FORMA GERAL: ou

Onde:a é a taxa de variação

b é a coeficiente linear ou b é o termo independente

f(x) = ax + b y = ax + b

Função linear

(Variação direta)

Diretamente

proporcional

Tipo:

y = kx

Função afim ou função linear

y = ax + b

Zero ou Raiz de uma função:

É o valor de x que torna y igual a zero

ALGEBRICAMENTE

É a interseção da reta com o eixo x

(GRAFICAMENTE)

Crescimento ou decrescimento: se

a > 0 Função crescente

Função decrescentea < 0

GEOMETRICAMENTE

RAIZ (OU ZERO) DA FUNÇÃO

Dada a função de f: lR lR, definida:f(x) = 2x + 8, Calcule o zero da função:

Igualar a função a zero 2x + 8 = 0

2x Fazer os cálculos = - 8

Determinado o valor de x x = - 4

Geometricamente teremos o ponto:

- 4 x

(- 4, 0)

Estudo do sinal de uma função

se

Função crescente Função decrescente

a > 0 a < 0

+ +

--

y > 0

y = 0

y < 0

se

se

se

x > ......(raiz)

x = ......(raiz)

x < ......(raiz)

y > 0

y = 0

y < 0

se

se

se

x < ......(raiz)

x = ......(raiz)

x > ......(raiz)

raiz x xraiz

(y > 0)

(y < 0)

(y > 0)

(y < 0)

Determinando uma função de 1º grau dado o seu gráfico

Para determinar uma função de 1º grau a partir de gráfico, basta identificar

dois pontos.

y

x

8

4

(0, 8)

(4, 0)

Usar: y = ax + b

Substituindo

(0, 8) 8 b

(4, 0) 0 a

= a.0 + b = 8

= a.4 + 8 = - 2

y = - 2x + 8

Obs.: Quando se faz a substituição, forma-se um sistema, que pode ou

não dar uma resolução direta.

Substituindo

a e b, temos:

NOTAÇÕES

f(g(x)) = fog (x)

g(f(x)) = gof (x)

f(f(x)) = fof(x)

1) Dadas as funções f(x) = 2x + 1

e g(x) = 4x – 3. Determinar

f(g(x))

f(x) = 2x + 1

f(…) = 2(…) + 1

f(g(x)) = 2g(x) + 1

f(g(x)) = 2(4x – 3) + 1

f(g(x)) = 8x – 6 + 1

f(g(x)) = 8x – 5

2) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x + 3, g(x) = 2x – 1.

O valor de f(g(5)) é:

1o Modo

Vamos obter primeiramente a f(g(x))

f(x) = x + 3

f(…) = (…) + 3

f(g(x)) = g(x) + 3

f(g(x)) = 2x – 1 + 3

f(g(x)) = 2x + 2

Se f(g(x)) = 2x + 2, então:

f(g(5)) = 2.5 + 2

f(g(5)) = 12

2o Modo

Vamos “abrir a função”

Como queremos calcular

f(g(5)) ,procedemos assim:

f(x) = x + 3 g(x) = 2x – 1

g(5) = 2.5 – 1

g(5) = 10 – 1

g(5) = 9

f(9) = 9 + 3

f(9) = 12

Portanto f(g(5)) = 12

3) Sejam f(x) = 2x + 3, g(x) = x – 5 e h(x) = 3x – 1. Calcule f(g(h(3))

f(x) = 2x + 3 g(x) = x – 5 h(x) = 3x – 1

h(3) = 3.3 – 1

h(3) = 9 – 1

h(3) = 8

g(8) = 8 – 5

g(8) = 3

f(3) = 2.3 + 3

f(3) = 6 + 3

f(3) = 9

Portanto f(g(h(3)) = 9

4) ( CEFET – PR ) Sendo f(x) = x + 2 e f(g(x)) = 2x – 3, então g(x)

é igual a:

f(x) = x + 2

f(g(x)) = g(x) + 2

2x – 3 = g(x) + 2

2x – 3 – 2 = g(x)

2x – 5 = g(x)

Para encontrar a inversa de uma função,

o processo prático é trocar x por y e em

seguida isolar y.

1) Seja f(x) = 2x + 3. Obtenha f -1(x).

f(x) = 2x + 3

x = 2y + 3

x – 3 = 2y

yx

2

3

2

3)(1 x

xf

3x

1-2xf(x)

3x

1-2xf(x)

2) Encontre a inversa da função

x = 3

12

y

y

x(y – 3) = 2y – 1

xy – 3x = 2y – 1

xy – 2y = 3x – 1

xy – 2y = 3x – 1

y(x – 2) = 3x – 1

y = 2

13

x

x

2x

13x(x)f 1

3) ( UFSC ) Seja a função f(x) = 2x

2x

2

2)(

x

xxf

2

2

y

yx

2

2

x

xy

Determine f -1(2)

PASSO 1: determinar a inversa de f(x)

x(y – 2) = – 2y

xy – 2x = – 2y

xy + 2y = 2x

xy + 2y = 2x

y(x + 2) = 2x

2x

2x(x)f 1

PASSO 2: determinar f-1 (2)

2x

2x(x)f 1

2

2

2

.2)2(1f

4

4)2(1f

Portanto f-1(2) = 1

Forma Geral: y =ax + bx + c2

f(x) =ax + bx + c2

ou

Onde:

a,

c, é o termo independente. (Onde a parábola intercepta o eixo da ordenadas)

Se determina a concavidade, a > 0

Concavidade para cima

a < 0

Concavidade para baixo

Valor de mínimo (yv )

Valor de máximo (yv )

ZEROS (OU RAÍZES) DE UMA FUNÇÃO DE 2º grau

Dada a função de f: lR lR, definida: f(x) Calcule o zero da função:= x2

+

3 x + 2,

x2

3 x + 2

+

= 0Igualar a função a zero

Fazer os cálculos

Determinado o valor de x

3 2

= - 4 . 1 . 2

= 1

x = - 3 V 12 . 1

X’ = - 2 X’ = - 1e

Geometricamente teremos os pontos: (- 1, 0) (- 2, 0)e

Determinar a concavidade: Concavidade para cima

- 1- 2x

se

Concavidade para cima Concavidade para baixo

a > 0 a < 0

Vértice da função de 2º grau

Ponto de Máximo ou de Mínimo e

Obs.: O valor de máximo ou de mínimo é sempre dado pelo yv .

V = (xv , yv)

Ponto de mínimo Ponto de máximo

V = (xv , yv)

xv =

2a

- b

yv =

4a

-

VÉRTICE

Estudo do sinal da função de 2º grau

se

Concavidade para cima Concavidade para baixo

a > 0 a < 0

Primeiro Caso: > 0

x

+ ++

_ _ _ x

y > 0 y > 0y > 0

y < 0y < 0 y < 0

y > 0

y < 0

y = 0

Se, x < raiz x > raizou

Se, x = raiz x = raizou

Se, < x <x’ x”

y < 0

y > 0

y = 0

Se, x < raiz x > raizou

Se, x = raiz x = raizou

Se, < x <x’ x”

x

+ +_ _ x

y > 0

y = 0

Se, x ≠ raízes

Se,

y < 0

y = 0

Se,

Se,

Segundo Caso: = 0

Terceiro Caso: < 0

+ + + + + + + +

x

x = raízes

x ≠ raízes

x = raízes

x_ _ _ _ _ _ _

V X lRy > 0, y < 0, V X lR

(x’ = x”)

(x’ = x”)

(x’ = x”)

(x’ = x”)