Editoria de Matemática, Ciências da Natureza e suas Tecnologias: Cármen Matricardi
Editores: Cibeli Chibante Bueno; Letícia Mancini Martins, Luiz Paulo Gati de Cerqueira Cesar e Marcela Pontes (estags.)
Supervisão de arte e produção: Sérgio Yutaka
Editor de arte: André Gomes Vitale
Diagramação: Casa de Tipos
Editora de arte e criação: Andréa Dellamagna
Design gráfico: Ulhôa Cintra Comunicação Visual e Arquitetura (miolo e capa)
Revisão: Rosângela Muricy (coord.), Claudia Virgilio (prep.), Ana Paula Chabaribery Malfa, Arnaldo R. Arruda,
Luís Maurício Bôa Nova e Gabriela Macedo de Andrade (estag.)
Supervisão de iconografia: Sílvio Kligin
Pesquisadora iconográfica: Claudia Bertolazzi
Cartografia: Allmaps, Juliana Medeiros de Albuquerque e Márcio Santos de Souza
Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin
Foto da capa: Gloria H. Chomica/Masterfile/Other Images
Ilustrações: Dam d’Souza, Fabio Eugenio, Formato Comunicação e Paulo Manzi (aberturas das unidades)
Direitos desta edição cedidos à Editora Ática S.A.
Av. Otaviano Alves de Lima, 4400
6o andar e andar intermediário ala A
Freguesia do Ó – CEP 02909-900 – São Paulo – SP
Tel.: 4003-3061
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Dante, Luiz Roberto Matemática : contexto & aplicações / Luiz Roberto Dante. – 2. ed. – São Paulo : Ática, 2013.
Obra em 3 v.
13–03268 CDD–510.7
Índice para catálogo sistemático:
2013
Uma publicação
Versão digital
Gerência de desenvolvimento digital: Mário Matsukura
Gerência de inovação: Guilherme Molina
Coordenadores de tecnologia de educação: Daniella Barreto e Luiz Fernando Caprioli Pedroso
Coordenador de edição de conteúdo digital: Danilo Claro Zanardi
Editores de tecnologia de educação: Cristiane Buranello e Juliano Reginato
Editores de conteúdo digital: Cibeli Chibante Bueno, Monique Matos de Oliveira, Alterson Luiz Cação,
Letícia Mancini Martins (estag.) e Marcela Pontes (estag.)
Editores assistentes de tecnologia de educação: Aline Oliveira Bagdanavicius, Drielly Galvão Sales da Silva, José Victor de Abreu e
Michelle Yara Urcci Gonçalves
Assistentes de produção de tecnologia de educação: Alexandre Marques, Gabriel Kujawski Japiassu, João Daniel Martins Bueno, Paula Pelisson Petri,
Rodrigo Ferreira Silva e Saulo André Moura Ladeira
Desenvolvimento dos objetos digitais: Agência GR8, Atômica Studio, Cricket Design, Daccord e Mídias Educativas
Desenvolvimento do livro digital: Digital Pages
2
3
Apresentação
A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos.
Aristóteles
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não
possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.
Lobachevsky
o elaborar esta coleção para o Ensino Médio, levamos em conta as
ideias que abrem esta apresentação. Isso porque nosso objetivo é
criar condições para que você, aluno, possa compreender as ideias
básicas da Matemática desse nível de ensino atribuindo significado a
elas, além de saber aplicá-las na resolução de problemas do mundo real.
Todos os conceitos básicos próprios do Ensino Médio foram explorados de
maneira intuitiva e compreensível. As receitas prontas e o formalismo excessivo
foram evitados, porém mantivemos o rigor coerente com o nível para o qual a
coleção está sendo proposta.
Na abertura das unidades apresentamos um tema que está relacionado com
um dos capítulos que a compõem; ela te dará uma ideia de um dos temas que
será estudado. Já na abertura dos capítulos apresentamos informações gerais,
que podem ter uma abordagem histórica sobre o assunto que será discutido.
