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Matrizes
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Professor Cristiano Marcell
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
Colégio Pedro II – Unidade Realengo II - 2012 Lista de exercícios de MATRIZES
Coordenador: Clayton Turno:Tarde Data:_____/_____
Aluno (a):________________________________________turma: 2202 n0:____
MATRIZES
Definição
Matriz de dimensão m x n é um conjunto de elementos
dispostos em m linhas e n colunas, escritos entre parênteses
(ou entre colchetes).
Exemplo: A =
095
372 matriz 2 x 3
Matriz Genérica
M = com m, n N:
m x n
ou ainda...
M = (aij) mxn com i {1, 2, ..., m} e j {1, 2, ..., n}
(lê-se: ordem m por n)
Exemplo: Seja A uma matriz definida por
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )2𝑥2 = 𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗1 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
1, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
a soma dos seus elementos
é igual a:
a) –1 b) 1 c) 6 d) 7
Matriz Quadrada (m = n)
Exemplo:
M =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa Matriz quadrada de 3ª ordem
Diagonal principal: aij em que i = j, isto é, {a11 , a22 ,
a33}
Diagonal secundária: aij em que i + j = n + 1, isto é,
{a13 , a22 , a31}
Transposta de uma matriz A
Matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas
colunas e vice-versa.
Exemplo
𝐴= 0 2
−3 59 8
⟹ 𝐴𝑡 = 0 −3 92 5 8
Temos que a matriz At é a matriz transposta da A .
Matriz Identidade (In)
𝐼𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛=
1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
Exemplos
I2 =
10
01 I3 =
100
010
001
Seja A uma matriz quadrada:
Se A = At, então dizemos que a matriz A é simétrica.
Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
Exemplo: Verifique se a matriz 𝐴 = 3 44 7
é simétrica.
Grau
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
Solução
Solução
Professor Cristiano Marcell
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
Operações
Igualdade: A = B ⟺ aij = bij
I) Adição: A + B = (aij + bij)mxn
II) Multiplicação por escalar: Seja A uma matriz m por n e
k um número real, temos que k. A = (k . aij)mxn.
III) Multiplicações de Matrizes
Dadas as matrizes Amxn e Bnxq, define-se como produto a
matriz Amxn.Bnxq = Cmxq, tal que o elemento cij é a soma dos
produtos da i – ésima linha de A pelos elementos
correspondentes da j – ésima coluna de B.
A . B só é possível quando o número de colunas de A é
igual ao número de linhas de B.
Em geral, A . B B. A, ou seja, o produto de matrizes não é comutativo.
Exemplo: Se M =
10
21 e N =
11
02 , então M.N – N.M
é:
a)
20
22 c)
11
24
b)
00
00 d)
10
01
Exemplo: Uma fábrica de doces produz bombons de nozes,
coco e morango, que são vendidos acondicionados em caixas
grandes ou pequenas. A tabela 1 abaixo fornece a quantidade
de bombons de cada tipo que compõe as caixas grandes e
pequenas, e a tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada
tipo produzidas em cada mês do 1° trimestre de um
determinado ano.
Se associarmos as matrizes
A =
73
84
52 e B =
180150120
130220150
às tabelas 1 e 2 respectivamente, o produto A.B fornecerá:
a) a produção média de bombons por caixa fabricada.
b) a produção total de bombons por caixa fabricada.
c) número de caixas fabricadas no trimestre.
d) em cada coluna a produção trimestral de um tipo de
bombom.
e) a produção mensal de cada tipo de bombom.
Exercícios
1) Seja A a matriz A = (aij)2x3, cuja lei de formação é dada
abaixo. É correto afirmar que:
2) (UFRJ) Seja a matriz A representada a seguir:
a) Determine A3 = A . A . A
𝐴 = 1 10 1
b) Se An denota o produto de A por A n vezes, determine o valor o valor do número natural K, tal que
𝐴𝑘2− 𝐴5𝑘 + 𝐴6 = 𝐼2
Onde In é a matriz identidade de ordem n.
Solução
Solução
Solução
Professor Cristiano Marcell
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
3) Uma matriz real A é ortogonal se AA = I, onde I indica a
matriz identidade e A indica a transposta de A. Se 𝐴 =
1/2 𝑥𝑦 𝑧
é ortogonal. Qual o valor de x2 + y2?
4) Considere a igualdade matricial a seguir
2 11 1
. 1 −1−1 𝑥
= 𝐼2
onde In é a matriz identidade de ordem n.
