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Módulo Didático de apoio à atividade docente para o CRV

Disciplina Matemática − Ensino Fundamental

Título: Construções geométricas

16. Construções geométricas

16.1. Construir perpendiculares, paralelas e mediatriz de um segmento usando régua e compasso. 16.2. Construir um triângulo a partir de seus lados, com régua e compasso.

Introdução

O conteúdo deste módulo nos permitirá fazer uma revisão de alguns tópicos de

geometria plana.

Para resolver os problemas que surgiram aqui, podemos utilizar resultados de

geometria plana e seguir a seguinte:

Regra

Os problemas aqui só poderão ser resolvidos com o uso do compasso e da

régua. Isto é, traçando-se circunferências com o compasso e “retas” ou

segmentos, com o uso da régua, mas não utilizando a sua escala.

Apresentaremos alguns resultados e definições que serão utilizados ao longo

deste módulo.

Resultado. Para que segmentos de medidas cba ,, sejam lados de um triângulo

deve-se ter bacba +<<− || .

Definição. O ponto médio de um segmento é o ponto interior a ele e que o

divide em dois outros segmentos de mesma medida.

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Definição. Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e não se

cortam.

Definição. Duas retas são perpendiculares se têm um ponto em comum e

formam um ângulo de 90o.

Definição. A mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio do

segmento e lhe é perpendicular.

Definição. A altura de um triângulo ABC, relativa ao lado BC, é o segmento

contido na perpendicular traçada a reta BC pelo ponto A, cujos extremos são: o

vértice A e a interseção da reta BC com a reta perpendicular a BC.

O segmento AH é a altura do triângulo ABC, relativa ao lado BC.

• Na primeira figura o ponto H, pé da perpendicular, é interior a BC.

• Na segunda figura o ponto H, pé da perpendicular, é igual a B.

• Na terceira figura o ponto H, pé da perpendicular, é exterior a BC.

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Definição. Em um plano considere um ponto um ponto fixo C e um número real

positivo r. Chama-se circunferência de centro C e raio r o conjunto de todos os

pontos do plano cujas distâncias a C seja r.

• Se um ponto P pertence à circunferência de centro C e raio r, então a

distância de C a P é igual a r.

• Se a distância de um ponto Q ao ponto C é igual a r, então Q pertence à

circunferência de centro C e raio r.

Ferramenta compasso.

A ponta com a agulha é denominada a ponta seca do compasso.

O centro e o raio de uma circunferência desenhada com um compasso

correspondem, respectivamente, a ponta seca e a abertura do compasso.

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Observação. Toda vez que você

Ferramenta régua.

Observação: A partir de agora, o termo “construir uma figura” significará que a

figura deverá ser construída utilizando-se somente o compasso para fazer

circunferências e a régua para fazer “retas” ou segmentos, sem utilizar sua

escala da régua.

Exercício 1.

Desenhe um segmento AB. Construa duas circunferências: uma com o centro

em A e outra com o centro em B de forma que as duas

a) não tenham ponto em comum;

b) tenham somente um ponto comum;

c) tenham exatamente dois pontos em comum.

Para resolver os problemas a seguir teremos que encontrar um ou mais pontos

que estarão sobre (pelo menos) duas figuras. Assim para obtê-los deveremos

intersectar as duas figuras.

Exemplo 1. Abaixo está desenhado um segmento AB e uma semi-reta de

origem e O.

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Construir sobre a semi-reta um segmento OP de comprimento igual a AB.

Solução. Duas figuras que contêm o ponto P são a semi-reta, de origem O, e a

circunferência de centro O e raio AB.

A semi-reta foi dada, então, agora vamos construir a circunferência de centro O

e raio AB e, em seguida, intersectá-las.

Procedimento:

• Coloque a ponta seca do compasso no ponto A e a outra ponta em B.

Assim a abertura do compasso será igual ao comprimento de AB. Com

esta abertura estamos prontos para construir circunferências de raios

iguais a AB.

• Mantendo a abertura do compasso igual a AB, coloque a ponta seca em O

e gire-o para obter a circunferência de centro em O e raio igual a AB.

A interseção da semi-reta de origem O com a circunferência de centro O e raio

igual a AB é o ponto P tal que OP = AB.

Exemplo 2. Abaixo estão representados os pontos A e B.

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Encontrar um ponto que equidista de A e B.

Observação. Um ponto equidista de A e B, se a distância dele até A é igual a

distância dele até B.

