1

Expressões Algébricas

Expressões algébricas são expressões Matemáticas que apresentam letras e podem conter números, são

também denominadas expressões literais. As letras constituem a parte variável das expressões, pois elas

podem assumir qualquer valor numérico. No passado as letras foram pouco utilizadas na representação de

números desconhecidos, atualmente as letras associadas a números constituem a base da álgebra e

contribui de forma eficiente na resolução de várias situações matemáticas.

Veja alguns exemplos de expressões algébricas:

2x – 5

3a + 2y

x² + 7x

5 + x – (5x – 2)

10y – 10x

a² – 2ab + b²

Definição de Monômio

Denominamos monômio ou termo algébrico quaisquer expressões algébricas representadas por um

número, por uma incógnita, ou pelo produto de números e incógnitas, assim 2, x, 2x e -3xy2 são exemplos

de termos algébricos ou monômios.

Identificando as Partes de um Monômio

No monômio -3xy2 o número -3 representa o seu coeficiente numérico e a sua parte literal é representada

por xy2.

Por convenção omitimos o coeficiente numérico quando ele é igual a 1, escrevemos x em vez de

escrevermos 1x, por exemplo, ou então -x no lugar de -1x.

Temos um monômio nulo quando o coeficiente numérico é igual a 0, assim o termo algébrico 0x2 é igual

a 0.

Acima utilizamos o número 2 como um exemplo de monômio. De fato todo número real é um monômio,

só que sem a parte literal.

Observe:

2

Exercícios:

1 - Dê o coeficiente e a parte literal de cada um dos seguintes monômios:

a) 8 x

b) 4xy

c) -5ax

d) – x2y3

e) xyz

f) 1,5 xy

g) 4/7 x6

2 – Complete a tabela:

Termo Coeficiente Parte literal

-4x -4 x

15 Am2

-x

Grau de um Monômio

O grau de um monômio é obtido através da soma dos expoentes de todas as variáveis. O coeficiente

numérico deve ser diferente de zero, caso contrário o monômio será nulo.

7xy2 é um monômio de grau 3, já que o expoente de x subentende-se que seja igual a 1 e o de y é igual a

2.

O monômio -5x4 é de grau 4, pois só possui a variável x com expoente igual a 4.

182 é de grau 0, pois é um monômio sem a parte literal.

Exercícios:

1 – Dê o grau de cada uma dos seguintes monômios:

a) 5x2 =

b) 4x5y2=

c ) – 2 xy2=

d) a3b4=

e) 8xyz=

3

Monômios Semelhantes

Observe os três termos algébricos abaixo:

-5x4y

2x4y

7xy2

Note que os dois primeiros possuem a mesma parte literal, já o terceiro embora partilhe das mesmas

variáveis, possui uma parte literal distinta, pois os expoentes das respectivas variáveis são diferentes.

Obs.: Não são semelhantes:

6x²y e 4xy²

10x³ e 10 x²

Exercícios:

1 – Marque corretamente com X somente os pares de monômios que forem semelhantes:

a) 7 a e 4 a

b) 2x2 e – 6x2

c) 4y e 5y2

d) 8xy e 5yx

Redução de Termos Semelhantes

Por possuírem a mesma parte literal os dois primeiros termos algébricos são denominados monômios

semelhantes. Este conceito é muito importante, pois podemos reduzir uma expressão algébrica, contendo

vários termos semelhantes, através da soma algébrica destes termos.

Operações com monômios:

Adição de Monômios

Se você tiver 3 bananas e 2 maçãs, ao ganhar mais 2 bananas e 2 maçãs, você ficará com 5 bananas e 4

maçãs. Note que somamos bananas com bananas e maçãs com maçãs. O mesmo raciocínio é aplicado à

soma algébrica de monômios em relação aos termos semelhantes.

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Observe a seguinte expressão formada pela soma algébrica de três monômios semelhantes:

Como os três termos algébricos são semelhantes podemos reduzi-los a um único monômio somando os

coeficientes numéricos e mantendo a parte literal:

Veja outros exemplos:

Você deve ter percebido que no quarto exemplo somamos os dois primeiros termos, mas não o último,

pois este não é semelhante a eles.

Subtração de Monômios

Em sendo a subtração a operação inversa da adição, o que explicamos acima para a soma, vale também de

forma análoga para a diferença de monômios.

