uma iniciativa de alunos e professores no departamento de

aeronáutica de Stanford que objetiva a formação de um código open-source de CFD,

visto que a maioria dos softwares estabelecidos nessa área possuem preço fora do

alcance da maioria dos indivíduos no ramo acadêmico, sendo o seu público-alvo as

entidades maiores, como empresas ou universidades.

Ele é uma coleção de ferramentas escritas em C++ para a resolução de sistemas

de equações diferenciais parciais (como as de Navier-Stokes), e por isso o seu foco

encontra-se na formulação dos scripts de solução e otimização, não possuindo portanto

nenhuma interface gráfica (por enquanto). A leitura dos resultados pode ser feita em

outros programas, como TecPlot (privado) ou ParaView (open-source). Também vale

notar que, como o nome insinua, os scripts de simulação trabalham com malhas não-

estruturadas.

Com o recente aumento da divulgação do programa, outros softwares

começaram a incorporar scripts de geração de arquivo de malha com extensão .su2,

formato específico utilizado por este simulador. Alguns destes programas são: EnGrid,

PointWise e Gmsh. Como será tratado no sub-item IV.1, o gerador de malha utilizado

para este trabalho foi o Gmsh.

Dentre os executáveis centrais do programa, o que será utilizado neste estudo é o

SU2_CFD.exe, que é o executável responsável por chamar os scripts utilizados para a

simulação de escoamentos, sejam eles internos ou externos. Podemos inicializar este

executável abrindo um prompt de comando, caminhando para a pasta onde o executável

estiver localizado (padrão: C:\SU2) e chamando o arquivo SU2_CFD seguido do

arquivo de configuração a ser lido para a simulação, como observado na figura 4.1:

7

Figura 4.1 - Inicialização do simulador

Vale notar que serão necessários dois arquivos de entrada para o correto

funcionamento do script, sendo um arquivo correspondente à malha e outro arquivo

correspondente às configurações gerais do problema a ser simulado e dos métodos

numéricos a serem utilizados no processo. Ambos os arquivos de entrada serão descritos

nos sub-itens a seguir.

IV.1 - Arquivo de Malha

O SU² lê o arquivo de malha em um formato diferente do padronizado (CGNS -

CFD General Notation System). Existe um script interno de conversão de malha CGNS

para SU², porém optamos pelo uso de um software que já possuísse a formatação de

malha .su2 embutida em seu código. Por este motivo, escolhemos o software Gmsh, um

código open-source e de fácil aprendizado, com input paramétrico, como será mostrado

adiante.

A malha consistirá justamente na região interna à tubulação por onde o

escoamento passa, e nela serão marcados alguns lugares geométricos, como as

superfícies das paredes e as superfícies de entrada e de saída do escoamento. Vale

observar que, para redução do esforço computacional, o problema será trabalhado em

8

uma malha 2D, utilizando-se de coordenadas cilíndricas para indicar a simetria axial do

escoamento.

Define-se então a geometria em um arquivo de texto de extensão .geo, seguindo

a notação própria do Gmsh. Inicialmente, para facilitar um posterior refino de malha,

determina-se um comprimento característico, atribuído a uma variável "cc", que definirá

o tamanho dos elementos. Então, são passadas as coordenadas dos pontos desejados

(acompanhadas de seu comprimento característico, definido na variável "cc"), que são

posteriormente conectados por linhas que formam uma geometria fechada, a qual define

a superfície 2D do escoamento.

É importante observar que para a simulação 2D axisimétrica, a malha precisa

também ser simétrica em relação ao eixo central, portanto configuramos uma geometria

equivalente à metade superior da tubulação, e espelhamos uma duplicata do mesmo em

relação ao eixo axial para a definição da metade inferior.

Finalmente, são nomeadas as superfícies de contorno (entrada, saída e paredes).

Aqui é preciso ressaltar um importante detalhe: como o SU² só agora está sendo

estendido para escoamentos internos, ainda não foi implementada a possibilidade de

prescrever um perfil de velocidades na entrada (o único perfil possível é o "flat", ou

seja, velocidade de módulo constante ao longo do perfil), e isto conflita com a condição

de não-deslizamento na parede na região da entrada, pois pelo perfil "flat" a velocidade

é não nula, mas pela condição ela é nula.

