Exercícios resolvidos sobre Conjuntos Numéricos e Diagramas

Exercícios resolvidos sobre Conjuntos Numéricos/Diagramas

01) Num grupo de 61 pessoas 18 gostam de seriados, mas não gostam de telenovelas; 5 pessoas não gostam de telenovelas e nem de seriados; 25% das pessoas que gostam de seriados também gostam de telenovelas.O total de pessoas do grupo que gostam de telenovelas, mas não gostam de seriados é:

a) 30b) 32c) 34d) 36

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02) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam dos dois jornais e 110 não liam nenhum jornal. Quantas pessoas foram consultadas?

a) 340b) 380c)170d)210

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03) Numa prova de vestibular, no qual concorreram 20000 candidatos, uma questão apresentava as afirmativas A. B e C, e cada candidato devia classificá-las em verdadeira (V) ou falsa (F). Ao analisar os resultados da prova, observou-se que 10200 candidatos assinalaram V na afirmativa A; 6100 na afirmativa B; 7720 na afirmativa C. Observou-se ainda que 3600 candidatos assinalaram V nas afirmativas A e B; 1200 nas afirmativas B e C; 500 nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatos consideraram falsas as

três afirmativas?

A questão fornece dados a partir de afirmativas verdadeiras (V), logo teremos em função dessas afirmativas:

Nisso, somando todas aos conjuntos acima temos o número de candidatos que marcam verdadeira para as afirmativas ou A, ou B, ou C, ou A e B, ou A e C, ou A, B e c ou B e C. O número de candidatos que consideraram falsa as três afirmativas será o complementar desse conjunto para completar o número de candidatos que foi 20000:

20000 - 18920 = 1080

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04) Numa sala de aula existem 35 alunos, 22 jogam volei, 17 nadam e 8 jogam volei e nadam. Quantos alunos não praticam nenhum esporte?

Assim, do total de 35 alunos temos que 14 + 8 + 9 = 31 praticam esporte, logo 4 não praticam esportes!

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05) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.a) quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei?b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?

Do exercícios segue que 20 jogam vôlei e xadrez, mas desses 20 temos que

11 também jogam tênis, pois 11 do total jogam as três modalidades, assim

o conjunto VX será 20 – 11 = 9. Também do exercício temos que 18 jogam

vôlei e tênis, mas temos que desses 11 também jogam xadrez, assim 18 –

11 = 7, logo o conjunto VT será 7. Temos 22 que jogam xadrez e tênis, mas

temos que 11 jogam as três modalidades, logo o conjunto XT será 22 – 11

=11. Os que jogam vôlei serão dos 40 menos os 9 de VX e menos os 7 de

VT, e também menos 11 que fazem as três modalidades, logo V = 40 – 9 – 7

-11 =13. Do exercício segue que o número dos que jogam xadrez é igual

aos que jogam tênis, mas no total temos 99 esportistas, assim somando

todos os conjuntos que descobrimos aqui mais os dois conjuntos que são

iguais X = T, temos:

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06) Numa escola de 630 alunos, 250 deles estudam matemática, 210

estudam física e 90 deles estudam asduas matérias. Pergunta-se:a) quantos alunos estudam apenas matemática?b) quantos alunos estudam apenas física?c) quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?

Do exercícios segue que FM = 90, mas 250 estudam matemática e desses 250 90 também fazem física, logo M = 250 - 90 = 160. Do exercício segue 210 fazem física, mas 90 desses também fazem matemática, assim F = 210 - 90 = 120. Na letra "c" temos que do total de 630, 370 ( 120 + 90 + 160) estudam matemática ou física, ou ambas, assim 630 - 370 = 260 não estuda nenhuma dessas duas matérias.=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*

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07) Em uma turma de 100 alunos, 63 sabem escrever apenas com a mão direita, 5 não sabem escrever, 25% dos restantes sabem escrever tanto com a mão direita quanto com a esquerda, e os demais alunos sabem escrever apenas com a mão esquerda. Dessa turma, a porcentagem de alunos que sabe escrever com apenas uma das duas mãos é de ?

Observe que do exercício segue que 63 escrevem APENAS com a mão direita, isso não inclui os que escrevem com as duas mãos, disso sabemos que 5 não sabem escrever desses dois grupos temos 68 alunos, restam 32, sendo 25% desses sabendo escrever com ambas as mãos, 25% de 32 é 8, e os demais escrevem apenas com a esquerda, logo temos o diagrama

A porcentagem de alunos que sabe escrever apenas com uma das duas mãos será D + E = 87, logo 87 em 100 alunos escrevem apenas com uma das duas mãos, ou seja, 87%.