Antes de resolver os exercícios, é absolutamente necessário que você es-
tude a teoria, analise os exemplos e refaça os exercícios resolvidos. Na seção
Resolvido passo a passo, comentamos e explicitamos as fases da resolução de
um problema.
A seção Outros contextos foi criada para formular, resolver e interpretar
situações-problema que estão relacionadas a situações reais e/ou relacionadas
com outras disciplinas.
Cada unidade contém ainda as seções Pensando no Enem e Vestibulares de
Norte a Sul, com questões baseadas no Enem (Exame Nacional do Ensino Médio)
e de vestibulares de todas as regiões do país, destinadas a revisar, fixar e apro-
fundar os conteúdos estudados. E no fim de cada volume, na seção Caiu no
Enem, foram incluídas questões do Enem relacionadas a cada unidade.
A coleção engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente tra-
balhados no Ensino Médio, além de auxiliá-lo em sua preparação para os pro-
cessos seletivos de ingresso nos cursos de Educação Superior.
As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão
sempre bem-vindas.
O autor
dividido em quatro unidades
seguintes boxes e seções:
circular, exerce uma pressão sobre
as paredes arteriais.
O gráfico a seguir, da pressão (P) em função do tempo (t),
representa uma investigação desse tipo, na qual se
analisa a situação clínica de um paciente.
Nele pode-se observar que ocorre um ciclo completo a
cada ç,75 segundo e que cada ciclo corresponde a um
batimento cardíaco.
trigonométricas, como a pressão
regularidade, os dados contidos no gráfico
podem ser expressos por meio da lei:
f(t) = 1çç – 2ç . cos(áççt
vasos sanguíneos de um indivíduo (medida
em mmHg: milímetros de mercúrio), em
função do instante de coleta dessa medida,
é verificada por meio de um aparelho
chamado esfigmomanômetro.
1 Trigonometria
1. Que característica comum têm os fenômenos que podem ser modelados
por meio de funções trigonométricas?
2. O que representa cada ciclo do gráfico da pressão sanguínea?
12
Algumas vezes deparamos com plantas de terrenos em que há a re-
presentação de lagos ou de montanhas com todas as medidas indicadas
sem que nos ocorra pensar em como essas medidas teriam sido obtidas.
A Topografia é a área da Engenharia que trata de situações como
esta: medições que determinam a forma e a posição de elementos do
relevo, com base em relações estabelecidas pela Trigonometria. Para
isso, utiliza-se o teodolito, um instrumento de observação que ajuda a
calcular distâncias difíceis de serem medidas, a partir de medidas de
triângulos que podem ser determinados nos terrenos.
O conhecimento das relações entre lados e ângulos desses triângu-
los é fundamental para o topógrafo, pois se ele conhecer três das seis
medidas de lados e ângulos de um triângulo poderá calcular as demais.
Até a descoberta dessas relações, problemas que envolvessem triân-
gulos eram geralmente resolvidos com o que se sabia das relações no
triângulo retângulo, mas a prática mostrou que isso era insuficiente ou
tornava os cálculos muito trabalhosos.
A determinação das medidas dos ângulos e dos comprimentos dos lados
de um triângulo qualquer, sem recorrer aos triângulos retângulos, foi possí-
vel com a evolução da Trigonometria. As relações, chamadas lei dos senos e
lei dos cossenos, trouxeram ferramentas fundamentais para os problemas
que envolviam esses triângulos. Vamos estudá-las neste capítulo.
M a
rc u
s L
y o
n /G
e tt
y I
m a
g e
33Capítulo 2 • Conceitos trigonométricos básicos
1. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de: a) 45°; b)
3
4
rad.
Resolução:
a) expressão geral: k 360° 45° 45° k 360°, com k [ Z
b) expressão geral: x 2k
x 3
2k, com k [ Z
2. Qual é o menor arco não negativo côngruo ao arco de 1 320°, ou seja, qual é a 1a determinação positiva do arco de 1 320°?
Resolução:
Devemos obter o menor valor não negativo de tal que k 360° 1 320°, com k [ Z. Então: 1 320 360
240 3
Logo, o arco pedido mede 240°.