Vejamos alguns exemplos:

Exercícios:

1 – Reduza os termos semelhantes:

a) 8 a + 2ª

b) 7x – 5x

c) 2y2 – 9 y2

d) 4x2 – x2

e) 4y – 6y

5

f) -3m2 + 8m2

g) 5a – 5a =

2 - Reduza os termos semelhantes:

a) 7x – 5x + 3x =

b) 2y – y – 10y =

c) 4a – a – 7a =

d) x2 + x2 – 2x2 =

e) ab – ab + 5ab=

Multiplicação de Monômios

A multiplicação de monômios é realizada simplesmente se multiplicando os coeficientes numéricos entre

si, assim como a parte literal.

Então como regra geral para multiplicarmos monômios é multiplicarmos os coeficientes e para cada

variável somarmos os seus expoentes.

Exemplos:

Exercícios:

1 – Calcule:

1) Calcule:

a) (+5x) . (-4x²) =

b) (-2x) . (+3x) =

c) (+5x) . (+4x) =

d) (-n) . (+ 6n) =

e) (-6x²) . (+3x²) =

f) (-2y) . (5y) =

g) (+4x²) . (+5x³) =

h) (2y) . (-7x) =

i) (-2x) . (-3y) =

j) (+3x) . (-5y) =

k) (-3xy) . (-2x) =

6

2) Determine:

a) (2xb) . (4x) =

b) (-5x²) . (+5xy²) =

c) (-5) . (+15x²y) =

d) (-9X²Y) . (-5XY²) =

e) (+3X²Y) . (-XY) =

f) (X²Y³) . (5X³Y²) =

g) (-3x) . (+2xy) . ( -x³) =

h) (-x³) . (5yx²) . (2y³) =

i) (-xy) . (-xy) . (-xy) =

j) (-xm) . ( x²m) . (3m) =

3) Efetue:

a) (1/2x) . (3/5x³) =

b) (-2/3x) . (+3/4y) =

c) (-1/3x²) . (4/2x³) =

d) (-x²/3) . (-x/2) =

e) (-2x/3) . (6x/5) =

f) (-10xy) . ( xy²/3) =

Divisão de Monômios

Agora vamos tratar a operação inversa da multiplicação, a divisão de monômios.

Os procedimentos serão semelhantes ao do caso anterior, iremos dividir os coeficientes numéricos e

subtrair os expoentes das incógnitas da parte literal.

Observe este exemplo:

O exemplo é autoexplicativo, mas para que não fique qualquer dúvida, vamos comentá-lo.

O coeficiente numérico foi obtido pela divisão dos dois coeficientes originais.

A variável x possui respectivamente os expoentes 7 e 3, então subtraindo o segundo do primeiro obtemos

o expoente 4.

Por fim a incógnita y que tem expoente 4 no primeiro monômio e 2 no segundo, fica com o expoente 2,

resultante de 4 - 2.

Veja mais estes outros exemplos:

7

Repare que no último exemplo a variável y terminou com um expoente negativo. Conforme estudado no

tópico sobre potenciação, podemos escrever esta expressão na forma de uma fração:

Exercícios:

1) Calcule os quocientes:

a) (15x⁶) : (3x²) =

b) (16x⁴) : (8x) =

c) (-30x⁵) : (+3x³) =

d) (+8x⁶) : (-2x⁴) =

e) (-10y⁵) : (-2y) =

f) (-35x⁷) : ( +5x³) =

g) (+15x⁸) : (-3x²) =

h) (-8x) : (-8x ) =

i) (-14x³) : (+2x²) =

j) (-10x³y) : (+5x²) =

k) (+6x²y) : (-2xy) =

l) (-7abc) : (-ab) =

m) (15x⁷) : ( 6x⁵) =

n) (20a³b²) : ( 15ab²) =

o) (+1/3x³) : (-1/5x²) =

p) (-4/5x⁵y) : ( -4/3x³y) =

q) (-2xy²) : ( xy/4) =

2) Determine:

a) (10xy) : (5x) =

b) (x³y²) : (2xy) = c) (-3xz²) : (-3xz) = d) (-14m⁶n³) : ( 7m⁴n²) = e) (1/2a³b²) : (-a³b²) = f) (a⁴b³) : (5a³b) = g) (-3x⁵y³) : (-4x²y) = h) (-2/3 x⁴z⁴) : 5/3 z⁴ =

Exponenciação de Monômios

Vejamos este exemplo:

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Note que transformamos a potência de produtos, nos produtos de potências. Assim elevamos o coeficiente

numérico e cada uma das potências das variáveis ao expoente 3.

-53 resulta em -125.

(x2)3 como sabemos é igual a x2 . 3 que é igual a x6.

Assim como (y4)3 sabemos que é igual a y4 . 3 que é igual a y12.

