Sequências Sequências ou ou

sucessõessucessões

Prof. Newton Lima

Uma sequência ,ou sucessão , é um Uma sequência ,ou sucessão , é um conjunto de objetos de qualquer conjunto de objetos de qualquer natureza organizados ou escritos numa natureza organizados ou escritos numa ordem bem definida.ordem bem definida.

Por exemplo, a sequência formada Por exemplo, a sequência formada pelos números ímpares:pelos números ímpares:

(1;3;5;7;9;....)(1;3;5;7;9;....)

Ou a sequência formada pelos dia da Ou a sequência formada pelos dia da semana:semana:

(domingo; segunda-feira, terça-feira, (domingo; segunda-feira, terça-feira, quarta- feira,quinta-feira, sexta-feira, quarta- feira,quinta-feira, sexta-feira, sábado)sábado)

Uma sequência pode ser classificada Uma sequência pode ser classificada como como finitafinita..

Por exemplo, podemos falar na Por exemplo, podemos falar na sequência dos meses do ano:sequência dos meses do ano:

(Janeiro, fevereiro,março..., (Janeiro, fevereiro,março..., dezembro)dezembro)

EE infinita,,

Por exemplo a sequência dos Por exemplo a sequência dos números pares escritos em ordem números pares escritos em ordem crescente:crescente:

(2,4,6,8,10,12....)(2,4,6,8,10,12....)

Para representar uma sequência, Para representar uma sequência, escrevemos seus elementos, ou escrevemos seus elementos, ou termos , entre parênteses. Por termos , entre parênteses. Por exemplo, para representar a exemplo, para representar a sequência dos números pares, sequência dos números pares, fazemos assim:fazemos assim:

(2,4,6,8,10,12,14,...)(2,4,6,8,10,12,14,...)

É importante destacar que , ao É importante destacar que , ao contrário do que ocorre num contrário do que ocorre num conjunto, qualquer alteração na ordem conjunto, qualquer alteração na ordem dos elementos de uma sequência dos elementos de uma sequência altera a própria sequência.altera a própria sequência.

Por exemplo:Por exemplo:

{2,4,6,8}={4,2,8,6}{2,4,6,8}={4,2,8,6}

MasMas

(2;4;6;8)≠(4;2;8;6)(2;4;6;8)≠(4;2;8;6)

Uma sequência genérica pode ser Uma sequência genérica pode ser representada por:representada por:

(a; a; a; a;...;a;...)(a; a; a; a;...;a;...) 1 2 3 4 n1 2 3 4 n

NoteNote que os índices associados à que os índices associados à letra letra aa indicam as posições dos indicam as posições dos termos na sequencia, isto é, termos na sequencia, isto é,

a - a - representa o 1° termorepresenta o 1° termo 11

aa - - representa o 2° termorepresenta o 2° termo 22

.. ..

..

a - a - representa o n-ésimo termorepresenta o n-ésimo termo nn

Por exemplo, na sequênciaPor exemplo, na sequência

(1;4;9;16;25;36;...)(1;4;9;16;25;36;...)

a a = 1,= 1, a = a = 4,4, a a = = 9, a 9, a = 16 e assim = 16 e assim porpor

1 2 3 41 2 3 4

diante.diante.

Três termos consecutivos de uma Três termos consecutivos de uma sequência qualquer podem ser sequência qualquer podem ser representados porrepresentados por

a ; a ; a a ; a ; a n-1 n-1 n n n+1n+1

Dizemos também que:Dizemos também que:

a a é o antecessor deé o antecessor de a a n-1n-1 nn

a a é o sucessor deé o sucessor de a a n+1n+1 n n

Assim, na sequência Assim, na sequência (1;4;9;16;25;36;...)(1;4;9;16;25;36;...) 9 é o 9 é o antecessorantecessor de 16 e 25 é o de 16 e 25 é o

sucessor sucessor de 16.de 16. Determinação de uma sucessão:Determinação de uma sucessão:

As sucessões são dadas, em sua As sucessões são dadas, em sua maioria, por meio de uma regra maioria, por meio de uma regra chamada chamada lei delei de formaçãoformação e que nos e que nos permite calcular qualquer termo da permite calcular qualquer termo da sucessão.sucessão.

Exemplos:Exemplos:

Escrever a sucessão em que Escrever a sucessão em que a = 2.n a = 2.n ee

nn

n n ЄЄ {1,2,3,4} {1,2,3,4}

Solução:Solução:

aa= 2.1= 2.1 =2;=2;aa= 2.2=4;= 2.2=4;aa== 2.3=6;2.3=6;aa= = 2.4= 82.4= 8

1 2 3 41 2 3 4

A sucessão procurada é:A sucessão procurada é:

( 2;4;6;8)( 2;4;6;8)

Progressões aritméticas:Progressões aritméticas:

Chama-se progressão aritmética (P.A) Chama-se progressão aritmética (P.A) toda sequência numérica em que cada toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor com um número soma de seu antecessor com um número constante r.constante r.

a = a + r (n ≥ 2)a = a + r (n ≥ 2) n n-1n n-1

A constante r é a razão da P.AA constante r é a razão da P.A

Vejamos estes exemplos:Vejamos estes exemplos:

a) (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...) P.A de razão 4a) (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...) P.A de razão 4 +4 +4 +4 +4+4 +4 +4 +4

b) (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...) P.A de razão -3b) (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...) P.A de razão -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3

c) (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...) P.A de razão 0 c) (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...) P.A de razão 0

Observações!!!!Observações!!!!