Para contornar este problema, geramos um pequeno trecho inicial com paredes

sem atrito ("euler walls", como será descrito no arquivo de configuração) e somente

após esta entrada incluímos o atrito na parede. Com isto, pudemos contornar o conflito e

desenvolver o perfil parabólico de velocidades desejado.

9

Gerar a malha torna-se então um processo menos complexo, basta abrir o

arquivo de extensão .geo com o Gmsh, verificar a geometria e ordenar a geração da

malha (em 2D, neste caso). Após sua geração, podemos salvar o arquivo de malha em

diversas extensões; aqui utilizamos a .su2, extensão própria do simulador utilizado para

o trabalho. A malha simétrica pode ser observada na imagem (elementos com

comprimento característico grande para facilitar a visualização da simetria):

Figura 4.2 - Malha axisimétrica

IV.2 - Arquivo de Configuração

O segundo arquivo é responsável pela descrição do problema a ser simulado,

além da descrição e determinação de fatores de otimização e scripts numéricos

utilizados na hora dos cálculos. Ele caracteriza-se por ser um simples arquivo de texto

(aberto por qualquer visualizador de texto, como, por exemplo, o Bloco de Notas) onde

os comandos são passados em formato similar aos compiladores mais utilizados.

Este arquivo pode ser dividido em alguns setores para facilitar a visualização do

usuário, conforme sugerido pelos próprios tutoriais inclusos na instalação do SU², e

pelos guias encontrados em seu site [2]:

10

- Definição do problema (Direto, Adjunto e Linearizado)

- Definição do escoamento (Compressível e Incompressível)

- Constantes do fluido (Compressível e Incompressível)

- Definição de valores de referência

- Definição das condições de contorno

- Parâmetros comuns que definem o método numérico

- Definição do método numérico para o escoamento

- Definição do método numérico para a turbulência

- Parâmetros de convergência

- Informações de Input e Output

A seguir serão descritos os detalhes mais relevantes do arquivo de configuração

para o problema em questão, seguindo as divisões estabelecidas anteriormente. A

definição dos dados de entrada para escoamentos compressíveis difere da definição

utilizada para escoamentos incompressíveis, onde o SU² utiliza um script de

compressibilidade artificial. Como trabalharemos com um escoamento compressível,

somente a definição de entrada deste é mencionada.

- Definição do problema

Aqui descreve-se qual equacionamento será utilizado para tratar o escoamento.

Em outras palavras, qual modelagem física foi escolhida para aproximar o problema da

realidade. Neste caso, serão utilizadas as equações de Navier-Stokes, e essa informação

pode ser fornecida pelo comando:

11

PHYSICAL_PROBLEM = NAVIER_STOKES

Já quanto ao problema matemático do equacionamento, é possível dizer se o

mesmo será direto ou adjunto (para otimização). No nosso caso será utilizado o

tratamento direto, passado pelo comando:

MATH_PROBLEM = DIRECT

Definimos aqui também a modelagem turbulenta. Podemos escolher entre duas

opções: uma modelagem de uma equação, de Spalart-Allmaras, ou uma de duas

equações, de SST (Shear Stress Transport - Transporte de Tensão Cisalhante). Optamos

pelo modelo SST [3] devido à sua maior precisão e capacidade de lidar com gradientes

de pressão. Esta escolha é informada pelo comando:

KIND_TURB_MODEL = SST

Finalmente, definimos a simetria axial do problema, para que a simulação em

2D represente um escoamento no interior de uma tubulação, e não entre duas placas

paralelas:

AXISYMMETRIC = YES

- Definição do escoamento livre

Aqui se informa dados de entrada do fluido; é possível, por exemplo, descrever o

ângulo de entrada do escoamento (mais utilizado para escoamentos externos, como

ângulo de ataque do aerofólio). Como o nosso escoamento é no sentido da tubulação, o

ângulo de ataque é nulo:

AoA = 0.0

12

No problema compressível, para definição da massa específica, o SU² é bem

indireto. Definimos inicialmente o número de Mach e a temperatura no escoamento

livre:

MACH_NUMBER = M

FREESTREAM_TEMPERATURE = T (em Kelvin)

Com estes dados, o SU² calcula a velocidade do som no fluido ( ,

onde R é definido na próxima seção), e retoma a velocidade de entrada dimensional (em

m/s). Além disso, com a temperatura definida, ele calcula a viscosidade do fluido, para

então recorrer ao Reynolds fornecido (acompanhado da definição do comprimento

característico) para o cálculo da massa específica do fluido:

REYNOLDS_NUMBER = Re (adimensional)

REYNOLDS_LENGTH = L (em metros)

Com a massa específica calculada, é também obtida a pressão estática pela lei

geral dos gases ( ).