Solução. Basta construir duas circunferências de raios iguais e que se

intersectam: uma com o centro em A e outra com o centro em B.

Assim a interseção das duas fornecerá pontos que serão equidistantes de A e B.

Procedimento:

• Coloque a ponta seca do compasso no ponto A e a outra ponta em B.

Assim a abertura do compasso será igual ao comprimento de AB.

• Trace a circunferência de centro em A e raio AB.

• Agora, trace a circunferência de centro em B e raio igual a AB.

Qualquer um dos pontos da interseção das duas circunferências será

equidistante de A e B, pois AP e BP são raios das circunferências que têm o

mesmo raio AB.

Observação. O procedimento acima vale se as circunferências de centros em

A e em B tiverem raios iguais e maiores que a metade do segmento AB.

Portanto, basta garantir que a abertura do compasso seja maior que a metade

do segmento AB.

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Exemplo 3. Desenhe um segmento. Agora construa um triângulo equilátero de

lados iguais ao segmento que você desenhou.

Solução. Suponha que o segmento desenhado seja o que está representado

abaixo:

Já temos dois vértices do triângulo, devemos obter o terceiro, que

representaremos por C.

Lembrando que para o ponto C ser vértice de um triângulo equilátero, a distância

dele aos pontos A e B devem ser iguais a AB.

Portanto, basta repetir o procedimento utilizado no exemplo 2, com a abertura do

compasso igual a AB.

No triângulo ABC tem-se AB = BC = CA.

Exemplo 4. Abaixo estão representados segmentos que são lados de um

triângulo.

Construir o triângulo.

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Solução. Para construir um triângulo basta obter os seus vértices.

Vamos construir o triângulo sobre um dos segmentos este já será um de seus

lados.

Por exemplo, vamos fixar o segmento a. Dessa forma, os dois extremos do

segmento a serão vértices do triângulo a ser construído.

Vamos representar os extremos do segmento a por B e C.

O terceiro vértice do triângulo está a uma distância b de um dos vértices e a

uma distância c do outro.

Vamos considerar que o terceiro vértice está a uma distância b do vértice C e a

uma distância c do vértice B.

Representemos o terceiro vértice por A. Como não sabemos onde ele está,

vamos obter duas figuras que o contém e, em seguida, intersectá-las.

O conjunto de todos os pontos que têm distância b de C é uma circunferência de

centro em C e raio b. Esta circunferência contém A.

O conjunto de todos os pontos que têm distância c de B é uma circunferência de

centro em B e raio c. Esta circunferência também contém A.

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O terceiro vértice é o ponto A interseção das duas circunferências. Assim o

triângulo ABC é a solução.

Observação. Se tivéssemos ligado o ponto abaixo de BC aos vértices B e C,

também teríamos um triângulo de lados a, b e c. Ele seria congruente ao

primeiro. Neste caso dizemos que eles representam a mesma solução.

Exercícios

2. Abaixo está desenhado um segmento AB.

Construir um segmento de comprimento igual a ao dobro de AB.

3. Abaixo estão os pontos A e B.

Encontrar quatro pontos que equidistam de A e B.

4. Desenhe um segmento. Agora tomando este segmento como base construa

um triângulo isósceles.

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5. Desenhe três segmentos de forma que não seja possível construir um

triângulo que os tenha como lado.

Utilize a régua e o compasso para mostrar que não é possível construir um

triângulo que tenha esses segmentos como lados.

Atividade 1. Construir a mediatriz do segmento AB com dobraduras 1. Desenhe um segmento em uma folha branca, destacando seus extremos A e

B (figura 1).

2. Em seguida, dobrar a folha de forma que o ponto A coincida com o ponto B (figura 2), formando um vinco (pontilhado na figura 3) e marcar o ponto M.

3. Concluir que o vinco é a mediatriz do segmento AB, observando que como A e B se sobrepõem ao dobrar a folha, os segmentos MA e MB também se sobrepõem, e logo: a) MA = MB, donde M é o ponto médio de AB; b) os quatro ângulos formados pelo vinco e o segmento AB são retos (isto é,

cada um mede 90o).

Atividade 2. Mostrar que todo ponto na mediatriz de um segmento AB equidista dos extremos A e B

Aproveite a mediatriz construída na atividade 1 e marque um ponto X sobre a mediatriz de AB e observe que ao dobrar a folha que os segmentos XA e XB se sobrepõem, donde XA = XB. Repita este procedimento marcando outros pontos na mediatriz e observe que este resultado continua válido. Daí, podemos concluir que todo ponto da mediatriz de AB equidista de A e B.

