Matemática Do Ensino Básico III - Aula 01 - Matrizes

IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 1

Nome: _______________________________ Nº ____

Curso: Licenciatura em Matemática

5°Período Prof. Leonardo Data:__ /__ /2014

Matrizes

1.1 - Definição Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1, denomina-se matriz (lê-se m por n) uma tabela retangular formada por m.n números reais, dispostos em m linhas e n colunas. Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos da matriz. Dizemos que a matriz é do tipo . Exemplos

é uma matriz do tipo (2 linhas e 3 colunas).

é uma matriz do tipo (4 linhas e 2 colunas).

é uma matriz do tipo (1 linha e 4 colunas). Quando uma matriz tem apenas uma linha, como nesse exemplo, ela é chamada de matriz-linha.

é uma matriz do tipo (4 linhas e 1 coluna). Quando uma matriz tem apenas uma coluna como nesse exemplo, chamamo-la de matriz-coluna.

é uma matriz do tipo (4 linhas e 3 colunas). Todos os elementos dessa matriz são iguais a zero. Sempre que isso ocorre, temos uma matriz nula. 1.2 - Representação genérica Numa matriz, cada número ocupa uma posição definida por sua linha e por sua coluna, nessa ordem. Observe a seguinte matriz:

o elemento 5 está na 1ª linha e na 1ª coluna, indicamos .




Ou seja, para representarmos o elemento, usamos uma letra com dois índices. O primeiro indica em que linha o elemento se encontra e o segundo, em que coluna.

O elemento genérico de uma matriz A é indicado por , em que i representa a linha e j representa a coluna na qual o elemento se encontra. De modo geral, uma matriz A do tipo pode ser indicada assim:

De maneira abreviada, podemos representar a matriz A da seguinte forma:

Matriz quadrada Quando o número de linhas de uma matriz é igual ao número de colunas ela é chamada matriz quadrada. Dizemos que uma matriz quadrada é do tipo ou de ordem n. Exemplos

é uma matriz quadrada de ordem 2.

é uma matriz quadrada de ordem 3.

Numa matriz quadrada, os elementos , para os quais i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal. A outra diagonal é chamada de diagonal secundária.

Exercícios de Fixação(01) 01. (MACK 2005) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da matriz A = (aij)3x3, tal que aij= ij, é: a) 33. b) 25. c) 52. d) 43. e) 26. 02. (UFRN 2004) A matriz abaixo é 7x7 e foi formada com o número 1 em cada posição da primeira linha, um 0 e um 2, alternadamente, nas posições da segunda linha, dois 0 e um 3, também alternadamente, nas posições da terceira linha, e assim sucessivamente.


M=

1

0

0

0

0

0

1

0

2

0

0

0

0

0

1

0

3

0

0

1

2

0

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

5

1

0

2

0

3

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6

0

0

0

0

7

Numa matriz 100x100, construída com o mesmo critério, a quantidade de números diferentes de zero na centésima coluna é a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. 03.(UFRJ 1999) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:

S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.

Cada elemento ai,j nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o

número 2 e Cláudio o número 3 (ai,j representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz).

Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S). a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?

04.(UERJ 2006) Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira.

Calcule , para esse dia, o valor, em reais: a)arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2 b)arrecadado em conjunto pelas três barracas. Alguns tipos especiais de matrizes quadradas Matriz triangular Os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos. Exemplos


Genericamente, em uma matriz triangular temos:

= 0 para i > j ou = 0 para i < j. Matriz diagonal Os elementos acima e abaixo da diagonal principal são todos nulos. Exemplos

Genericamente, em uma matriz diagonal temos:

= 0 para . Matriz identidade Todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero.

A matriz identidade de ordem n é representada por Exemplos

Genericamente, em uma matriz identidade temos:

= 1, para i = j;

= 0, para . 1.3 - Igualdade de matrizes Duas matrizes são iguais se são do mesmo tipo e seus elementos correspondentes (que ocupam a mesma posição) são iguais. Exemplo

Note que asmatrizes A e B são do mesmo tipo e todos os elementos correspondentes são iguais. Sendo assim, A = B.

