Prismas e Cilindros
Prismas e Cilindros
RelembrandoAntes de começar a aula de hoje, precisamos
rever alguns pontos de geometria plana eunidades de medidas:
Área do retângulo: Área do quadrado:
hbA . 2lA
Relembrando
Diagonal do quadrado: Área do triângulo:
2ld 2
.hbA
Relembrando
Triângulo Equilátero:
Altura
Área
2
3lh
4
3.2lA
Relembrando
Hexágono:Apótema:
Área:
2
3..3
4
3..6
22 llA
2
3la
Relembrando
Comprimento da circunferência
2.rA rc ..2
Área do círculo
Relembrando
Sendo o metro (m) a unidade de medida,
temos:
1 m = 10 dm = 100 cm1 m2 = 100 dm2 = 10000 cm2
1 m3 = 1000dm3 = 1000000 cm3
Observação: 1 dm3 = 1 litro
Prismas e Cilindros
Cilindros retos
Volume
Área lateral
Área da base
áreas
Cilindro equiláter
o
Caso particular
elementos
definição
Área total
Prismas retos
áreas
volume
Área da base
Área lateral
elementos
definição
Área total
PrismasPrisma é uma sólido geométrico delimitado
por faces planas, no qual as duas bases se
situam em planos paralelos.
Exemplos:
prismas
Duas bases paralelas
Limitado por faces planas
sólido
definição
PrismasPodemos classificar um prisma quanto ao
número de arestas da base.Triangular
Quadrangular
Pentagonal
Hexagonal
prismas
Base é um triângulo
triangulares
Nº de arestas da
base
classificação
Duas bases paralelas
Limitado por faces planas
sólido
definição
Base é um quadrilátero
quadrangulares
Base é um pentágono
pentagonal
Base é um hexágono
hexagonal
PrismasPodemos classificar um prisma quanto à
inclinação das arestas laterais.
Oblíquos: arestas laterais oblíquas às
bases.
Retos: arestas laterais
perpendiculares às bases.
prismas
Base é um triângulo
triangulares
Nº de arestas da
base
classificação
Duas bases paralelas
Limitado por faces planas
sólido
definição
Base é um quadrilátero
quadrangulares
Base é um pentágono
pentagonal
Base é um hexágono
hexagonal
retos
Arestas laterais
oblíquas à base
oblíquos
Inclinação das arestas laterais
definição
Arestas laterais perpendiculares à
base
PrismasOs elementos de um prisma reto são:
Prismas
Note que todas as
faces laterais dos
prismas retos são
retângulos
prismas
Base é um triângulo
triangulares
Nº de arestas da
base
classificação
Duas bases paralelas
Limitado por faces planas
sólido
definição
Base é um quadrilátero
quadrangulares
Base é um pentágono
pentagonal
Base é um hexágono
hexagonal
vértices
Lateral = altura
faces
elementos
retos
Arestas laterais
oblíquas à base
oblíquos
Inclinação das arestas laterais
definição
Arestas laterais perpendiculares à
base
base
lateralarestas
base
Paralelepípedos
Paralelepípedos são prismas quadrangulares,
cuja base é um paralelogramo. Quando as bases
são retângulos, chamamos de paralelepípedo
retângulo.
Paralelepípedos
Podemos calcular a diagonal do paralelepípedo
através do Teorema de Pitágoras ou pelafórmula:
222 cbaD
Paralelepípedos
Exemplo: Dado um paralelepípedo retângulo
de dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm. Calcule a
medida da sua diagonal.
41
2516
54
2
2
222
d
d
d
2550
419
3
2
2
222
DD
D
dD
Exemplo
Pelo Teorema de Pitágoras:
Exemplo
Pela Fórmula: 222 cbaD
2550
25169
543 222
DD
D
D
ParalelepípedosCaso particular: Cubo
O cubo é um paralelepípedo reto retângulo,
no qual todas as faces são quadrados, ou seja
todas as arestas apresentam a mesma medida. 3aD
ParalelepípedosExemplo: Calcule a diagonal de um cubo,
cujo perímetro de uma face é 24 cm.Se o perímetro da é 24cm,
então a aresta do cubo mede 24 : 4 = 6 cm
36
3
D
aD
Tente fazer sozinho
A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantoscentímetros deve ser aumentada a medida dadiagonal desse cubo, de modo a obter-se umnovo cubo cuja aresta meça 6 cm.
Tente fazer sozinho
A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantoscentímetros deve ser aumentada a medida dadiagonal desse cubo, de modo a obter-se umnovo cubo cuja aresta meça 6 cm.
Solução
3234363634 xxx
Áreas do Prisma Área da base: é a área do polígono queconstitui a base.
A) No prisma triangular.
4
3.
