Mat geometria plana 002

COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 1

ANOTAÇÕES

1. Polígonos Consideremos, num plano, n pon-tos ( n 3≥ ), A1, A2, A3, ... An, ordena-das de modo que três desses pontos consecutivos não seja colineares. Chama-se polígono a reunião dos segmentos

1 2 2 3 3 4 nA A , A A , A A , ... , A A.

1.1. Nomenclatura:

De acordo com o número de lados temos: Triângulo = 3 lados Quadrilátero = 4 lados Pentágono = 5 lados Hexágono = 6 lados Octógono = 8 lados Eneágono = 9 lados Decágono = 10 lados Undecágono = 11 lados Pentadecágono = 15 lados Icoságono = 20 lados

1.2. Número de Diagonais

Diagonal é um segmento cujas ex-tremidades são vértices não consecu-tivos do polígono. O número de dia-gonais é dado por:

n(n 3)d2−

= ,

onde n é o número de lados do polí-gono.

1.3. Soma dos ângulos Internos

A soma dos ângulos internos de

um polígono de n lados é dada por: ( )iS 180º n 2= −

1.4. Soma dos ângulos Externos

A soma dos ângulos externos de um polígono de n lados é igual a 360º, independente da quantidade de lados.

1.5. Relação entre ai e ae.

i ea a 180º+ =

1.6. Polígonos Regulares

Chamamos um polígono de regu-lar quando possi todos os lados e ân-gulos iguais. Assim, temos que a me-dida do ângulo interno de um polígo-no regular de n lados é dada por

( )i

180º n 2a

n−

= e a do ângulo exter-

no desse mesmo polígono é dada por

e360ºa

n= .

1. Calcule o número de diagonais de um

heptágono. 2. Cada ângulo interno de um decágono

regular mede: a) 35º c) 72º e) 144º

EXERCÍCIOS 1

Matemática

Geometria Plana

MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA

PÁGINA 2 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA

ANOTAÇÕES b) 60º d) 120º 3. O polígono convexo cuja soma dos ân-

gulos internos mede 1440º tem exa-tamente: a) 15 diagonais b) 20 diagonais c) 25 diagonais d) 30 diagonais e) 35 diagonais

4. Se um polígono convexo de n lados

tem 54 diagonais então n é: a) 8 c) 10 e) 12 b) 9 d) 11 5. O polígono regular convexo em que o

n° de lados é igual ao n° de diagonais é o: a) dodecágono. b) pentágono. c) decágono. d) hexágono. e) heptágono.

6. (Universidade São Francisco) O polí-

gono regular cujo ângulo interno me-de o triplo do ângulo externo é o a) pentágono b) hexágono c) octógono d) decágono e) dodecágono

7. (Faap) A medida mais próxima de ca-

da ângulo externo do heptágono regu-lar da moeda de R$ 0,25 é:

a) 60° c) 36° e) 51° b) 45° d) 83° 8. O número de polígonos em que o ân-

gulo interno, medido em graus, é re-presentado um número inteiro é:

a) 12 c) 14 e) 22 b) 20 d) 24 9. (UFGO) O número de diagonais de um

polígono regular de n lados é dado

pela função ( )2n 3nd n

2−

= , definida

para todo número natural n 4≥ . De acordo com essa afirmação, julgue os itens abaixo. I. Não existe polígono regular com

99 diagonais. II. O conjunto imagem da função

d(n) é o conjunto de todos os números naturais.

III. O conjunto dos números naturais

n ≥ 4, tais que d(n + 1) > 2 d(n), possui infinitos elementos.

IV. O conjunto de valores ( )d n , para n = 4, 5, 6, ..., nesta ordem, forma uma progressão aritméti-ca.

V. Temos que d(n) = n ⇔ n = 5. 10. (Ita – SP) Considere as afirmações so-

bre polígonos convexos: I. Existe apenas um polígono cujo

número de diagonais coincide com o número de lados.

II. Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados.

III. Se a razão entre o número de di-agonais e o de lados de um polí-gono é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar.

a) Todas as afirmações são verda-deiras.

b) Apenas I e III são verdadeiras. c) Apenas I é verdadeira. d) Apenas III é verdadeira. e) Apenas II e III são verdadeiras.

11. (Unesp) A distância entre dois lados

paralelos de um hexágono regular é igual a 2 3 c m . A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é:

a) 3 c) 2,5 e) 4 b) 2. d) 3 12. O apótema de um triângulo equilátero

mede 3 cm. Determine o lado do tri-ângulo.

13. (UFES) Um polígono regular possui a

partir de cada um de seus vértices tantas diagonais quantas são as dia-gonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede em graus:

a) 140 c) 155 e) 170 b) 150 d) 160

1. Determine o perímetro dos seguintes

polígonos. (Dê a resposta em m). a) Um triângulo eqüilátero de lado

igual a 15 cm.

EXERCÍCIOS 2

GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira


ANOTAÇÕES b)

2. Qual é o polígono convexo em que a

soma dos ângulos internos é 1080°? 3. Determine x:

4. (Mack – SP) Os ângulos externos de

um polígono regular medem 20°. En-tão, o número de diagonais desse po-lígono é:

a) 90 c) 119 e) 152 b) 104 d) 135 5. (Ufes) Na figura a seguir, as retas r e

s são paralelas. A soma α + β + γ + δ das medidas dos ângulos indicados na figura é:

a) 180° c) 360° e) 540° b) 270° d) 480°

6. (Fuvest – SP) Na figura adiante,

ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é:

a) 32° c) 36° e) 40° b) 34° d) 38°

7. (UEG – 2006) Na figura abaixo, para

quaisquer que sejam x e y, as medi-das dos ângulos satisfazem a relação

a) y = 90° - x . b) y = 180° - x . c) y = 2x . d) y = 3x.

8. (UFSC) Considere um hexágono eqüi-

ângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos me-dem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura abaixo. Calcule o pe-rímetro do hexágono.

9. (Ita – SP) Seja n o número de lados de

um polígono convexo. Se a soma de n - 1 ângulos (internos) do polígono é 2004°, determine o número n de la-dos do polígono.

10. (Unesp) O número de diagonais de um

polígono convexo de x lados é dado

por ( ) ( )21N x x 3x2

= − . Se o polígono

possui 9 diagonais, seu número de la-dos é:

a) 10 c) 8 e) 6 b) 9 d) 7 11. (Ita – SP) De dois polígonos convexos,

um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a:

a) 63 c) 66 e) 77 b) 65 d) 70 12. (Cefet – CE) Um polígono regular tem

4 lados a mais que outro polígono e seu ângulo interno excede de 15º do outro. Quais são esses polígonos?



ANOTAÇÕES 13. (Unifesp) A soma de n 1− ângulos de

um polígono convexo de n lados é i-gual a 1900º. O ângulo remanescente mede:

a) 120º c) 95º e) 60º b) 105º d) 80º 14. (Ita – SP) O comprimento da diagonal

de um pentágono regular de lado me-dindo 1 unidade é igual à raiz positiva de:

a) 2x x 2 0+ − =

b) 2x x 2 0− − =

c) 2x 2x 1 0− + =

d) 2x x 1 0+ − =

e) 2x x 1 0− − =

15. (UFscar) Um polígono regular com e-

xatamente 35 diagonais tem a) 6 lados. b) 9 lados. c) 10 lados. d) 12 lados. e) 20 lados.

16. (UFAL) Num polígono convexo de n

lados, a soma das medidas dos ângu-los internos é dada por (n – 2).180°. Use essa informação e considere as afirmativas referentes ao polígono não regular abaixo representado.

Assinale as alternativas verdadeiras. I. A soma das medidas dos ângulos

internos do polígono é necessari-amente 540°.

II. A medida a é necessariamente igual a 108°.

III. A soma de b e b1 dá, necessaria-mente, 180°.

IV. b1 é igual a 72° obrigatoriamen-te.

V. a1 + b1 + c1 + d1 + e1 = 360°, ne-cessariamente.

17. (Unifesp) Pentágonos regulares con-

gruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cin-

co pontas, conforme destacado na fi-gura.