E para terminar este tópico vamos a mais alguns exemplos:

Exercícios:

1) Calcule:

a) ( + 3x²)² =

b) (-8x⁴)² =

c) (2x⁵)³ =

d) (3y²)³ =

e) (-y²)⁴ =

f) (-mn)⁴ =

g) (2xy²)⁴ =

h) (-4x²b)² =

i) (-3y²)³ =

j) (-6m³)² =

k) (-3x³y⁴)⁴ =

l) (-2x²m³)³ =

2) Efetue:

a) (x²/2)³ =

b) (-x²/4)² =

c) (-1/2y)² =

d) (+2/3x)³ =

e) (-3/4m)² =

f) (-5/6m³)² =

3- O polinômio que corresponde a situação ilustrada é:

a) 2x + 25 b) x + 50 c) 4x + 50 d) 4x +25

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4 – Observe o retângulo e responda as questões I ,II ,III e IV abaixo:

I – A expressão que representa o perímetro é:

a) 2(x + 3 ) + 2( x + 4 ) b) (x + 3 ) + ( x + 4 ) c) (x + 3 ) + 2( x + 4 ) d) 2(x + 3 ) + ( x + 4 )

II – A área da figura dada é dada por ( x + 3) . ( x + 4 ) , ao multiplicar esse polinômio encontraremos:

a) b) x2 + 7x + 10 b) x2 + 7x +12 c) b) x2 + 4x +12 d) b) x2 + 3x +12

5 - Veja o preço de custo de cada produto: Tambor ( x reais)

Violino ( y reais) Valdir comprou para a sua loja 2 tambores e 5 violinos, enquanto Roberto comprou 3 tambores e 2 violinos. Nessas condições, responda: Qual o polinômio que representa: a) A quantia que Valdir gastou? E Roberto? b)A quantia que os dois gastaram juntos? c)Supondo que x vale R$ 60,00 e que y vale R$ 300,00 reais, quanto os dois gastaram juntos?

Situações problemas

1 – Determine a expressão que representa o perímetro das seguintes figuras:

( Perímetro: soma dos lados de qualquer polígono ).

2 – O dobro de um número adicionado a 20: 2x + 20

3 – A diferença entre x e y: x – y

4 – O triplo de um número qualquer subtraído do quádruplo do número: 3x – 4x

4x + 1 + 2x + 4x + 1 + 2x =

12x + 2

2x + 6 + 3x – 2 + x + 8 =

6x + 12

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5 – Represente algebricamente a área do retângulo :

2x . (3x+5)

Polinômio:

Qualquer adição algébrica de monômios denomina-se POLINÔMIO. Sendo assim, monômios, binômios

e trinômios são polinômios.

- Formadas com 2 termos são chamadas de BINÔMIOS : ax + 7y

- E as formadas por 3 termos são chamadas de TRINÔMIOS : -5y + 3b + 5

Obs.: Os polinômios com mais de três termos não têm nomes especiais.

Exercícios:

1 - Um polinômio de dois termos e três termos é nesta ordem :

a) binômio e trinômio b) polinômio e binômio c) trinômio e polinômio d) n.d.a.

2 – Identifique como monômio, binômio ou trinômio:

a) abc

b) a + b + c

c) 7x2 – 4x + 1

d) -3xyz

e) -10y2

Grau de um polinômio a uma variável Exemplos:

a) Na expressão 5x -1 o grau é 1 porque o termo de maior grau é 5x e o expoente do x é 1.

b) Na expressão 2m2 – m+ 1 o grau é 2 porque o termo de maior grau é 2m

c) Na expressão 3 y3 + 4y – 2y + 5, o grau é 3 porque o termo de maior grau é 3y

Obs.: P(x) = 5x0 = 5 → grau zero.

Exercícios:

1 – Dê o grau de cada uma dos polinômios:

a) 3x5 – 1 =

b) 7x + 4 =

c ) 6x5 + x =

d) x4 + x6 + 2 =

e) 8 + x + 3x2 – 4x3=

f) 5x0 + 2x + 7

g) 8x0 + 1 =

11

2 - O polinômio 7 x 4 - 3x2 + 1 é do grau: a) 4º grau b) 7º grau c) 5º grau d) 6º grau

3 - O polinômio 0x4 + 5x3 – 4x2 + x – 1 é do:

a) 4º grau b) 3º grau c) trinômio d) n.d.a

4 – A expressão – 10xy é um:

a) monômio b) binômio c) trinômio d) n.d.a

3 - Organize os polinômios usando a ordem decrescente e dê o grau do polinômio.

a) 7 + x 3 + 4x

b) x 2 - 6 + 3/5x 6 - 2x

c) 5x 2 + 4x 3 - 8x 4 + 0,1

d) - 9x 3 y + 3x y + x 2 y 2 + 2x 4

e) 5x y 8 - 3a x 5 + 4a x 3 - 12a + 5x 6

Reduzindo Termos Semelhantes a um Polinômio

Se dois ou mais termos de um polinômio têm variáveis iguais com potências iguais, os termos são

chamados de termos semelhantes. Considere o polinômio seguinte contendo termos semelhantes.

