ESCOLA SECUNDÁRIA COM 2º E 3º CICLOS ANSELMO DE ANDRADE 9º ANO ANO LECTIVO 2011-2012

Geometria no Espaço

NOME: _________________________________________________ Nº _____ TURMA: _____

Geometria é o ramo da Matemática que estuda as propriedades e as relações entre pontos, rectas, curvas e superfícies, no plano e no espaço.

Euclides foi um matemático que viveu em Alexandria, Egipto e que se distinguiu no séc. III A.C.. Escreveu uma obra famosa intitulada “ Elementos “ constituída por 13 volumes. Esta obra continua a ser a base do estudo da Geometria Euclidiana (geometria que tem por base os axiomas de Euclides).

Geometria no Espaço é a parte da geometria que estuda as relações sobre as posições de pontos, rectas e planos no espaço e a sua representação no plano.

De um modo geral, em Geometria, representam-se:

os pontos por letras maiúsculas

as rectas por dois dos seus pontos, ou por letras minúsculas

os planos por letras gregas como , , , .....

Rectas e planos são conjuntos ilimitados de pontos e por isso, nunca se

podem representar completamente.

Convencionou-se representar um plano por um paralelogramo e designar-se

por uma letra grega ( , , ,...) ou por três dos seus pontos, não

colineares.

Conceitos primitivos são aqueles que não carecem de definição, ou seja, que se imaginam intuitivamente (não se definem).

Termos primitivos são aqueles que designam os conceitos primitivos. (exemplo: ponto, recta, plano).

Termos derivados são aqueles que precisam de definição. (exemplo: semi-reta; segmento de reta; ângulo; polígono; triângulo, etc.).

Axiomas são afirmações cuja veracidade se aceita como evidente (sem prova).

Euclides, a partir de um conjunto de conceitos primitivos, definições e axiomas, deduz toda uma série de propriedades que demonstra logicamente (TEOREMAS).

Teorema é uma afirmação que para ser aceite precisa de ser demonstrada (a partir de axiomas aceites e outros teoremas). Num teorema é necessário distinguir:

Hipótese Do que partimos num teorema (proposição de partida, que se considera verdadeira).

Tese Onde queremos chegar num teorema (proposição que se pretende provar).

AXIOMAS

Dois pontos definem uma reta.

Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta) definem um plano.

Uma reta com dois pontos num mesmo plano está contida nesse plano.

Axioma de Euclides: Por um ponto exterior a uma reta passa uma e só uma reta paralela à reta dada.

A intersecção de dois planos, não paralelos, é uma reta.

A

B C

(1) Diz, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições:

(1.1) Numa recta existem dois pontos.

(1.2) Um ponto divide uma recta em duas semi-rectas.

(1.3) Os vértices de um triângulo definem um plano.

(2) Considera, no plano , as rectas PQ e RS, que se intersectam no ponto I.

(2.1) Justifique que os pontos P, I e S definem um plano.

(2.2) A recta RQ está ou não contida em ?

(2.3) Seja T um ponto, tal que T . Justifique que:

(2.3.1) Há um único plano a que pertencem os pontos T, S, e P;

(2.3.2) Há uma recta paralela a RS à qual pertence o ponto T.

Posição relativa de dois planos no espaço

Dois planos no espaço podem ser

Dois planos quando são PARALELOS podem ser:

Estritamente paralelos ou não coincidentes se não têm nenhum ponto

em comum.

Os planos β e µ são paralelos.

Coincidentes se têm todos os pontos em comum.

Os planos β e µ são coincidentes.

Dois planos são CONCORRENTES ou secantes se têm uma única recta em comum.

Dois planos são concorrentes perpendiculares se dividem o espaço em

quatro secções iguais.

Os planos β e µ são concorrentes perpendiculares.

Dois planos são concorrentes oblíquos se dividem o espaço em quatro

secções diferentes.

Os planos β e µ são concorrentes oblíquos.

I

Q

R

P S

Estritamente paralelos Coincidentes

Perpendiculares

Oblíquos

Paralelos Concorrentes

Posição relativa entre retas e planos no espaço

Uma recta em relação a um plano pode ser

Uma recta que é PARALELA pode ser:

Estritamente paralela a um plano se não tem nenhum ponto em comum

com o plano.