2
. 2lAou
hbA bb
Áreas do PrismaExemplo: Calcule a área da base de um
prisma triangular regular, sabendo que a altura
dotriângulo da base mede .
34
3164
38
4
3
8342
3
22
lA
ll
h
b
Áreas do Prisma
B) No prisma quadrangular.
hbAb . 2lAb
Áreas do Prisma
Exemplo: Uma piscina de fundo retangular de
1,80 m de profundidade, foi instalada em um
buraco cujo fundo tem dimensões a 3 m x 5 m.
Calcule a área da base da piscina.2155.3
.
cmA
hbA
b
b
Áreas do Prisma
C) No prisma hexagonal.
2
3.3 2lAb
Áreas do Prisma
Exemplo: Os senhores Balo Ofos pediram
uma pizza que veio em uma caixa de base
hexagonal, calcule á área da base da caixa,
sabendo que o lado do hexágono mede 12 cm.
22
2
32162
3.12.3
2
3.3
cmA
lA
b
b
Prismas retos
áreas
Área da base
Área do polígono da base
vértices
Lateral = altura
faces
elementos
definição
Arestas laterais perpendiculares à
base
base
lateralarestas
base
Áreas do Prisma Área lateral: é a soma das áreas das faceslaterais.
A) No prisma triangular
Como temos 3 faces laterais,
então . hbAl ..3
Áreas do PrismaExemplo: O monumento de uma praça no
norteda Croácia tem forma de um prisma
triangularregular de altura igual a 7m. Calcule a árealateral do monumento, sabendo que a área
dabase mede .
3 4
2
2
847.4.3
4344
3
mA
mll
A
l
b
Áreas do PrismaB) No prisma quadrangular
hbAl ..4bcacAl 22
Áreas do Prisma
Exemplo: Para reformar o móvel abaixo, um
designer colocará 2 portas e pintará todas
as faces laterais. Calcule toda superfícieque será pintada?
Áreas do Prisma
23
48,052,2
6,0.4,0.26,0.1,2.2
mA
A
A
l
l
l
Áreas do Prisma
C) No prisma hexagonal regular.
hbAl ..6
Áreas do Prisma Exemplo: Um instrumento de base hexagonalregular está sendo testado por uma banda dereagge. Sabendo que as bases desse prismadevem ser vermelhas. Calcule a área, em m2 aser pintada de amarelo e verde.
22 9,09000
30.50.6
..6
mcmA
A
hbA
l
l
l
Prismas retos
áreas
Área da base
Área do polígono da base
Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais
vértices
Lateral = altura
faces
elementos
definição
Arestas laterais perpendiculares à
base
base
lateralarestas
base
Áreas do Prisma
Área total: é a área de toda a superfície
do prisma, portanto, é a soma das áreas das
bases com a área lateral.lbt AAA .2
Prismas retos
áreas
Área da base
Área do polígono da base
Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais
vértices
Lateral = altura
faces
elementos
definição
Arestas laterais perpendiculares à
base
base
lateralarestas
base
Área total 2Ab + Al
Áreas do PrismaExemplo: Seja um prisma reto de 20 cm de
altura, cuja base é um triângulo retângulo com
catetos de 8 cm e 15 cm. Calcule a área total
do prisma.
Áreas do Prisma
17289
64225
815
2
2
222
xx
x
x
2920340160300120
20.1720.820.152
8.15.2
.2
cmA
A
AAA
t
t
lbt
Tente fazer sozinho
Calcule a medida do lado da base de um
prisma hexagonal regular, sabendo que a
sua área total é dm2 e que a suaaltura é igual ao apótema da base.
3216
Tente fazer sozinho
Calcule a medida do lado da base de um
prisma hexagonal regular, sabendo que a
sua área total é dm2 e que a suaaltura é igual ao apótema da base.
3216
Solução
dmll
ll
ll
l
hbl
AA
A
lb
t
6321636
32163333
32162
3..6
2
3.3.2
3216..62
3.3.2
3216.2
3216
2
22
2
2
Tente fazer sozinho(Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,
cuja base é um triângulo equilátero de cmde lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é oponto médio da aresta DF, calcule o seno doângulo .
210
EMB
Tente fazer sozinho(Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,
cuja base é um triângulo equilátero de cmde lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é oponto médio da aresta DF, calcule o seno doângulo .
210
EMB
Solução
65
2
3210
2
3
EM
EM
lEM
75
175
25150
565
2
2
222
BM
BM
BM
BM
7
7
75
5
xsen
xsen
Áreas do PrismaCaso particular: cubo
Como o cubo apresenta todas as faces com
a mesma área, então:
2.6 lAt
Áreas do Prisma
Exemplo: A diagonal de um cubo mede 12 cm.
Calcule a área total.34123 ll
2
2
2
288
346
.6
cmA
A
lA
t
t
t
Volume do PrismaO volume de todo prisma é o produto entre
a área da base e a altura.
hAV b .
