AULA 10GEOMETRIA DESCRITIVAProfessor: João Alessandro

PONTO

E

SISTEMAS DE PROJEÇÕES

Noções de geometria descritiva

• Ponto

• Reta

• Plano

ESTUDO DO PONTO• Não possui forma.• Não tem dimensão. • Graficamente, expressa-se o ponto pelo

sinal obtido quando se toca a ponta do lápis no papel.

• Sua representação também se dá pelo cruzamento de duas linhas, que podem ser retas ou curvas.

ESTUDO DO PONTOIdeia de ponto:• Figura geométrica sem dimensão, que

representa um local no plano.• É a intersecção entre duas linhas. • A localização de uma cidade no mapa. • A marca de uma ponta de giz no quadro.

Designamos os pontos com letras maiúsculas A, B, C, ...

SISTEMAS DE PROJEÇÃOO estudo da Geometria Descritiva está baseado

na projeção de objetos em planos.

Exemplos do cotidiano:• A sombra de um objeto nada mais é do que a projeção

desse objeto sobre uma superfície, sob a ação de raios luminosos.

• As sucessivas imagens projetadas em uma tela de cinema são resultado da incidência de um feixe de luz sobre as imagens contidas em uma película.

ELEMENTOS DE PROJEÇÃO

A projeção de um objeto é sua REPRESENTAÇÃO GRÁFICA num plano.

• Plano de projeção • Objeto• Projetante, ou raio projetante • Centro de projeção

ELEMENTOS DE PROJEÇÃO

CONCEITOS• Projetante: é a reta que passa pelos pontos do

objeto e intercepta o plano de projeção.

• Centro de projeção: é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam as projetantes.

Um ponto se projeta num plano quando a projetante intercepta o plano de projeção.

EXEMPLO

- A lanterna é o centro de projeção;

- Os raios de luz são as projetantes;

- A sombra é a representação do objeto em projeção.

MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE

• Para se definir a forma e a posição de um objeto no espaço de forma satisfatória utilizando-se um sistema de projeções, uma só projeção não é suficiente.

• Assim, na Geometria Descritiva clássica, são utilizados dois planos de projeção para se representar um objeto, sendo que o sistema de projeção adotado é o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais.

Veja agora como é possível determinar a forma e a posição dos objetos no espaço:

MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE

• Planos de projeção: Planos de projeção são dois planos perpendiculares entre si; um deles chama-se plano horizontal e o outro plano vertical. Os dois planos são ilimitados em todos os sentidos.

• Linha de terra: a interseção ente os planos horizontal (π) e vertical de projeção (π’), representada por LT ou (π π’).

MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE

π’

π

Semi-planos de projeção:

A linha de terra divide cada plano de projeção em duas partes iguais ou dois semi-planos, sendo:

• Semi-plano horizontal anterior (HA ou π A): a parte do plano horizontal de projeção à direita da linha de terra.

• Semi-plano horizontal posterior (HP ou π P): a parte do plano horizontal de projeção à esquerda da linha de terra.

• Semi-plano vertical superior (VS ou π ’S): a parte do plano vertical de projeção acima da linha de terra.

• Semi-plano vertical inferior (VI ou π ’I): a parte do plano vertical de projeção abaixo da linha de terra.

π’

π

π ’S

πAπP

π ’I

Diedros:

As regiões compreendidas ente os semi-planos de projeção, sendo:

• 1º d = 1º diedro: a região compreendida entre π A e π ’S

• 2º d = 2º diedro: a região compreendida entre π P e π ’S

• 3º d = 3º diedro: a região compreendida entre π P e π ’I

• 4º d = 4º diedro: a região compreendida entre π A e π ’I

π’

π

π ’S

πAπP

π ’I

1º d2º d

3º d 4º d

PROJEÇÕES DO PONTO• Para representar um ponto (A) no espaço, obtêm as

suas projeções ortogonais horizontal (A) e vertical (A’), respectivamente nos planos horizontal (π) e vertical (π ’).

As duas coordenadas de um ponto

• Para representar pontos (e as outras figuras geométricas) consideram-se três coordenadas: abscissa, afastamento e cota.

• Por vezes, para representar pontos (e outras figuras) nem sempre se utilizam as três coordenadas, bastando trabalhar apenas com afastamentos e cotas.

Coordenadas: • Afastamento de um ponto (y): a posição da projeção

horizontal do ponto A em relação a linha de terra. Se medido no semi-plano HA é positivo logo y> 0, se medido no semi-plano HP é negativo logo y< 0.

Coordenadas: • Cota de um ponto (Z): a posição da projeção vertical

do ponto A’ em relação a linha de terra. Se medido no semi-plano VS é positivo logo Z> 0, se medido no semi-plano VI é negativo logo Z< 0.

Exemplo

EXERCÍCIOS1 - Representar os pontos abaixo pelas coordenadas cota

e afastamento, e dizer em qual diedro o ponto se encontra:

• A (4; 2)

• B (-3; 7)

• C (-6; -3,5)

• D (5; -2)

• E (5; 5)

• F (-5; 9)

•G (5; 1)

•H (-6; 7)

•I (-1,5; -5,5)

•J (6; -6)

•L (10; 5)

•M (-10; 3)

Coordenadas: • Abscissa de um ponto (X): a posição da projeção do

ponto A na linha de terra, é necessário estabelecer um referencial. Se a abscissa for medida a direita da origem ela é positiva logo X > 0, se for medida a esquerda da origem ela é negativo logo X< 0.

Representação de um ponto por suas coordenadas descritivas:

• As coordenadas: abscissa, afastamento e cota de um ponto são denominadas coordenadas descritivas de um ponto.

• Um ponto é representado numericamente pela expressão (P) [x; y; z], onde: (P): significa o ponto objeto, X: abscissa, Y: afastamento, Z: cota, separados por ; e entre [].

Representação de um ponto por suas coordenadas descritivas:

• Um ponto P está determinado quando se conhece abscissa, afastamento e cota.

• Exemplo:• (A) [0; 20; 20]

• (B) [-10; 10; -20]

• (C) [10; -30; 20]

EXERCÍCIOS2 - Representar os pontos abaixo pelas coordenadas

descritivas, e diga em qual diedro se encontram:

• A [3; 4; 2]

• B [4; 5; 1]

• C [5; 5; 5]

• D [0; 8; 5]

• E [8; -6; -3,5]

• F [2; 6; -6]