- Constantes do fluido

Aqui são informadas as propriedades do fluido do escoamento, como o índice

adiabático γ, a constante específica do gás (neste caso, o ar) e os número de Prandtl

(laminar e turbulento). Todas estas constantes podem ser informadas, respectivamente,

pelos comandos:

GAMMA_VALUE = GAMMA

GAS_CONSTANT = R

13

PRANDTL_LAM = PrLAM

PRANDTL_TURB = PrTURB

- Definição de valores de referência

O SU² trabalha com determinados valores de referência padronizados, e aqui é

possível alterar estes valores. Caso alterados, é preciso lembrar que os valores

calculados ao final da simulação estarão todos em escala; por este motivo, mantivemos

todos os valores de referência como unitários, para o cálculo dos valores absolutos.

- Definição das condições de contorno

O caso aqui estudado possui paredes, um ponto de entrada e um de saída. Os

nomes das superfícies de parede, entrada e saída são todos definidos no arquivo de

malha, e aqui chamados para definir as condições de contorno.

As definições são então feitas como a seguir:

As paredes podem ser definidas como isotérmicas à temperatura do fluido ou

como adiabáticas. Optamos por manter as paredes como isotérmicas, devido à maior

facilidade de avaliação dos resultados ao se remover perturbações na temperatura.

MARKER_ISOTHERMAL = ( wall marker, temperature (K) )

O trecho inicial definido como parede sem atrito (devido ao conflito previamente

mencionado) é informado pelo comando:

MARKER_EULER = ( wall marker )

Finalmente, as superfícies de entrada e saída são definidas. A entrada pode ser

definida de duas formas. A padrão é:

14

MARKER_INLET = ( inlet marker, temperatura de estagnação, pressão de estagnação,

direção de escoamento x, direção de escoamento y, direção de escoamento z )

Porém, aqui utilizamos a forma secundária, de fluxo mássico. Para isto

modificamos o tipo de entrada:

INLET_TYPE = ( MASS_FLOW )

E então definimos a entrada:

MARKER_INLET = ( inlet marker, massa específica, magnitude da velocidade, direção

de escoamento x, direção de escoamento y, direção de escoamento z )

A saída é definida somente pela pressão de saída (estática):

MARKER_OUTLET= ( outlet marker, pressão estática )

- Parâmetros comuns que definem o método numérico

Aqui são definidos os parâmetros mais gerais do método numérico. Define-se o

método para os gradientes espaciais (mínimos quadrados, mínimos quadrados

ponderados, Green-Gauss), a condição de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) [4] para a

malha mais fina, os coeficientes alfa para o Runge-Kutta (padrão: {2/3, 2/3, 1}), e o

número máximo de iterações da simulação.

Um dos elementos mais importantes nesta seção é a condição de CFL, uma boa

estimativa para o seu valor leva a uma economia computacional e convergência mais

rápida, e uma má escolha pode levar à divergência da solução. Testamos aqui alguns

valores, buscando otimizar o tempo computacional sem perder a convergência da

solução.

15

- Definição do método numérico para o escoamento

Os comandos para o método numérico para a convecção, para a viscosidade e

para a discretização temporal do escoamento encontram-se nessa seção.

Convecção - JST, Lax-Friedrich, Roe 1ª e 2ª ordem

Viscosidade - gradiente médio, gradiente médio corrigido, Galerkin

Discretização temporal - Runge-Kutta explícito, Euler Implícito ou Explícito

- Definição do método numérico para a turbulência

Similar à seção anterior, os comandos para o método numérico para a

convecção, para a viscosidade e para a discretização temporal da turbulência encontram-

se nesta seção.