Matriz transposta


Considere a matriz A do tipo . Chama-se matriz transposta de A, representada por , a matriz do tipo cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A.

Exemplos

Matriz simétrica

Uma matriz quadrada A denomina-se matriz simétrica quando A = .

Como exemplo, considere a matriz :

Note que A = . Concluímos então que A é uma matriz simétrica.

Numa matriz simétrica, quaisquer dois elementos colocados simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.

1.4 - Adição de matrizes A adição de duas matrizes do mesmo tipo é feita adicionando-se os seus elementos correspondentes uns aos outros. Exemplo 1

Sendo , temos:

Observação: Quando duas matrizes não são do mesmo tipo não é possível realizar a adição. Matriz oposta


A matriz oposta de uma matriz A, representada por –A, é a matriz cujos elementos são todos os simétricos dos elementos correspondentes de A. Na prática, a matriz oposta de A é obtida trocando-se todos os sinais dos elementos de A. Exemplo 1

1.4.1 - Propriedades da adição de matrizes Para matrizes A, B e C de mesmo tipo , valem as seguintes propriedades: Comutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento neutro: A + 0 = A , onde 0 representa a matriz nula (todos os elementos são 0) do mesmo tipo que A. Elemento oposto: A + (-A) = 0 1.5 - Subtração de matrizes Dadas duas matrizes A e B de mesmo tipo, denomina-se diferença entre A e B a soma da matriz A com a matriz oposta de B:

A - B = A + (-B)

Exemplo 1

Sendo , temos:

Mais diretamente, podemos efetuar a subtração de duas matrizes do mesmo tipo subtraindo-se os seus elementos correspondentes. Considere, por exemplo, as matrizes A e B do exemplo anterior:

Observação: Quando duas matrizes não são do mesmo tipo não é possível realizar a subtração. Exemplo 2

Calcule x, y e z tais que : Resolução

Como sabemos, se duas matrizes são iguais, os elementos correspondentes são iguais. Então:

Portanto x = 2, y = -9 e z = -7.


1.6 - Multiplicação de um número real por uma matriz Para multiplicar um número real por uma matriz, multiplicamos esse número por todos os elementos da matriz, e o resultado obtido é uma matriz do mesmo tipo. Exemplos

1.7 - Multiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus elementos correspondentes.

O produto das matrizes A, do tipo , e B, do tipo , será uma matriz C do tipo , em que cada

elemento é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha da matriz A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da matriz B. Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, indicamos essa matriz por AB. Observe que: Só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. A matriz AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B.

Para entendermos como obtemos a matriz AB , vamos considerar como exemplo as matrizes genéricas

do tipo e do tipo . Inicialmente, verificamos se é possível multiplicar as matrizes. Como o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, o produto é possível e a matriz AB é do tipo 3 X 2.

Observe o esquema a seguir para entender como se obtém cada elemento da matriz AB:


1.7.1 - Propriedades da multiplicação de matrizes Dadas as matrizes A, B e C, de modo que as somas e os produtos estejam definidos, valem as propriedades: Associativa: A . (B . C) = (A . B) . C Distributiva à esquerda: (B + C) . A = B . A + C . A Distributiva à direita: A . (B + C) = A . B + A . C Observações:

i)Não vale a propriedade comutativa. Existem matrizes A e B tais que AB BA. Exemplo

, logo AB BA

ii)Não vale a lei do anulamento do produto, ou seja, podemos ter AB = 0 mesmo com A 0 e B 0 . Exemplo

, e A 0 e B 0.

iii)Não vale a lei do cancelamento , ou seja, mesmo com A 0 podemos ter AB = AC e B C: Exemplo

,e B C. Exemplo 1

Dados determine AB. Resolução Inicialmente, verificamos se é possível multiplicar as matrizes.

A é do tipo e B é do tipo , então AB existe e é do tipo .