Volume do PrismaExemplo: Determine o volume da piscina
ilustrada abaixo:
ldmV
cmhAV b
22502250
225000050.150.300.3
3
Volume do PrismaCaso particular: cubo
Como o cubo apresenta todas as arestas
com a mesma medida, então:
32.
.
aVaaV
hAV b
Volume do PrismaExemplo: Um tanque cúbico sem tampa serárevestido internamente com uma massaimpermeabilizante. Calcule o volume do
tanque,sabendo que a área da superfície a serrevestida é 125m2.
área revestida = área do cubo – tampa 125 = 6l2 – l2 125 = 5l2 l = 5 m
Logo, V = l3 = 53 = 125m3
Prismas retos
áreas
volume
Área da base
Área do polígono da base
Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais
vértices
Lateral = altura
faces
elementos
definição
Arestas laterais perpendiculares à
base
base
lateralarestas
base
Área total 2Ab + Al
V = Ab . h
Tente fazer sozinho
(Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96m2 de material para se montar uma caixacúbica. O volume dessa caixa é:a) 64 dm3
b) 40 cm3
c) 96 dm3
d) 160 cm3
e) 55 dm3
Tente fazer sozinho
(Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96m2 de material para se montar uma caixacúbica. O volume dessa caixa é:a) 64 dm3
b) 40 cm3
c) 96 dm3
d) 160 cm3
e) 55 dm3
Solução
Letra A
3
3
3
3
64
064,0
4,0
dmV
mV
V
aV
ma
a
a
At
4,0
16,0
96,06
96,0
2
2
Tente fazer sozinho
(UFPI) A base de um prisma reto é umtriângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5cm e um dos catetos mede 3 cm. Se amedida da altura desse prisma é 10 cm, seuvolume, em centímetros cúbicos, mede:
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
Tente fazer sozinho
(UFPI) A base de um prisma reto é umtriângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5cm e um dos catetos mede 3 cm. Se amedida da altura desse prisma é 10 cm, seuvolume, em centímetros cúbicos, mede:
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
Solução
Letra A
416
925
35
2
2
222
xx
x
x
6010.2
4.3.
2
.. h
hbhAV b
Cilindros
Cilindros retos são sólidos de revolução,
obtidos através do giro de um retângulo.
Cilindros retos
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidosdefiniçã
o
CilindrosOs elementos do cilindro reto são:
Cilindros retos
Geratriz = altura
baseelemento
s
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidosdefiniçã
o
CilindrosCaso particular: cilindro equilátero.
O cilindro equilátero apresenta altura com
a mesma medida do diâmetro da base.
Cilindros retos h= 2r
Cilindro equiláter
o
Caso particular
Geratriz = altura
baseelemento
s
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidosdefiniçã
o
Áreas do Cilindro
Área da base: é a área do círculo queconstitui a base.
2.rAb
Áreas do cilindro
Exemplo: Determine a área da base de
um cilindro cujo raio do círculo da basemede 4cm.
2
2
2
16
4.
.
cmA
A
rA
b
b
b
Cilindros retos
Área do círculo da baseÁrea da base
áreas
h= 2rCilindro
equilátero
Caso particular
Geratriz = altura
baseelemento
s
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidosdefiniçã
o
Ab = πr2
Áreas do Cilindro Área lateral: é a área da superfície
lateralplanificada.
hrAl ...2
Áreas do CilindroExemplo: A base do ofurô, ilustrado abaixo
tem diâmetro igual a 0,8 m. Na fábrica onde é
construído, a base cilíndrica não é de madeira
e a altura padrão é de 0,7 m. Calcule, em cm2 a
área da superfície revestida de madeira.218684,17
70.40.14,3.2
...2
cmA
A
hrA
l
l
l
Cilindros retos
Área lateral
Área do círculo da baseÁrea da base
áreas
h= 2rCilindro
equilátero
Caso particular
Geratriz = altura
baseelemento
s
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidosdefiniçã
o
Al = 2πrh
Ab = πr2
Áreas do Cilindro
Área total: é a área de toda a superfície
do prisma, portanto, é a soma das áreas das
bases com a área lateral.lbt AAA .2
Áreas do CilindroExemplo: Determine a área total de um
cilindro reto, cujo perímetro da base mede
10π cm, igual a medida da altura.cmrr 510..2
2150
25050
25025.2
.2
2
2
t
t
t
lbt
A
A
A
AAA
2
2
250
10.5..2
...2
25.
