Deslocamento+e+lançamento1

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Tópicos de cinemática

vetorial: lançamento horizontal, vertical e composição de

movimentos

Neste tópico são analisados os movimentos parabólicos resultantes de lançamentos horizontais e oblíquos de corpos nas proximidades da Terra, desprezando-se a resistência do ar e considerando o princípio da independência dos movimentos si-multâneos, devido ao célebre físico italiano Galileu (1564-1642).

Princípio da independência dos movimentos simultâneos (Galileu)

“Quando um corpo apresenta um movimento composto, cada um deles se realiza como se os demais não existissem, e no mesmo intervalo de tempo”.

A figura representa um barco que, com veloci-dade Vb em relação às águas, é capaz de atravessar o rio num tempo ∆t. Caso não existisse correnteza, o barco, navegando em 90° com a margem, chegaria ao ponto Q na margem oposta. Como existe a corren-teza atuando com velocidade Vc, o barco, no mesmo intervalo de tempo ∆t, chega à margem oposta num ponto R distante Vc. ∆t do ponto Q. Isso porque, ao longo da travessia, foi sendo arrastado para a direita com a mesma velocidade da correnteza.

O barco apresenta um movimento composto por dois MRUs: um perpendicular à margem, com velocidade Vb (chamada velocidade relativa); outro, no sentido da correnteza e com a velocidade desta (chamada velocidade de arrastamento). Esses dois movimentos simultâneos atuam independentemente um do outro durante o intervalo ∆t de travessia e o resultado é a chegada do barco ao ponto R, distando Vc. ∆t do ponto Q (aliás, se soltarmos uma boia em Q no instante em que o barco parte de P ela chegará a R junto com o barco).

Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

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Lançamento horizontal no vácuo

O movimento do projétil é composto por um MRU para a direita com velocida-de de módulo vx ( gé normal a vx

; daí, a velocidade em x não é alterada) e por um MRUA na direção ver-

tical para baixo (porque a aceleração da gravidade é constante e dirigida para baixo).

Para a determinação das grandezas envolvidas, basta aplicar as equações do MRU e as do MRUV. Assim:

Tempo de voo (t • v): É o tempo que o corpo permanece em queda. Para calculá-lo, basta aplicar a equação do espaço no MRUV: s – s0= v0t + gt2/2. Sendo s – s0 = H, v0=0 e t= tv, vem H = g. tv

2 / 2 ou

tv = 2Hg

Alcance (A): • O alcance é obtido multiplican-do o módulo da velocidade horizontal pelo tempo de voo:

A= vX . tv

Velocidade vertical (v • Y): Para calcular o mó-dulo da velocidade vertical em certo instante t, basta aplicar a equação da velocidade no MRUA, com v0 = 0.

Daí: vY = g . t

Vetor velocidade: • Conhecidos vX e vY, a soma vetorial das duas velocidades nos dará o vetor velocidade instantânea em t.

v = v2x + v2

y

arctg = vy

vx

Observação: As grandezas verticais, tais como velocidade, aceleração e deslocamento, estão sendo consideradas positivas nas fórmulas anteriores por-que o eixo y está orientado para baixo. Caso o eixo y estivesse orientado para cima as grandezas citadas seriam negativas.

Lançamento oblíquo no vácuo

v = vox

Na subida tem-se a composição de um MRU no eixo x e de um MRUR no eixo y; na descida tem-se o mesmo MRU em x e um MRUA no eixo y.

A velocidade inicial em x vale v0x = v0 cos . Esse valor se mantém (velocidade do MRU), pois sendo nula a projeção do vetor aceleração da gravidade sobre o eixo x, alteração alguma resulta no módulo de qualquer vetor com essa direção.

A velocidade inicial em y vale v0y= v0 sen . Essa velocidade vai decaindo em módulo até atingir o valor zero no ponto mais alto da trajetória (onde ocorre a altura máxima H), em virtude do que, nesse ponto, se tem v = v0x = vx = v0 cos .

O vetor velocidade instantânea em qualquer instante t pode ser determinado de maneira análoga àquela vista no lançamento horizontal.

É importante frisar que o lançamento oblíquo é a composição de um lançamento vertical com um MRU. Assim, tudo aquilo visto no lançamento vertical vale igualmente agora na direção do eixo y. Para o cálculo das grandezas envolvidas, basta aplicarmos as equações dos movimentos componentes: MRU e MRUR na subida, MRU e MRUA na descida:

Tempo de voo (t • v): Basta aplicar a equação da velocidade do MRUR na direção do eixo y:

Tem-se v0y = v0 sen e velocidade final nula, onde: 0=v0 sen – gts, onde ts= tv/2 é o tempo de subida. Vem: ts=v0 sen /g ou

tv = 2v0 sen /g.

Note que, para a mesma velocidade inicial, o tempo de voo máximo vale 2 v0/g°, que corresponde a sen = 1 ou = 90°.

Alcance (A): • Para o cálculo do alcance, basta aplicar o tv na equação do MRU na direção do eixo x:

A=vxtv=v0 cos . 2v0sen /g=v02. sen(2 )/g.

Então:

A = V0

2 sen2θg


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Note que, para a mesma velocidade inicial, o alcance máximo vale v0

2/g, o que corresponde a sen (2 )=1 ou = 45°.

Altura máxima (H): • Para o cálculo de H, basta aplicar Torricelli ao eixo y na subida: 02 = (v0sen )2 – 2gH ou

H=(v0sen )2/2g.

Note que, se =45°, vem H= v02/4g = A/4; ou

seja, para =45°, existe uma relação simples entre o alcance (A) e a altura máxima ou flecha (H): A=4H.

