Ladrilhos Pitagóricos

Autoria: Lilian Maria Medeiros dos Santos

Ladrilhando com Pitágoras

Da Lenda ao Teorema de Pitágoras

É célebre o teorema que leva o seu nome e que os estudantes de todo o mundo fazem questão em saber, mesmo os mais

preguiçosos. Gerações após gerações continuarão recitando:

A caminho de Siracusa,

Dizia Pitágoras aos netos: O quadrado da hipotenusa

é igual à soma dos quadrados dos catetos.


O que é Ladrilho?

O Ladrilhamento ou Mosaico consiste em revestir um determinado plano com estruturas geométricas, ladrilhos, de maneira que não sobrem espaços vazios e nenhuma estrutura sobreponha as outras.


Ladrilhos Pitagóricos Para ilustrar até que ponto desenhos geométricos simples podem representar de forma não-intencional teoremas matemáticos, vamos estudar teorema mais conhecido, o de Pitágoras.

Conta uma anedota* que Pitágoras teria deduzido seu teorema andando sobre um piso ou observando ladrilhos sendo colocados, ladrilhos parecidos com os que vamos confeccionar a partir desses pontos. Liguem os pontos da imagem ao lado no seu material impresso formando quadrados. Notem que, passando retas pelos vértices, estão formando neste primeiro momento um ladrilhamento com apenas um tipo de polígono regular (o quadrado). Em seguida liguem as diagonais desses quadrados e encontrarão um ladrilhamento com apenas um tipo de polígono irregular (o triângulo retângulo isósceles).

*A anedota é apenas ilustrativa. O teorema de Pitágoras já era conhecido na Babilônia e Egito Antigo, muito antes do grego Pitágoras pisar sobre um ladrilho.


Ladrilhos Pitagóricos

Após ligar todos os pontos teremos ladrilhos compostos de triângulos retos, que podem formar outros triângulos retos.

Observem os triângulos destacado em cor laranja e em cor verde nomeado de triângulo1 (T1) e triângulo2 (T2) respectivamente. A área dos pequenos quadrados, em azul e em rosa, que podem ser formados a partir dos catetos destes triângulos retângulos T1 e T2 ( com 8 e 4 triângulos respectivamente) é igual à área do quadrado maior que pode ser formado pela hipotenusa. Estamos diante da prova do teorema pitagórico, mas ainda assim, ninguém diria que o responsável pelo ladrilho deve realmente conhecer o teorema de Pitágoras.

PRATICANDO 1: Em seu material impresso e já ladrilhado por você, refaça esses passos.



Demonstrações do Teorema de Pitágoras

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Num triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa(a) é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (b) e (c).


Se o ladrilho que vimos pode ser uma demonstração geométrica involuntária do teorema de Pitágoras, por sua vez não é o único e nem o mais interessante. Confira este outro: Enxergar o teorema de Pitágoras nesta disposição de ladrilho ao lado é mais difícil, mas não impossível.


Após encontrarem o Teorema, desenhem individualmente em seu bloco de notas.

PRATICANDO 2: Em grupos de 5, peguem o segundo material impresso que é igual a um quadrado disposto no ladrilho ao lado, recortem nas linhas, e em seguida tentem encontrar o Teorema de Pitágoras com essas peças recortadas. (Tentem encontrar em 5 min)



O quadrado azul é o quadrado da hipotenusa do triângulo retângulo vermelho. Os quadrados verde e o roxo são os quadrados dos catetos, e pode-se ver que os reorganizando pode-se formar o quadrado azul. “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”.

Ladrilhos Pitagóricos Se você encontrou em 5 minutos PARABÉNS! Mas se o tempo não foi suficiente para encontrar, então vamos pensar juntos!



PRATICANDO 3: Escolham dentre estes ladrilhos dois para encontrem o Teorema de Pitágoras e os ilustrem em sue bloco de notas.


Demonstrações do Teorema de Pitágoras


Em um triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.


O Tangram é um quebra-cabeça chinês formado por 7 peças (5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo). Com ele também provamos o teorema de Pitágoras.

Gabarito do PRATICANDO 3























Referências:

http://www.ceticismoaberto.com/fortianismo/2214/crculos-ingleses-sinais-euclidianos

http://www.prof2000.pt/users/hjco/pitagora/pg000005.htm

https://prezi.com/5dyuzfojh_k3/a-historia-do-teorema-de-pitagoras/

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Ladrilhos Pitagóricos