Apostila: Introdução a Limite, Derivada e Integral Maria Teresa Thomaz

Instituto de Física, UFF

Versão revisada em 10 de Julho de 2013

Digitação feita por: João Pedro Boechat Florencio.

1. Noção de Limites

Antes de discutirmos o conceito de limite, vamos rever o significado de uma

função de um dado parâmetro.

Note que a função é a forma que temos para relacionar dois números: o número

dado pelo parâmetro x e o número associado a x pela função f(x).

Seja um parâmetro que representamos por x. Associamos a esse parâmetro

um outro número que chamamos de f(x):

Vejamos um tipo de função que estamos acostumados a tratar no nosso dia-a-dia:

o ônibus 47 sai do ponto final, ao lado das barcas, às 7 horas. Às 7h10 o ônibus está na

Rua Passo da Pátria, às 7h20 o ônibus está passando em frente ao supermercado Pão de

Açúcar...

Neste exemplo, a cada instante de tempo associamos a posição em que o ônibus

se encontra. Criamos na verdade, uma função do tempo, que relaciona, em cada

instante, a posição em que o ônibus se encontra: x(t) e o instante de tempo t em que

isto ocorre. A Matemática nos permite mostrar essa correlação através de uma frase

com símbolos, que é muito mais curta de se escrever:

Consideremos agora, um exemplo simples, a função:

Através dessa relação matemática, estamos representando de forma mais

simples e compacta todo o conjunto de números:

x f(x)

-4 32

-1 2

0 0

2 8

5 50

Na verdade, o conjunto (x, f(x)) representa não só o conjunto de números acima,

mas qualquer número x que está no intervalo (-∞,∞) e o número f(x) associado a ele.

Uma forma diferente de se representar esses pontos é através de um gráfico:

Consideremos x = 2 e o valor da função f(x) para x=2:

Vejamos o que acontece quando consideramos valores de x próximos ao valor

x=2:

Vemos que à medida que a variável x se aproxima de número 2, a função f(x) se

aproxima do valor 8. Dizemos então que no limite em que x tende a 2, por valores

menores e maiores que 2, a função f(x) tende ao valor de f(2) = 8. Podemos reescrever

esta última frase através de símbolos matemáticos:

Em resumo, o limite de uma dada função f(x) é o valor para o qual ela se

aproxima à medida em que x se aproxima de um valor estipulado.

2. Noções de Derivadas

Para discutirmos a definição de derivada, necessitamos do conceito de limite

que discutimos na seção 1. A derivada corresponde a determinarmos o limite de uma

divisão bem definida.

Antes de discutirmos a derivada, relembramos algumas relações trigonométri -

cas. Seja um triângulo retângulo ABC, como desenhado a seguir:

x f(x)

1,9 7,22

1,99 7,9202

1,999 7,992002

1,9999 7,99920002

1,99999 7,99992

x f(x)

2,1 8,082

2,01 8,0802

2,001 8,0080002

2,0001 8,00080002

2,00001 8,00008

a: hipotenusa

As seguintes relações trigonométricas são escritas em termos dos lados de um

triângulo retângulo:

Lembrando que

Para fixarmos a ideia da definição de derivada, continuamos a considerar a

função:

Fixamos o ponto x = 2 para continuar a nossa discussão sobre a derivada desta

função. Definimos a derivada da função f(x) = 2x² no ponto x = 2 como sendo:

Note que à medida que x se aproxima de 2, a reta que liga os dois pontos em

que a reta corta a função: f(x) 2 x2, se aproxima também à tangente da função f(x) no

ponto x = 2. Lembre-se que a tangente no ponto x é a reta que toca na curva f(x)

uma única vez e o ponto em que ela toca tem coordenadas (x, f(x)).

Vejamos numericamente qual o limite desta divisão no ponto x = 2. Temos:

x f (x)

3 18

2,5 12,5

2,1 8,82

2,01 8,0802

2,001 8,008002

2,00001 8,00008

2,000001 8,000008

Verificamos numericamente que:

Note que uma maneira diferente de escrever a expressão da derivada é notar que

se x tende a 2, x → 2, então isso quer dizer que podemos escrever:

e o pedacinho Δx tem que se aproximar de zero para que x se aproxime de 2. Então,

a expressão da derivada fica sendo:

Logo,

onde Δx é um valor muito pequeno, muito próximo de zero. O valor de Δx é MUITO

próximo de zero mas nunca é igual a zero.

Calculamos numericamente a derivada no ponto x = 2. Se quisermos calcular a

derivada em outro ponto x, por exemplo x = 5, será que temos que sempre fazer esta

análise numérica, ou temos uma outra maneira sistemática de realizar o cálculo da

derivada em qualquer ponto x?

Para ver isso, utilizamos a definição de derivada para a função f(x) = 2x² .

Então,

Mas,

Assim, para f(x) = 2x², temos que:

Logo, a derivada da função f(x) = 2x² em qualquer ponto x é:

Lembramos que a derivada no ponto x é igual ao valor da inclinação da reta

neste ponto x.

Se considerarmos agora a função:

= 2

Qual o valor da derivada da função g(x) no ponto x que escolhemos? Usando a

definição de derivada,

temos então que:

Note que a derivada da função g(x) = 4x não depende do valor x que escolhemos

para calcular a derivada desta função. Isto porque a função g(x) é uma reta que se

confunde com a sua tangente em todos os pontos x.

Na verdade, a derivada de qualquer polinônio:

é,

como obtivemos anteriormente nos casos: n= 1 e n= 2.