Nestas condições, o ângulo θ mede a) 108°. c) 54°. e) 18°. b) 72°. d) 36°. 18. (Ita – SP) Considere três polígonos re-

gulares tais que os números que ex-pressam a quantidade de lados de ca-da um constituam uma progressão a-ritmética. Sabe-se que o produto des-tes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780°. O nú-mero total das diagonais nestes três polígonos é igual a:

a) 63 c) 90 e) 106 b) 69 d) 97 19. (Puc – PR) Quatro triângulos congru-

entes são recortados de um retângulo de 11x13. O octógono resultante tem oito lados iguais.

O comprimento do lado deste octógo-no é:

a) 3 c) 5 e) 7 b) 4 d) 6 20. (UFLA) As aranhas são notáveis geô-

metras, já que suas teias revelam va-riadas relações geométricas. No de-senho, a aranha construiu sua teia de maneira que essa é formada por he-xágonos regulares igualmente espa-çados. Qual é a menor distância que a aranha deve percorrer ao longo da teia para alcançar o infeliz inseto?



ANOTAÇÕES

a) 8 cm b) 10 cm

c) 8 2 cm

d) 10 3 cm 21. (UEPB) Sabendo que a figura abaixo

nos mostra um mosaico onde todos os pentágonos são regulares e iguais en-tre si, então x + y é igual a:

a) 240º c) 224º e) 220º b) 216º d) 232º

GABARITO

01. a) 0,45m b) 31,4m 02. Octógono 03. x = 110º 04. d 05. e 06. c 07. b 08. 99 cm 09. 14 10. e 11. b 12. octógono e dodecágono 13. d 14. e 15. c 16. V F V F V 17. D 18. d 19. c 20. b 21. b



ANOTAÇÕES

2. Circunferência e cír-culo

É o conjunto dos pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo chamado de centro.

O – Centro da circunferência

OP e OR – Raio

2.1. Corda

Chamamos de corda o segmento de reta cujas extremidades perten-cem à circunferência.

2.2. Diâmetro

A maior corda de uma circunfe-rência é chamada de diâmetro, que é a corda que passa pelo centro da cir-cunferência.

2.3. Círculo

Denominamos círculo o conjunto de todos os pontos do plano limitado por uma circunferência.

2.4. Posição Relativa de Reta e Circunferência

Temos duas importantes posições relativas entre retas e circunferência: a reta secante e a reta tangente.

Secante

É a reta que intercepta a circun-ferência em dois pontos distintos. Ve-ja a figura.

Se uma secante intercepta a cir-cunferência em dois pontos distintos A e B e M é o ponto médio da corda

AB, então a reta OM é perpendicular a secante.

Tangente

É a reta que possui apenas um ú-nico ponto em comum com a circun-ferência.

Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

2.5. Teorema do Bico

Se de um ponto P traçarmos os

segmentos PA e PBambos tangentes a uma circunferência, com A e B na circunferência, então PA = PB.

2.6. Ângulos na circunferência

Ângulo Central

É o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência e os lados são os raios desta circunferência.

»med(AB)α =

O

A

B

αmed(AB)

C

A

B

P

t TB

O

r

A B

O

M

Círculo

A C D

B corda

diâmetro O



ANOTAÇÕES Ângulo inscrito

É o ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os lados são cordas da circunferência.

»med(AB)

2β =

“Todo triângulo inscrito numa se-

micircunferência é retângulo”.

Ângulo de Vértice Interior

O vértice é um ponto interno, dis-tinto do centro.

» ¼med(AB) med(CD)x

2+

=

PA.PB PC.PD=

Ângulo de Vértice Exterior

» ¼med(AB) med(CD)x

2−

=

PA.PB PC.PD=

2.7. Quadrilátero

Circunscritível (Teorema de Pi-tot)

AB CD AD BC+ = +

Inscritível

oˆˆ ˆ Â C B D 180+ = + =

1. Nas figuras abaixo, calcule o valor de

x. a)

b)

2. Calcule o perímetro do triângulo PRS,

sabendo que PA = 12 cm.

a) 12 cm d) 48 cm b) 24 cm e) 60cm c) 36 cm 3. ABCD, na figura, está circunscrito à

circunferência de centro Q. Sabendo-se que AB = 3x, BC = 4x +1, CD = 5x e DA = 2x +3, calcule o perí-metro desse quadrilátero.

4. Em cada uma das figuras abaixo, cal-

cular o valor de x.

D

B

A

C

A

C

B

T

R

S

P

x

13

6

3

x

EXERCÍCIOS 1

B

A

C

D

BA

CD

O

med(AB)

A

C

B

D

x P

O

A

D

C

xP

B

O A

B

β

med(AB)

C



ANOTAÇÕES a)

b)

c)

d)

5. Em cada uma das figuras abaixo, cal-

cular o valor de x. a)

b)

6. Em cada uma das seguintes figuras

abaixo, calcular o valor de x. a)

b)

7. Na figura abaixo, α + β + θ , vale:

a) 4α c) 5α b) 6α d) 7α 8. Três tonéis cilíndricos são arrumados

como mostra a figura abaixo. Dois de-les tem diâmetro iguais a 6 cm e ou-tro, diâmetro igual a 4cm. Então a al-tura h vale:

a) 10cm c) 8cm b) 9cm d) 6cm 9. (Fuvest – SP) A medida do ângulo ADC

inscrito na circunferência de centro O é:

a) 125° c) 120° e) 135° b) 110° d) 100° 10. (Fuvest – SP) Os pontos A, B e C per-

tencem a uma circunferência γ e AC é lado de um polígono regular inscrito em γ. Sabendo-se que o ângulo ÂBC mede 18° podemos concluir que o número de lados do polígono é igual a:

a) 5 c) 7 e) 12 b) 6 d) 10 11. Calcule o valor de x na figura a se-

guir.

B

A

C

A

C

x

35o B

O

DB

h

R R R α β θ

34o

AB

B

D

CB

x

E

124o

27o

A

B

D

CB

x E51o

A

C

D

x

B

E 91o 100o

A

C

D

x

36o

B

E

54o

x

B

A

C

80o

x

B

A

C 20o

28o

A D

x

B C

2x

B

A

C



ANOTAÇÕES

1. Calcule o valor de x na figura a se-

guir.

2. Calcule o valor de x na figura a se-

guir.

3. Na figura, o segmento tangente PA

mede 15 cm e PR mede 12 cm.

a) Determine a medida RS b) Qual é o perímetro do triângulo

PRT. 4. Um ângulo inscrito é formado por

uma corda e um diâmetro. O arco subentendido pela corda é o dobro do arco compreendido entre os lados. Determine o ângulo inscrito.

5. O ângulo x, na figura a seguir, mede:

a) 60° c) 90° e) 120° b) 80° d) 100° 6. (Ufmg) Nessa figura, BD é um diâme-

tro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos ÂBD e

ÂED medem, respectivamente, 20° e 85°. Assim sendo, o ângulo ˆCBD me-de:

a) 25° c) 30° b) 35° d) 40° 7. (Mack – SP) Na figura a seguir, os ar-

cos QMP e MTQ medem, respectiva-mente, 170° e 130°. Então, o arco MSN mede:

a) 60° c) 80° e) 110° b) 70° d) 100° 8. (Fatec – SP) Na figura a seguir, o tri-

ângulo APB está inscrito na circunfe-rência de centro C. Se os ângulos as-sinalados têm as medidas indicadas, então x é igual a:

a) 23°45' c) 60° e) 66°15' b) 30° d) 62°30'

P

B A

C

23o45’

66o15’

N

M

Q

T

P

S

A

B

C

D E

45o

35o

x

A

O S

B

R

P T

P

x

A

O Q

R C

R x 80o

B D A

EXERCÍCIOS 2

x

75o

B O



ANOTAÇÕES 9. Determine x nos casos a seguir, onde

os segmentos são tangentes às circun-ferências:

a)

b)

10. (UFG) A figura a seguir mostra uma

circunferência de raio r = 3 cm, ins-crita num triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 18 cm.

a) Calcule o comprimento da circun-ferência que circunscreve o tri-ângulo ABC.

b) Calcule o perímetro do triângulo ABC.