ReferencialO corpo em relação ao qual podemos identifi-

car se um outro corpo qualquer está em movimento ou repouso é chamado de referencial. Seu estudo reveste-se de especial importância, considerando que as formas das trajetórias, posições, velocidades e acelerações dos corpos móveis dependem do refe-rencial considerado.

A figura a seguir, em que se despreza a resis-tência do ar, considera o exemplo em que um avião deixa cair uma bomba:

Trajetória da bomba, vista do avião

(Referencial móvel)

Trajetória da bomba, vista do solo

(Referencial fixo)

v

v1

2v3

Movimentos relativo, de arrastamento e absoluto

Consideremos o exemplo da figura acima: o corpo móvel é a bomba; o referencial móvel é o avião; o referencial fixo é o solo.

O movimento do corpo móvel (bomba) em rela-ção ao referencial móvel (avião) é chamado movimen-to relativo. Na figura acima, a velocidade relativa é a de módulo igual a V2.

O movimento do referencial móvel (avião) em re-lação ao referencial fixo (solo) é chamado movimento de arrastamento. Na figura apresentada, a velocidade de arrastamento é a de módulo igual a V1.

O movimento do corpo móvel (bomba) em rela-ção ao referencial fixo (solo) é chamado movimento absoluto. Na figura. acima, a velocidade absoluta é a de módulo igual a V3.

Um observador no avião, que pudesse ver a bomba por um visor situado na fuselagem e imedia-tamente acima do ponto de onde ela foi solta, a veria cair sempre na vertical, em MRUA, enquanto o avião não alterasse sua altitude, pois ela continuaria em MRU para a direita, com a mesma velocidade com que voava o avião no instante em que a liberou.

A composição dos movimentos

Ainda quanto à figura do exemplo anterior, para a determinação da posição, velocidade e aceleração da bomba em dado instante, basta considerar a com-posição dos dois movimentos MRU (horizontal para a direita) e MRUA (na vertical para baixo), tratados independentemente um do outro, em obediência ao Princípio da Independência dos Movimentos Simultâneos, já analisado anteriormente, e aplicar a identidade vetorial:

v absoluta v relativa + v arrastamento

(PUC) Uma bola rolou para fora de uma mesa de 80cm 1. de altura e avançou horizontalmente, desde o instante em que abandonou a mesa até o instante em que atingiu o chão, 80cm. Considerando g = 10m/s2, a velocidade da bola, ao abandonar a mesa, era de:

8,0m/sa)

5,0m/sb)

4,0m/sc)

2,0m/sd)

1,0m/s e)

Solução: ` D

Trata-se de lançamento horizontal em que o alcance(A) vale 80cm. Assim, A = v0 . tv , onde tv é o tempo de voo. Admitindo desprezível a resistência do ar, o que o exercício deixou implícito, pode-se calcular o tempo de voo aplicando a equação do espaço na direção do eixo vertical (oy):

H = gtv2

2 → tv2 =

2H

g =

0,80m

5,0m/s2


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tv2 = 0,16s portanto tv = 0,40s

Substituindo-se na fórmula do alcance tem-se que:

0,80m = V0.0,40s

então:

V0 = 2,0m/s

(UEL) O que acontece com o movimento de dois 2. corpos de massas diferentes, ao serem lançados hori-zontalmente com a mesma velocidade, de uma mesma altura e ao mesmo tempo, quando a resistência do ar é desprezada?

O objeto de maior massa atingirá o solo primeiro.a)

O objeto de menor massa atingirá o solo primeiro.b)

Os dois atingirão o solo simultaneamente.c)

O objeto mais leve percorrerá distância maior.d)

As acelerações de cada objeto serão diferentes. e)

Solução: ` C

O exercício é interessante, pois o que importa é a velo-cidade inicial de ambos os corpos (é verdade que, para imprimir ao corpo de maior massa a mesma velocidade que a do outro, é despendida maior energia, devido ao fato de a inércia ser maior; isso, no entanto, não interfere na cinemática da questão, e pode causar, vez por outra, alguma confusão em análise mais afoita).

Se as velocidades iniciais são iguais e os lançamentos simultâneos, os corpos chegarão ao solo no mesmo instante e suas trajetórias, por estarmos desprezando a resistência do ar, serão paralelas. A alternativa correta, portanto, é a letra C.

(UFPI) Dois projéteis, I e II, são lançados de uma mesma 3. posição, com velocidades iniciais de mesmo módulo v0 e diferentes ângulos de lançamento. As trajetórias dos projéteis estão mostradas na figura a seguir. Sobre os módulos das velocidades e das acelerações dos projéteis nos pontos 1 e 2 podemos afirmar corretamente que:

va) 1 > v2 e a1 = a2

vb) 1 = v2 e a1 = a2

vc) 1 < v2 e a1 = a2

vd) 1 = v2 e a1 > a2

ve) 1 < v2 e a1 > a2

Solução: ` B

A altura máxima atingida na tragetória I é maior do que a altura máxima atingida na tragetória II e, portanto, temos que VoyI

> VoyII. Da equação de Torricelli, temos

que Vy2 = Voy

2 – 2g h, portanto, Vy1>Vy . Como Vx1< Vx2 precisamos calcular o módulo das velocidades V1 e V2 para obtermos a resposta.

Logo, temos: V12 = Vx1

2 + Vy1

2 = Vx1

2 + Voy1

2 – 2g h1 = Vo

2 – 2g h1

V22 = Vx2

2 + Vy2

2 = Vx2

2 + Voy2

2 – 2g h2 = Vo2 – 2g h2.

Como h1 = h2 temos que V12 = V2

2, e, portanto, V1 = V2 , embora V1y > V2y e V1x < V2x . A aceleração atuante nos dois casos é apenas a aceleração da gravidade e, portanto, a1 = a2 = g.