Determine o valor de x.
5) (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um
consumiu e como a despesa foi dividida:
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou
para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e
Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i,
coluna j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio
bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da
matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
6) Se as matrizes A= (aij) e B= (bij) estão assim definidas:
𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
𝑏𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 = 40, 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 ≠ 4
onde i≤1 e j≤3, então a matriz A + B é:
7) (UFF) Toda matriz de ordem 2 x 2, que é igual a sua
transposta, possui:
a) pelo menos dois elementos iguais.
b) os elementos da diagonal principal iguais a zero.
c) determinante nulo.
d) linhas proporcionais.
e) todos os elementos iguais a zero.
8) Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática,
português, ciências e estudos sociais em uma tabela com
quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como
mostra a figura.
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada
matéria basta fazer a média aritmética de suas médias
bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos
representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem
da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:
9) (UFF) Em uma plantação, as árvores são classificadas de
acordo com seus tamanhos em três classes: pequena (P),
média (M) e grande (G).
Considere, inicialmente, que havia na plantação p0 árvores da classe P, m0 da classe M e g0 da classe G.
Foram cortadas árvores para venda.
A fim de manter a quantidade total de árvores que havia na
floresta, foram plantadas k mudas (pertencentes à classe P).
Algum tempo após o replantio, as quantidades de árvores das
classes P, M e G passaram a ser, respectivamente, p•, m• e
g•, determinadas segundo a equação matricial:
Observando-se que p• + m• + g• = p0 + m0 + g0, pode-se
afirmar que k é igual a:
a) 5% de g0 b) 10% de g0 c) 15% de g0
d) 20% de g0 e) 25% de g0
10) Seja aij uma matriz quadrada de ordem n, onde aij = i + j.
Nessas condições, a soma dos elementos da diagonal
principal desta matriz é
a) n2 b) 2n + 2n2 c) 2n + n2
d) n2 + n e) n + 2n2
11) (UFF) Um dispositivo eletrônico, usado em segurança,
modifica a senha escolhida por um usuário, de acordo com o procedimento descrito abaixo.
A senha escolhida S1S2S3S4 deve conter quatro dígitos,
representados por S1 ,S2 ,S3 e S4. Esses dígitos são, então,
transformados nos dígitos M1 ,M2 , M3 e M4, da seguinte
forma:
Professor Cristiano Marcell
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
𝑀1
𝑀2 = 𝑃.
𝑆1
𝑆2 𝑒
𝑀3
𝑀4 = 𝑃.
𝑆3
𝑆4 onde P é a matriz
0 11 0
Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto é, M1•
= 0, M2 = 1, M3 = 1 e M4 = 0, pode-se afirmar que a senha
escolhida pelo usuário foi:
a) 0011 b) 0101 c) 1001
d) 1010 e) 1100
12) (UERJ)A temperatura corporal de um paciente foi
medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco
dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à
temperatura observada no instante i do dia j.
Determine:
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior
temperatura;
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de
observação.
13) Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de
fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-
roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e
requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o
mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de
fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo
mês.
A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo
requinte nesse mês foi de
a) 170. b) 192. c) 120.
d) 218. E) 188.
14) Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedade de
uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio
de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma
dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares
de reais, ao final de um determinado dia de feira.
𝐵 = 𝑥 1,8 3,0𝑎 𝑦 2,0𝑑 𝑐 𝑧
Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2;
b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.
15) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é
por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos:
1) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma
matriz chave C;
2) O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que
MC = P, onde M é a matriz mensagem a ser decodificada;
3) Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1 = a, 2 = b, 3 = c,..., 23 = z;
4) Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras
k, w e y;
5) O número zero corresponde ao ponto de exclamação;
6) A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a
correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas
da matriz conforme segue: m11m12m13m21m22m23m31m32m33
Considere as matrizes:
Com base nos conhecimentos e nas informações descritas,
assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi
enviada por meio da matriz M.
a) Boasorte!
b) Boaprova!
c) Boatarde!
d) Ajudeme!
e) Socorro!
Professor Cristiano Marcell
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
GABARITO
1 (d)
2 𝑎) 1 3
0 1
b) k = 2 ou k = 3
3 3/2
4 2
5 a) Cláudio
b) 2 chopes
6 (d)
7 (a)
8 (e)
9 (a)
10 (d)
11 ©
12 a) Na segunda medição
do 40 dia.
b) 37,3°C.
13 (d)
14 a) 1.200 reais.
b) 3.400 reais
15 (a)