Mat funcoes 002

FUNÇÕES As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu

livro-texto (Stewart, vol1); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode ser

encontrada lá. O intuito desta seção é apresentar as formas e gráficos de algumas funções

importantes.

Definição: Dizemos que y é uma função de x se para cada valor atribuído a x existe em único

valor correspondente para y. Neste caso, denotamos )x(fy = . O conjunto de valores que

podem ser atribuídos a x é chamado domínio da função e é denotado por Dom f ou por Df. O

conjunto formado pelos valores que y assume em correspondência a algum valor x é chamado

de imagem da função e é denotado por Im f ou If.

FUNÇÃO AFIM: y = ax+b

linear ecoeficient : bangular ecoeficient : a

a < 0

a = 0

a > 0

b < 0 b = 0 b > 0

FUNÇÃO QUADRÁTICA cbxaxy 2 ++=

∈≠

Rc,b,a0a

a > 0

a < 0

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

Observações: ac4b2 −=∆

∆ = Discriminante de f

∆ > 0 : 2 raízes reais diferentes

∆ = 0 : 2 raízes reais iguais

∆ < 0 : raízes complexas não reais

FUNÇÃO MODULAR

A função modular IRIR:f → é definida por f (x) = |x|, se:

<−≥

==0x se,x0 xse,x

x)x(f

f(x) = |x| f(x) = |x – 2|

Exemplos:

1) Resolver |3x – 2| = 2:

•

=⇒−=

=⇒=⇒=

31-

x2 1-3x

ou 1x2 1-3x 2 |1-3x | Resposta: S = {1, -1/3}

2) Resolver: |2x – 1| = |x + 3|

•

=⇒+=

=⇒+=⇒+=

32-

x3) (x - 1 -2x

ou 4x3 x 1-2x |3 x | |1-2x | Resposta: S = {4, -2/3}

FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA

ou

n par

Dom f=[0;+∞)

Im f=[0;+∞)

n ímpar

Dom f= R

Im f=R

n1

x)x(y = n x)x(y =

GRÁFICOS DE nxy =

FUNÇÃO f GRÁFICO SIMETRIA DOMÍNIO D,

IMAGEM I

f x x( ) =

não há

D = [0,∞)

I = [0,∞)

f x x( ) = 2

eixo y (função par)

D = IR

I = [0,∞)

f x x( ) = 3

origem (função ímpar)

D = IR

I = IR

f x x( ) /= 2 3


D = IR

I = [0,∞)

f x x( ) /= 1 3


D = IR

I = IR

f x x( ) =


D = IR

I = [0,∞)

f xx

( ) =1


D = IR – {0}

I = IR – {0}

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Definição: Dado um número real a, tal que a >0 e a ≠ 1, chamamos função exponencial de

base “a” a função f de IR → IR que associa a cada x real o número ax.

Podemos escrever, também: f: IR → IR

x → ax

Exemplos de funções exponenciais em IR:

a) f(x) = 2x

b) f(x) = x

21

c) f(x) = ex

d) x

x

e1

e)x(f

== −

e) f(x) = 10x

O gráfico de f(x) = ax tem o seguinte aspecto:

1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1

função crescente função decrescente

Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R+*.

Dizemos, ainda, que a função f(x) = ax, corta o eixo y no ponto (0, 1).

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Para cada número real positivo 1b ≠ , definimos a função logarítmica, na base b, como sendo

a função IR),0(:f →∞ , que a cada número real positivo x associa o número real Xlog)x(f b= .

A função logaritmo de x na base b pode ser representada graficamente de duas maneiras

diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaixo:

b > 1 0 < b < 1

Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se

0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua

imagem é o conjunto de todos os números reais.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

As três principais funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente, cujos

gráficos estão abaixo.

Função Seno

Função Cosseno

Função Tangente

Tipos importantes de funções:

Função par: Se )x(f)x(f −= , para todo Domfx∈ então dizemos que a função f(x) é uma

função par. (note que o gráfico é uma curva simétrica pelo eixo y).