Note que os diferentes ângulos de lançamento determi-naram trajetórias distintas e diferentes alturas máximas.

(UFRJ) Duas mesas de 0,80m de altura estão apoiadas 4. sobre um piso horizontal, como mostra a figura a seguir. Duas pequenas esferas iniciam os seus movimentos simultaneamente do topo da mesa:

1) a primeira, da mesa esquerda, é lançada com velo-cidade v0 na direção horizontal, apontando para a outra esfera, com módulo igual a 4m/s.

2) a segunda, da mesa da direita, cai em queda livre.

Sabendo que elas se chocam no momento em que tocam o chão, pede-se:

O tempo de queda das esferas.a)

A distância x horizontal entre os pontos iniciais do b) movimento.

Solução: `

Aplicando a equação dos espaços à esfera da direita: ∆s = g t 2/2 ou 0,80 = 5t2 ou t = 0,40s.

Aplicando a equação do alcance à esfera da esquerda, vem: x = v0 . t ou x = 4,0m/s . 0,4s = 1,6m.

Há controvérsias, nos dias de hoje, acerca de onde se originou o futebol. Segundo alguns, esse esporte foi


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uma evolução de uma prática voltada para o treinamento de soldados, na China Antiga e chamada kemari: 16 jogadores se dividiam em duas equipes para jogar uma bola de couro, cheia de chinas e cabelos, de pé em pé, sem derrubar, dentro de duas estacas que ficavam fincadas no chão e ligadas por um fio de cera.

Outros defendem a causa de o jogo ter suas raízes na Grécia Antiga, por volta do século I a.C., com o epyskiros, jogo militar disputado em Esparta, que usava como bola uma bexiga de boi cheia de areia e era disputada por dois times de quinze jogadores cada um.

O jogo grego chegou a Roma e, já na Idade Média, transformou-se no harpastum, jogo em que militares se dividiam em defensores e atacantes para a disputa da partida.

Foi na Itália, em 1529, que a nobreza adotou o então gioco del calcio, com dez juízes e disputado por 27 jogadores de cada lado, com posições fixas e, pela primeira vez, sem poderem dar socos e pontapés.

No século XVII o jogo foi para a Inglaterra; lá, em 1660, surgiram regulamentações: o campo teria de medir 80m x 120m, o número de jogadores foi fixado, nas extremidades do campo deveriam existir dois postes de madeira com afastamento de um metro, a bola teria de ser de couro, cheia de ar e passar entre os postes. Em 1848, numa conferência realizada em Cambridge, foi estabelecido um código único de regras. Em 1862, apareceu o mais antigo time de futebol: o Notts County; no ano seguinte, 1863, foi formada a Football Association e realizado o primeiro jogo internacional, com o empate de 0 a 0 entre Inglaterra e Escócia. Em 1868 surgiu a figura do árbitro e, a partir daí, a evolução se acelerou: apito, travessão, redes, pênalti e número de jogadores por equipe (11). Em 1885 teve início o profissionalismo no futebol e, em 1888, foi formada a Football League. Em 1901 surgiu o limite das áreas; em 1907 foi instituída a “lei do impedimento”.

A FIFA foi instituída em Paris, no ano de 1904. Em 1908 o futebol foi admitido nos jogos olímpicos e a primeira seleção a ser campeã foi a da Inglaterra, ao vencer a da Dinamarca por 2 a 0. Em 1930 ocorreu a primeira Copa do Mundo e a equipe campeã foi a do Uruguai. O Brasil já levantou cinco títulos mundiais nessas competições (1958 – Suécia; 1962 – Chile; 1970 – México; 1994 – Estados Unidos; 2002 – Coréia/Japão), sendo atualmente a única equipe ostentando o título de Pentacampeã Mundial de Futebol. A última Copa do Mundo foi realizada na Alemanha, em 2006.

(Fuvest) Durante um jogo de futebol, um chute forte, a 5. partir do chão, lança a bola contra uma parede próxima. Com auxílio de uma câmera digital, foi possível recons-tituir a trajetória da bola, desde o ponto em que ela atingiu sua altura máxima (ponto A) até o ponto em que bateu na parede (ponto B). As posições de A e B estão

representadas na figura. Após o choque, que é elástico, a bola retorna ao chão e o jogo prossegue.

Estime o intervalo de tempo ta) 1, em segundos, que a bola levou para ir do ponto A ao ponto B.

Estime o intervalo de tempo tb) 2, em segundos, du-rante o qual a bola permaneceu no ar, do instante do chute até atingir o chão após o choque.

Represente, em sistema de eixos, em função do c) tempo, as velocidades horizontal Vx e vertical Vy da bola em sua trajetória, do instante do chute inicial até o instante em que atinge o chão, identificando por Vx e Vy, respectivamente, cada uma das curvas.

Note e adote:Vy é positivo quando a bola sobe.

Vx é positivo quando a bola se move para a direita.

Solução: `

a) hmax = Voy

2 2g Voy = 2ghmax

Voy = 2 . 10 . 5 Voy = 10m/s

VyA = Voy – gtA 0 = 10 – 10tA tA = 1,0 s

hB = ho + VoytB – gtB

2 2

4,2 = 0 + 10tB – 5tB2

5tB2 – 10tB + 4,2 = 0 tB = 1,4s

tBA = tB – tA = 1,4 – 1,0 = 0,4s

b) VyB = Voy – gtB = 10 – 10 . 1,4

VyB = – 4m/s Vx = XAB/ tAB = 6 0,4

Vx = 15m/s

A colisão com a parede não altera a componente vertical da velocidade da bola, pois a força atuante (normal) é puramente horizontal e, portanto, tem como único efeito a mudança no sentido da compo-nente horizontal da velocidade da bola. Logo, após o choque temos:

VyB’1 = –4m/s e VyB’ = –15m/s.