- Parâmetros de convergência

Aqui se estabelece o critério de convergência, além de parâmetros para a

redução residual, seu valor mínimo, em qual iteração começar a aplicar o critério, o

número de elementos no qual aplicar o critério, entre outros fatores.

- Informações de Input e Output

O SU² possui cinco arquivos de output, que retém informações da solução e

histórico de convergência, e é possível aqui nomear os arquivos que serão criados ao

término da simulação. Os dois comandos mais importantes nesta seção são a chamada

do arquivo da malha na qual será simulado o escoamento e o formato dos arquivos de

saída (principalmente o arquivo "flow" - nome padrão), que podem ser escritos para

visualização no TecPlot ou no ParaView. Estes comandos são:

16

MESH_FILENAME = NOME_DA_MALHA

OUTPUT_FORMAT = PARAVIEW

- Lista completa de comandos

Uma listagem completa dos comandos possíveis pode ser encontrada no arquivo

de configuração "CONFIG_TEMPLATE.cfg", que se encontra na pasta raiz de

instalação do SU² ou pode ser lido diretamente na seção do GitHub [5] destinada ao

programa. GitHub é um centro de colaboração onde usuários de diversos softwares

open-source trocam idéias e informações com o objetivo de desenvolver e melhorar tais

programas.

Um outro bom local para discussões relacionadas ao uso do simulador é o sub-

fórum do site CFD-Online [6], onde podem também ser encontrados diversos outros

sub-fóruns relacionados a outros códigos open-source de CFD. Alguns dos

desenvolvedores também participam das discussões, enriquecendo-as.

17

V - Teste de perda de carga

Para verificar a habilidade do programa em uma análise de perda de carga,

decidimos realizar um simples teste inicial: um escoamento ao longo de um tubo reto.

Com isto, poderemos comparar a perda de carga simulada em um trecho de

comprimento L com a obtida utilizando-se da equação de Blasius [7] para o cálculo do

fator de atrito de Darcy. Esta equação é utilizada primariamente para escoamentos

turbulentos em tubulações lisas, sendo necessário somente o valor do Reynolds para a

determinação do fator de atrito, como observado pela equação 5.2.

Estabelecemos um trecho de 30 metros para uma tubulação de 0.2 metro de

diâmetro, porém com velocidade de entrada diferente do experimento da ASHRAE,

pois com uma velocidade de o número de Reynolds ficaria fora da faixa

ótima para o uso da equação de Blasius. Estabelecemos portanto uma velocidade de

, resultando em um Reynolds igual a e simulamos com alguns refinos

de malha para verificar a convergência da perda de carga. As relações entre número de

elementos e perda de carga obtida (em um trecho de 2 metros na região onde o

escoamento já está completamente desenvolvido) podem ser observadas na tabela 5.1.

Podemos também perceber pela figura 5.1 que o escoamento já se encontra

completamente desenvolvido, fato confirmado numericamente tomando-se os valores

das velocidades nas seções demarcadas por linhas transversais à tubulação. Nestas

seções, medimos as pressões e calculamos a diferença entre as mesmas, como

apresentado na tabela 5.1.

18

Figura 5.1 - Escoamento Desenvolvido

Com a perda de carga medida, calculamos o fator de atrito pela relação:

Comparamos este valor com o obtido pela aproximação de Blasius, escrita a

seguir:

Comparando então os fatores de atrito para diferentes refinos de malha,

montamos a tabela 5.1, apresentada abaixo:

Tabela 5.1 - Teste de perda de carga

Número de Elementos

Perda de carga na simulação (Pa)

Fator de Atrito (simulado)

Fator de Atrito (Blasius)

Desvio (%)

4812 7.02 0.03900 0.0190 105.26%

10564 6.38 0.03544 0.0190 86.55%

14972 6.21 0.03450 0.0190 81.58%

38436 6.18 0.03433 0.0190 80.70%

19

Esta comparação nos dá maior segurança quanto à capacidade de utilização do

software para análise de perda de carga; pois percebemos que o fator de atrito simulado

se encontra na mesma ordem de grandeza do teórico. Partiremos então para um teste

com modelo simplificado do experimento da ASHRAE seguido de uma simulação com

modelo mais rígido.