GABARITO

01. x = 20° 02. x2β

=

03. a) 3cm b) 30cm 04. 30º 05. b 06. a 07. a 08. E 09. a) x = 15 b) x = 2. 10. a) 18 c mπ b) 42 c m

A

C B

O

S

R

5 cm

3 cm

x

O

S

R

T

2x + 10

3x – 5



ANOTAÇÕES

3. Inscrição Circunscri-ção de Polígonos Re-gulares

Lembremos que um polígono é di-to regular quando, e somente quando todos os seus lados e ângulos forem congruentes. Dois resultados serão es-tudados neste capítulo: I. Sempre existirá uma circunferên-

cia em que esse polígono esteja inscrito.

II. Sempre existirá uma circunferên-cia em que esse polígono esteja circunscrito.

3.1. Elementos Notáveis de um Polígono Regular

Centro das Circunferências

É o ponto central das duas circun-ferências, que por sua vez são con-cêntricas.

Raios das Circunferências (R):

Os raios são tidos como grandezas-padrão na análise do polígono inscrito ou circunscrito.

Apótema (a)

É o segmento que liga o centro ao ponto médio de qualquer lado do po-lígono.

3.2. Polígonos Regulares Inscri-tos em uma Circunferência

Triângulo Eqüilátero

Quadrado

Hexágono Regular:

Quadro-Resumo para polígonos ins-critos

Triângulo Quadrado Hexágono

Lado =l 3.R =l 2.R =l R

Apótema =Ra2

=R 2a

2 =

R 3a2

Quadro-Resumo para polígonos cir-cunscritos

Triângulo Quadrado Hexágono

Lado =l 2R. 3 =l 2.R =l R 22

Apótema a = R a =R a =R

1. Seja L o lado e a o apótema de um

triângulo regular inscrito numa cir-cunferência de raio 6 cm . O valor de (L + a) é:

a) ( )+3 1 2 3

b) ( )−2 1 2 3

c) ( )+3 2 3

d) ( )+2 3 5 3

e) +1 2 3 2. Um hexágono regular e um quadrado

estão escritos numa mesma circunfe-rência. Se o lado do hexágono mede 7dm , a medida do perímetro do quadrado, em c m , é:

a) 510 c) 220 2 e) 200 3 b) 280 2 d) 300 3

EXERCÍCIOS 1

C R

a

C R

a

C R

a



ANOTAÇÕES 3. Um quadrado e um triângulo equiláte-

ro estão inscritos em uma mesma cir-cunferência. Se o lado do quadrado mede 8 2 m , o apótema desse triân-gulo, em c m , mede:

a) 4 c) 7 e) 15 b) 6 d) 10 4. A medida do diâmetro de uma circun-

ferência onde está inscrito um triân-gulo equilátero de apótema medindo 5 cm , mede:

a) 12 cm c) 14 cm e) 25 cm b) 28 cm d) 20 cm 5. O apótema de um hexágono regular

mede 3 d a m . Seu perímetro me-de: a) 120 dm b) 1 200 dm c) 150 dm d) 1 500 dm e) 2 000 dm

6. Num círculo estão inscritos um qua-

drado e um triângulo equilátero. Se a diagonal do quadrado mede 6 cm, a altura do triângulo equilátero mede, em cm:

a) 4,0 c) 5,0 e) 7,0 b) 4,5 d) 5,5 7. Se na figura abaixo, o semiperímetro

do maior quadrado mede 2x , o lado do menor quadrado mede:

a) x 2

2

d) x 3

b) x 2 e) x

c) 0,8x 3

8. A altura de um triângulo equilátero

mede 15 cmπ

. Determine, em c m , o

comprimento da circunferência nele inscrita.

a) 2π c) 1,5π e) 5 b) 10 d) π

9. Se aumentarmos de 346 cm o lado de

um triângulo equilátero, ele deixa de ser inscrito para ser circunscrito a uma circunferência. Considerando

3 1,73= , a medida da maior corda desta circunferência é:

a) 220 cm d) 300 cm b) 230 cm e) 400 cm c) 280 cm

10. Inscrito a uma circunferência de

mármore um aluno pretendeu fazer um hexágono regular de um arame que custa R$ 0,60 o metro. No final das contas ele teve que gastar R$ 5,52 a mais pois foi obrigado a fazer um hexágono circunscrito à circunfe-

rência. Considerando 3 1,73= , na construção do menor hexágono, o a-luno gastaria:

a) R$ 34,00 d) R$ 41,00 b) R$ 36,00 e) R$ 45,50 c) R$ 38,50

1. (Ita – SP) Um hexágono regular e um

quadrado estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possui uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A distância entre estas a-restas paralelas será:

a) R( 3 2)2

− d) R( 2 1)

2−

b) R( 2 1)2

+ e) R( 3 1)

2−

c) R( 3 1)2

+

2. O lado de um hexágono regular inscri-

to numa circunferência mede

8 2 c m . Determine o apótema do quadrado inscrito na mesma circunfe-rência.

3. O apótema de um triângulo equilátero

mede 3 cm. Determine o lado do tri-ângulo.

4. (Mack – SP) Sejam r e R, respectiva-

mente, os raios das circunferência inscrita e circunscrita a um polígono regular de n lados. Então, qualquer que seja n, r/R vale: a) sen (2π/n)

b) tg (π/n)

c) cos (π/n)

d) sen (π/n)

e) cos (2π/n)

EXERCÍCIOS 2



ANOTAÇÕES 5. (CEFET – RJ) O perímetro de um he-

xágono regular inscrito em um círculo de 25 π cm2 de área é igual a

a) 150 cm c) 25 cm e) 30 cm b) 75 cm d) 15 cm 6. (Unirio) Um carimbo com o símbolo

de uma empresa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado por um triângulo equilátero que está inscrito numa circunferência e que circuns-creve um hexágono regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve medir 3cm, então a soma das medidas, em cm, do lado do hexágono com a do diâmetro da circunferência deve ser:

a) 7 d) 1 + 3 b) 1 + 2 3 e) 77/32

c) 2 3 7. (UEL) Se um círculo de 5 cm de raio

está inscrito em um hexágono regu-lar, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a

a) 20 3 c) 15 3 e)

9 2

b) 18 3 d) 12 3

8. (UFU) Sabendo-se que um polígono

regular de n lados está inscrito num círculo de raio 1 e que o polígono possui 9 diagonais, encontre a medida do comprimento de seu lado.

9. (PUC – RJ) Qual a razão entre os raios

dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo eqüilátero de lado a?

a) 2 c) 2 e) 23a b) 3 d) 3a 10. (Cefet – MG) O apótema do quadrado

inscrito numa circunferência é igual a 2 cm. O lado do hexágono regular ins-crito nessa mesma circunferência, em cm, é

a) 2 2 c) 2 3

b) 3 2 d) 3 3 11. (Cefet – MG) Uma circunferência, ins-

crita em um quadrado cuja diagonal mede 20 cm, possui comprimento, em cm, igual a

a) 2π c) 10 2π

b) 5 2π d) 20 2π

12. (Ita) Seja nP um polígono regular de n

lados, com n 2> . Denote por na o

apótema e por nb o comprimento de

um lado de nP . O valor de n para o

qual valem as desigualdades n nb a≤

e n 1 n 1b a− −> , pertence ao intervalo a) 3 < n < 7. b) 6 < n < 9. c) 8 < n < 11. d) 10 < n < 13. e) 12 < n < 15.