Então: hc = h’oB + Vo’yB

tc – gt2 2


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Substituindo na 2.ª equação a 1.ª, vem 2 vC = 3,6km/h e, portanto, vC = 1,8km/h.

(PUCPR) A figura representa um avião, que mergulha 7. fazendo um ângulo de 30° com a horizontal, seguindo uma trajetória retilínea entre os pontos A e B. No solo, considerado como plano horizontal, está representada a sombra da aeronave, projetada verticalmente, e um ponto de referência C.

Considere as afirmativas que se referem ao movimento da aeronave no trecho AB, e assinale a alternativa correta:

A velocidade do avião em relação ao ponto a) C é maior que a velocidade de sua sombra, projetada no solo, em relação ao mesmo ponto.

A velocidade do avião é nula em relação à sua som-b) bra projetada no solo.

A velocidade do avião em relação ao ponto c) C é igual à velocidade de sua sombra, projetada no solo em relação ao mesmo ponto.

A velocidade do avião em relação à sua sombra d) projetada no solo é maior que a velocidade de sua sombra em relação ao ponto C.

A velocidade da sombra em relação ao ponto e) C in-depende da velocidade do avião.

Solução: `

Para o que se segue, seja V o módulo da velocidade do avião no trecho AB.

a) Correto: a do avião em relação a C vale V, enquanto a da sombra em relação ao mesmo ponto vale V cos 30° = 0,866V.

b) Errado: o avião se aproxima de sua sombra com ve-locidade vertical para baixo de módulo V sen 30° = V/2.

c) Errado: considerando o exposto na justificativa daalternativa a.

d) Errado: a velocidade do avião em relação à sombra tem módulo V/2 e a desta em relação a C tem mó-dulo igual a 0,866V; portanto, maior que aquela.

e) Errado: essa velocidade, como já dito, tem módulo igual a 0,866V; assim, depende da velocidade do avião.

0 = 4,2 – 4tc – 5tc2 5tc

2 + 4tc – 4,2 = 0

tc = 0,6s

Finalmente, o intervalo de tempo total, desde o ins-tante em que a bola é chutada até o momento em que atinge o solo é dado por: t = tB + tc

t = 1,4 + 0,6 t = 2,0s

c)

Vx

Vx

(Mackenzie) Uma lancha, subindo um rio, percorre, em 6. relação às margens, 2,34km em 1 hora e 18 minutos. Ao descer o rio, percorre a mesma distância em 26 minutos. Observa-se que, tanto na subida como na descida, o módulo da velocidade da lancha em relação à água é o mesmo. O módulo da velocidade da correnteza, em km/h, em relação às margens é:

5,4 a)

4,5 b)

3,6 c)

2,7 d)

1,8 e)

Solução: ` E

Sendo vC a velocidade da correnteza, vb a velocidade rela-tiva (do barco em relação à água) e vs, vd as velocidades absolutas (do barco em relação às margens) na subida e na descida do rio, respectivamente, tem-se:

vs = vb - vc = 2,34 / 78 = 0,03km/min = 1,8km/h (1.ª opção)

vd = vb + vc = 2,34 / 26 = 0,09km/min = 5,4km/h(2.ª opção)


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(UERJ) Um barco move-se em águas tranquilas, segun-8. do um observador em repouso no cais, com velocidade de módulo constante v. Num dado instante, uma pessoa de dentro do barco dispara um sinalizador no sentido contrário ao seu movimento.

Para o observador no cais, o módulo v’ da velocidade com que o barco passa a se deslocar, após o disparo, obedece à seguinte relação:

v’ = 0 a)

0 < v’ < v b)

v’ = v c)

v’ > v d)

Solução: ` D

Já se falou rapidamente na 3.ª Lei de Newton, o Princípio da Ação e da Reação: “quando um corpo exerce sobre outro uma força, esse reage, exercendo sobre o primeiro uma reação igual em módulo e direção, mas em sentido contrário”.

Abordaremos em módulo futuro as Leis de Newton com maior aprofundamento.

Pelo citado Princípio, quando o sinalizador é disparado em sentido contrário ao do movimento do barco, o meio exte-rior (ar) recebe a ação de uma força; segue-se a reação em sentido contrário, que pode ser decomposta numa força vertical e numa horizontal no sentido do movimento. Esse efeito faz aumentar a velocidade do barco em relação às margens (velocidade absoluta), donde V’ >V .

(UERJ) Na figura a seguir, o retângulo representa a janela 9. de um trem que se move com velocidade constante e não-nula, enquanto a seta indica o sentido de movimento do trem em relação ao solo.

Dentro do trem, um passageiro sentado nota que começa a chover.

Vistas por um observador em repouso em relação ao solo terrestre, as gotas da chuva caem verticalmente.

Na visão do passageiro que está no trem, a alternativa que melhor descreve a trajetória das gotas através da janela é:

a)

b)

c)

d)

Solução: ` A

A velocidade do trem (VT ) é a velocidade de arrasta-mento, desejamos achar a relativa (VR ) e o observador no solo vê a direção da velocidade absoluta (VABS ), ou seja, VR = VABS – VT

VABS = VRT + VT

Basta montarmos o triângulo das velocidades de modo a satisfazer à identidade vetorial de a velocidade absoluta ser a soma vetorial das velo-cidades relativa e de arrastamento.

