AULA 02GEOMETRIA ANALÍTICA E

ÁLGEBRA LINEARProfessor: João Alessandro

MATRIZES

1 – DEFINIÇÕES

1.1 POSTULADOS E AXIOMASPostulados ou Axiomas: São definições que relacionam conceitos primitivos e aceitamos sem demonstração.

Exemplos:a) Existe reta, e numa reta, bem como fora dela há infinitos pontos.b) Existe plano, e num plano, bem como fora dele há infinitos pontos.

Exemplo a Exemplo b

Teoremas: Propriedades que podem ser justificadas com base nos postulados.

Exemplos:a)Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²

b) Teorema Angular de Tales:O Teorema nos diz que a soma de todos os ângulos internos de um triângulo QUALQUER é igual à 1800.

1.2 TEOREMAS

Corolário: é uma decorrência imediata de um teorema.Exemplos: o comprimento da diagonal de um quadrado cujo lado possui comprimento a é dado por . Isso é um corolário do Teorema de Pitágoras.

Lema: é um teorema que é usado como um passo intermediário para atingir um resultado maior, provado em outro teorema. Normalmente o lema tem pouca serventia além de servir ao propósito do teorema que o utiliza, mas isto não é uma regra, e a classificação entre lemas e teoremas é arbitrária.

1.3 OUTROS

2a

2 – MATRIZES

2. MATRIZConheça e veja a tabela de Notas do 2º Ano do Ensino Médio de

2 alunos em 2013:

Pois é! Vou ter que Pois é! Vou ter que estudar mais este ano!!!estudar mais este ano!!!

Pois é Baby... Este Pois é Baby... Este ano menos Pedro ano menos Pedro Paulo e Alex na Paulo e Alex na cabeça e mais cabeça e mais

estudo!!!estudo!!!

Maria Setembrina

Rick Martini

TABELA DE NOTAS

Alunos/Notas1º

Bimestre2º

Bimestre3º

Bimestre4º

BimestreMédia Anual

Resultado

Maria Setembrina

40 60 40 60 50 Reprovada

Rick Martini 20 40 30 30 30 Reprovado

A IDÉIA DE MATRIZ É A IDÉIA DE UMA TABELA:

PARA A MATEMÁTICA, CHAMAREMOS LINHA DE (i) E COLUNA DE (j), AMBAS COM LETRA MINÚSCULA.

PORTANTO NA TABELA ACIMA TEMOS:i = 3 e j = 7

2.1 REPRESENTAÇÃO

5321ij

13

321

3333231

2232221

1131211

)(:)(a A

:Abreviada Forma

3. coluna e 1 linha na está que aquele éa elemento o:

:

...

........................

...

...

...

:Explícita Forma

aAExemplo

andoExemplific

colunasdenúmeroorepresentan

linhasdenúmeroorepresentamOnde

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

mn

mnmmm

n

n

n

5105

372

:

21

atemosA

Exemplo

2.2 TIPOS DE MATRIZES

01

4

3

:EXEMPLO

A tipoDo -

coluna. única uma Possui -

:COLUNA MATRIZB)

543

:EXEMPLO

A tipoDo -

linha. única uma Possui -

:LINHA MATRIZA)

mx1

1xn

A

A

497

6815

1410

62

83;3

:EXEMPLO

n.m Portanto

colunas. de número ao igual é linhas de número O -

:QUADRADA MATRIZD)

00 0

0 0 0

:EXEMPLO

0. valemmatriz da elementos os Todos -

:NULA MATRIZC)

CBA

A

2.2 TIPOS DE MATRIZES

12810

1043A a transpostmatriz

1201

84

103

:EXEMPLO

colunas. pelas linhas as nteordenadame se- trocandoobtida É -

:TRANSPOSTA MATRIZF)

798

543:

798

543

:EXEMPLO

A.-por darepresenta éA de oposta matrizA -

matriz. uma de elemento cada de sinal o se- trocandoobtida É -

:OPOSTA MATRIZE)

taeA

AopostaMatriz

A

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0

0 1

0. valemdemais os e 1 valemprincipal diagonal da elementos Os -

2. asuperior ou igual ordem e quadrada matriz uma sempre É -

:IDENTIDADE MATRIZG)

4

3

2

I

I

I

2.2 TIPOS DE MATRIZES

2.3 IGUALDADE DE MATRIZES

BA

PORTANTO

BeA

ba

Definição

ijij

:

798

543

798

543

:EXEMPLO

B A

:TEMOS n, x m TIPO, MESMO DO MATRIZES

,b B E )(a A SENDO: ijij

2.4 ADIÇÃO DE MATRIZES

:EXEMPLO

BA

:TEMOS n, x m TIPO, MESMO DO MATRIZES

,ijb B E )ij(a A SENDO:

ijbijaijcC

Definição

01

52

40

52

04

11

53

52

31É sempre possível somar matrizes?

Não!

Somente quando estas forem de mesma ordem.

+ =

Se liguem, o mesmo vale pra subtração.

2.5 SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

72

54

9253

10548

:.95

104

23

58

:EXEMPLO

BA

:TEMOS n, x m TIPO, MESMO DO MATRIZES

,b B E )(a A SENDO: ijij

C

C

BAC

PORTANTOBeA

bacC

Definição

ijijij

6. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO POR UMA MATRIZ

46

1016

2.23.2

5.28.2

.2

:.223

58

:EXEMPLO

..

:TEMOS REAL,

NÚMERO r UM E n, x m TIPO, DO MATRIZ

, )(a A SENDO: ij

B

B

AB

PORTANTOreA

arBArB

Definição

ijij

2.7 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

SERÁ VISTO EM QUADRO-NEGRO NAS PRÓXIMAS AULAS.

AGUARDEM!!!!

3 – EXERCÍCIOS

3. EXERCÍCIOS

a) A + Bb) B – Ac) 2Ad) B – I2

3. EXERCÍCIOS

DÚVIDAS?joaoalessandro.luz@gmail.com