Entre várias pessoas inteligentes, é mais inteligente aquela …jardim/ma620/ma620aula1.pdf · Axiomas da geometria espacial I Elementos básicos: pontos, retas e planos. Postulado

Entre várias pessoas inteligentes,é mais inteligente aquela que sabe mais geometria.

Blaise Pascal.

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Axiomas da geometria plana

Elementos básicos: pontos e retas.

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Postulado 1: Por dois pontos no plano passam uma esomente uma reta.

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Postulado 2: Qualquer segmento de reto pode sercontinuado de maneira única em uma reta.

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Postulado 3: Pode-se traçar um círculo com qualquercentro e qualquer raio.

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Postulado 4: Todos os ângulos retos são iguais.

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Postulado 4: Todos os ângulos retos são iguais.

Postulado 5: Dada uma reta e um ponto exterior a ela,existe uma e apenas uma reta contendo o ponto dado eparalela a reta dada.

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Axiomas da geometria espacial I

Elementos básicos: pontos, retas e planos.

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Postulado 1: Por dois pontos no espaço passam uma esomente uma reta.

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Postulado 2: Dada uma reta no espaço, existem pontosque pertencem a reta e pontos que não pertencem a reta.

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Postulado 3: Por três pontos no espaço não situados namesma reta passa um e somente um plano.

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Postulado 3: Por três pontos no espaço não situados namesma reta passa um e somente um plano.

Postulado 4: Dada um plano no espaço, existem pontosque pertencem ao plano e pontos que não pertencem aoplano.

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Axiomas da geometria espacial II

Postulado 5: Se dois planos possuem um ponto emcomum, então eles possuem pelo menos mais um pontoem comum

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Axiomas da geometria espacial II

Postulado 5: Se dois planos possuem um ponto emcomum, então eles possuem pelo menos mais um pontoem comum

Postulado 6: Os casos de congruência da geometria planatambém são válidos para triângulos situados em planosdistintos.

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Teoremas I

Teorema: Se uma reta tem dois de seus pontos em umplano, então ela está contida neste plano.

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Teoremas I


Teorema: Uma reta e um ponto exterior a reta dadadefinem um único plano.

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Teoremas I


Teorema: Uma reta e um ponto exterior a reta dadadefinem um único plano.

Definição: Duas retas distintas são ditas concorrentes seelas possuem um único ponto em comum.

Teorema: Duas retas concorrentes definem um único plano.

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Teoremas II

Teorema: Todo plano divide o espaço em doissemi-espaços que têm a seguinte propriedade: se doispontos A e B estão em um mesmo semi-espaço, então osegmento AB está contido neste semi-espaço; se doispontos A e B estão em semi-espaços distintos, então osegmento AB corta o plano.

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Exercícios I

Quantos são os planos determinados por 4 pontos nãocoplanares?

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Exercícios I


Quatro: ABC, ACD, ABD e BCD!

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Exercícios I



Duas retas r e s são concorrentes no ponto O. Seja P umponto exterior ao plano definido pelas retas r e s. Qual é ainterseção do plano definido por r e P com o plano definido

por s e P?

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Exercícios I



Duas retas r e s são concorrentes no ponto O. Seja P umponto exterior ao plano definido pelas retas r e s. Qual é ainterseção do plano definido por r e P com o plano definido

por s e P?

A reta definida pelos pontos O e P !

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Pirâmides

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

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Pirâmides

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.Tome V um ponto exterior ao plano do polígono.

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Pirâmides

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.Tome V um ponto exterior ao plano do polígono.Trace os segmentos V A1, . . . , V An.

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Pirâmides

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.Tome V um ponto exterior ao plano do polígono.Trace os segmentos V A1, . . . , V An.Cada dois vértice consecutivos de P definem com V umtriângulo.

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Pirâmides

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.Tome V um ponto exterior ao plano do polígono.Trace os segmentos V A1, . . . , V An.Cada dois vértice consecutivos de P definem com V umtriângulo.A região do espaço limitado pelo polígono e estestriângulos é chamada de pirâmide de base P e vértice V .

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Pirâmides

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.Tome V um ponto exterior ao plano do polígono.Trace os segmentos V A1, . . . , V An.Cada dois vértice consecutivos de P definem com V umtriângulo.A região do espaço limitado pelo polígono e estestriângulos é chamada de pirâmide de base P e vértice V .Os segmentos V A1, . . . , V An são chamados arestaslaterais.

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Pirâmides

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.Tome V um ponto exterior ao plano do polígono.Trace os segmentos V A1, . . . , V An.Cada dois vértice consecutivos de P definem com V umtriângulo.A região do espaço limitado pelo polígono e estestriângulos é chamada de pirâmide de base P e vértice V .Os segmentos V A1, . . . , V An são chamados arestaslaterais.Os triângulos V A1A2, . . . , V AnA1 são chamados faceslaterais.

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Poliedros

Em geral, um poliedro é uma região do espaço delimitadapor polígonos planos, chamados faces do poliedro,satisfazendo as seguintes condições:

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Poliedros


a interseção de dois polígonos ou é vazia, ou é umvértice comum aos dois, ou é um lado (aresta) comumaos dois.

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Poliedros



cada lado de um polígono é lado de exatamente maisum outro polígono.

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Poliedros



cada lado de um polígono é lado de exatamente maisum outro polígono.

V − A + F = 2!

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Exercícios II

Definição: Um conjunto F de pontos no espaço é convexose dados dois pontos A e B em F os segmento AB

também está contido em F .

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Exercícios II



Mostre que toda pirâmide é um conjunto convexo.

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Exercícios II



Mostre que toda pirâmide é um conjunto convexo.

Considere uma pirâmide quadrangular com base ABCD evértice V . Sejam M , N e P pontos das arestas V A, V B eV C. O plano determinado por M , N e P corta a aresta V D

em um ponto Q. Diga como Q pode ser obtido a partir deM , N e P .

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Posições relativas de retas

Definição: Duas retas são ditas paralelas se não possuemponto em comum, mas estão contidas em um mesmoplano.

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Definição: Duas retas são ditas reversas se não estiveremcontidas em um mesmo plano.

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Teorema: Por um ponto fora de uma reta pode-se traçaruma e apenas uma reta paralela a ela.

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Teorema: Por um ponto fora de uma reta pode-se traçaruma e apenas uma reta paralela a ela.

Teorema: Sejam (r, s) e (r′, s′) dois pares de retasconcorrentes tais que r ‖ r′ e s ‖ s′. Então o ânguloformado por r e s é igual ao ângulo formado por r′ e s′.

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Exercícios III

Seja r uma reta qualquer e s uma reta não paralela a r.Mostre que todas as retas paralelas a s e concorrentescom r pertencem a um mesmo plano.

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