13. (Uff) A razão entre o lado do quadra-

do inscrito e o lado do quadrado cir-cunscrito em uma circunferência de raio R é:

a) 1/3 c) 3 /3 e) 2 b) 1/2 d) 2 /2 14. Um quadrilátero ABCD está inscrito

numa circunferência. Sabendo que os arcos AB, BC e CD valem, respectiva-mente, 80°, 110° e 90°, determine todos os ângulos do quadrilátero.

15. (UFPB) A figura ao lado representa

um barril totalmente fechado, que foi construído unindo-se 12 tábuas en-curvadas e iguais, encaixadas e presas a outras 2 tábuas circulares e iguais, de raio 10 cm. Com base nessas in-formações, pode-se concluir que a medida, em cm, do segmento de reta

AB é igual a:

a) 10 c) 7 e) 5 b) 8 d) 6

GABARITO 01. A 02. 4 6 c m 03. 6 3 c m 04. C 05. E 06. B 07. A 08. 1 09. A 10. A 11. C 12. B 13. D 14. A = 100°, B = 85°, C = 80° e D = 95° 15. A

EXERCÍCIOS 2



ANOTAÇÕES

4. Áreas das Figuras Pla-nas

4.1. Triângulo

Em função de um lado e da altu-ra relativa a ele.

=a.hA2

Em função de dois lados e um ângulo compreendido entre eles

= = =ˆˆ ˆbc.senA ac.senB ab.senCA

2 2 2

Em função dos lados (Fórmula de Herão)

= − − −A p(p a)(p b)(p c)

Obs.: p é o semi-perímetro do triân-

gulo e + +

=a b cp

2.

Triângulo Retângulo

=b.cA2

Triângulo Eqüilátero

=2a 3A4

Triângulo Circunscrito à uma

Circunferência

=A p.r

Triângulo Inscrito em uma Cir-

cunferência

=abcA4R

4.2. Quadriláteros

Paralelogramo

=A a.b

Retângulo

=A a.b

a

b

h

B C

A D

R

a

b c

A

B C a

b c

a a

a

a b

c

A

B C a

b c

A

B C a

b c

A

B C a

h



ANOTAÇÕES Losango

=d.DA2

Quadrado

= = 2A a.a a

Trapézio

+

=(b B).hA

2

4.3. Círculo

Círculo

= π 2A .r

Coroa Circular

= π −2 2A .(R r )

l Setor Circular

α

= π 2oA . .r

360

ou α

=2.rA

2

com α dado em graus ou radianos res-pectivamente.

1. (Puc – RJ) Quais são as dimensões de

um retângulo cujo perímetro é 25 m e cuja área é 25 m2?

2. (Faap – SP) A largura e o comprimento

de um terreno retangular estão na ra-zão de 4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66m. A área (em m2) deste terreno é:

a) 250 c) 252 e) 268 b) 300 d) 246 3. (Fatec – SP) Um terreno retangular

tem 170 m de perímetro. Se a razão entre as medidas dos lados é 0,7, en-tão a área desse terreno, em metros quadrados, é igual a:

a) 7000 c) 4480 e) 1120 b) 5670 d) 1750 4. (Cefet – RJ) A área do triângulo re-

tângulo no qual a medida da hipote-nusa é 13 cm e a de um dos catetos é 5 cm é igual a:

a) 128 cm2. d) 39 cm2. b) 65 cm2. e) 60 cm2. c) 30 cm2. 5. (PUC – MG) A medida da área da sala

representada na figura, em m2 é:

EXERCÍCIOS 1

r

r

α

r

r R

r

B

h

b

a

a

D

d



ANOTAÇÕES a) 28 c) 42 b) 32 d) 48 6. (UFV – MG) A figura abaixo ilustra um

terreno em forma de trapézio, com as medidas, em quilômetros (km), de três de seus lados.

A área do terreno, em km2, é igual a: a) 215. c) 200. e) 205. b) 210. d) 220. 7. (Unesp) O menor país do mundo em

extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4km2. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus la-dos estaria entre: a) 200 m e 201 m. b) 220 m e 221 m. c) 401 m e 402 m. d) 632 m e 633 m. e) 802 m e 803 m.

8. (Unesp – SP) A figura adiante mostra a

planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe-se que duas pare-des contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB=2,5m, BC=1,2m, EF=4,0m, FG=0,8m, HG=3,5m e AH=6,0m.

Qual a área dessa sala em metros quadra-dos? a) 37,2 c) 40,2. e) 42,2. b) 38,2. d) 41,2. 9. (UFPE) Num círculo, inscreve-se um

quadrado de lado 7cm. Sobre cada lado do quadrado, considera-se a se-mi-circunferência exterior ao quadra-do com centro no ponto médio do la-do e raio 3,5cm, como na figura a se-guir. Calcule a área da região hachu-rada.

10. (UEL) Considere a região hachurada,

no interior do círculo de centro O, li-mitada por semicircunferências, con-forme mostra a figura a seguir.

Se a área dessa região é 108πcm2 e AM=MN=NB, então a medida do raio do círculo, em centímetros, é a) 9 c) 16 e) 24 b) 12 d) 18

1. (Unicamp) Em um quadrilátero conve-

xo ABCD, a diagonal AC mede 12cm e os vértices B e D distam, respectiva-mente, 3cm e 5cm da diagonal AC. a) Faça uma figura ilustrativa da si-

tuação descrita. b) Calcule a área do quadrilátero.

2. (Fuvest – SP) No quadrilátero ABCD a

seguir, ÂBC =150°, AD=AB=4cm, BC=10cm, MN=2cm, sendo M e N, res-pectivamente, os pontos médios de CD e BC.

A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é:

a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30

3. (Puc – SP) Seja o octógono EFGHIJKL

inscrito num quadrado de 12cm de lado, conforme mostra a figura a se-guir. Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmentos

EXERCÍCIOS 2



ANOTAÇÕES congruentes entre si, então a área do octógono, em centímetros quadrados, é:

a) 98 c) 108 e) 120 b) 102 d) 120 4. (Fuvest – SP) A, B e C são pontos de

uma circunferência de raio 3cm, AB=BC e o ângulo ÂBC mede 30°. a) Calcule, em cm, o comprimento

do segmento AC. b) Calcule, em cm2, a área do triân-

gulo ABC. 5. (Unicamp) Um triângulo escaleno ABC

tem área igual a 96m2. Sejam M e N os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Calcule a área do quadrilátero BMNC.

6. (Unesp) A área de um triângulo retân-

gulo é 12dm2. Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da hi-potenusa desse triângulo.

7. (Unesp) Corta-se um pedaço de arame

de 12dm em duas partes e constrói-se, com cada uma delas, um quadra-do. Se a soma das áreas é 5dm2, de-termine a que menor distância de uma das extremidades do arame foi feito o corte.

8. (Unitau) Dada a figura a seguir e sa-

bendo-se que os dois quadrados pos-suem lados iguais a 4cm, sendo O o centro de um deles, quanto vale a á-rea da parte preenchida?

a) 100 c) 5 e) 14 b) 20 d) 10 9. (Fuvest – SP) O retângulo ABCD repre-

senta um terreno retangular cuja lar-gura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim re-tangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a

área do jardim e a área total do ter-reno?

a) 30 %. c) 40 %. e) 50 %. b) 36 %. d) 45 %. 10. (Unicamp) Considere dois quadrados

congruentes de lado 4cm. O vértice de um dos quadrados está no centro do outro quadrado, de modo que esse quadrado possa girar em torno de seu centro. Determine a variação da área obtida pela intersecção das áreas dos quadrados durante a rotação.

11. (Unesp) O ângulo central AÔB refe-

rente ao circulo da figura adiante mede 60° e OX é sua bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC e

OC= 5 cm, calcular a área da figura hachurada.

12. (Unesp) A figura adiante mostra um

triângulo equilátero ABC. Se AM=MP=PB, AN=NQ=QC e BH=HC, pro-ve que os triângulos HMN e HPQ têm a mesma área.