- 7x + 4x 2 + 4x + 1 - 3x 2

Identifique os termos semelhantes

4x 2 e - 3x 2 ; - 7x e 4x ( Como você vê, são semelhantes pois as variáveis iguais têm potências

iguais )

Procedimento para reduzir os termos semelhantes:

(1º) passo: Agrupamos os termos semelhantes. É claro que iniciamos sempre com os que possuem maior

expoente: 4x 2 - 3x 2 - 7x + 4x + 1

(2º) passo: simplificamos os termos semelhantes:

1x2 - 3x + 1 x2 - 3x + 1

Exercícios:

1 - Reduza os termos semelhantes e simplifique cada um dos polinômios.

a) x 2- 3 + x - 3x 2 + 2x 4

b) 4x 2y 2 - 1 - 3x 2y 2 - 8

c) 5x + 7 - 4 + 2x - 6x + 3

Não se esqueça : Se + antes do parênteses prevalece o sinal

Se – antes do parênteses Altera o sinal

12

2) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas: a) 6x + (2x – 4) – 2 = b) 7y -8 – (5y – 3) = c) 4x – ( -3X + 9 – 2X) = d) 3x – (-2x + 5) – 8x + 9 = e) 4x – 3 + (2x + 1) = f) (x + y) – (x + 2y) = g) ( 3x – 2y) + (7x + y) = h) –(8a + 4 – ( 3a + 2) =

3) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas

a) 5a + (3a -2) – (10a – 8) = b) 6x + (5x -7) – (20 + 3x ) = c) (x + y + z) + x – (3y + z) = d) (m + 2n ) – ( r – 2n) – ( n+ r) = e) – (6y + 4x ) + ( 3y – 4x ) – (-2x + 3y) =

Valor numérico

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e

efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio.

Exemplo:

Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:

P(x)= x3+2x2+x-4

P(2)= 23+2.22+2-4

P(2)= 14

Exercícios:

1 -Calcular o valor numérica de 2x + 3a

para x = 5 e a = -4

2 - Calcular o valor numérico de x² - 7x +y

para x = 5 e y = -1

3 - Calcule o valor numérico das expressões:

a) x – y (para x =5 e y = -4)=

b) 3x + a (para x =2 e a=6)=

c) 2x + m ( para x = -1 e m = -3)=

d) m – 2 a ( para m =3 e a = -5)=

4 - Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas. O primeiro com preço de R$ 45,00 por unidade e

o segundo com preço de R$ 67,00 por unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo

e de y a quantidade vendida do segundo tipo, qual será a expressão algébrica da venda desses dois

artigos?

Qual será o valor se forem vendidas 200 e 300 unidades, respectivamente?

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Operações envolvendo polinômios:

Multiplicação de Polinômios

Temos tanto o caso da multiplicação de um monômio por um polinômio, quanto o caso da multiplicação

de um polinômio por um polinômio.

Multiplicação de um Polinômio por um Monômio

No primeiro caso a multiplicação é realizada multiplicando-se o monômio por cada um dos termos do

polinômio.

Vejamos a multiplicação abaixo:

Repare que multiplicamos 7xy2 por ambos os termos do polinômio, aplicamos a propriedade distributiva

da multiplicação.

Veja mais alguns exemplos:

Exercícios:

1 – Determine:

a) 3(x+y)

b) 7(x-2y)

c) 2x(x+y)

d) 4x (a+b)

e) 2x(x²-2x+5)

f) 2.(a – b)

g)x.(y – 2 )

h) a(a – 1 )

i)x2( x – 1 )

j) -2ª ( x2 – 2x + 5 )

k)4x ( x – 2 )

Multiplicação de um Polinômio por um Polinômio

No caso da multiplicação de polinômio por polinômio efetuamos a multiplicação de cada um dos termos

do primeiro polinômio, por cada um dos termos do segundo polinômio e depois realizamos a redução do

polinômio resultante.

