UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE

CENTRO DE ENSINO À DISTÂNCIA

LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA

Cálculo Integral em Rn

4º Ano

Trabalho do Campo II Sessões/

Julho de 2014

Filipe Mathusso Lunavo

Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 1

APRESENTAÇÃO DAS QUESTÕES

1. Represente a curva C por uma função com valores vectoriais.

a) C é a curva definida pela função 2483 22 =+ yx .

Solução: 2483 22 =+ yx => 138

248/13/1

2222

=+=>=+ yxyx é uma elipse.

22=a e 3=b y

3

-3 8− 8 3 �

3−

b) C é a curva definida pela função 0711864916 22 =−−++ yxyx .

Solução: 0711864916 22 =−−++ yxyx => ( ) ( ) 07129416 22 =−−++ yyxx

� ( ) ( ) 071112944416 22 =−−+−+−++ yyxx

� ( )[ ] ( )[ ] 0711194216 22 =−−−+−− yx

� ( ) ( ) 07191964216 22 =−−−+−+ yx

� ( ) ( ) ( ) ( )1

48

13

36

2414419216

2222 =−++=>=−+− yx

yx

� ( ) ( )

1

3

481

4

362 22

=−++ yx

)0;17,0(

)49,2;0(

B

A

)0;17,4(

)49,0;0(

−−

D

C

2

-2

y

x

A

D B

C

Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 2

−1 1 2

−1

1

2

3

4

x

y

2. Calcule ∫ ++y

dzydydx , onde � é a inserção do plano � � � com a superfície � � �� �

���� 2, sendo o sentido do percurso do ponto ��1,�1,2� para o ponto �1,1,2�.

∫ ∫ ∫− − −−

=−++−−=++=++=1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

21

1

2)22(2

1)1(1

2z

yxdzydydx

3. Construir as linhas ou curvas de nível da função 2

),(x

yyxf =

Se 22

11 xyx

yc =⇒=⇒= é uma parábola.

Se 22

222 xyx

yc =⇒=⇒= é uma parábola.

Se 22

333 xyx

yc =⇒=⇒= é uma parábola.

Se 22

444 xyx

yc =⇒=⇒= é uma parábola.

x

z

y

y=x

C=4

C=3

C=2 C=1

Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 3

4. Determine o gradiente da função yxz 2= , no ponto P(1;1).

Solução: jy

fi

x

ff

∂∂+

∂∂=∇

xyx

yx

x

f2

)( 2

=∂

∂=∂∂

; 2

2 )(x

y

yx

y

f =∂

∂=∂∂

2112)1;1( =××=

∂∂

x

f; 11

)1;1( 2 ==∂

∂y

f, logo: jif +=∇ 2)1;1(

5. Averiguar os extremos da função yxxyxz 12153 23 −−+= .

=

=−

+⇒

=−=−+

⇒

=−=−+

⇒

=∂∂

=∂∂

xy

xx

xy

yx

xy

yx

y

zx

z

2

052

02

05

0126

01533

0

02

22222

( )⇒

=+−

⇒ =+−

⇒

=+

_______________

045

___________

045

_________

54 22224

22

xxxxx

x

±=±=

∨

±=±=

⇒ =−

⇒ =−

⇒ =−−

2

1

2

2

_______

01

_______

04

_______________

0)1)(4( 2222

y

x

y

xxxxx

Os pontos críticos são: );1;2(1 −−p );1;2(2p );2;1(3 −−p );2;1(4p

12)2(6)1;2(6 −=−=−−⇒= xxxx fxf

;1226)1;2( =×=xxf ;6)1(6)2;1( −=−=−−xxf ;616)2;1( =×=xxf

6)1(6)1;2(6 −=−=−−⇒= yyyy fyf ; ;616)1;2( =×=yyf

12)2(6)2;1( −=−=−−yyf 1226)2;1( =×=yyf

;6yf xy = 1226)2;1( =×=xyf

;12)2(6)2;1( −=−=−−xyf 616)1;2( =×=xyf

6)1(6)1;2( −=−=−−xyf

Para );1;2(1 −−p ( ) 363672)6()6(12 22 =−=−−−×−=−×⇒ xyyyxx fff ; logo: 36 > 0 e

012<−=xxf portanto )1;2( −−f é máximo local.