A reta r é paralela ao plano α.

Aposta a um plano se está contida no plano, ou seja, se pertence

ao plano.

A reta r está contida no plano α.

Uma recta é CONCORRENTE ou SECANTE a um plano se tem um único ponto em

comum com o plano.

Uma recta é concorrente perpendicular a um plano se é perpendicular a

todas as rectas contidas no plano.

Uma recta é concorrente oblíqua a um plano se é oblíqua a todas as

rectas contidas no plano.

A reta r é secante (concorrente) ao plano α.

Posição relativa entre duas retas no espaço

Duas rectas no espaço podem ser

Duas rectas são complanares se estão situadas no mesmo plano.

Duas rectas são não complanares se não estão situadas no mesmo plano.

Estritamente paralela

Aposta

Perpendicular

Oblíqua

Paralela Concorrente

Complanares

Não complanares

Estritamente paralelas

Coincidentes

Perpendiculares

Oblíquas

Paralelas Concorrentes

Duas rectas são NÃO COMPLANARES se não estão situadas no mesmo plano, ou seja, as

retas não complanares não têm nenhum ponto em comum e não são paralelas.

Não se consegue arranjar nenhum plano que

contenha simultaneamente a reta r e a reta s.

Duas rectas são COMPLANARES se estão situadas no mesmo plano.

PARALELAS

Duas rectas são estritamente paralelas ou não coincidentes se não

têm nenhum ponto em comum.

A reta r e a reta s não têm pontos em comum. = s r

Duas rectas são coincidentes se têm todos os pontos em comum.

A reta r e a reta s têm todos os pontos em comum. sr = s r

CONCORRENTES

Duas rectas são concorrentes ou secantes se têm um único ponto em comum.

Duas rectas são concorrentes perpendiculares se dividem o plano

em quatro ângulos iguais (rectos).

A reta r e a reta s têm um ponto em comum e formam entre si

um ângulo de 90º.

Duas rectas são concorrentes oblíquas se dividem o plano em

quatro ângulos diferentes.

A reta r e a reta s têm um ponto em comum e formam entre si

um ângulo diferente de 90º.

Modos de definir um plano

Um plano fica definido por:

Três pontos não colineares (não alinhados).

Um ponto e uma reta que não o contenha.

Duas retas paralelas não coincidentes.

Duas retas concorrentes.

(3) Quantos planos podem passar por:

(3.1) Um ponto no espaço?

(3.2) Dois pontos no espaço?

(3.3) Três pontos no espaço?

(3.4) Três pontos no espaço não

colineares (não alinhados)?

(3.5) Uma reta no espaço?

(3.6) Uma reta e um ponto exterior à

recta?

(3.7) Duas retas paralelas?

(3.8) Duas retas concorrentes?

r

s

s

r

r s

s r =

r s

(4) Indica, justificando, se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes:

(4.1) Duas retas sem pontos comuns são paralelas.

(4.2) Duas retas concorrentes são complanares.

(4.3) Duas retas complanares são concorrentes.

(4.4) Os quatro vértices de um quadrado LUIS definem quatro retas paralelas.

(4.5) Duas retas definem sempre um plano.

Os critérios são teoremas que utilizamos para justificar o paralelismo ou perpendicularidade entre rectas e planos ou entre planos.

Critérios de paralelismo entre reta e plano

Critérios de paralelismo entre planos

A

B

C

D

E

F

G

H

(5) A figura representa um paralelepípedo retângulo. Justifica que a reta EF é

paralela à face [ABCD].

Critérios de perpendicularidade entre reta e plano

Num prisma triangular regular reto, cada aresta é perpendicular às bases. Porquê?

Observa o paralelepípedo da figura.

A reta AC é perpendicular à reta CD do plano BCD e, no entanto, não é perpendicular ao plano, pois teria de ser perpendicular a duas retas concorrentes e não a uma só. (Ler critério).

Podemos afirmar que a reta AB é perpendicular ao plano BCD porque é perpendicular a duas retas do plano: BE e BC.

Critérios de perpendicularidade entre planos