Essa mesma conclusão pode ser obtida utilizando o procedimento a seguir:

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Após marcar um ponto X sobre a mediatriz de AB, trace a circunferência de centro em X e raio XA, utilizando um compasso (figura 4). Observe que essa circunferência passa também por B, isto é, XA = XB, como visto acima. Repetir agora o procedimento marcando outros pontos sobre a mediatriz.

Atividade 3. Mostrar que todo ponto que equidista de A e B pertence a mediatriz de AB

Marcar, agora, um ponto Y fora da mediatriz e traçar a circunferência de centro em Y e raio YA. Observe que essa circunferência não passa por B, indicando que YBYA ≠ . Repita este procedimento marcando outros pontos fora da mediatriz e observe que este resultado continua válido. Daí, podemos concluir que todo ponto que não pertence a mediatriz de AB não equidista de A e B. Conclusão 1: Das atividades 2 e 3, concluí-se que todo ponto pertencente à mediatriz de AB equidista de A e B e, reciprocamente, que todo ponto que equidista de A e B pertence à mediatriz de AB.

As atividades 4 e 5 a seguir têm o objetivo de justificar os resultados obtidos nas atividades 1, 2 e 3, utilizando congruência de triângulos, sem o uso do compasso, régua ou papel.

Atividade 4. Mostrar que todo ponto na mediatriz de um segmento AB equidista dos extremos A e B

Marque um ponto qualquer X sobre a mediatriz de AB.

O ponto X marcado sobre a mediatriz de AB ou coincide com o ponto médio M ou

não.

1. Se o ponto coincide com M, então X = M, então AM = MB.

2. Se o ponto X não coincide com M, trace XA e XB. Os triângulos AMX e

MAB são congruentes, pelo caso LAL.

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Dessa congruência concluímos que XA = XB. Isto é, todo ponto da

mediatriz de AB equidista dos extremos A e B.

Atividade 5. Mostrar que todo ponto que equidista de A e B pertence a mediatriz de AB Marque um ponto qualquer Y tal que YA = YB. Marque também o ponto médio M

de AB.

O ponto Y marcado ou coincide com M ou não.

1. Se Y = M, então AY = YB.

2. Se Y não coincide com M, trace YA, YB e MY.

Os triângulos AMY e MYB são congruentes, pelo caso LLL.

Dessa congruência concluímos que os ângulos AMY e são BMY são iguais.

Como a soma deles é 180o, concluímos que cada um deles mede 90o. O que

significa que a reta MY é perpendicular ao segmento AB e passa pelo seu ponto

médio, isto é, MY é a mediatriz de AB.

Conclusão 2: As atividades 4 e 5 nos levam a concluir que todo ponto pertencente à mediatriz de AB equidista de A e B e, reciprocamente, que todo ponto que equidista de A e B pertence à mediatriz de AB.

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Observação. Da conclusão 1 ou da 2 temos que o conjunto de todos os pontos que equidistam dos extremos de um segmento está na mediatriz desse segmento. Conclusão 3: Sabendo que o conjunto de todos os pontos que equidistam dos extremos de um segmento é a mediatriz do segmento e a mediatriz de um segmento é uma reta, basta encontrar dois pontos eqüidistantes dos extremos do segmento para construí-la. Exemplo 5. Desenhe um segmento. Construa a mediatriz desse segmento.

Solução. Desenhei o segmento AB abaixo.

Para construir a mediatriz deste segmento basta encontrar dois pontos que

equidistam de A e B. Para isso, vamos repetir o procedimento do exemplo 2.

Isto é, traçar duas circunferências de raios iguais: uma de centro em A e outra de

centro em B. A interseção delas nos fornecerá dois pontos equidistantes dos

extremos A e B do segmento desenhado.

A reta que passa por esses dos pontos de interseção é a mediatriz de AB, pela

conclusão 3.

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Utilizaremos a construção da mediatriz de um segmento para traçar

perpendiculares a uma reta dada.

Exemplo 5. Abaixo está representada uma reta r e um ponto P pertencente a ela.

Traçar pelo ponto P a reta perpendicular à r.