Fique atento! Neste exercício dizemos que 240° é a 1· determinação positiva de 1 320° ou que 1 320° foi reduzido à 1· volta.
b) O que se pede?
Pede-se ao aluno que determine quantas voltas o atleta gira quando faz a manobra denomina- da “900” no skate vertical.
2. Planejando a solução
Sabendo que uma volta completa equivale a um giro de 360°, basta determinarmos quantas voltas equivalem a 900°. Isso pode ser feito de várias maneiras: descobrin- do-se quantas vezes o 360° “cabe” em 900°; usando-se proporção; etc.
3. Executando o que foi planejado
• Chamando de x o número de vezes que 360º “ca- be” em 900º, temos:
360x 900 ⇒ x 900
360 2,5
Portanto, são duas voltas e meia. • Usando proporção, e chamando de x o número
de voltas que equivale a 900º, temos:
x
360 2 5 ⇒ ,
Note que isso equivale a usar a chamada “regra de três”.
4. Emitindo a resposta
5. Ampliando o problema
a) Muitas outras manobras do skate vertical (ram- pa em forma de U) têm no nome números que indicam a rotação em graus do atleta. Uma manobra como “180 ollie frontside” consiste em um giro de meia-volta no ar quando o atleta sai da rampa, voltando para ela com o skate já na nova posição. Considerando apenas o nome das manobras abaixo, descreva o número de voltas do giro do atleta em cada uma delas:
I. Fakie 360
II. 540 McTwist
III. 720 McHawk
b) Discussão em equipe
Skatismo é ou não é esporte? Há quem de- fenda uma e outra posição. Já quiseram até mesmo incluir essa atividade em olimpíadas. Alguns dos maiores nomes do skatismo mun- dial dizem que “skatismo não é esporte, é estilo de vida”. Mas é considerado também um “esporte radical” e participa dos X-Games, a “olimpíada dos esportes radicais”. Converse com seus colegas e dê sua opinião.
c) Pesquisa
Quem foi o primeiro a executar o “900”? Quando e onde isso aconteceu?
900 360
« Resolvido passo a passo
3. (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Minei- rinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu pró- prio corpo, que, no caso, corresponde a: a) uma volta completa.
b) uma volta e meia.
c) duas voltas completas.
e) cinco voltas completas.
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
É explicado que a denominação “900”, na manobra do skate vertical, se refere ao número de graus que o atleta gira em tor- no do seu próprio corpo.
Para refletir Qual é o significado de um nœmero não negativo?
« passo a passo: exercício 3
Exercícios resolvidos
Exercício resolvido passo a passo Apresenta a resolução detalhada de
uma questão ou um problema. Não
são modelos a serem seguidos, mas
visam inspirar e indicar estratégias
de resolução.
Conheça seu livro
Para refletir, Fique atento! e Você sabia? Pequenos boxes que trazem questões para
reflexão ou dicas importantes para o estudo.
Exercícios Essenciais para a aprendizagem. Ajudam a
fixar e aprofundar os conteúdos estudados.
169
Capítulo 8 • Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
8 Paralelismo no espaçoRetomando o que vimos até agora sobre paralelismo no espaço, temos:• Duas retas distintas são paralelas quando, e somente quando, são coplanares e não têm ponto comum.
• Dois planos distintos são paralelos quando, e somente quando, não têm ponto comum. • Uma reta e um plano que não a contenha são paralelos quando, e somente quando, não têm ponto
comum.
É preciso estar atento a certos fatos relativos ao paralelismo. Veja alguns: 1
o) Podemos ter, em dois planos paralelos, retas que não sejam paralelas. Por exemplo, no paralelepípedo a seguir os planos ABCD e EFGH são paralelos; entretanto, as retas ,AB - e , FH - pertencentes a eles não são paralelas e sim reversas. Veja:
A D
B
E
a
b
r
s
a / b, r está em a s está em b r e s não são paralelas r e s são reversas
2 o) Podemos ter retas paralelas contidas em dois planos que não sejam paralelos.