Pela chaminé de um navio são eliminados gases e va-10. pores decorrentes da queima de óleo combustível. Isso ocasiona a aderência, em suas paredes internas, de uma fuligem que, se não for retirada periodicamente, pode gerar situações de incêndio. Essa necessidade é atendi-da, estando o navio no mar, por uma manobra intitulada “limpeza de chaminé”, que consiste no seguinte:

1) o pessoal de serviço na Máquina pede autorização ao Oficial de Quarto, responsável pela manobra do navio, para realizar a referida limpeza;

2) o Oficial de Quarto manda aguardar e, enquanto isso, guina o navio para o rumo adequado, que de-pende de sua velocidade, de forma a que o vento aparente ou relativo saia na perpendicular a um dos bordos do navio (ou o da direita (boreste – BE) de quem olha para a frente da embarcação (proa) ou o da esquerda (bombordo – BB));

3) com o navio estabilizado no referido rumo, o Ofi-cial de Quarto autoriza a realização da limpeza, que consiste em liberar pela chaminé jatos de ar sob pressão, o que dura cerca de 10 minutos;

4) o pessoal da Máquina comunica ao Oficial de Quar-to o término da limpeza e este manobra o navio para o rumo anterior ou para um rumo adequado a retomar a posição anterior.

A operação libera grande quantidade de fuligem negra e, se não obedecida a condição de sair per-pendicularmente por sotavento (bordo por onde sai o vento; oposto de barlavento, bordo por onde entra o vento), parte dela cairá sobre o navio, sujan-do-o completamente.

Agora, coloque-se no lugar de Oficial de Quarto de um navio navegando no rumo 040, com vinte nós e,


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sendo 030 a direção do vento real e 15 nós a sua intensidade, ambos fornecidos pelo anemômetro. Você irá autorizar a “limpeza de chaminé” a 10 nós, com sotavento a boreste (BE). Para que rumo você deverá guinar, antes de autorizar a manobra?

Solução: `

Sendo o vetor tr aquele que representa a velocidade de seu navio e tw o do rumo e intensidade do vento (a direção do vento é a marcação de onde ele vem; o rumo do vento é aquela marcação para onde ele vai), oproblemapodeserresolvidograficamentecomodis-positivodafigura,chamado“rosademanobra”,emqueas circunferências concêntricas têm raios 5, 10, 15 e 20 milhas náuticas (1mi = 1 852m), neste nosso exemplo.

Passo 1: trace o vetor tw, que representa o rumo e intensidade do vento real (210–15 nós) (1 nó = 1 milha/h = 1’/h).

Passo 2: do ponto w trace uma tangente à circun-ferência de raio = 10’ (velocidade com que seu navio executará a manobra), para o lado compatível com o bordo desejado para ser o de sotavento, considerando que o sentido do vento aparente é de r para w.

Passo 3: ligue o ponto central t ao de tangência e de-termine o vetor tr, que dá o rumo (158) em que seu navio deverá executar a manobra a 10 nós de velocidade.

W r

t

(PUC-Rio) Na ausência de resistência do ar, um objeto 1. largado sob um avião voando em linha reta horizontal com velocidade constante:

subirá acima do avião e depois cairá.a)

rapidamente ficará para trás.b)

rapidamente ultrapassará o avião.c)

oscilará para frente e para trás do avião.d)

permanecerá sob o avião.e)

(Fuvest) Uma bola cai de uma mesa horizontal de 80cm 2. de altura, atingindo o chão a uma distância horizontal de

2,0m da vertical que passa pelo ponto de lançamento. Sua velocidade na horizontal, ao abandonar a mesa, era de: (g = 10m/s2)

4m/sa)

5m/sb)

8m/sc)

10m/sd)

15m/se)

(Cesgranrio) Para bombardear um alvo, um avião em voo 3. horizontal, a uma altitude de 2,0km, solta uma bomba quando a sua distância horizontal até o alvo é de 4,0km. Admite-se que a resistência do ar seja desprezível. Para atingir o mesmo alvo, se o avião voasse com a mesma velocidade, mas agora a uma altitude de apenas 0,50km, ele teria que soltar a bomba a uma distância horizontal do alvo igual a:

0,25kma)

0,50kmb)

1,0kmc)

1,5kmd)

2,0kme)

(PUC-Minas) Um homem, em pé, sobre a carroceria de 4. um caminhão que se move em uma estrada reta com ve-locidade constante, lança uma pedra verticalmente para cima. Com relação ao movimento da pedra, desprezando o atrito com o ar, é correto afirmar que:

ela cairá ao chão, atrás do caminhão, se a velocida-a) de deste for grande.

ela cairá nas mãos do homem, qualquer que seja a b) velocidade do caminhão.

em relação à estrada, a pedra tem movimento retilí-c) neo uniformemente acelerado.

em relação ao caminhão, o movimento da pedra é d) retilíneo uniforme.

em relação ao homem, a trajetória da pedra é a de e) um projétil.

(Feso)5. Na figura abaixo, duas partículas, 1 e 2, são lan-çadas obliquamente no vácuo com velocidades iniciais v1 e v2, respectivamente, formando ângulos diferentes com a horizontal. Os tempos de voo dessas partículas (isto é, os tempos que elas levam para voltar ao atingir o mesmo plano horizontal de lançamento) valem, res-pectivamente, t1 e t2.


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Se, no entanto, ambas as partículas atingem a mesma altura máxima h, é correto afirmar que:

va) 1 < v2 e t1 = t2

vb) 1 < v2 e t1 < t2

vc) 1 > v2 e t1 > t2

vd) 1 = v2 e t1 < t2

ve) 1 = v2 e t1 = t2

(EsPCEx) Dois corpos 6. A e B, situados a 10m do solo, são simultaneamente testados em um experimento.