Solução. Vamos construir um segmento AB, sobre a reta, de tal forma que P seja

o ponto médio dele. Em seguida, construiremos a mediatriz de AB, que

obrigatoriamente passará pelo por P.

Para isso, abra o compasso com uma abertura qualquer. Com o centro em P

trace a circunferência. Represente por A e B as interseções desta circunferência

com a reta r.

Da maneira como foi construído o segmento AB, o ponto P é o seu ponto médio.

Agora trace a mediatriz de AB (ver exemplo 5).

A mediatriz de AB será a reta perpendicular à reta r pelo ponto P.

Exemplo 6. Abaixo está representada uma reta r e um ponto P, não pertencente

a ela.

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Traçar pelo ponto P a reta perpendicular à r.

Solução. Vamos construir um segmento AB, sobre a reta, de tal forma que P seja

equidistante de A e B, consequentemente o ponto P pertencerá a mediatriz de

AB. Coloque a ponta seca do compasso em P e abra-o de forma que a outra

ponta passe para o lado oposto ao de P, em relação à reta r.

Trace a circunferência de centro em P e raio igual a abertura anterior. Esta

circunferência cortará r em dois pontos. Vamos representá-los por A e B.

Agora, encontre outro ponto Q que equidiste de A e B.

A reta que passa pelos pontos P e Q é a mediatriz de AB. Portanto ela será

perpendicular à reta r.

Exemplo 7. Abaixo estão representados dois segmentos.

Construir um triângulo retângulo com um cateto e a hipotenusa iguais aos

segmentos dados.

Solução. Um procedimento que auxilia muito obter os passos para a resolução

desse problema é o de fazer um desenho, mesmo que a mão livre e sem

exatidão. Isso nos permitirá ter uma idéia de como relacionar os dados para obter

uma solução.

Vamos utilizar esta estratégia. Considere a figura abaixo:

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Os extremos B e C do cateto n são dois dos vértices do triângulo retângulo.

Temos, então, que encontrar o terceiro vértice, A.

O vértice A está na perpendicular ao cateto n e está a uma distância m do vértice

B, isto é, A pertence a uma circunferência de centro em B e raio m.

Portanto, o vértice A pertence a perpendicular ao cateto n com a circunferência

de centro B e raio m.

Exemplo 8. Abaixo está representada uma reta r e um ponto P, não pertencente

a ela.

Traçar pelo ponto P uma reta paralela à r.

Solução. Trace por P a reta t, perpendicular à r (ver exemplo 6). Depois trace por

P a reta s, perpendicular à t (ver exemplo 5).

As retas s e r são paralelas.

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Exercícios

6. Por que as retas s e r, no exemplo 6 são paralelas?

(Sugestão: A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o).

7. Abaixo estão representados: a reta d; o ponto F, não pertencente à d; o ponto

X, pertencente à d; e a reta t perpendicular à d pelo ponto X.

Encontre um ponto P pertencente à t que equidiste de F e X.

8. Abaixo estão representados uma circunferência C e um segmento AB.

Determine todos os pontos da circunferência C que equidistam de A e B.

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9. Desenhe um segmento. Agora construa um quadrado de lados iguais ao

segmento que você construiu.

10. Desenhe dois segmentos. Construa um triângulo retângulo de catetos iguais

a esses segmentos.

11. Desenhe um triângulo e represente seus vértices por A, B e C. Trace as

mediatrizes dos lados AB e BC e represente por G a interseção dessas

mediatrizes.

12. Utilize a figura exercício 11 para executar as seguintes atividades:

a) Com a ponta seca do compasso em O e abertura AO, construa uma

circunferência. O que você observou?

b) Construa a mediatriz CA. O ponto G pertence a esta mediatriz?

13. Como justificar os resultados encontrados nas atividades 11 a e 11 b,

utilizando congruência de triângulos.

14. Abaixo está desenhado um triângulo ABC.

a) Construa as três alturas do triângulo ABC.

b) Após as construções o que pode concluir?

15. Abaixo está desenhado um triângulo ABC.

a) Construa as três alturas do triângulo ABC.

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b) Após as construções o que pode concluir?

Bibliografia

1. [G] Giongo, Affonso Rocha, Construções Geométricas, Editora Nobel. 2. [W] Wagner,Eduardo: Construções Geométricas, Sociedade Brasileira de

Matemática (SBM) 3. Software livre de geometria dinâmica Z.u.L. (ou equivalentemente C.a.R.),

http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothman/java/zirkel/