Por exemplo, no paralelepípedo abaixo, as retas ,AB - e ,GH - são para- lelas. A reta AB está no plano ABCD e a reta GH está no plano CDHG, que se intersectam segundo a reta CD.
A
B
C
E
D
H
a
b
r
s
r / s, r está em b s está em a a e b não são paralelos
Para refletir ¥ Que posi•›es relativas podem ter duas retas distintas que n‹o s‹o paralelas?
¥ O que acontece com dois planos distintos quando n‹o s‹o paralelos? ¥ Que posi•›es relativas podem ter uma reta e um plano quando n‹o s‹o paralelos?
Você sabia? Na cadeira de praia abaixo, o encosto e o assento podem ser vistos como partes de planos secantes; as ripas de madeira podem ser vistas como retas paralelas entre si.
E ls
a r/
S h
u tt
e rs
to ck
/G lo
Exercício
14. Indique se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações:a) Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro. b) Se dois planos são paralelos, qualquer reta que intersecta um deles intersecta o outro. c) Se dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela ao outro. d) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.e) Uma reta r não está contida em um plano a e é tal que r / a. Então, existe uma reta s, contida em a, tal que s / r.
f) Se um plano intersecta dois planos paralelos, então as intersecções são retas paralelas.
177
11 Dist‰ncias
Distância entre dois pontos
Dados dois pontos distintos, A e B, a dist‰ncia entre A e B a medida do segmento AB.
A
B
Se A e B coincidem, dizemos que a dist‰ncia entre A e B zero.
A B
Distância de um ponto a uma reta
Dados um ponto P e uma reta r, podemos tra•ar uma reta que passa por P e perpendicular a r
no ponto A.
A dist‰ncia do ponto P ˆ reta r a dist‰ncia entre os pontos P e A.
P
A
r
Distância de um ponto a um plano
Dados um ponto P e um plano a, podemos determinar P9, que a proje•‹o ortogonal de P sobre a.
A dist‰ncia do ponto P ao plano a a dist‰ncia entre os pontos P e P9.
a
P
P9
Distância entre duas retas distintas e paralelas
Dadas as retas r e s, distintas e paralelas, a dist‰ncia entre r e s a dist‰ncia de qualquer ponto
de uma delas ˆ outra reta.
A
B
r
s
Se duas retas s‹o coincidentes (paralelas iguais), a dist‰ncia entre elas zero.
Fique atento!
entre A e B é AB, subentende-se
que é a medida de AB.
Para refletir
entre P e r é igual a zero?
Para refletir
quando P [ a?
entre duas retas concorrentes.
Agora, vamos aprender, ou relembrar, como construir gráficos de funções quadráticas usando o software livre Geogebra.
Trata-se de um software matemático, criado por Markus Hohenwarter, que reúne Álgebra e Geo- metria. Ele pode ser utilizado em todos os níveis de ensino e já recebeu diversos prêmios na Europa e nos Estados Unidos.
A instalação desse software é simples: • Acesse o site <www.geogebra.org/cms/pt_BR> e clique em “Download”; • Clique em “Webstart”, faça o download e siga os passos automáticos de instalação do programa.
Depois disso, você já pode usá-lo. Ao abrir o programa, você verá a seguinte tela:
barra de menu
entrada de comando
barra de ferramentas
>
Depois de ter o programa instalado, faça os exercícios a seguir.
1. Construa o gráfico das funções f(x) 5 sen x e g(x) 5 cos x, como a seguir. Para isso siga os passos:
1 o passo: No campo “Entrada” (situa-
do na parte inferior da tela) insira a função:
f(x) 5 sin x e tecle “Enter”. Em se- guida, no mesmo campo digite g(x) 5 cos x e tecle “Enter”. Obser- ve que f (x) 5 sin x é o mesmo que f(x) 5 sen x.
2 o passo: Para melhorar a visuali-
zação, clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico da fun- ção seno e abrirá uma aba com a opção “Propriedades...”; clique so- bre ela. Assim, abrirá uma janela com várias opções; clique na aba “Cor” e escolha uma nova cor para o seu gráfico. Em seguida, clique na aba “Estilo” e coloque a espessura da linha igual a 5. Feche a janela e observe que o gráfico ficou destacado. Faça o mesmo com a função cosseno.