O corpo A é abandonado ao mesmo tempo em que B é lançado horizontalmente com uma velocidade inicial V0 = 20m/s. Desprezando-se a resistência do ar, a diferença entre o tempo de queda dos corpos A e B, em segundos, é:

3,0a)

4,0b)

0,0c)

2,2 d)

1,8e)

(Cesgranrio) Na superfície horizontal do patamar supe-7. rior de uma escada, uma esfera de massa 10g rola de um ponto A para um ponto B, projetando-se no ar a partir deste ponto para os degraus inferiores. Cada degrau tem altura de 20cm e largura de 30cm.

Considerando-se desprezível a resistência do ar e g = 10m/s2, a velocidade mínima que a esfera deve ter ao passar pelo ponto B, para não tocar no primeiro degrau logo abaixo, é, em m/s, igual a:

0,6 a)

0,8b)

1,0c)

1,2d)

1,5e)

(UFBA) De um ônibus que trafega numa estrada 8. reta e horizontal com velocidade constante de 20m/s desprende-se um parafuso, situado a 0,80m do solo e que se fixa à pista no local em que a atingiu.

Tomando-se como referência uma escala cujo zero coincide com a vertical no instante em que se inicia a queda do parafuso e considerando-se g = 10m/s2, determine, em m, a que distância este será encontrado sobre a pista.

(Cefet-RJ) Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma 9. mesa com velocidade constante de 2m/s. Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,80m dos pés da mesa. Adote g = 10m/s2, despreze a resistência do ar e determine:

a altura da mesa;a)

o tempo gasto para atingir o solo.b)

(FEI-SP)10. Um canhão dispara projéteis de 20kg com um ângulo de 30ºm relação à horizontal, com velocidade de 720km/h. Desprezando-se as resistências opostas pelo ar ao movimento e adotando g = 10m/s2, pergunta-se: qual o alcance do projétil?

(PUC-SP) Um saveiro, com o motor a toda potência, sobe 11. um rio a 16km/h e desce a 30km/h, velocidades essas medidas em relação às margens do rio. Sabe-se que, tanto subindo como descendo, o saveiro tinha velocidade relati-va de mesmo módulo, e as águas do rio tinham velocidade constante v. Nesse caso, v, em km/h, é igual a:

7a)

10b)

14c)

20d)

28e)

(UERJ)12. A figura abaixo representa uma escuna atracada ao cais.

Deixa-se cair uma bola de chumbo do alto do mastro (ponto O). Nesse caso, ela cairá ao pé do mastro (ponto Q). Quando a escuna estiver se afastando do cais, com velocidade constante, se a mesma bola for abandonada do mesmo ponto O, ela cairá no seguinte ponto da figura:

Pa)

Qb)

Rc)

Sd)

(MED-SM-RJ)13. Descendo um rio, um barco com o mo-tor a toda potência, percorre 60km em 2h. Em sentido contrário, percorre 40km em igual intervalo de tempo. A velocidade do barco em relação às águas e a velocidade das águas em relação às margens do rio são, respecti-vamente, em km/h, iguais a:


10 EM

_V_F

IS_0

06

12,5 e 7,5a)

25 e 5b)

25 e 20c)

30 e 5d)

30 e 20e)

(Fuvest)14. A janela de um trem tem dimensões de 80cm na horizontal e 60cm na vertical. O trem está em movimento retilíneo e uniforme horizontal com a velocidade de valor V. Um passageiro, dentro do trem, vê as gotas de chuva caírem inclinadas na direção da diagonal da janela. Su-pondo que as gotas, em relação ao solo, estejam caindo com velocidade V, na vertical, essa velocidade seria:

5Va)

34

b) V

43

c) V

58

d) V

V5

e)

(PUC-SP) Dois móveis estão dotados de Movimentos 15. Uniformes sobre uma trajetória retilínea, de tal forma que a distância entre eles aumenta de 10 metros por segundo quando se deslocam no mesmo sentido e de 30 metros por segundo quando se deslocam no sentidos opostos. Os valores das velocidades desses móveis são:

20m/s e 10m/sa)

30m/s e 5m/sb)

30m/s e 20m/sc)

20m/s e 5m/sd)

25m/s e 10m/se)

(Unirio)16. Dois móveis, S e T cruzam-se no ponto O, dirigindo-se segundo as direções s e t, com velocidades constantes vs = 10m/s e vt = 6m/s.

Após certo tempo t, a velocidade de S em relação a T é mais bem representada por:(cos 53o = 0,60; sen 53o = 0,80)

a)

b)

c) 53o

d)

e) 53o

(PUC-SP) Um degrau de escada rolante leva 60s para 17. ir até o andar superior. Com a escada desligada, uma pessoa leva 90s para subi-la. Quanto tempo a mesma pessoa levaria para subir até o andar superior, se cami-nhasse sobre a escada rolante ligada?

(UFPE)18. Um veículo viaja na direção norte-sul com uma velocidade v1 = 40km/h. Um segundo veículo viajando na mesma direção mas em sentido oposto, tem velocidade v2 = 50km/h. Determine a velocidade relativa entre os dois veículos.

(Fuvest) Um disco roda sobre uma superfície plana, 19. sem deslizar. A velocidade do centro O é v0 . Em relação ao plano:

qual a velocidade a)

VA do ponto A?

qual a velocidade do ponto B?b)

(Fuvest) Um motociclista de motocross move-se com 1. velocidade v = 10m/s, sobre uma superfície plana, dirigindo-se a uma rampa (em A), inclinada de 45º com a horizontal como indicado na figura.