Exemplos: f(X) = x2 é uma função par, já que )x(fx)x()x(f 22 ==−=− .

g(x) = cos(x) é uma função par, já que )x(f)xcos()xcos()x(f ==−=− .

Função ímpar: Se )x(f)x(f −−= , para todo Domfx∈ então dizemos que a função f(x) é uma

função ímpar. (note que o gráfico é uma curva simétrica pela origem).

Exemplos: f(X) = x3 é uma função par, já que )x(fx)x()x(f 33 −=−=−=− .

g(x) = sen(x) é uma função ímpar, já que )x(f)x(sen)x(sen)x(f −=−=−=− .

Função injetora: Se para quaisquer x1 e x2 no domínio de f(x), )x(f)x(fxx 2121 ≠⇒≠ , então

dizemos que f é uma função injetora.

Exemplos: f(x) = x3 é uma função injetora, já que se )x(fxx)x(fxx 232

31121 =≠=⇒≠ .

f(x) = x2 não é injetora, já que se 2x1 = e 2x2 −= temos 21 xx ≠ , mas

)x(f)2(f)2(42)2(f)x(f 222

1 =−=−==== .

Função sobrejetora: é aquela em que sua imagem coincide com seu contra-domínio. Função bijetora: é aquela que é ao mesmo tempo bijetora e sobrejetora.

Função composta: Sejam BA:g → e CgIm:f → . A função CA:gf →o dada por

( ))x(gf)x(gf =o é a função composta de f com g.

Exemplos:

Se 3x)x(f 2 += e )x(sen)x(g = então ( ) ( ) ( ) 3)x(sen)x(senf)x(gf)x(gf 2 +===o .

Se xe)x(h = e )x(tg)x(u = então ( ) ( ) )x(tge)x(tgh)x(uh)x(uh ===o .

Observação: Em geral, )x(fg)x(gf oo ≠ . No exemplo anterior, se 3x)x(f 2 += e

)x(sen)x(g = então ( ) ( ) ( )3xsen3xg)x(fg)x(fg 22 +=+==o e

( ) ( ) )x(fg3xsen3)x(sen)x(gf 22 oo =+≠+= .

Função inversa: Se )x(fy = é uma função bijetora então a função g(y) tal que

)x(fyx)y(g =⇔= é a função inversa de f(x). Muitas vezes denotamos a função inversa de f

por f-1.

Exemplos:

Se 3x)x(f = então 33 yxxy =⇔= e a função inversa de f(x) é 31 y)y(f)y(g == −

ou transformando para x, 31 x)x(f =− .

Observação: As funções f(x) e g(y) são inversas se e somente se y))y(g(f = e x))x(f(g = . Ou

seja, uma forma alternativa para verificar se duas funções são inversas é verificar se as

compostas dão as funções identidades.

Exemplos: Se 1x)x(f += e 1x)x(f 1 −=− então ( ) ( ) x1)1x(1xf)x(ff 1 =+−=−=− e

( ) ( ) x1)1x(1xf)x(ff 11 =−+=+= −− . Assim, como ( ) ( ) x)x(ff)x(ff 11 == −− então f(x) e f-1(x) são

inversas.

Resultado útil: Se c é um número real positivo então:

• O gráfico de f(x) + c é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para cima.

• O gráfico de f(x) - c é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para baixo.

• O gráfico de f(x + c) é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para a esquerda.

• O gráfico de f(x - c) é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para a direita.

Ou seja,

Bibliografia:

1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São

Paulo, 2002.

2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar – vol.1. Atual editora. São Paulo, 2000.

3) Guidorizzi HL. Um curso de Cálculo – vol 1. FTD editora. 5ª edição. Rio de Janeiro, 2001.

4) Stewart J. Cálculo – vol 1.Pioneira editora. São Paulo, 2001.

EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES

1) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R:

a) y = x + 2

b) y = - x + 1

c) y = 2x

d) d)234 x

y−

=

e) y = -2x +3

2) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R:

a) y = 2x2

b) y= - x2 +3x

c) y = 4x – x2

d) y = 2x2 - 10x + 7

3) Determine os valores de x que satisfazem a cada uma das expressões abaixo:

a) 123x5 =−

b) 5x73x2 −=−

c) 43283

=−+

xx

d) 21

3 <−x

e) 372 ≥−− x

4) Construa os gráficos das seguintes funções:

a) y = | x | +2

b) y = | x +2|

c) y = x2 - 4

d) y = |x2 – 4|

5) Construa os gráficos das seguintes funções:

a) xy =

b) 3xy +=

c) 3xy +=

d) 4 xy =

6) Complete com verdadeiro ou falso, com x e y pertencentes aos reais.

a) ( ) ( ) 222 yxyx +=+

b) ( ) ( ) 222 y.xy.x =

c) ( ) yxyx 22 +=+

d) ( ) ( ) yxyx 2 +=+

e) ( ) ( ) 0y.x ,ylogxlogyxlog 333 >+=+

f) ( ) 0y.x , xyyx

xy

yx

≠++

=+

g) ( ) xx2 =

7) Esboce o gráfico das seguintes funções:

a) f(x) = 2x

b) g(x) = x

21

c) h(x) = 2x + 2

d) f(x) = x

21

- 3

e) g(x) = 3.2x

f) h(x) = x2

8) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.

a) xlog)x(f41=

b) xlog)x(f 2=

c) )1xln()x(f +=

d) )2xln()x(f −=

e) )x(log)x(f21 −=

f) xlog)x(f31−=

9) Construa o gráfico (um período completo) das seguintes funções, explicitando o domínio, a

imagem e o período:

a) y = 3 sen x b) y = 2 - sen x

c) y = sen

π

−2

x d) y = 2 sen 4x

10) Calcule )x(gf o , )x(fg o , )x(ff o e )x(gg o para as seguintes funções:

a) 10x)x(f += e )x(sen)x(g =

b) x3x)x(f 2 += e 7x2)x(g −=

11) Simplifique a expressão h

)x(f)hx(f −+onde

a) x3x)x(f 2 −=

b) x1

)x(f =

c) 2)2x()x(f +=

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES

1)

−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0y = X+2

−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0y = -x+1

−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0y = 2x

−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0y = (4-3x)/2

−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0y = -2x+3

2)

−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0y = 2*x^2

−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0y = -x^2+3x

−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0y = 4x-x^2

−6.0−5.0 −4.0−3.0−2.0−1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

−7.0

−6.0

−5.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0y = 2x^2-10x+7

3)

a) S=

− 3,

59

b) S=

98

,52

c) S=

4,114

d)

<<∈=

27

x25

|RxS

e) { }5xou2x|RxS −≤−≥∈=

4)

a) y = | x | +2

b) y = | x +2|

c) y = x2 - 4

d) y = |x2 – 4|

5)

a) xy =

b) 3xy +=

c) 3xy +=

d) 4 xy =

6)

a) F exemplo: 222 35)35( +≠+

b) V

c) F exemplo: 4343 22 +≠+

d) F exemplo: ( ) 1212 2 +−≠+−

e) F O correto é

( ) 0y.x ,ylogxlogyxlog 333 >+=⋅

f) F exemplo: 2112

21

12

++

≠+

g) V

7)

a) f(x) = 2x

b) x

21

)x(g

=

c) h(x) = 2x + 2

d) f(x) = x

21

- 3

e) g(x) = 3.2xObservação:

3.2x ≠ 6x

f) h(x) = x2

8)

a) }0x/Rx{fDom >∈=

b) }0x/Rx{fDom >∈=

c) }1x/Rx{fDom −>∈=

d) }2x/Rx{fDom >∈=

e) }0x/Rx{fDom <∈=

f) }0x/Rx{fDom >∈=

9)

a)

b)

c)

d)

10) a) 10)x(sen)x(gf +=o

)10x(sen)x(fg +=o

1010x)x(ff ++=o

))x(sen(sen)x(gg =o

b) )7x2(3)7x2()x(gf 2 −+−=o

7)x3x(2)x(fg 2 −+=o

)x3x(3)x3x()x(ff 222 +++=o

7)7x2(2)x(gg −−=o

11) a) 2x-3+h

b) )hx(x

1+

−

c) 2x+4+h

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