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Vamos analisar a multiplicação abaixo a qual separamos em três linhas para podermos observá-la mais

facilmente:

Exercícios:

a) (x+5).(x+2)

b) (3x+2).(2x+1)

c) (x+7).(x-4)

d) (3x+4).(2x-1)

e) (x-4y).(x-y)

f) (5x-2).(2x-1)

g) (3x+1).(3x-1)

h) (2x+5).(2x-5)

i) (6x²-4).(6x²+4)

j) (3x²-4x-3).(x+1)

k) (x²-x-1).(x-3)

l) (x-1).(x-2).(x-3)

m) (x+2).(x-1).(x+3)

n) (x³-2).(x³+8)

o) (x²+2).(x²+6)

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Atividade de contextualização:

Exercícios resolvidos:

Divisão de Polinômios

Como no caso da multiplicação, temos tanto a divisão de um polinômio por um monômio, quanto a

divisão de um polinômio por um polinômio. Vamos tratar cada um dos casos individualmente.

Divisão de um Polinômio por um Monômio

Este é o caso mais simples, pois podemos fazê-lo dividindo cada um dos monômios que formam o

polinômio, pelo monômio em questão.

2 – A figura abaixo é um polígono cujos lados são

todos horizontais ou verticais. Qual é o perímetro

desse polígono?

3 – No topo de um edifício de 15 x + 7 m (altura) se

encontra uma bandeira que mede 4x m( altura). A

expressão da distância D que há do solo à

extremidade da bandeira é:

a) 11x + 7

b) 19x + 7

c)19x +11

d)15x + 11

1 – Escreva o polinômio que representa:

a) o volume do sólido A;

b) o volume do sólido B;

c) a soma dos volumes de A e de B;

1 – Observe o retângulo:

a) O que significa para essa figura a

expressão 2.( x + 3 )+ 2.(x + 4 )?

b) E a expressão ( x+3).(x + 4 )?

c) Escreva um polinômio que represente o

perímetro e outro que represente a área desse

retângulo.

2 – A figura representa um quadrado de lado x cm.

( um dos lados aumentou 2cm)

Escreva a expressão simplificada que representa:

a) o perímetro do quadrado.

b) a área do quadrado.

c) o perímetro do retângulo.

d) a área do retângulo.

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Vamos analisar a divisão do polinômio abaixo:

Note que desmembramos o polinômio em duas partes, dividindo tanto 14x3y2 por 7xy2, quanto 7xy3.

Observe mais estes exemplos:

Exercícios:

1 – Determine:

a) ( 12x² – 8x) : (+2x) =

b) (3y³ + 6y²) : (3y) =

c) ( 10x² + 6x) : (-2x) =

d) (4x³ – 9x) : (+3x) =

Atividade de contextualização:

Divisão de um Polinômio por um Polinômio

Para realizarmos a divisão de polinômios é preciso que eles estejam reduzidos e ordenados.

O conceito da redução de termos semelhantes foi visto acima, quanto à ordenação de polinômios, dizemos

que um polinômio está ordenado em relação à determinada variável, quando o grau de todos os monômios

que os compõe, em relação a esta variável, estão ordenados de forma crescente ou decrescente.

O polinômio -5x4 + 6x5 - 7x3, não está ordenado em relação a variável x, já o polinômio 6x5 - 5x4 - 7x3

está ordenado de forma decrescente em relação a esta variável. Observe que os expoentes desta incógnita

decrescem de 5 a 3.

1 - (FCC- SP) Nas figuras abaixo estão representadas pilhas de caixas iguais, cada uma

contendo um mesma quantidade de envelopes.

As expressões matemáticas 3x/ 2 e 3x/4 indicam os totais de envelopes das duas primeiras

pilhas. A expressão correspondente à terceira pilha é:

a) 3x b) 5x c) 5x/2 d) 5x/4

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Para explicar o procedimento da divisão de polinômios pelo método das chaves: vamos dividir 8a2 - 2ab -

15b2 por 2a - 3b.

Repare que ambos os polinômios estão ordenados de forma decrescente em relação à incógnita a:

Por fim executamos a soma que resultará em zero, indicando uma divisão exata:

Exemplo 1:

Vamos aplicar o mesmo algoritmo para fazer uma divisão com polinômios. Dividindo o polinômio

x3 + 2x2 + x + 1 pelo polinômio x + 1 .

Podemos escrever: x3 + 2x2 + x +1 = ( x + 1 ) .( x2 + x ) + 1

A divisão acima não é exata, portanto o polinômio x3 + 2x2 + x +1 não é divisível pelo polinômio

x + 1 .

Obs.: Faça a divisão como uma conta normal.

( lembre-se das operações feitas com monômios)

Lembre-se:

( se conserva o sinal).

( se altera o sinal).