Para );1;2(2p ( ) 366612 22 =−×=−×⇒ xyyyxx fff como 36 > 0 e ;012>=xxf

Logo: )1;2(f é mínimo local.

Para );2;1(3 −−p ( ) 363672)6()12(6 22 =−=−−−−=−× xyyyxx fff ; como 36 > 0 e

06 <−=xxf logo )2;1( −−f é um máximo local.

Para );2;1(4p ( ) 366126 22 =−×=−×⇒ xyyyxx fff como 36 > 0 e 06 >=xxf ;

Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 4

Logo: )2;1(f é um mínimo local.

6. Analise os máximos e mínimos de 22 32);( yxyxyxf +−= com a restrição 12 22 =+ yx .

( )yx

x

yxyx

x

f22

32 22

−=∂

+−∂=∂∂

( )yx

y

yxyx

x

f62

32 22

+−=∂

+−∂=∂∂

0

0

==

y

x

0004 =∧=⇒= xyy

P(0;0) => 2=xxf e 6=yyf ; 2−=xyf

=++−=−

⇒

=+=+−

=−⇒

=+=+−

=−⇒

=

==

_______________

0)23(

)1(

12

23

12

462

222

2222

λλ

λλ

λλ

λλ

yx

yx

yx

yyx

xyx

yx

yyx

xyx

kg

gf

gf

yy

xx

=+

+=⇒

=+

=+−=−

12

__________

22

12

232222 yx

yxy

yx

yyx

dxyx λλλ

Em ordem a 1ª equação: λ

λλ

λλλλλ221

2)1(222−

=⇒−

=⇒=−⇒=−⇒x

yx

yxyxyy

Em ordem a 3ª equação: 1444

2122

2122

222222 =

+−+⇒=

−+⇒=+

λλ

λλ

x

xx

xxyx

( ) 22222

222 24441

444

2xx

xx λλλ

λλλ ++−⇒=

+−+⇒ 2444 λλ +−=

=> 2222222 4444442 λλλλλ +−=+−+ xxxx

=> ( ) 22222222 444446444446 λλλλλλλλ +−=−+⇒+−=−+ xxxx

=>3

2

3

2

6

4

446

444 22

22

2

22 =⇒=⇒=⇒

+−+−= xxxxλλ

λλ

⇒

=+−=−

062

022

yx

yx

Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 5

7. Calcule as integrais iteradas

a. ∫ ∫= =

2

01 01

2xydydx

( )∫ ∫=

−==

2

0

2

0

2

0 2

0

22

2

x

x

dxx

dxy

∫ ====

=

2

02

252

0

54

5

16

10

32

10

2

102

xdx

x

b. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ ∫ ∫ ∫ +−+=+=+1

0

2

0

1

0

1

0

20 202222 dxxxdxxydydxx ( )∫ +=

1

0

42 dxx

[ ] 51414 21

02 =×+=+ xx

8. Achar a área entre as curvas 3xy = e xy 4= .

Solução: Primeiro vamos extrair o ponto de intersecção:

==

xy

xy

4

3

04

43

3

=−=

xx

xx ( ) 042 =−xx

−===

2

2

0

x

x

x

( )∫ =−=−=2

0

2

0

423 ..4

42

44 au

xxdxxxA

( ) ( )dxxxdxxx

xxMx ∫∫ −=

+−=2

0

622

0

33 16

2

1

2

44 => 19,12

73

16

2

12

0

73

=

−= xx

Mx

( ) ( ) 26,453

444

2

0

2

0

5342

2

0

3 =

−=⇒−=⋅−= ∫∫

xxMydxxxdxxxxMy

06,14

26,4 ==x

04,34

19,12 ==y

CG�1,06; 3,04)