:Usa-se a 1ª linha de A e a 1ª coluna de B = 1.3 + 3.4 + 2.1 = 17

Usa-se a 1ª linha de A e a 2ª coluna de B = 1.0 + 3.(-2) + 2.6 = 6

Usa-se a 2ª linha de A e a 1ª coluna de B = 0.3 + 5.4 + (-1).1 = 19


Usa-se a 2ª linha de A e a 2ª coluna de B = 0.0 + 5.(-2) +(-1).6 = -16

Portanto, . Exemplo 2

Dados determine AB. Resolução Inicialmente, verificamos se é possível multiplicar as matrizes.

A é do tipo e B é do tipo , então AB existe e é do tipo .

Exemplo 3

Resolva a equação matricial AX = B, em que . Resolução Primeiro vamos descobrir o tipo da matriz X:

O número de colunas de A é igual ao número de linhas de X, então n = 2. O número de colunas de X é o mesmo de B, então p = 1.

Portanto X, é do tipo .

Vamos indicar .

Pela igualdade de matrizes, temos o seguinte sistema:


Portanto, . Exercícios de Fixação(02) 01.(UNIRIO 1997) Considere as matrizes A, B e C na figura adiante:

A= B=

0

3

0

2

0 0

5

0

1

0 -1

4

0

3

0

C= 2 1 3

0

A adição da transposta de A com o produto de B por C é: a) impossível de se efetuar, pois não existe o produto de B por C. b) impossível de se efetuar, pois as matrizes são todas de tipos diferentes. c) impossível de se efetuar, pois não existe a soma da transposta de A com o produto de B por C. d) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 2x3. e) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3x2.

02. (UNESP 2005) Considere as matrizes A =

zy

x1

, B =

11

21

e C =

4536

54

,com x, y, z números reais. Se A.B = C, a soma dos elementos da matriz A é: a) 9. b) 40. c) 41. d) 50. e) 81.

03.(MACK 2005) Considere as matrizes A e B, tais que A =

53

21

e A.B =

21311

814

. A soma dos elementos da primeira coluna da matriz B é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

04.(MACK 2006) Dadas as matrizes A =

2

2

y

x

e B =

11

12

, se A.B = B.A, então a) x.y = 10

b) 3

y

x

c) logyx = 2 d) x + y = 8

e) x = 2

1 y

05.(UFC 2004) O valor de a para que a igualdade matricial

seja verdadeira é: a) 1


b) 2 c) 0 d) -2 e) -1 06.(UNESP 2003) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Em que condição pode-se afirmar que (A + B)2 = A2 + 2AB + B2? a) Sempre, pois é uma expansão binomial. b) Se e somente se uma delas for a matriz identidade. c) Sempre, pois o produto de matrizes é associativo. d) Quando o produto AB for comutativo com BA. e) Se e somente se A = B. 07. (FUVEST 2004) Uma matriz real A é ortogonal se A.At = I, onde I indica a matriz identidade e At indica a

transposta de A. Se A =

zy

x2

1

é ortogonal, então x2 + y2 é igual a:

a) 4

1

b) 4

3

c) 2

1

d) 2

3

e) 23

08. (FGV 2004) Seja a matriz A =

10

11

. A soma dos elementos da matriz A100 é a) 102. b) 118. c) 150. d) 175. e) 300. 09. (UFRJ 1999) Seja a matriz A representada a seguir: a) Determine A

3 = A . A . A

A= B=

0

1

0 0

1

0 1

4

0 3 C= 2 1 3

b) Se An denota o produto de A por An vezes, determine o valor de número natural k tal que A

k2 - A

5k + A

6 = I,

Onde I é a matriz identidade. 10.(FGV 2005) A e B são matrizes e A é a matriz transposta de A. Se


então a matriz A

t. B será nula para:

a) x + y = -3 b) x . y = 2 c) x/y = -4 d) x . y

2 = -1

e) y/x = -8 11.(FATEC 2003) Seja a matriz

É verdade que a + b é igual a a) 0 b) 1 c) 9 d) - 1 e) - 9 12.(UNIFESP 2003) Uma indústria farmacêutica produz, diariamente p unidades do medicamento X e q unidades do medicamento Y, ao custo unitário de r e s reais, respectivamente. Considere as matrizes M, 1×2, e N, 2×1:

A matriz produto M×N representa o custo da produção de a) 1 dia. b) 2 dias. c) 3 dias. d) 4 dias. e) 5 dias. 13.(UFRS 1996) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante: A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2, P3 desse restaurante: A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3 está indicada na alternativa


14.(CESGRANRIO 1999)Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática, português, ciências e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura. Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada matéria basta fazer a média aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:

1.8 - Matriz inversa O produto de um número por seu inverso é 1. Exemplo

O inverso de 2 é .

