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FUNÇÕES As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu
livro-texto (Stewart, vol1); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode ser
encontrada lá. O intuito desta seção é apresentar as formas e gráficos de algumas funções
importantes.
Definição: Dizemos que y é uma função de x se para cada valor atribuído a x existe em único
valor correspondente para y. Neste caso, denotamos )x(fy = . O conjunto de valores que
podem ser atribuídos a x é chamado domínio da função e é denotado por Dom f ou por Df. O
conjunto formado pelos valores que y assume em correspondência a algum valor x é chamado
de imagem da função e é denotado por Im f ou If.
FUNÇÃO AFIM: y = ax+b
linear ecoeficient : bangular ecoeficient : a
a < 0
a = 0
a > 0
b < 0 b = 0 b > 0
FUNÇÃO QUADRÁTICA cbxaxy 2 ++=
∈≠
Rc,b,a0a
a > 0
a < 0
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
Observações: ac4b2 −=∆
∆ = Discriminante de f
∆ > 0 : 2 raízes reais diferentes
∆ = 0 : 2 raízes reais iguais
∆ < 0 : raízes complexas não reais
FUNÇÃO MODULAR
A função modular IRIR:f → é definida por f (x) = |x|, se:
<−≥
==0x se,x0 xse,x
x)x(f
f(x) = |x| f(x) = |x – 2|
Exemplos:
1) Resolver |3x – 2| = 2:
•
=⇒−=
=⇒=⇒=
31-
x2 1-3x
ou 1x2 1-3x 2 |1-3x | Resposta: S = {1, -1/3}
2) Resolver: |2x – 1| = |x + 3|
•
=⇒+=
=⇒+=⇒+=
32-
x3) (x - 1 -2x
ou 4x3 x 1-2x |3 x | |1-2x | Resposta: S = {4, -2/3}
FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA
ou
n par
Dom f=[0;+∞)
Im f=[0;+∞)
n ímpar
Dom f= R
Im f=R
n1
x)x(y = n x)x(y =
GRÁFICOS DE nxy =
FUNÇÃO f GRÁFICO SIMETRIA DOMÍNIO D,
IMAGEM I
f x x( ) =
não há
D = [0,∞)
I = [0,∞)
f x x( ) = 2
eixo y (função par)
D = IR
I = [0,∞)
f x x( ) = 3
origem (função ímpar)
D = IR
I = IR
f x x( ) /= 2 3
eixo y (função par)
D = IR
I = [0,∞)
f x x( ) /= 1 3
origem (função ímpar)
D = IR
I = IR
f x x( ) =
eixo y (função par)
D = IR
I = [0,∞)
f xx
( ) =1
origem (função ímpar)
D = IR – {0}
I = IR – {0}
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição: Dado um número real a, tal que a >0 e a ≠ 1, chamamos função exponencial de
base “a” a função f de IR → IR que associa a cada x real o número ax.
Podemos escrever, também: f: IR → IR
x → ax
Exemplos de funções exponenciais em IR:
a) f(x) = 2x
b) f(x) = x
21
c) f(x) = ex
d) x
x
e1
e)x(f
== −
e) f(x) = 10x
O gráfico de f(x) = ax tem o seguinte aspecto:
1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1
função crescente função decrescente
Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R+*.
Dizemos, ainda, que a função f(x) = ax, corta o eixo y no ponto (0, 1).
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Para cada número real positivo 1b ≠ , definimos a função logarítmica, na base b, como sendo
a função IR),0(:f →∞ , que a cada número real positivo x associa o número real Xlog)x(f b= .
A função logaritmo de x na base b pode ser representada graficamente de duas maneiras
diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaixo:
b > 1 0 < b < 1
Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se
0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua
imagem é o conjunto de todos os números reais.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As três principais funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente, cujos
gráficos estão abaixo.
Função Seno
Função Cosseno
Função Tangente
Tipos importantes de funções:
Função par: Se )x(f)x(f −= , para todo Domfx∈ então dizemos que a função f(x) é uma
função par. (note que o gráfico é uma curva simétrica pelo eixo y).