A trajetória do motociclista deverá atingir novamente a rampa a uma distância horizontal D (D = H), do ponto A aproximadamente igual a:


11EM

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06

20ma)

15mb)

10mc)

7,5md)

5me)

(FEI-SP)2. Um avião, em voo horizontal 2 000m de altura, deve soltar uma bomba sobre um alvo móvel. A velo-cidade do avião é 432km/h, a do alvo é 10m/s, ambas constantes e de mesmo sentido, e g = 10m/s2. Para o alvo ser atingido, o avião deverá soltar a bomba a uma distância d, em metros, igual a:

2 000a)

2 200b)

2 400c)

2 600d)

2 800e)

(UFF) Uma criança arremessa uma bola de tênis contra 3. um muro vertical. O ponto de lançamento situa-se 1,35m abaixo do topo do muro e a velocidade de lançamento tem módulo v e uma inclinação de 60° com relação à horizontal.

Desprezando-se a resistência do ar. O menor valor de v para que a bola ultrapasse o muro é, aproximadamente, igual a:

2,7m/sa)

3,6m/sb)

4,8m/sc)

5,2m/sd)

6,0m/se)

(Unicamp)4. De um ponto PM, a uma altura de 1,8m, lançou-se horizontalmente uma bomba de gás lacrimo-gêneo que atingiu os pés de um professor universitário à 20m de distância, como indica a figura.

Quanto tempo levou a bomba para atingir o pro-a) fessor?

Com que velocidade vb) 0(em km/h) foi lançada a bomba?

(UERJ)5. Um projétil é lançado segundo um ângulo de 30° com a horizontal e com uma velocidade de 200m/s. Supondo a aceleração igual a 10m/s2 e desprezando a

resistência do ar, concluímos que o menor tempo gasto por ele para atingir a altura de 480m acima do ponto de lançamento será de:

8sa)

10sb)

9sc)

14sd)

12se)

(ITA)6. Uma bola é lançada horizontalmente do alto de um edifício, tocando o solo decorridos aproximadamente 2s. Sendo de 2,5m a altura de cada andar, o número de andares do edifício é:

5a)

6b)

8c)

9d)

indeterminado, pois a velocidade horizontal de ar-e) remesso da bola não foi fornecida.

(UERJ)7. Um atirador de facas faz seus arremessos a partir de um ponto P, em direção a uma jovem que se encontra em pé, encostada em um painel de madeira. A altura do ponto P é de 2,0m e sua distância ao painel é de 3,0m. A primeira faca é jogada para o alto com a componente horizontal da velocidade igual a 3,0m/s e a componente vertical igual a 4,0m/s. A faca se move em um plano vertical perpendicular ao painel.

Desprezando a resistência do ar e qualquer movimento de giro da faca em torno de seu centro de gravidade, determine a altura do ponto em que atinge o painel.

(Unicamp)8. Um habitante do planeta Bongo atirou uma flecha e obteve os gráficos abaixo.

Sendo x a distância horizontal e y a vertical:

Qual a velocidade horizontal da flecha?a)

Qual a velocidade vertical inicial da flecha?b)

Qual o valor da aceleração da gravidade no planeta c) Bongo?

(UFCE)9. Uma bola de 1cm de diâmetro rola do alto de uma escada com 99 degraus, a uma velocidade de 2m/s, conforme a figura. Os degraus da escada têm 18cm de altura e 18cm de largura. Desprezando a resistência do


12 EM

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06

ar e considerando g = 10m/s2, determine o primeiro degrau atingido pela bola.

(UFRJ)10. Duas mesas de 0,80m de altura estão apoiadas sobre um piso horizontal, como mostra a figura abaixo. Duas pequenas esferas iniciam o seu movimento simul-taneamente do topo da mesa:

1) a primeira, da mesa esquerda, é lançada com velo-cidade V0 na direção horizontal, apontando para a outra esfera, com módulo igual a 4m/s;

2) a segunda, da mesa da direita, cai em queda livre.

Sabendo que elas se chocam no momento em que tocam o chão, determine:

o tempo de queda das esferas.a)

a distância (x) horizontal entre os pontos iniciais do b) movimento.

(Unicamp) Até os experimentos de Galileu Galilei, pen-11. sava-se que quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante. Quando o im-petus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada. Consideremos que um canhão dispara pro-jéteis com uma velocidade inicial de 100m/s, fazendo um ângulo de 30° com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus, o outro, Salviati, as ideias de Galileu. Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil. Despreze o atrito com o ar.

Qual o alcance do projétil?a)

Qual a altura máxima alcançada pelo projétil, se-b) gundo os cálculos de Salviati?

Qual a altura máxima calculada por Simplício?c)

(UFMG)12. Um cano de irrigação, enterrado no solo, ejeta água a uma taxa de 15 litros por minuto com uma velocidade de 10m/s. A saída do cano é apontada para cima fazendo um ângulo de 30º com o solo, como mostra

a figura. Despreze a resistência do ar e considere g = 10m/s2, sen 30º = 0,50 e cos de 30º = 0,87

Calcule quantos litros de água estarão no ar na situação em que o jato d’água é contínuo, do cano ao solo.