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08) Foi feita uma pesquisa com 50 pessoas sobre esportes. 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e basquete, 9 de futebol e vôlei, 8 de basquete e vôlei e 5 gostam das 3 modalidades.a) quantas não gostam de nenhum esporte?b) quantas gostam somente de futebol?c) quantas gostam somente de basquete?d) quantas gostam somente de vôlei?e) quantas não gostam nem de basquete e nem de vôlei?

F∩B∩V = 5F∩B = 10 - 5 = 5( como são 10 que gostam de F e B, mas 5 já foi contado em F∩B∩V, então faltam 5)F∩V = 9 - 5 = 4( como são 9 que gostam de F e V, mas 5 já foi contado em

F∩B∩V , então faltam 4)B∩V = 8 - 5 = 3( como são 8 que gostam de B e V, mas 5 já foi contado em F∩B∩V , então faltam 3)As que gostam somente de futebol serão:23 - F∩V - F∩B - F∩B∩V = 23 - 4 - 5 - 5 = 9As que gostam de vôlei serão:14 - F∩V - V∩B -F∩B∩V = 14 - 4 - 5 - 3 = 2As que gostam de basquete serão:18 -V∩B - F∩B -F∩B∩V = 18 - 3 - 5 - 5 = 5

a) Quantas não gostam de nenhum esporte?50 - (5 + 5 + 4 + 3 + 9+ 5+ 2)= 50 - 33 = 17 pessoas b) Quantas gostam somente de futebol?R: 9 pessoasc) Quantas gostam somente de basquete?R: 5 pessoasd) Quantas gostam somente de vôlei?R: 2 pessoase) Quantas não gostam nem de basquete e nem de vôlei?17 + 9 = 26 pessoas

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(FATEC) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe influenza A, a Anvisa (Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os voos procedentes do Reino Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma equipe da agência e por

médicos da Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero). Inicialmente, apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram inspecionados. A decisão foi tomada durante reunião da Anvisa com representantes das companhias aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional de Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo. (Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5772u3774.jhtm, Acesso em: 09.05.2009.)

Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou que entre todas as pessoas a bordo (passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do México. No diagrama, U representa o conjunto das pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto dos passageiros; M o conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade do México e A o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A. Considerando verdadeiro esse diagrama, conclui-se que a região sombreada representa o conjunto das pessoas que, de modo inequívoco, são aquelas caracterizadas como

(A) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. (B) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. (C) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. (D) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. (E) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.

Solução: No diagrama, a região sombreada está fora do conjunto P, logo, não representa passageiros, e sim tripulantes. Como essas pessoas estão dentro do conjunto A e do conjunto M (dentro do conjunto interseção AM), então, a região sombreada representa tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México (alternativa C).

(PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção n(CA) = 8%.

Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.

Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule: a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras. b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

Solução: Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção

200 - 20 = 180 ; 150 - 20 = 130 ; 100 - 20 = 80 ; 600 - 180 - 20 - 130 = 270 ; 400 - 180 - 20 - 80 = 120 ; 300 - 130 - 20 - 80 = 70. 270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870Assim:a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460 : b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 - 870 = 130 ; c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410

Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: a) 4 000 b) 3 700 c) 3 500 d) 2 800 e) 2 500

Solução: Resposta na altermativa b). Observe o diagrama construído com base no enunciado, onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado.

Temos que 4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue que x = 10300 - 10000 = 300. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x = 4000 - 300 = 3700.

Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal B; e 50 preferem outros canais diferente de A e B. Pergunta-se: a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B? b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B? c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A? d) Quantas pessoas não assitem ao canal A?

Solução: Seja o diagrama a seguir:

Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450. a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80 b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x = 150. c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x = 170. d) O número de pessoas que não assitem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 = 220.

(PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.

Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum

Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:

(A) 200 (C) 900

(B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100 (E) n.d.a.

Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pela interseção que tem 100 elementos.

Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200. Assim, (A) é a opção correta.

(PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é ....

Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do fato de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação: 60 - x + x + 80 - x = 100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100.

Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%.

(UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em 1989. A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?