l
l
l
b
A
A
hrA
rA
Cilindros retos
Área lateral
Área do círculo da baseÁrea da base
áreas
h= 2rCilindro
equilátero
Caso particular
Geratriz = altura
baseelemento
s
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidosdefiniçã
o
Al = 2πrh
Área total
Ab = πr2
At = 2Ab + Al
Tente fazer sozinho(UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de
diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantoscentímetros quadrados de material sãousados, aproximadamente, para fabricar essalata? (Considere π = 3,14)
a) 396 b) 126 c) 285
d) 436 e) 578
Tente fazer sozinho(UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de
diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantoscentímetros quadrados de material sãousados, aproximadamente, para fabricar essalata? (Considere π = 3,14)
a) 396 b) 126 c) 285
d) 436 e) 578
Solução
Letra A2
2
2
39664,395
14,3.126.126
.108.18
18.3..23..2
...2..2
2
1836
cmA
A
A
A
hrrA
AAA
cmhcmrcmd
t
t
t
t
t
lbt
e
Áreas do Cilindros
Caso particular: cilindro equilátero.
Como o cilindro equilátero apresenta altura
com a mesma medida do diâmetro da base,
então:
222 ..2..4
2..2
rrA
rrA
t
l
2
2
..6
..4
rA
rA
t
l
Áreas do Cilindros
Exemplo: Calcule a área lateral e a área
total de um cilindro reto equilátero, cujo
raio da base mede 5 cm.
1505..6..6
1005..4..422
22
rA
rA
t
l
Volume do Cilindro
O volume de todo cilindro é o produto entre
a área da base e a altura.
hAV b .
Volume do Cilindro Exemplo: Calcule o volume da piscina
abaixo, em litros, sabendo que é um cilindro reto,
odiâmetro mede 1m e a altura mede 50
cm.
litrosV
V
hAV b
125
5.5.
.2
dmcm
dmrdmm
550
5101
Volume do Cilindro
Caso particular: cilindro equilátero
Como o cilindro equilátero apresenta aaltura com a mesma medida do diâmetro
dabase, então:
32 ..2.2.
.
rVrrV
hAV b
Volume do Cilindro
Caso particular: cilindro equilátero
Exemplo: Um cilindro equilátero de volume
128π litros, tem diâmetro de quantoscentímetros?
cmdmrr
rr
hAV b
40464
2128..2128
.
3
33
Cilindros retos
V = Ab . h
Volume
Área lateral
Área do círculo da baseÁrea da base
áreas
h= 2rCilindro
equilátero
Caso particular
Geratriz = altura
baseelemento
s
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidosdefiniçã
o
Al = 2πrh
Área total
Ab = πr2
At = 2Ab + Al
Tente fazer sozinho
(UFPI) Um reservatório com capacidade para6280 litros tem a forma de um cilindrocircular reto. Se o raio da base do reservatóriomede 1 metro, sua altura, também em metros,mede: (Considere π = 3,14)
a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3
Tente fazer sozinho
(UFPI) Um reservatório com capacidade para6280 litros tem a forma de um cilindrocircular reto. Se o raio da base do reservatóriomede 1 metro, sua altura, também em metros,mede: (Considere π = 3,14)
a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3
Solução
Letra D
mh
hm
hAV
mr
mdmlV
b
214,3
28,6
.1.14,3280,6
.
1
280,662806280
23
33
Tente fazer sozinho
(UFRN) Nove cubos de gelo, cada um comaresta igual a 3 cm, derretem dentro de umcopo cilíndrico vazio, com raio da basetambém igual a 3cm. Após o gelo derretercompletamente, a altura da água no coposerá de aproximadamente:
a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm
Tente fazer sozinho
(UFRN) Nove cubos de gelo, cada um comaresta igual a 3 cm, derretem dentro de umcopo cilíndrico vazio, com raio da basetambém igual a 3cm. Após o gelo derretercompletamente, a altura da água no coposerá de aproximadamente:
a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm
Solução
Letra Acmh
h
hrV
cmV
cmaV
cilindro
cilindro
cubo
5,859,814,3
27
.3.14,39.27
..
9.27
273
2
2
3
333
Tente fazer sozinho(UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de
altura e área da base igual a 1200 cm2, estácom água até a metade da sua capacidade.Colocando-se pedras dentro desse aquário, demodo que fiquem totalmente submersas, onível da água sobe para 16,5 cm. O volume daspedras, em centímetros cúbicos, é:
a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100
Tente fazer sozinho(UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de
altura e área da base igual a 1200 cm2, estácom água até a metade da sua capacidade.Colocando-se pedras dentro desse aquário, demodo que fiquem totalmente submersas, onível da água sobe para 16,5 cm. O volume daspedras, em centímetros cúbicos, é:
a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100
Solução
Letra C3
3
3
3
2
18001800019800
198005,16.1200
180002
36000
2
3600030.1200.
120030
cmV
cmV
cmV
cmhAV
cmAcmh
pedras
pedrascomaquário
aquário
baquário
b
e
Bibliografia
• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/prisma/prisma.htm
• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 456 até 464.
• Figuras: google imagens