20

VI - Simulação do experimento

VI.1 - Modelo com menor rigidez

Retornando ao experimento da ASHRAE, foi decidido realizar um rápido teste

inicial com um modelo simplificado antes de se prosseguir para uma simulação mais

fiel. Dadas as limitações do programa, estabelecemos uma malha onde as paredes só

possuem atrito na região da expansão. Isso significa que o perfil de velocidades não

chega desenvolvido, como no experimento, mas sim com o perfil constante ("flat")

previamente mencionado.

A geometria utilizada foi a seguinte:

Figura 6.1 - Definição das paredes (com menor rigidez)

Sabendo a vazão volumétrica e área de entrada, facilmente calculamos a

velocidade de entrada:

21

Este valor é informado juntamente com a massa específica na definição da

superfície de entrada (inlet), pelos comandos:

As paredes recebem então suas definições seguindo o mostrado na figura 6.1,

onde os tubos de entrada e de saída são definidos como paredes sem atrito (tipo A), e a

expansão definida como parede com atrito e isotérmica à temperatura do escoamento

(tipo B):

Resta somente definir a pressão na superfície de saída. Considerando que o ar

sairá à mesma temperatura, calculamos então:

E definimos tal pressão pelo comando:

Com uma rápida seleção dos métodos numéricos (melhor explicados no tópico

seguinte, III.3.3), simulamos o problema e chegamos à perda de carga na expansão:

Na visualização dos resultados no ParaView, extraímos os valores de 101

pontos na seção de entrada da expansão e outros 101 pontos na saída. Em uma

modelagem teórica, dois pontos equidistantes do eixo de simetria deveriam possuir a

22

mesma pressão, porém na simulação numérica podem haver pequenas variações devido

às aproximações numéricas durante o cálculo computacional. Por este motivo, fizemos

as médias das pressões dos pontos equidistantes, gerando um perfil de pressões similar

ao modelo teórico, onde a pressão em pontos equidistantes do centro é igual. Assim,

pudemos integrar por trapézios o valor da pressão nas seções circulares desejadas.

Finalmente, a perda de carga é obtida pela diferença entre as pressões de entrada e

saída.

Este resultado foi alcançado utilizando-se uma malha de 1128 elementos. Após

alguns refinos na malha, onde no último teste possuíamos o comprimento característico

dos elementos 10 vezes menor (resultando em uma malha de 125598 elementos), a

perda de carga igual simulada era igual a , diferindo somente do valor

encontrado para a malha inicial. Percebemos então que, para este caso simplificado, a

malha de 1128 elementos apresenta maior atratividade, devido ao reduzido esforço

computacional necessário para alcançar um resultado próximo. Um estudo de refino de

malha mais detalhado será realizado na simulação com escoamento desenvolvido, no

item seguinte; como esta simulação foi somente um teste inicial, não é necessário maior

aprofundamento em sua análise.

Como curiosidade, o espectro de velocidades resultante pode ser visto na figura

6.2:

23

Figura 6.2 - Mapa térmico de velocidades (com menor rigidez)

Comparando o resultado numérico à perda de carga medida experimentalmente

pela ASHRAE (59 Pa), o desvio percentual é de . Porém, a simulação não foi

uma representação tão fiel quanto o desejado, devido à ausência do perfil desenvolvido

na entrada da expansão. Partimos então para uma representação mais apurada da

situação real.

VI.2 - Modelo com maior rigidez

Com o resultado do modelo simplificado em mãos, partimos agora para um

modelo melhorado, buscando aproximar a simulação numérica da realidade. Para isto,

adicionamos atrito às tubulações de entrada e saída, para que o escoamento se

desenvolva completamente antes da expansão e observarmos o perfil de velocidades

após a mesma. Realizaremos também alterações nos comprimentos das tubulações de

entrada e saída, para garantir que não há influência das superfícies que limitam o

sistema, e refinaremos sucessivamente a malha para verificar a convergência de valores.