Exemplos: f(X) = x2 é uma função par, já que )x(fx)x()x(f 22 ==−=− .
g(x) = cos(x) é uma função par, já que )x(f)xcos()xcos()x(f ==−=− .
Função ímpar: Se )x(f)x(f −−= , para todo Domfx∈ então dizemos que a função f(x) é uma
função ímpar. (note que o gráfico é uma curva simétrica pela origem).
Exemplos: f(X) = x3 é uma função par, já que )x(fx)x()x(f 33 −=−=−=− .
g(x) = sen(x) é uma função ímpar, já que )x(f)x(sen)x(sen)x(f −=−=−=− .
Função injetora: Se para quaisquer x1 e x2 no domínio de f(x), )x(f)x(fxx 2121 ≠⇒≠ , então
dizemos que f é uma função injetora.
Exemplos: f(x) = x3 é uma função injetora, já que se )x(fxx)x(fxx 232
31121 =≠=⇒≠ .
f(x) = x2 não é injetora, já que se 2x1 = e 2x2 −= temos 21 xx ≠ , mas
)x(f)2(f)2(42)2(f)x(f 222
1 =−=−==== .
Função sobrejetora: é aquela em que sua imagem coincide com seu contra-domínio. Função bijetora: é aquela que é ao mesmo tempo bijetora e sobrejetora.
Função composta: Sejam BA:g → e CgIm:f → . A função CA:gf →o dada por
( ))x(gf)x(gf =o é a função composta de f com g.
Exemplos:
Se 3x)x(f 2 += e )x(sen)x(g = então ( ) ( ) ( ) 3)x(sen)x(senf)x(gf)x(gf 2 +===o .
Se xe)x(h = e )x(tg)x(u = então ( ) ( ) )x(tge)x(tgh)x(uh)x(uh ===o .
Observação: Em geral, )x(fg)x(gf oo ≠ . No exemplo anterior, se 3x)x(f 2 += e
)x(sen)x(g = então ( ) ( ) ( )3xsen3xg)x(fg)x(fg 22 +=+==o e
( ) ( ) )x(fg3xsen3)x(sen)x(gf 22 oo =+≠+= .
Função inversa: Se )x(fy = é uma função bijetora então a função g(y) tal que
)x(fyx)y(g =⇔= é a função inversa de f(x). Muitas vezes denotamos a função inversa de f
por f-1.
Exemplos:
Se 3x)x(f = então 33 yxxy =⇔= e a função inversa de f(x) é 31 y)y(f)y(g == −
ou transformando para x, 31 x)x(f =− .
Observação: As funções f(x) e g(y) são inversas se e somente se y))y(g(f = e x))x(f(g = . Ou
seja, uma forma alternativa para verificar se duas funções são inversas é verificar se as
compostas dão as funções identidades.
Exemplos: Se 1x)x(f += e 1x)x(f 1 −=− então ( ) ( ) x1)1x(1xf)x(ff 1 =+−=−=− e
( ) ( ) x1)1x(1xf)x(ff 11 =−+=+= −− . Assim, como ( ) ( ) x)x(ff)x(ff 11 == −− então f(x) e f-1(x) são
inversas.
Resultado útil: Se c é um número real positivo então:
• O gráfico de f(x) + c é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para cima.
• O gráfico de f(x) - c é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para baixo.
• O gráfico de f(x + c) é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para a esquerda.
• O gráfico de f(x - c) é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para a direita.
Ou seja,
Bibliografia:
1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São
Paulo, 2002.
2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar – vol.1. Atual editora. São Paulo, 2000.
3) Guidorizzi HL. Um curso de Cálculo – vol 1. FTD editora. 5ª edição. Rio de Janeiro, 2001.
4) Stewart J. Cálculo – vol 1.Pioneira editora. São Paulo, 2001.
EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES
1) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R:
a) y = x + 2
b) y = - x + 1
c) y = 2x
d) d)234 x
y−
=
e) y = -2x +3
2) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R:
a) y = 2x2
b) y= - x2 +3x
c) y = 4x – x2
d) y = 2x2 - 10x + 7
3) Determine os valores de x que satisfazem a cada uma das expressões abaixo:
a) 123x5 =−
b) 5x73x2 −=−
c) 43283
=−+
xx
d) 21
3 <−x
e) 372 ≥−− x
4) Construa os gráficos das seguintes funções:
a) y = | x | +2
b) y = | x +2|
c) y = x2 - 4
d) y = |x2 – 4|
5) Construa os gráficos das seguintes funções:
a) xy =
b) 3xy +=
c) 3xy +=
d) 4 xy =
6) Complete com verdadeiro ou falso, com x e y pertencentes aos reais.
a) ( ) ( ) 222 yxyx +=+
b) ( ) ( ) 222 y.xy.x =
c) ( ) yxyx 22 +=+
d) ( ) ( ) yxyx 2 +=+
e) ( ) ( ) 0y.x ,ylogxlogyxlog 333 >+=+
f) ( ) 0y.x , xyyx
xy
yx
≠++
=+
g) ( ) xx2 =
7) Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 2x
b) g(x) = x
21
c) h(x) = 2x + 2
d) f(x) = x
21
- 3
e) g(x) = 3.2x
f) h(x) = x2
8) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.
a) xlog)x(f41=
b) xlog)x(f 2=
c) )1xln()x(f +=
d) )2xln()x(f −=
e) )x(log)x(f21 −=
f) xlog)x(f31−=
9) Construa o gráfico (um período completo) das seguintes funções, explicitando o domínio, a
imagem e o período:
a) y = 3 sen x b) y = 2 - sen x
c) y = sen
π
−2
x d) y = 2 sen 4x
10) Calcule )x(gf o , )x(fg o , )x(ff o e )x(gg o para as seguintes funções:
a) 10x)x(f += e )x(sen)x(g =
b) x3x)x(f 2 += e 7x2)x(g −=
11) Simplifique a expressão h
)x(f)hx(f −+onde
a) x3x)x(f 2 −=
b) x1
)x(f =
c) 2)2x()x(f +=
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES
1)
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0y = X+2
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0y = -x+1
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0y = 2x
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0y = (4-3x)/2
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0y = -2x+3
2)
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0y = 2*x^2
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0y = -x^2+3x
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0y = 4x-x^2
−6.0−5.0 −4.0−3.0−2.0−1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
−7.0
−6.0
−5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0y = 2x^2-10x+7
3)
a) S=
− 3,
59
b) S=
98
,52
c) S=
4,114
d)
<<∈=
27
x25
|RxS
e) { }5xou2x|RxS −≤−≥∈=
4)
a) y = | x | +2
b) y = | x +2|
c) y = x2 - 4
d) y = |x2 – 4|
5)
a) xy =
b) 3xy +=
c) 3xy +=
d) 4 xy =
6)
a) F exemplo: 222 35)35( +≠+
b) V
c) F exemplo: 4343 22 +≠+
d) F exemplo: ( ) 1212 2 +−≠+−
e) F O correto é
( ) 0y.x ,ylogxlogyxlog 333 >+=⋅
f) F exemplo: 2112
21
12
++
≠+
g) V
7)
a) f(x) = 2x
b) x
21
)x(g
=
c) h(x) = 2x + 2
d) f(x) = x
21
- 3
e) g(x) = 3.2xObservação:
3.2x ≠ 6x
f) h(x) = x2
8)
a) }0x/Rx{fDom >∈=
b) }0x/Rx{fDom >∈=
c) }1x/Rx{fDom −>∈=
d) }2x/Rx{fDom >∈=
e) }0x/Rx{fDom <∈=
f) }0x/Rx{fDom >∈=
9)
a)
b)
c)
d)
10) a) 10)x(sen)x(gf +=o
)10x(sen)x(fg +=o
1010x)x(ff ++=o
))x(sen(sen)x(gg =o
b) )7x2(3)7x2()x(gf 2 −+−=o
7)x3x(2)x(fg 2 −+=o
)x3x(3)x3x()x(ff 222 +++=o
7)7x2(2)x(gg −−=o
11) a) 2x-3+h
b) )hx(x
1+
−
c) 2x+4+h