Uma P.A. pode ser definida como Uma P.A. pode ser definida como uma sequência em que a diferença uma sequência em que a diferença entre cada termo e seu antecessor é entre cada termo e seu antecessor é constante. Isto é,constante. Isto é,

a = a + r a – a = r (n ≥ 2)a = a + r a – a = r (n ≥ 2) n n-1 n n-1n n-1 n n-1

Por exemplo, na p.aPor exemplo, na p.a

(2; 9; 16; 23; 30...) de razão 7 (2; 9; 16; 23; 30...) de razão 7 tem-se:tem-se:

a a -- a a = 9 - 2= 9 - 2 a a –– a a = 7= 7 2 1 2 12 1 2 1

a a -- a a = 16 - 9= 16 - 9 a a –– a a = 7= 7 3 2 3 23 2 3 2

a a -- a a = 23 -19= 23 -19 a a –– a a = 7= 7 4 3 4 34 3 4 3

Uma p.a de razão r é dita:Uma p.a de razão r é dita:

Crescente , se r › 0Crescente , se r › 0

ex.: ex.: (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...) (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...)

p.a de razão 4p.a de razão 4 Decrescente, se r‹0Decrescente, se r‹0

ex.: (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...) ex.: (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...)

p.a de razão -3p.a de razão -3

Constante, se r=0Constante, se r=0

ex.: (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...)ex.: (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...)

Termo geral de uma P.ATermo geral de uma P.A O termo geral de uma p.a é dado pela O termo geral de uma p.a é dado pela

fórmula:fórmula:

a = a + (n-1) . ra = a + (n-1) . r n 1n 1

Sua tradução para a linguagem Sua tradução para a linguagem comum é a seguinte:comum é a seguinte:

“ “ Para obter o enésimo termo de uma Para obter o enésimo termo de uma p.a, basta somar n-1 vezes à razão p.a, basta somar n-1 vezes à razão ao primeiro termo. “ ao primeiro termo. “

Por exemplo, para determinar o 10° termo Por exemplo, para determinar o 10° termo de uma p.a basta somar 9 vezes a razão de uma p.a basta somar 9 vezes a razão ao 1° termo. Logo, na p.a,ao 1° termo. Logo, na p.a,

(1;4;7;10;13;16;19;...) p.a de razão 3(1;4;7;10;13;16;19;...) p.a de razão 3

Temos:Temos:

a a == a + 9r a a + 9r a == 1 + 9. 31 + 9. 3 .: a .: a=28=28 10 1 10 1010 1 10 10

Da mesma forma que ,Da mesma forma que ,

a a == a +50r a a +50r a = 1 + 50.3 .:= 1 + 50.3 .: a a= 151= 151 51 1 51 5151 1 51 51

Termos equidistantes de uma Termos equidistantes de uma P.AP.A

Numa sequência finita o primeiro e o Numa sequência finita o primeiro e o último termo são chamados último termo são chamados extremos.Por exemplo,1 e 15 são os extremos.Por exemplo,1 e 15 são os extremos da p.a,extremos da p.a,

(1;3;5;7;9;11;13;15)(1;3;5;7;9;11;13;15)

Dizemos que dois termos são de uma Dizemos que dois termos são de uma sequência são equidistantes dos sequência são equidistantes dos extremos se o número de termos que extremos se o número de termos que antecede um é igual ao número de antecede um é igual ao número de termos que sucedem o outro. termos que sucedem o outro.

Então , na p.a do exemplo dado, temos:Então , na p.a do exemplo dado, temos: (1;3;5;7;9;11;13;15)(1;3;5;7;9;11;13;15)

Onde os pares de termos 3 e 13, 5 e 11, Onde os pares de termos 3 e 13, 5 e 11, 7 e 9 são equidistantes dos extremos.7 e 9 são equidistantes dos extremos. Propriedade:Propriedade:

Numa p.a finita, a soma de quaisquer

dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

Utilizando ainda o exemplo dado temos :Utilizando ainda o exemplo dado temos :

(1;3;5;7;9;11;13;15)(1;3;5;7;9;11;13;15)

Onde:Onde:

1 e 15 são os extremos, sua soma é 1 e 15 são os extremos, sua soma é dada por: 1+15= 16. A partir daí dada por: 1+15= 16. A partir daí temos,temos,

3 e 13 , 5 e 11 ,7 e 9 são termos 3 e 13 , 5 e 11 ,7 e 9 são termos equidistantes desta p.a.Sua soma é equidistantes desta p.a.Sua soma é dada por:dada por:

3+13 = 5+11 = 7+9 = 1+15 =16.3+13 = 5+11 = 7+9 = 1+15 =16.