Para escoamentos turbulentos, estima-se o comprimento de entrada (distância

necessária para o desenvolvimento do escoamento) entre 25 e 40 vezes o diâmetro da

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tubulação. Tomamos, então, um comprimento igual a 40 vezes o diâmetro do tubo de

entrada, mais um pequeno pedaço de paredes sem atrito, para evitar o conflito de

velocidades já mencionado. Com isto, observamos o completo desenvolvimento do

perfil de velocidades antes da chegada na região de expansão. A definição das

condições de contorno pode ser compreendida pelo seguinte esquema:

Figura 6.3 - Definição das paredes (com maior rigidez)

O modelo de turbulência selecionado foi o SST (Shear Stress Transport),

proposto por Menter. Este é um modelo que adiciona duas equações ao nosso sistema

para representar as propriedades turbulentas do escoamento. Ele utiliza a formulação

na região interna da camada limite, e troca para a formulação na região de

escoamento livre, evitando assim o problema da sensibilidade do modelo às

propriedades de turbulência na superfície de entrada; além disso, a utilização do modelo

próximo à região da parede leva a um melhor comportamento quanto tratamos de

gradientes de pressão adversos, como pode ocorrer em uma situação de expansão ou

contração do escoamento, dependendo de suas propriedades.

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A massa específica definida na entrada irá agora ser diferente. O objetivo é que o

escoamento na região de expansão se assemelhe ao experimento montado pela

ASHRAE para a medição da perda de carga, e para isso as propriedades do ar no

processo simulado devem também ser semelhantes às experimentais. Como estamos

forçando o desenvolvimento do escoamento ao longo da tubulação de entrada, haverá

perda de carga até que o ar alcance a região de expansão. Esta perda de carga é

traduzida em uma redução da massa específica do ar, visto que a temperatura é mantida

constante através das paredes isotérmicas. Assim, definimos uma massa específica

superior à informada ( na entrada, para que, após a perda de carga sofrida

ao longo do desenvolvimento do escoamento, o ar chegue a uma massa específica

semelhante na região de expansão.

Nas definições dos métodos numéricos utilizados, faremos algumas observações:

- Primeiro, selecionamos o método dos mínimos quadrados ponderados para o

cálculo dos gradientes espaciais, pois ele apresenta maior estabilidade para simulações

de Navier-Stokes, especialmente na região de camada limite, do que o método de Green

Gauss, permitindo a tomada de valores mais altos para a condição de CFL, reduzindo o

esforço computacional.

- A estimativa inicial para a condição de CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) foi

calculada da seguinte forma:

Nas primeiras simulações atribuímos o valor de 10 à condição de CFL, e após

algumas tentativas chegamos a um valor ótimo igual a 6, que garante a convergência do

problema sem aumentar desnecessariamente o esforço computacional. Isto significa que

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o passo temporal entre as iterações da solução falso-transiente equivale a

aproximadamente segundos.

- O método numérico para o cálculo das forças viscosas é simplesmente o dos

gradientes médios, pois trabalhamos com um fluido Newtoniano, onde a tensão

cisalhante é diretamente proporcional ao gradiente da velocidade.

- Escolhemos o método de Euler implícito [8] para a discretização temporal, pois

é um método estável para variadas escolhas de passos temporais, e pela característica de

métodos implícitos constituírem ótimos scripts de iteração para a solução de

escoamentos permanentes, onde os resultados intermediários na solução falso-transiente

são irrelevantes.

- O critério de convergência selecionado foi o de Cauchy. Este é um critério

muito utilizado para simulação de escoamentos permanentes, pois a sua confirmação

numérica de convergência ocorre quando a oscilação dos valores avaliados tende a zero,

ou seja, o escoamento falso-transiente convergiu para o permanente.

Após as devidas entradas dos métodos numéricos selecionados, seguindo a

construção do arquivo de configuração padrão, partimos para sucessivas simulações

variando o número de elementos da malha. A evolução dos dados obtidos pode ser

observada na tabela a seguir:

Tabela 6.1 - Simulação final

Número de Elementos Perda de carga na simulação (Pa)

2746 98.06

4952 112.76

8656 118.23

20564 116.08

83106 115.47

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VII - Análise de resultados

O mapa térmico de velocidades na região de expansão pode ser observado na

seguinte figura (as tubulações de entrada e saída foram cortadas para preservar a

qualidade da imagem, sem alterar a relação de escalas horizontal/vertical):

Figura 7.1 - Mapa térmico de velocidades (com maior rigidez)

Na tabela 6.1, pudemos observar que o desvio percentual na perda de carga

continua grande, porém o valor absoluto já se encontra na mesma ordem de grandeza do

valor experimental.