13. (Unicamp) No canto A de uma casa

de forma quadrada ABCD, de 4 metros de lado, prende-se uma corda flexí-vel e inextensível,



ANOTAÇÕES em cuja extremidade livre é amarra-da uma pequena estaca que serve pa-ra riscar o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6 metros de comprimento, do ponto em que está presa até sua extremidade livre. Man-tendo-se a corda sempre esticada de tal forma que inicialmente sua ex-tremidade livre esteja encostada à parede BC, risca-se um contorno no chão, em volta da casa, até que a ex-tremidade livre toque a parede CD. a) Faça uma figura ilustrativa da si-

tuação descrita. b) Calcule a área da região exterior

à casa, delimitada pelo traçado da estaca.

14. (Unicamp) Prove que a soma das dis-

tâncias de um ponto qualquer do in-terior de um triângulo eqüilátero a seus três lados é igual à altura desse triângulo.

15. (Unesp) Considere o triângulo retân-

gulo isósceles ABC (reto em B) e o trapézio retângulo EFCD cujos ângulos internos retos são os dos vértices F e C, conforme a figura a seguir. Sabe-se que a medida do segmento BF é igual a 8cm, do segmento DC é 4cm e que a área do trapézio EFCD é 30cm2.

A medida de AB é: a) 12 cm d) 18 cm b) 14 cm e) 20 cm c) 16 cm 16. (Unicamp) A área A de um triângulo

pode ser calculada pela fórmula:

( ) ( ) ( )= − − −A p p a p b p c

onde a, b, c são os comprimentos dos lados e p é o semi-perímetro. a) Calcule a área do triângulo cujos

lados medem 21, 17 e 10 centí-metros.

b) Calcule o comprimento da altura relativa ao lado que mede 21 centímetros.

17. (Cesgranrio) ABCD é um paralelogra-

mo e M é o ponto médio do lado AB. As retas CM e BD dividem o paralelo-gramo em quatro partes. Se a área do paralelogramo é 24, as áreas de I, II, III e IV são, respectivamente, iguais a:

a) 10, 8, 4 e 2. b) 10, 9, 3 e 2. c) 12, 6, 4 e 2. d) 16, 4, 3 e 1. e) 17, 4, 2 e 1.

18. (Fuvest – SP) No triângulo ABC, AC =

5cm, BC=20cm e cos α =3/5. O maior valor possível, em cm2, para a área do retângulo MNPQ, construído con-forme mostra a figura a seguir, é:

a) 16 c) 20 e) 24 b) 18 d) 22 19. (Cesgranrio) Um triângulo tem lados

20, 21 e 29. O raio da circunferência a ele circunscrita vale:

a) 8 c) 10 e) 14,5 b) 8,5 d) 12,5 20. (Cesgranrio) O polígono a seguir, em

forma de estrela, tem todos os lados iguais a 1cm e todos os ângulos iguais a 60° ou 240°. Sua área é:

a) 3 cm2 d) 6 3 cm2 b) 3 3 cm2 e) 9 cm2 c) 6 cm2



ANOTAÇÕES 21. (Cesgranrio) OPQ é um quadrante de

círculo, no qual foram traçados semi-círculos de diâmetros OP e OQ. De-termine o valor da razão das áreas hachuradas, a/b.

a) 1/ 2 c) π/4 e) π/3 b) 1/2 d) 1

22. (Fatec – SP) Três pedaços de arame

de mesmo comprimento foram mol-dados: uma na forma de um quadra-do, outro na forma de um triângulo eqüilátero e outro na forma de um círculo. Se Q, T e C são, respectiva-mente, as áreas das regiões limitadas por esses arames, então é verdade que

a) Q < T < C d) T < C < Q b) C < T < Q e) T < Q < C c) C < Q < T 23. (Fatec – SP) A altura de um triângulo

eqüilátero e a diagonal de um qua-drado têm medidas iguais. Se a área

do triângulo eqüilátero é 16 3 m2 então a área do quadrado, em metros quadrados, é

a) 6 c) 54 e) 150 b) 24 d) 96 24. (FEI – SP) Se os triângulos ABC e DEF

são construídos de tal maneira que: DE=2 AB, EF=2 BC e DF=2AC, podemos afirmar que a divisão da área do tri-ângulo DEF pela área do triângulo ABC é igual a:

a) 1 c) 3 e) 3 b) 2 d) 4 25. UFPE) Na figura a seguir CD = (3AB)/2

e a área do triângulo OAB é 8. Qual o valor da área do triângulo ODC?

a) 16 c) 9/4 e) 12 b) 18 d) 24

26. (UFPE) Na figura a seguir P é o ponto médio do segmento AD do paralelo-gramo ABCD. Calcule a área, em m2, do triângulo ÐAPB sabendo-se que a área do paralelogramo é 136m2.

27. (UFPE) A figura a seguir possui x uni-

dades de área. Determine o inteiro mais próximo de x.

28. (Puc – Campinas/SP) A seguir tem-se a

representação da planta de um terre-no quadrangular. A área, em metros quadrados, desse terreno é:

a) (360 3 ) + 700 2

b) (360 3 ) + 700

c) 530 3

d) (180 2 ) + 350 3

e) (180 3 ) + 350 2 29. (Unicamp) Uma folha retangular de

cartolina mede 35cm de largura por 75cm de comprimento. Dos quatro cantos da folha são cortados quatro quadrados iguais, sendo que o lado de cada uma desses quadrados mede x cm de comprimento.



ANOTAÇÕES a) Calcule a área do retângulo inici-

al. b) Calcule x de modo que a área da

figura obtida, após o corte dos quatro cantos, seja igual a 1.725cm2.

30. (Unicamp) Sejam A, B, C e D os vérti-

ces de um quadrado de lado a=10cm; sejam ainda E e F pontos nos lados AD e DC, respectivamente, de modo que BEF seja um triângulo eqüilátero. a) Qual o comprimento do lado des-

se triângulo? b) Calcule a área do mesmo.

31. (Uel) No retângulo da figura a seguir,

aumentando-se de 6cm o lado maior e de 3cm o lado menor, a área aumenta 102cm2. O valor de x, em centíme-tros, é

a) 5,5 c) 6,5 e) 7,5 b) 6,0 d) 7,0 32. (Uel) Um rolo de tela com 28m de

comprimento será totalmente apro-veitado para cercar um jardim com formato de setor circular como mos-tra a figura a seguir. Se a área do se-tor é 40m2 e x é maior que y, então o raio do setor é um número

a) divisor de 35. b) menor que 8. c) múltiplo de 5. d) quadrado perfeito. e) ímpar.

33. (Uel) Dois quadrados, com os lados

respectivamente paralelos, intercep-tam-se como mostra a figura a seguir. Se AM=MD, HM=ME e as áreas desses quadrados são 100cm2 e 144m2, a á-rea do quadrilátero MDNE, em centí-metros quadrados, é igual a

a) 30 c) 60 e) 120 b) 50 d) 80 34. (Uel) Um trapézio, inscrito numa cir-

cunferência de centro O, pode ser di-vidido em três triângulos equiláteros congruentes, como mostra a figura a seguir. Se a área do trapézio é

27 3 cm2, então a área do círculo limitado por essa circunferência, em centímetros quadrados, é igual a

a) 9π c) 25π e) 49π b) 16π d) 36π 35. (Uel) Na figura a seguir, o segmento

BD é a mediana relativa ao lado AC do triângulo ABC, E e F são pontos

médios dos segmentos AD e BD , respectivamente.

Se S é a área do triângulo ABC, então a área da região hachurada é a) (1/8).S d) (5/16).S b) (3/16).S e) (3/8).S c) (1/4).S 36. (UFMG) Observe a figura.



ANOTAÇÕES

Nessa figura, o segmento AC é parale-lo ao segmento ED, AB = BC = 3cm e BC/ED = 2. A área do triângulo ABE é igual a 3 cm2. A área do trapézio BCDE, em cm2, é

a) 9/2 c) 9 e) 12 b) 6 d) 11/2 37. (UFMG) Observe a figura.