Solução: Temos que encontrar um número que é múltiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e mais, este número deverá ser o menor deles, ou seja, temos que encontrar o mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 6.

Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encontramos 22× 3. Logo, M.M.C. (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001.

Em uma prova de Matemática com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 100 = 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e 160 acertaram apenas a segunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 160 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1 P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões.

Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450.

Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um de nível médio e um de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição para nível superior e uma para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem efetuar uma inscrição. Sabe-se que 13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatos efetuaram uma só inscrição, correspondendo a 74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número de candidatos ao nível fundamental?

Solução: Sejam: #(M) o número de candidatos de nível médio; #(SM) o número de candidatos aos níveis superior e médio; #(S) o número de candidatos ao nível superior; #(F) número de candidatos ao nível fundamental. Da Matemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74 e 13% = 13/100 = 0,13. Então, 0,74×#(M) = 111, segue que, #(M) = 111 / 0,74 = 150 e #(SM) = 150 - 111 = 39 . Assim, 0,13×#(S) = 39, implicando em #(S) = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-Euler com a quantidade de elementos.

Temos: 300 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + #(F) = 700. Consequentemente, #(F) = 700 - 411 = 289.

No último clássico Corinthians × Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:

a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?

b) Quantos cariocas foram ao estádio?

c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio?

d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?

e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?

f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?

g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?

h) Quantos eram corintianos ou paulistas?

i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas?

Solução: Devemos construir uma tabela com os dados do enunciado e as diferenças:

Cariocas Paulistas Totais

Flamenguistas 11.000 4.000 15.000

Corintianos 5.000 80.000 85.000

Totais 16.000 84.000 100.000

Com base na tabela, podemos responder todas as perguntas, levando em conta que:

I) O conectivo "e" está sempre associado a interseção de conjuntos e o conectivo "ou" está sempre associado a união de conjuntos.

II) n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).

a) "Cruzando os dados" na tabela, vemos que o número de paulistas e corintianos é 80.000.

b) O total de cariocas é 16.000 .

c) O total de não-flamenguistas, ou seja , corintianos é 85.000.

d) O total de flamenguistas é 15.000.

e) O número de paulistas e não flamenguista, isto é, paulistas e corintianos é 80.000.

f) O número de cariocas e corintianos é 5.000.

g) O número de flamenguistas ou cariocas é 15.000 + 16.000 - 11.000 = 20.000.

h) O número de paulistas ou corintianos 84.000 + 85.000 - 80.000 = 89.000 .

i) O número de cariocas ou corintianos é 16.000 + 85.000 - 5.000 = 96.000.

(UFRJ - adaptado) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis.

a) Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação?

b) Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de tênis e natação?

Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção. Como nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, então n(TF) = 0 e n(TNF) = 0.

Observando o diagrama, temos o sistema de equações:

z + y + 50 = 85

z + y = 35

x + y = 17

z + x +10 = 38

z + x = 28

Somamdo a segunda equação com a terceira obtemos

z + x + y + y = 35 + 17

z + x + 2y = 52

Como z + x = 28, então:

28 + 2y = 52

2y = 52 - 28

2y = 24

y = 12

Substituindo na terceira equação, segue que:

x + 12 = 17

x = 17 - 12 = 5

Substituindo na quinta equação, ficamos com:

z + 5 = 28

z = 28 - 5 = 23.

Assim, a) 23 associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação;

b) 12 associados se inscreveram simultaneamente para aulas de tênis e natação.

Uma montadora de automóveis lançou no mercado um novo veículo em três versões: a versão simples MS; a luxuosa ML e a super luxuosa SL. Cada versão pode ser adquirida em uma dentre três cores: azul, vermelha ou preta. Consideremos que um consumidor escolha em

primeiro lugar uma das versões (MS, ML OU SL). E em segundo lugar umas das cores (azul, vermelha ou preta). Quais as possibilidades de escolha?

Solução : Considerando A o conjunto das versões de automóveis e B o conjunto de suas cores, o resultado procurado está no produto cartesiano A×B, ou seja, no conjunto dos pares ordenados (x , y), onde o primeiro elemento de cada par pertence a A e o seguinte a B.

Então, as possibilidades de escolha estão no conjunto:

A×B = {(MS, azul), (MS, vermelha), (MS, preta), (ML, azul), (ML, vermelha), (ML, preta), (SL, azul), (SL, vermelha), (SL, preta)}.