Propriedades importantes de derivadas, cujas demonstrações deixamos

como exercícios:

1)

onde a é uma constante qualquer.

2)

onde f(x) e g(x) são duas funções quaisquer.

3)

onde f(x) e g(x) são duas funções quaisquer.

3. Noções de Integral

Consideramos a curva y = f(x) representada pelo gráfico abaixo,

Queremos calcular a área que fica compreendida abaixo dessa curva, y = f(x), e

o eixo horizontal e que está entre as retas verticais: x = a e x = b. Como fazer esse

cálculo?

Se não sabemos calcular a área abaixo da curva y = f(x), sabemos pelo menos

calcular a área de retângulos:

área do retângulo = f(xi) Δx

Se escolhemos um valor para Δx muito grande, a soma da área dos retângulos na

figura anterior é igual a:

é diferente da área sob a curva que queremos calcular e o número que obtemos é muito

diferente do que procuramos. No entanto, a medida que diminuímos a base de cada

retângulo, Δx vai diminuindo, a área coberta pelos retângulos se aproxima da área

localizada entre a curva f(x) e o eixo horizontal. O intervalo total que temos no eixo

dos x é (b – a). Escolhemos todos os intervalos Δx iguais, de forma que

sendo N um número inteiro. N é igual ao número de retângulos que estamos usando

para calcular aproximadamente a área abaixo da curva y = f(x) e acima do eixo

horizontal.

Como a diferença (b-a) é fixa, então dizer que Δx diminui é equivalente a dizer

que N aumenta, de forma que para N muito grande (N→∞ ), a área sob a curva y =

f(x) é igual a,

∫ f(x).dx com os limites de integração a e b, é chamada de integral definida, no

entanto antes de nos apavorarmos ante essa nova notação, temos que lembrar que a

integral não é nada mais nem nada menos que uma soma e que o seu resultado é a

área fica entre a curva e o eixo horizontal.

A integral tem várias propriedades, mas vamos considerar apenas aquelas que

nos auxiliam no estudo da Mecânica.

Sejam f(x) e g(x) duas funções de x. Queremos calcular a integral da soma de

duas funções: f(x) + g(x). Mostraremos que

Usando a definição de integral,

sendo que

Então

Assim,

Um outro teorema importante para nós é o que trata de intervalos em que

definimos as integrais.

Teorema: se a função f(x) é integrável nos intervalos fechados [a,b], [a,c] e [c,b],

então

onde as constantes a, b e c satisfazem a desigualdade: a<c<b.

Não vamos demonstrar mas apenas ver o significado dessa soma de integrais:

Esse teorema nos permite partir o nosso intervalo de integração segundo a nossa

conveniência.

Essas demonstrações que estamos apresentando não são rigorosas como as que

são feitas nas aulas de Cálculo. Neste momento, estamos interessados em tornar os

resultados plausíveis para vocês.

Para terminamos com esse passeio pela Matemática vamos ver o chamado

Teorema Fundamental do Cálculo.

Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e

x é um número qualquer que está dentro do intervalo [a,b]. Se F é uma função

definida por

onde t é chamada de variável muda, a é um valor fixo e F(a) uma constante que

depende o valor de a que escolhemos, então,

Note que quando x=a, obtemos que a integral é igual a zero. Isto porque neste caso, a

curva se reduz a um único ponto, e a área debaixo de um único ponto é igual a zero.

É através dessa relação que vamos ser capazes de descobrir quem é F(x)!!!

Afinal, derivar nós sabemos.

Para mostrar de maneira plausível esse resultado, vamos pegar o ponto x e outro

ponto muito perto de x, ou seja, x + Δx, então,

Calculando a diferença F(x+ Δx) – F(x), obtemos:

Devemos observar que

a medida que Δx → 0.

No limite em que Δx → 0, a diferença anterior dividida por Δx fica:

Qual a importância do Teorema Fundamental do Cálculo? A gente sabe que

a integral é igual a área sob a curva, mas e daí se não sabemos calcular a expressão da

área para qualquer curva? Então a gente adivinha quem é a função F(x) e a deriva, de

forma a verificar se ela é a expressão certa. F(x) é a função correta no caso de sua

derivada ser igual a função g(x).

Vamos ver um caso importante para nós é a integral indefinida

onde A é uma constante determinada pelos valores de a e b do intervalo de integração

definida. Para ver que o resultado anterior está correto, basta ver que,

Exercício: Calcule a integral indefinida: ∫(t²+1) dt.

0

Usando a ideia de integral de uma função da variável tempo, vamos obter as

equações de movimento uniformemente acelerado em uma dimensão espacial (D=1).

Pela definição de velocidade instantânea,

O Teorema Fundamental do Cálculo nos dá

Além disso, como pela definição de aceleração instantânea temos que

No caso em que a aceleração é constante:

onde estamos usando a notação: v0 = v(t0 ). Note que v0 é a velocidade do corpo no

instante inicial t = t0.

Escolhendo o instante inicial como sendo 0, ou seja, t0 = 0, a expressão anterior

para a velocidade instantânea de um corpo sujeito a uma aceleração constante a fica

Para calcular a posição x(t), temos que

e usando a expressão acima, e usando a notação x0 = x(t0), temos que

Logo,

que é a equação de movimento de uma partícula ao longo de uma reta quando está sob

a ação de uma aceleração constante a tendo como posição inicial x0 e velocidade

inicial v0. Estamos assumindo que começamos a observar o movimento do corpo ao

longo da reta no instante inicial em que t0 = 0.