Note que: No caso das matrizes quadradas de mesma ordem, se existe uma matriz X, quadrada de ordem n, tal que

, dizemos que X é a matriz inversa de A, que é indicada por .

Portanto,

Onde I é a matriz identidade de mesma ordem que as matrizes A e . Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz invertível ou não-singular. Exemplo 1

Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de .


Resolução Sabemos que se existir a matriz inversa da matriz A, ela é quadrada e de mesma ordem que A.

Vamos representar a candidata à matriz inversa de A por .

Para que exista inversa, é necessário que . Então vamos trabalhar em duas etapas:

1ª) Vamos estabelecer a condição e determinar X:

Pela igualdade de matrizes, temos os seguintes sistemas:

I) II)

Assim:

2ª) Verificamos se :

Portanto, temos uma matriz X, tal que . Assim, X é a inversa de A e pode ser representada por:

Exemplo 2

Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de . Resolução Sabemos que se existir a matriz inversa da matriz A, ela é quadrada e de mesma ordem que A.

Vamos representar a candidata à matriz inversa de A por .

Para que exista inversa, é necessário que . Então vamos trabalhar em duas etapas:

1ª) Vamos estabelecer a condição e determinar X:

Pela igualdade de matrizes, temos os seguintes sistemas:


I)

(Impossível) II)

Como o sistema I é impossível, podemos afirmar que a matriz A não admite inversa. Exercícios de Fixação(03)

01.(UFV 2005) Sejam as matrizes A =

62

21

e M =

y1

1x

, onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto x y é:

a) 2

3

b) 3

2

c) 2

1

d) 4

3

e) 4

1

02.(MACKENZIE 1999) Dada a matriz M, mostrada na figura adiante

se M

-1 = M

t , então K pode ser:

a) /4

b) - /4

c) 1/4

d) - /2

e) 1/2 03.(FGV 2001) A matriz A é inversa da matriz B

Nessas condições, podemos afirmar que a soma x+y vale: a) – 1 b) – 2 c) – 3 d) – 4 e) – 5

04.(ITA 2001) Considere a matriz

3

3

3


A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 05.(UFU 2008) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 2, tais que A . B = I , em que I é a matriz identidade. A matriz X tal que A . X . A = C é igual a a) B . C . B b) (A

2)-1

. C c) C . (A

-1)2

d) A . C . B

10.(MACKENZIE 1996) Considere as matrizes A e B a seguir

Se a є IR, então a matriz A.B: a) é inversível somente se a = 0. b) é inversível somente se a = 1. c) é inversível somente se a = 2. d) é inversível qualquer que seja a. e) nunca é inversível, qualquer que seja a. 11.(FEI 1996) Considere as matrizes A e B

Se a inversa da matriz A é a matriz B então: a) a = 0 ou b = 0 b) ab = 1 c) ab = 1/2 d) a = 0 e b = 0 e) a + b = 1/2 12.(FUVEST 1999)Se as matrizes A e B indicadas na figura adiante


são tais que AB = BA, pode-se afirmar que a) A é inversível b) det A = 0 c) b = 0 d) c = 0 e) a = d = 1

Exercícios de Aprendizagem 04.(FGV 2004) Com relação à matriz

11

10A

, a opção correta é:

a) 224 IA , sendo 2I a matriz identidade de ordem 2.

b) 222 IA , sendo 2I a matriz identidade de ordem 2.