Matemática e tecnologia Sugestões de atividades em que o
computador é utilizado para visualizar
e manipular gráficos e tabelas. Uma
oportunidade de trabalhar com a
Matemática dinâmica.
o primeiro contato com um
dos assuntos que será abordado
na unidade.
de apresentar, por meio de uma
situação real ou um contexto histórico,
o conteúdo que será estudado no
capítulo.
4
Aten•‹o! Ainda que seja pedido
ÒAssinaleÓ, ÒIndiqueÓ, etc.
escreva no livro. D• todas as
respostas no caderno.
Objeto Educacional Digital
Digitais relacionados aos conteœdos
seu livro!
O mundo na palma das mãos
Durante séculos, os astros e a Matemática foram os instrumentos que permitiram ao ser humano desenhar mapas para se localizar no planeta. Hoje, quando o pla- neta é visto de cima pelos satélites, seus contornos não têm mais segredo.
Antes mesmo de começar a escrever, é provável que as pessoas das primeiras civilizações rabiscassem re- presentações gráficas dos lugares por onde passavam. O mapa mais antigo de que se tem notícia é de origem babilônica. Trata-se de um tablete de argila cozido e que contém a representação de duas cadeias de mon- tanhas e, no centro delas, um rio, provavelmente o Eufrates.
Por mais de vinte séculos, o ser humano olhou para o céu para calcular dist‰ncias e representá-las nos mapas. Hoje faz o inverso: vai para o espaço e de lá consegue imagens do planeta com uma precisão inalcançável pa- ra quem tem os pés na Terra.
No Egito, essa prática começou cedo. Os egípcios já conheciam a triangulação, uma técnica para determinar dist‰ncias baseada na Matemática, que seria depois usa- da por muitos outros povos. A triangulação utiliza um princípio da Trigonometria: se um lado e dois ‰ngulos de um tri‰ngulo são conhecidos, é possível calcular o ter- ceiro ‰ngulo e os outros dois lados. Determinava-se, en- tão, uma base para se chegar ˆs dist‰ncias desejadas. A medição de terras era quase vital para os fara—s e sacer- dotes, já que seus incontáveis gastos eram garantidos basicamente pelos impostos cobrados sobre a terra, pagos em cereais.
Mas quem achou o mapa do tesouro da Cartografia foram os gregos. ÒEles foram o primeiro povo a ter uma base científica de observaçãoÓ, conta a cart—grafa Re- gina Vasconcelos, professora da Universidade de São Paulo e membro da Associação Cartográfica Interna- cional. ÒA princípio, os gregos acreditavam ser a Terra um disco achatado.Ó Seus primeiros mapas-mœndi, como o de Anaximandro de Mileto (610 a.C.-546 a.C.), eram representados por um círculo onde um oceano circundava os três continentes conhecidos: Europa, çsia e çfrica.
S h
e il
a T
e rr
y /S
c ie
ck
Mapa da Terra baseado nos mitos e conhecimentos dos antigos gregos na poca de Homero (1o e 2o mil•nios antes de Cristo).
Ainda no século VI a.C., a escola de Pitágoras apresentou uma Terra esférica. Essa suposição tinha base em observações práticas, como a sombra projetada por um eclipse, e considerações filos—ficas, como o fato de a esfera ser a forma geomé- trica mais perfeita.
Coube ao fil—sofo e astrônomo Erast—stenes (276 a.C.-194 a.C.) a tarefa de medir a circunferência da Terra. Também conhecedor de Matemática, Erast—stenes usou a Trigonometria em seus cálculos. Ele observou que nos dias 20 e 21 de junho o ‰ngulo que os raios do Sol faziam com a superfície da Terra na cidade de Siena (hoje Assuã) era de 90¡. Nos mesmos dias, esse ‰ngulo era de 7¡ para a cidade de Alexandria. Por meio de relatos de viajantes, Erast—stenes sabia que a dist‰ncia entre as duas cidades…