Nessa figura, AB é diâmetro do círcu-lo de centro O e raio r=4. A reta AD é tangente ao círculo em A, o segmento CD é perpendicular ao segmento AD é a medida da corda AC é 4. A área do triângulo ADC é

a) 2 3 c) 8 3 e) 16

b) 4 d) 12 3 38. (UFMG) Observe a figura a seguir.

Nessa figura, OA=4 3 , OB=2 3

e AB e AC tangenciam a circunfe-rência de centro O em B e C.

A área da região hachurada é

a) π - 3

b) - 3

c) π - 3 3

d) π - 2 3

e) π - 3

39. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura, a região hachurada está delimitada pelos arcos BC, AC e AB das circunferências de centros A, B e C, respectivamente, e a medida do

segmento BC é 2 . A área dessa re-gião é

a) π - [(3 3 )/8]

b) π - [( 3 )/4]

c) π - 3

d) π + [( 3 )/4]

e) π + 3 40. (UFMG) Observe a figura a seguir.

Nessa figura, DE=HC=2 e a área do triângulo ABC é o quádruplo da área do triângulo CDE. A área do triângulo CDE é

a) (3 3 )/4 d) 2 3 b) (3 3 )/2 e) 3 3 c) 3 41. (UFMG) Observe a figura

Nessa figura, a circunferência de di-âmetro OC=16 tangencia a reta OA. Para cada ponto P sobre a circunfe-rência, P distinto de O e C, deno-



ANOTAÇÕES te por x a medida do ângulo AÔP, on-de 0<x< π /2. a) Determine uma expressão para a

área do triângulo OPC em função de x.

b) Determine os valores de x para os quais a área do triângulo OPC se-ja 32.

c) Determine x para que a área do triângulo OPC seja a maior possí-vel.

42. (Unirio) Uma placa de cerâmica com

uma decoração simétrica, cujo dese-nho está na figura a seguir, é usada para revestir a parede de um banhei-ro. Sabendo-se que cada placa é um quadrado de 30cm de lado, a área da região hachurada é:

a) 900 – 125 π b) 900 (4 – π ) c) 500 π – 900 d) 500 π – 225 e) 225 (4 – π )

43. (Unesp) O mosaico da figura adiante

foi desenhado em papel quadriculado ×1 1. A razão entre a área da parte

escura e a área da parte clara, na re-gião compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a

a) 1/2. c) 3/5. e) 5/8. b) 1/3. d) 5/7. 44. Unesp) O lado BC do triângulo ABC

mede 20cm. Traça-se o segmento MN, paralelo a BC conforme a figura, de modo que a área do trapézio MNBC seja igual a 3/4 da área do triângulo ABC. Calcule o comprimento de MN.

45. (Unaerp) A área de um triângulo re-

tângulo é a2, se dobrarmos a medida de um cateto, a área do novo triângu-lo será: a) 3a2/2 b) 2a2/3 c) 2a2 d) 3a2 e) Os dados são insuficientes para a

determinação da nova área. 46. (Mack – SP) Na figura a seguir

AD / /BC . Então a área do quadrilá-tero ABCD é:

a) 24 3 . d) 30 3 . b) 26 3 . e) 32 3 c) 28 3 . 47. (Mack – SP) Na figura a seguir, os cír-

culos internos são iguais e a região assinalada tem área 8( π – 2). Então a área do círculo externo é:

a) 20 π . c) 8 π . e) 2 π . b) 16 π . d) 4 π . 48. (Faap – SP) Um pequeno escritório

instalado num flat do "Residence" é formado por duas salas quadradas justapostas, conforme a figura a



ANOTAÇÕES seguir. A figura é uma planta simplifi-cada.

Sabendo-se que as diagonais do re-

tângulo ABCD medem 4 5 metros, a área total "xy" (em metros quadrados) do escritório (despreza-se a espessura das paredes) é;

a) 16 c) 40 e) 36 b) 32 d) 28 49. (Faap – SP) Para a instalação de um

caixa eletrônico Bradesco Dia e Noite (BDN), dispõe-se de uma área triangu-lar de esquina com frentes de 6 me-tros e 8 metros. As ruas formam um ângulo de 75°. A área do terreno (em metros quadrados) é:

a) 6 2 (1 + 3 )

b) 12 2 (1 + 3 )

c) 6Ë3(1 + 2 )

d) (24 2 )/ 3

e) (6Ë3 + 1)/ 2 50. (Faap – SP) A projeção vertical da co-

bertura de uma Churrascaria tem a forma de um quadrilátero cujas dia-gonais são perpendiculares entre si e medem 20 metros e 25 metros. A área da projeção (em metros quadrados) é: a) 500 b) 125 c) 325 d) 250 e) impossível determinar com os

dados 51. (Mack – SP) Na figura a seguir, pelo

ponto O, foram traçadas retas parale-las aos lados do triângulo ABC, obten-do-se os triângulos assinalados com áreas 1, 4 e 9. Então a área do triân-gulo ABC é:

a) 25. c) 49. e) 81. b) 36. d) 64.

52. (Faap – SP) Em torno de um campo de futebol, construiu-se uma pista de a-tletismo com 3 metros de largura, cu-jo preço por metro quadrado é de R$ 500,00. O custo total desta constru-ção é:

a) R$ 300.000.00 b) R$ 202.530,00 c) R$ 464.500,00 d) R$ 502.530,00 e) R$ 667.030,00

53. (FGV – SP) Na figura a seguir têm-se

AB é paralela a CD , AB=6cm, AD=4cm e os ângulos internos de vér-tices A e B têm as medidas indicadas. A área do quadrilátero ABCD, em cen-tímetros quadrados, é

a) 3 c) 4 3 e) 8 3 b) 2 3 d) 6 6 54. (UFPE) Na figura a seguir a circunfe-

rência é tangente à reta 1l no ponto A

e é tangente a reta 2l no ponto B. O lado AD do paralelogramo ABCD mede 6cm. Se S é a área, em cm2, da região interior ao paralelogramo e exterior à

circunferência, quanto vale − πS6

?



ANOTAÇÕES 55. (UFPE) Na figura a seguir temos um

retângulo inscrito em uma circunfe-rência com centro O e raio igual a 5cm. Se OP vale 3/5 do raio da cir-cunferência, determine a área, em cm2, do retângulo.

56. (UFPE) Na figura a seguir o retângulo

ABCD tem área igual a 153cm£. Quan-to mede o lado, em cm, do quadrado AB'C'D'?

57. (Fuvest – SP) Os pontos A, B, e C são

vértices consecutivos de um hexágono regular de área igual a 6. Qual a área do triângulo ABC?

a) 1 c) 3 e) 3 b) 2 d) 2

58. (UEL) A área do triângulo equilátero

OAB, representado na figura a seguir

é 9 3 cm2. A área do círculo de cen-

tro O e tangente ao lado AB do tri-ângulo é, em centímetros quadrados,

a) 27 π c) 36 π e) 48 π b) 32 π d) 42 π

59. (Uel) Na figura a seguir, são dados: AD = 20 cm, BC = 80 cm e AB = 100 cm

A medida do segmento EF, em centí-metros, é

a) 15 c) 16,5 e) 18,5 b) 16 d) 18 60. (Cesgranrio) Um cavalo deve ser a-

marrado a uma estaca situada em um dos vértices de um pasto, que tem a forma de um quadrado cujo lado me-de 20m. Para que ele possa pastar em 20% da área total do pasto, o com-primento da corda que o prende à es-taca deve ser de, aproximadamente:

a) 1 m c) 5 m e) 10 m b) 2 m d) 8 m 61. (Mack – SP) Na figura, AC = BC. Então

a área do retângulo assinalado vale:

a) 12 c) 18 e) 24 b) 15 d) 20

62. (Mack – SP) Na figura a seguir, AC e

BD medem, respectivamente, 8 3 e 5. Então a área do quadrilátero ABCD é:



ANOTAÇÕES a) 30 c) 40 e) 80 b) 35 d) 60 63. (Mack – SP) Na figura a seguir, o pe-

rímetro do triângulo equilátero ABC é 12 e o ponto P é médio do lado BC. Então a área do triângulo AED é:

a) 3 /2 c) 4 e) 2 /2 b) 3 d) 2 64. (Faculdade Osvaldo Cruz) Para pintar

a parede indicada, com certa tinta, gasta-se uma lata pequena de tinta para cada 3,6m2. Para pintar a parede inteira o número de latas necessário é:

a) 12 c) 11 b) 15 d) 1,5 65. (Universidade Federal do Pará)

I. Em um quadrado de perímetro igual a 30cm, sua área é de 56,25cm2

II. A área de um círculo cujos 2/5 do raio medem 14m é 3846m2 ( π =3,14)

III. No losango, cujas diagonais so-madas medem 175dm, sua área será 3675dm2 se uma das diago-nais for 2/3 da outra.

Assinale: a) se apenas I é verdadeira. b) se apenas III é verdadeira. c) se apenas I e III são verdadeiras. d) se todas as afirmações são falsas. e) se todas as afirmativas são ver-

dadeiras. 66. (FAAP) As bases de um trapézio são

80cm e 60cm e sua altura 40cm. A 10cm da base maior, traça-se uma paralela às bases, que determina dois trapézios. Qual é a área de cada um?

67. (CEFET – RJ) A área do triângulo re-

tângulo no qual a medida da hipote-nusa é 13cm e a de um dos catetos é 5cm é igual a:

a) 128 cm2 d) 39 cm2 b) 65 cm2 e) 60 cm2 c) 30 cm2 68. (ACAFE – SC) A área compreendida

entre uma circunferência de raio a e um hexágono regular inscrito nesta circunferência é, em unidades de á-rea:

a) a2( π + 3 3 )

b) a2 ( π - 3 3 )

c) a2 [ π - (2 3 )/3]

d) a2 [ π - (3 3 )/2] e) n.d.a.

69. (Fuvest – SP) Na figura, BC é paralela

a DE, AB = 4 e BD = 5.

Determine a razão entre as áreas do tri-ângulo ABC e do trapézio BCDE. 70. (Faap – SP) Um "out - door" retangular

tem área A=base x altura. Se a base aumenta 50%, e a altura diminui 50%, então: a) a área não se altera. b) a área diminuirá 25 %. c) a área aumentará 25 %. d) a área aumentará 50 %. e) a área diminuirá 50 %.

71. (Unirio) A área da região hachurada

vale:

a) 12 π - 2 d) 8 - 2 π b) 16 - 2 π e) 4 - π



ANOTAÇÕES c) 9 - π

72. (Fuvest – SP) Um triângulo tem 12cm

de perímetro e 6cm2 de área. Quanto mede o raio da circunferência inscrita nesse triângulo?

73. (Fei – SP) Considerando-se o triângulo

ABC e um segmento de reta DE para-lelo ao lado BC, com extremidades D e E sobre os lados AB e AC respecti-vamente, se o comprimento de DE é igual a um terço do comprimento de BC e a área do triângulo ABC é de 18 cm2, então a área do trapézio BCDE é de:

a) 12 cm2 d) 10 cm2 b) 16 cm2 e) 9 cm2 c) 15 cm2 74. (Fei – SP) Considerando o retângulo

ABCD e os pontos M, N, P e Q como pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente, é válido afir-mar-se que a área do retângulo ABCD é: a) o dobro da área do triângulo ABP b) o quádruplo da área do triângulo

AMQ c) o triplo da área do triângulo BCP d) o dobro da área do triângulo BDP e) o triplo da área do triângulo MNQ

75. (Fei – SP) Se a área do paralelogramo

ABCD mede x e M é um ponto do lado CD, então a área do triângulo ABM mede:

a) x/2 c) x/4 e) x/6 b) x/3 d) x/5 76. (Fei – SP) Se a área de um retângulo

ABCD mede 72cm2 e se a medida do lado AB é o dobro da medida do lado BC, então o perímetro do retângulo mede:

a) 36 cm c) 18 cm e) 60 cm b) 72 cm d) 12 cm 77. (Faap – SP) Na campanha eleitoral pa-

ra as recentes eleições realizadas no país, o candidato de um determinado partido realizou um comício que lotou uma praça circular com 100 metros de raio. Supondo que, em média, ha-via 5 pessoas/m2, uma estimativa do número de pessoas presentes a esse comício é de aproximadamente:

a) 78.500 d) 10.000 b) 100.000 e) 157.000 c) 127.000 78. (Fatec – SP) Na figura a seguir tem-se

um quadrado inscrito num triângulo retângulo ABC, reto em Â.

Se os catetos do triângulo medem 3cm e 4cm, então a área do quadrado, em cen-tímetros quadrados, é igual a a) 169/49 d) 81/49 b) 144/49 e) 25/49 c) 100/49 79. (Cesgranrio) No futebol de salão, a

área de meta é delimitada por dois segmentos de reta (de comprimento de 11m e 3m) e dois quadrantes de círculos (de raio 4m), conforme a fi-gura. A superfície da área de meta mede, aproximadamente,

a) 25 m2 c) 37 m2 e) 61 m2 b) 34 m2 d) 41 m2 80. (Unesp – SP) A área de um triângulo

isósceles é 24 15 dm e a altura desse triângulo, relativa à sua base, mede

2 15 d m . 0 perímetro desse triângu-lo é igual a

a) 16 dm c) 20 dm e) 23 dm b) 18 dm d) 22 dm 81. (Unesp) A figura foi obtida mediante

rotações de 60°, 120°, 180°, 240° e 300° aplicadas a um quadrado cujos lados medem 1dm, em torno de um mesmo vértice desse quadrado e num mesmo sentido.



ANOTAÇÕES A área da região escura é.

a) 1 - 2tg (15°). b) tg (30°). c) 1 - 4tg (15°). d) 1 - tg (30°). e) 1 - tg (15°).

82. (Fei – SP) Uma chapa metálica de

formato triangular (triângulo retângu-lo) tem inicialmente as medidas indi-cadas e deverá sofrer um corte reto (paralelo ao lado que corresponde à hipotenusa do triângulo) representado pela linha pontilhada, de modo que sua área seja reduzida à metade. Quais serão as novas medidas x e y?

a) x = 30 cm, y = 20 cm b) x = 40 cm, y = 30 cm

c) x = 30 2 cm, y = 20 2 cm

d) x = 20 2 cm, y = 30 2 cm

e) x = 90 2 cm, y = 60 2 cm 83. (Cesgranrio) Se, no trapézio retângulo

ABCD da figura adiante, AB=BC=3 e π

α =3

, então a sua área vale:

a) 3(3 + 3 /2).

b) 3(5 - 3 /2).

c) 3(4 + 2 /3).

d) 3(5 - 2 /3).

e) 6(3 - 2 /3). 84. (Ita – SP) Em um triângulo ABC, sabe-

se que o segmento AC mede 2cm. Se-jam α e β , respectivamente, os ân-gulos opostos aos segmentos BC e AC. A área do triângulo é (em cm2) igual a

a) α β + α22sen cot g sen2

b) α β − α22sen t g sen2

c) α β + α22c os cot g sen2

d) α β + α22cos t g sen2

e) α β − α22sen t g cos2 85. (Ita – SP) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 =

0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4cm e 6cm, então, a área deste paralelogramo, em cm2, vale:

a) 36/5 c) 44/3 e) 48/5 b) 27/4 d) 48/3 86. (UnB) Na figura adiante, ABCD é um

paralelogramo, DQ é perpendicular à reta que contém BC e o segmento CP é perpendicular a AB.

Com base nessas informações, julgue os seguintes itens. ( )

A medida de AP é igual a 2 cm.