c) AA21

d) 221 AA

e) 222 AA

07.(UNESP 2006) Sejam A =

13

12

yx

yx

, B =

21

12

e C =

53

31

matrizes reais. a) Calcule o determinante de A, det(A), em função de x e y, e represente no plano cartesiano os pares ordenados (x, y) que satisfazem a inequação det(A) ≤ det(B). b) Determine x e y reais, de modo que A + 2B = C. 10.(UEL 2003) Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. A matriz M fornece a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida por cada grama ingerida dos alimentos citados.

cereais

leite

fruta

600

300

200

D

oscarboidrat

gorduras

proteínas

0,6310,0520,084

0,0180,0350,001

0,1080,0330,006

M

cereaisleitefruta

A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é:

a)

454,20

36,30

18,20

b)

460,20

16,20

29,70


c)

432,40

36,00

48,30

d)

405,60

48,30

51,90

e)

411,00

21,50

75,90

11. (UNESP) Se A, B e C forem matrizes quadradas quaisquer de ordem n, assinale a única alternativa verdadeira. a) AB = BA. b) Se AB = AC, então B = C. c) Se A

2 = On (matriz nula), então A = On.

d) (AB)C = A(BC). e) (A + B)

2 = A

2 + 2AB + B

2.

12.(UEL 1998) Uma matriz quadrada A se diz ANTI-SIMÉTRICA se A =-At. Nessas condições, se a matriz A mostrada na figura adiante é uma matriz anti-simétrica, então x+y+z é igual a

a) 3 b) 1 c) 0 d) -1 e) -3 15.(UFRJ 2006) Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês

A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de a) 170. b) 192. c) 120. d) 218. e) 188. 16.(UNESP 2007) Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e P2. Essas peças são vendidas a duas empresas, E1 e E2. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é R$ 3,00 e de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz a seguir (figura 1) fornece a quantidade de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no mês de


novembro.A matriz da figura 2, onde x e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças às empresas E1 e E2, respectivamente, é:

20.(UFF 2005) Um dispositivo eletrônico, usado em segurança, modifica a senha escolhida por um usuário, de acordo com o procedimento descrito abaixo.A senha escolhida S1S2S3S4 deve conter quatro dígitos, representados por S1, S2, S3 e S4. Esses dígitos são, então, transformados nos dígitos M1, M2, M3 e M4, da seguinte forma:

Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto é, M1 = 0, M2 = 1, M3 = 1 e M4 = 0, pode-se afirmar que a senha escolhida pelo usuário foi: a) 0011 b) 0101 c) 1001 d) 1010 e) 1100 21.(UERJ 2005) A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante i do dia j.

Determine: a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura; b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação. 22.(UFPE 2006) Um grupo de alunos dos cursos 1, 2 e 3 solicita transferência para outro curso, escolhido entre os mesmos 1, 2 e 3. A matriz abaixo representa o resultado obtido após as transferências: para i ≠ j, na interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que se transferiram para o curso j; para i = j, na interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que permaneceram no curso i


Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas um curso, analise as afirmações seguintes, de acordo com as informações acima. ( ) Antes das transferências, existiam 147 alunos no curso 1. ( ) Após as transferências, existem 137 alunos no curso 2. ( ) Foram transferidos 26 alunos para o curso 3. ( ) O total de alunos transferidos é 69. ( ) O total de alunos nos cursos 1, 2 e 3 é de 363 alunos. 24.(UFRJ 2003) Observe a tabela.

Simone e duas vizinhas se encontraram após fazerem uma pesquisa de preços em três mercados. Levando-se em conta três itens de suas listas, a saber: carne, arroz e café e os preços destes insumos em cada mercado, conforme mostra a tabela acima, é correto afirmar que a) Lisa e Simone gastarão menos comprando no mercado C, do que gastariam no mercado B. b) Simone e Lisa gastarão menos comprando no mercado B, do que gastariam nos mercados A ou C. c) as três gastarão menos comprando no mercado A, do que gastariam no mercado B. d) Laura e Simone gastarão menos comprando no mercado C, do que gastariam nos mercados A ou B. e) Laura e Lisa gastarão menos comprando no mercado B, do que gastariam no mercado C. 25.(UFSM 2006) Sabendo-se que a matriz

é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é a) -23 b) -11 c) -1 d) 11 e) 23


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