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Vale observar que a massa específica varia na expansão, ao contrário do que os

dados da ASHRAE dão a entender. A expansão de volume contribui para a redução na

massa específica, porém a redução na velocidade do escoamento contribui em maior

peso para o aumento da mesma. Com isto, a massa específica do ar que sai da expansão

é levemente superior à do ar que entra na expansão: 1,181 kg/m³ na entrada, contra

1,186 kg/m³ na saída. Para um problema onde a perda de carga é de 59 Pa, esta ligeira

variação na massa específica pode impactar nos resultados numéricos. Além disso, erros

de truncamento ou aproximações que levem a uma pequena perturbação nesta grandeza

são o suficiente para aumentar a imprecisão do resultado.

Podemos concluir que esta simulação confirmou um fato já esperado: cálculos

numéricos ainda estão longe de representar fielmente situações com alto grau de

variáveis livres. Valores aproximados podem ser obtidos, dando uma idéia da ordem de

grandeza a ser esperada, porém, no quesito precisão, tais simulações ainda não

competem com dados experimentais. A sua vantagem reside na habilidade de estimar

valores para uma dada variável de trabalho sem a necessidade de montar bancadas de

teste, as quais, muitas vezes, apresentam alto custo.

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VIII - Observações finais

Se tratando de escoamentos internos, o simulador SU² ainda possui muito a

melhorar. Como os scripts de simulação para escoamento interno foram desenvolvidos

após a base do programa, algumas particularidades deste tipo de escoamento ainda não

foram cobertas, como, por exemplo, a determinação de um perfil de velocidades pré-

estabelecido na entrada.

Além disso, apesar de os tutoriais disponíveis no site oficial esclarecerem

algumas dúvidas, a ausência de uma documentação precisa (como um manual do

usuário) dificulta enormemente a construção de um arquivo de configuração para um

caso mais particular. As alternativas são a consulta ao código-fonte encontrado no

GitHub ou a fóruns frequentados por usuários do software. Há bastante material

disponível em relação a escoamentos externos, por ser o objetivo primário para o qual o

simulador foi desenvolvido, mas como a extensão para tratar de escoamentos internos é

mais recente (início de 2013), não é tão simples encontrar tópicos e estudos de caso

relacionados a esta última opção.

Apesar destes obstáculos nesta etapa de desenvolvimento e teste do

software, particularmente para escoamentos internos, é possível contornar a maior parte

dos problemas e realizar uma boa simulação. Como previamente mencionado, um dos

maiores cuidados a se tomar neste tipo de análise recai na sensibilidade dos resultados

em relação às variáveis de entrada. Uma ligeira perturbação na massa específica, que

pode ocorrer independentemente da modelagem física, mas devido a erros numéricos,

pode nos levar ao comprometimento da medição de perda de carga, como observado.

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Concluímos então que os avanços na simulação numérica certamente facilitam

os estudos de problemas em engenharia, mas em geral ainda não são precisos o

suficiente para serem soluções definitivas sem o respaldo experimental.

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IX - Referências Bibliográficas

1 - PALACIOS, F., COLONNO, M. R., et. al. "Stanford University Unstructured (SU²):

An open-source integrated computational environment for multi-physics simulation and

design.", AIAA Aerospace Sciences Meeting, 2013

2 - http://adl-public.stanford.edu/docs/display/SUSQUARED/SU2+Home, 2014

3 - MENTER, F. R., "Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Models for

Engineering Applications", AIAA Journal, 1994

4 - COURANT, R., FRIEDRICHS, K., LEWY, H., "On the Partial Difference

Equations of Mathematical Physics", 1928

5 - https://github.com/su2code/SU2, 2014

6 - http://www.cfd-online.com/Forums/su2/, 2014

7 - SUBRAMANYA, K., Fluid Mechanics and Hydraulic Machines, McGraw-Hill,

2011

8 - BUTCHER, J. C., "Numerical Methods for Ordinary Differential Equations", Nova

Iorque, 2003