( )

O triângulo CDQ é semelhante ao triângulo BCP.

( )

A medida de DQ é igual a 8 cm.

( )

A área do trapézio ABQD é igual a 144 cm2.

87. (UFRJ) O polígono regular represen-

tado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o ângulo α mede 120°.

a) Determine o raio da circunferên-

cia circunscrita. b) Determine a área do polígono.

88. (Ita – SP) Duas circunferências 1C e

2C , ambas com 1m de raio, são tan-

gentes. Seja 3C outra circunferência

cujo raio mede ( )−2 1 m e que tan-

gencia externamente 1C e 2C . A á-rea, em m2, da região limitada e ex-terior às três circunferências dadas, é:



ANOTAÇÕES

a) − π −21 (1 )

2 d) ( )−

22 1

b) π

−1

62 e) π

−1( 2 )

16 2

c) π − −( 2 1) 1 89. (Ita – SP) Duas circunferências de rai-

os iguais a 9m e 3m são tangentes ex-ternamente num ponto C. Uma reta tangencia estas duas circunferências nos pontos distintos A e B. A área, em m2, do triângulo ABC é:

a) 27 3 d) 27 2 b) (27 3 )/2 e) (27 2 )/2 c) 9 3 90. (Unioeste) Na figura ABCDE abaixo,

tem-se: AB=1 unidade, BC=6 unida-des, AE=3 unidades e DE=2 unidades. Sabendo-se, ainda, que o segmento AB é paralelo ao segmento DE e per-pendicular aos segmentos BC e AE, é correto afirmar que:

(01) O polígono ABCDE é um pentágo-

no convexo. (02) O ângulo C mede 60°. (04) A área do polígono ABCDE é 7,5

unidades de área. (08) A área da superfície total do sóli-

do gerado pela rotação do polígo-no ABCDE em torno de BC é

(15+9 2 ) π unidades de área. (16) O perímetro da figura formada

pelo polígono ABCDE e seu simé-trico em relação em relação ao

eixo que passa por AB é 20+6 2 unidades

(32) O volume do sólido gerado pela rotação de ABCDE em torno de BC é 12 π unidades de volume.

(64) O volume do sólido gerado pela rotação do polígono ABCDE em torno do segmento BC é igual ao volume do sólido gerado pela ro-tação do polígono ABCDE em tor-no do segmento AB.

SOMA | | 91. (Fuvest – SP) Na figura seguinte, estão

representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semi-circunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é:

a) ( π /2) + 2 d) π + 4 b) π + 2 e) 2 π + 1 c) π + 3

92. (Ita – SP) Considere um triângulo i-

sósceles ABC, retângulo em A. Seja D a intersecção da bissetriz do ângulo Â com o lado BC e E um ponto da reta suporte do cateto AC de tal modo que os segmentos de reta BE e AD sejam paralelos. Sabendo que AD mede

2 cm, então a área do círculo ins-crito no triângulo EBC é

a) π (4 - 2 3 ) cm2.

b) 2 π (3 - 2 2 ) cm2.

c) 3 π (4 - 2 3 ) cm2.

d) 4 π (3 - 2 2 ) cm2.

e) π (4 - 2 2 ) cm2. 93. (Ita – SP) Sejam r e s duas retas para-

lelas distando entre si 5 cm. Seja P um ponto na região interior a estas retas, distando 4 cm de r. A área do triângulo equilátero PQR, cujos vérti-ces Q e R estão, respectivamente, so-bre as retas r e s, é igual, em cm2, a:

a) 3 15 c) 5 6 e) 7 152

b) 7 3 d) 15 32

94. (Ita – SP) Duas circunferências con-

cêntricas 1C e 2C têm raios de 6 cm

e 6 2 cm, respectivamente. Seja AB uma corda de 2C , tangente à 1C . A área da menor região delimitada pela

corda AB e pelo arco AB mede, em cm2, a) 9 ( π - 3) b) 18 ( π + 3) c) 18 ( π - 2) d) 18 ( π + 2) e) 16 ( π + 3)



ANOTAÇÕES 95. (Ufrn) A figura abaixo é composta

por 16 circunferências inscritas em 16 quadrados, cujos lados medem 2 cm de comprimento. Os segmentos de re-tas que cortam as circunferências são paralelos e a distância entre dois segmentos vizinhos quaisquer é sem-pre a mesma.

A área sombreada da figura mede

a) 6 π cm2. b) 8 π cm2. c) 9 π cm2. d) 11 π cm2.

96. (Ufrn) Um monumento arquitetônico

foi construído tendo por base as regi-ões 1 e 2 da figura abaixo, que são delimitadas por duas semicircunfe-rências (NFM e MFP) e um quarto de circunferência (NGP). Sabe-se que o valor da construção sobre a região 1 está para a área da região 1 assim como o valor da construção sobre a região 2 está para a área da região 2.

Se, na parte construída sobre a região 1, foram gastos R$5.000,00, podemos afirmar que, na parte construída so-bre a região 2, foram gastos a) R$ 2.500,00. b) R$ 7.500,00. c) R$ 5.000,00. d) R$ 10.000,00.

97. (Ufrs) Os babilônios utilizavam a

fórmula A=(a + c)(b + d)/4 para de-terminar aproximadamente a área de um quadrilátero com lados consecuti-vos de medidas a, b, c, d. Para o quadrilátero da figura a seguir, a diferença entre o valor aproximado da área obtido utilizando-se a fórmu-la dos babilônios e o valor exato da área é

a) 11/4. c) 13/4. e) 21/4. b) 3. d) 4. 98. (Fuvest – SP) A soma das distâncias de

um ponto interior de um triângulo eqüilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é

a) 5 3 c) 7 3 e) 9 3 b) 6 3 d) 8 3 99. (Ita – SP) Considere o triângulo de

vértices A, B e C, sendo D um ponto do lado AB e E um ponto do lado AC. Se m(AB) = 8 cm, m(AC) = 10 cm, m(AD) = 4 cm e m(AE) = 6 cm, a razão das áreas dos triângulos ADE e ABC é

a) 1/2. c) 3/8. e) 3/4. b) 3/5. d) 3/10. 100. (Ita – SP) Considere um losango

ABCD cujo perímetro mede 100 cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Cal-cule a área, em cm2, do círculo ins-crito neste losango.



ANOTAÇÕES GABARITO

01. a) b) 48 cm2

02. C 03. D 04. a) AC = 3 cm b) Área =

( )+9 2 34

05. 72 m2 06. 4 13 dm 07. 4 dm 08. E 09. B 10. Não há variação e a área tem valor 4

cm2. 11. ( )π −5 2 3

12

13. a) b) π29 m2

15. B 16. a) A = 84 cm2 b) h = 8 cm 17. A 18. C 19. E 20. B 21. D 22. E 23. B 24. D 25. B 26. 34 27. 15 28. E 29. a) 2625 cm2 b) x = 15cm

30. a) ( )−10 6 2 cm b)

( )− 2100 2 3 3 c m 31. D

32. C 33. A 34. D 35. E 36. A 37. A 38. C 39. C 40. C

41. a) ( ) =A x 64sen(2x) b) π π

5,12 12

c) π 4

42. E 43. A 44. MN = 10 45. C 46. D 47. B 48. B 49. A 50. B 51. B 52. D 53. E 54. 09 55. 48 cm256. 5 cm 57. A 58. A 59. B 60. E 61. B 62. A 63. A 64. B 65. C 66. 2025 cm2 e 775 cm2 67. C 68. D 69. 16/65 70. B 71. D 72. 1 cm 73. B 74. A 75. A 76. A 77. E 78. B

79. C 80. C 81. A 82. C 83. A 84. A 85. E 86. F V V V

87. a) =3r2

b) −3 3

88. A 89. B 90. F F V V F V F 91. B 92. D 93. B 94. C 95. A 96. C 97. C 98. B 99. D 100. π 2144 cm

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Mat geometria plana 002