(AFA) Uma esteira rolante com velocidade v13. e, transporta uma pessoa de A para B em 15s. Essa mesma distân-cia é percorrida em 30s se a esteira estiver parada e a velocidade da pessoa for constante e igual a vp. Se a pessoa caminhar de A para B, com a velocidade vp, sobre a esteira em movimento, cuja velocidade é ve, o tempo gasto no percurso, em segundos, será:

5a)

10b)

15c)

30d)

(UEL) Duas cidades 14. A e B distam entre si 400km. Da cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B e, no mesmo instante, parte de B outro móvel Q dirigindo-se a A. Os móveis P e Q executam movimentos uniformes e suas velocidades escalares são, em módulo, 30km/h e 50km/h, respectivamente. A distância da cidade A ao ponto de encontro dos móveis P e Q, em km, vale:

120a)

150b)

200c)

240d)

250e)

(UFF) Temos dois trens movendo-se com velocidades 15. constantes vA e vB paralelamente um ao outro sendo vA > vB. Um deles mede 100m e o outro 140m. Quando os dois se movem no mesmo sentido, são necessários 40s para que um ultrapasse o outro. Quando os dois se movem em sentidos contrários são necessários 10s para que um passe pelo outro. As velocidades de A e B, em m/s, serão, respectivamente:

2 e 5a)

10 e 18b)

15 e 9c)

16 e 8d)

20 e 4e)


13EM

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06

(UFSC)16. Um trem viaja a uma velocidade constante de 50km/h. Ao mesmo tempo, cai uma chuva, com ausência de vento. O trajeto das gotas de água nos vidros laterais do trem são segmentos de reta que formam ângulos de 60o com a vertical. Determinar a velocidade das gotas, em relação ao solo.

(FEI-SP)17. A roda da figura rola, sem escorregar, para-lelamente a um plano vertical fixo. O centro O da roda tem velocidade constante v = 5m/s. Qual é o módulo da velocidade do ponto B no instante em que o diâmetro AB é paralelo ao plano de rolamento?

(AFA)18. Em um dia de chuva os pingos d’água caem com velocidade vertical constante e de intensidade 5,0m.s-1. Um carro se movimenta em uma estrada horizontal com velocidade constante e de intensidade 18km/h.

Qual o ângulo entre a vertical do lugar e a trajetória a) dos pingos d’água em relação ao carro?

Qual a intensidade da velocidade dos pingos d’água b) em relação ao carro?

(Cefet-PR)19. Uma criança deixa cair, do 15.o andar de um edifício, um vaso de cristal. No mesmo instante, uma pessoa na calçada a 15m do edifício, vendo a situação, começa a correr para pegar o vaso. Se cada andar tem altura de 3,0m, determine a velocidade mínima que a pessoa terá que correr, para o vaso não cair no chão, em m/s. Dados: despreze a resistência do ar e considere g = 10m/s2).

(FGV-SP)20. De duas cidadezinhas, ligadas por uma estrada reta de 10km de comprimento, partem simultaneamente, uma em direção à outra, duas carroças, puxadas cada uma por um cavalo e andando à velocidade de 5km/h. No instante da partida, uma mosca, que estava pousada na testa do primeiro cavalo, parte voando em linha reta, com velocidade de 15km/h e vai pousar na testa do segundo cavalo. Após um intervalo de tempo desprezível, parte novamente e volta, com a mesma velocidade de antes, em direção ao primeiro cavalo, até pousar em sua testa. E assim prossegue nesse vaivém, até que os dois cavalos se encontram e a mosca morre esmagada entre as duas testas. Quantos quilômetros percorreu a mosca?

(ITA) Um barco com motor em regime constante, desce 21. um trecho de um rio em 2 horas e sobe o mesmo trecho em 4 horas. Quanto tempo levará o barco para percorrer o mesmo trecho, rio abaixo, com o motor desligado?

(Fuvest) O deslocamento de uma partícula no plano é 22. definido pelas equações horárias: X = 3t + 1 e Y = 4t+ 2, onde X e Y são dados em metros e t em segundos.

Qual o módulo da velocidade?a)

Qual a trajetória?b)

Suponha que você e um par de boias salva-vidas este-23. jam descendo um rio. Ambos salva-vidas estão a uma distância de 3 metros de você. Você está entre os dois salva-vidas e pode nadar com velocidade de 0,50m/s, em relação a água. Sendo a velocidade da correnteza em relação a margem de 2,50m/s, o tempo para alcançar a boia que desce o rio na sua frente é T1 e para alcançar a boia que desce o rio atrás de você é T2. Determinar a diferença entre T2 e T1.

(UFRJ)24. Considere que em uma corrida de automóvel o líder da prova e um retardatário mantêm em cada volta, uma velocidade escalar média constante de 300km/h e de 280km/h, respectivamente.

Calcule a velocidade relativa do líder em relação ao a) retardatário.

Calcule quantas voltas o líder terá que completar, b) após ultrapassar o retardatário, até alcançá-lo no-vamente.


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06

E1.

B2.

E3.

B4.

A5.

C6.

E7.

8m.8.

9.

0,8ma)

t = 0,4sb)

2 00010. 3m

A11.

B12.

B13.

B14.

A15.

A16.

∆17. t = 36s

v = 18. 90km/h

v19. A = 0 e vB = 2 v0.

A1.

B2.

E3.

4.

0,6sa)

120km/hb)

A5.

C6.


15EM

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06

h = 1m7.

8.

va) x = 1,5m/s

vb) y0 = 0

gc) B = 2m/s2

número de degraus = 8 0,18 9. ≅ 4,4; logo o quinto degrau é atingido pela bola.

10.

0,4sa)

1,6mb)

11.

500 a) 3m

125mb)

500mc)

0,2512. l

B13.

B14.

C15.

v = 16. 28,9km/h

v = 517. 2 m/s

18.

αa) = 45º

vb) R = 5 2 m/s

5m/s19.

15km20.

8h21.

22.

5m/sa)

y = b) 4x

3 +

2

3As boias e o nadador estão inicialmente com a mesma 23. velocidade (da correnteza), logo, em repouso um em re-lação aos outros. O tempo é o mesmo: t1= t2⇒ ∆t = 0

24.

20km/ha)

15 voltasb)


16 EM

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Education

Deslocamento+e+lançamento1