Soma dos termos de uma p.a Soma dos termos de uma p.a finitafinita

A soma dos n primeiros termos de A soma dos n primeiros termos de uma p.a finita é dada pela fórmula:uma p.a finita é dada pela fórmula:

s = (a + a). ns = (a + a). n n 1 nn 1 n

22

Por exemplo:Por exemplo:

Calcular a soma dos 15 primeiros Calcular a soma dos 15 primeiros termos de uma p.a onde, termos de uma p.a onde, a a = 12 e= 12 e r r= = 33

11

Solução:Solução:

Antes de calcular a soma temos de Antes de calcular a soma temos de acharachar

a a .. 1515

aa = 12 + 14.3 .: = 12 + 14.3 .: aa =56 =56 15 1515 15

Daí a soma dos 15 termos da p.a éDaí a soma dos 15 termos da p.a é s = (12 + 56) . 15 /2 .: = (12 + 56) . 15 /2 .: ss =510 =510

15 15 1515

Exercícios:Exercícios:

1-Determine o 21°, 73° e 139° termos da 1-Determine o 21°, 73° e 139° termos da p.a (-17,-11;-5;...)p.a (-17,-11;-5;...)

2-calcule o primeiro termo de uma p.a , 2-calcule o primeiro termo de uma p.a , nos seguintes casos:nos seguintes casos:

a) a= 92 e r=3 b) a= 81 e r = -4a) a= 92 e r=3 b) a= 81 e r = -4 34 8134 81

3-Quantos termos possui a seguinte p.a?3-Quantos termos possui a seguinte p.a? (-19;-15;...;205)(-19;-15;...;205)

PROGRESSÃO PROGRESSÃO ARITMÉTICAARITMÉTICA

PROGRESSÃO PROGRESSÃO ARITMÉTICAARITMÉTICA

PROFESSOR: Newton Lima

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO

PROGRESSÃO

É uma sequência lógica de informações que possuem um critério específico e uma ordem

estabelecida para o surgimento de seus valores. Uma progressão pode ser

crescente ou decrescente!

ARITMÉTICA

Indica uma relação numérica que seráorientada sobre forma de soma. A aritmética

consiste em realizar operações utilizando o sistema de contagem na forma de adição.

PROGRESSÃO ARITMÉTICAPROGRESSÃO ARITMÉTICA

É uma sequência numérica É uma sequência numérica orientada sobre forma de soma orientada sobre forma de soma onde, cada termo a partir do onde, cada termo a partir do segundo, terá um mesmo valor segundo, terá um mesmo valor acrescido em sua sequência, acrescido em sua sequência, sendo este valor o mesmo para sendo este valor o mesmo para todos os elementos e chamado todos os elementos e chamado de razão. de razão.

É uma sequência numérica É uma sequência numérica orientada sobre forma de soma orientada sobre forma de soma onde, cada termo a partir do onde, cada termo a partir do segundo, terá um mesmo valor segundo, terá um mesmo valor acrescido em sua sequência, acrescido em sua sequência, sendo este valor o mesmo para sendo este valor o mesmo para todos os elementos e chamado todos os elementos e chamado de razão. de razão.

Observe o exemplo:Observe o exemplo:

24,21,18,15,12,9,6,3O primeiro elemento da sequência é chamado de a1

an é o último termo de uma sequência numérica

O número de elementos de uma sequência numérica será representado pela letra n

A ordem de crescimento entre os elementos, ou razão, a partir do segundo termo, sempre será a mesma e será representada pela letra r

Então, neste caso,a1 é 3

Neste caso,an é 24

Podemos observarque a seqüência acima possui 8

números, ou seja, n = 8

Observe que a cadanovo número nestaseqüência sempre é somado o valor 3 o que nos mostra que a nossa razão (ordem de crescimento)será o número 3

Fórmula do termo geral de uma Fórmula do termo geral de uma P.AP.A..

rnaan 11

Último termo de uma P.A. ou termo procurado

Primeiro termo da P.A.

Número de elementos da P.A.

Razão da P.A.

ExemploExemplo11::ExemploExemplo11::

rnaan 11 rnaan 11

Determine o 70º elemento de uma P.A. onde o primeiro termo é 5 e a razão é 8

O primeiro procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. A partirdestas informações iremos desvendar o valor desconhecido utilizando a fórmula do termo geral de uma P.A.

O primeiro procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. A partirdestas informações iremos desvendar o valor desconhecido utilizando a fórmula do termo geral de uma P.A.

DADOS:

a1= 5n = 70r = 8an = ?

Utilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar,ou seja, o último termo desta P.A. que no caso é o 70º elemento.

Agora basta substituir os valoresfornecidos na questão. Lembre-se

que a resolução desta fórmulasegue os princípios de resolução

de uma equação de 1º grau.

557

5525

8695

81705

n

n

n

n

a

a

a

a

ExemploExemplo22::ExemploExemplo22::

rnaan 11 rnaan 11

Determine o 1º elemento de uma P.A. que possui 120 números onde o último termo é 570 e a razão é 4

Novamente o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão para substituir os seus valores na fórmula do termo geral de uma P.A.

Novamente o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão para substituir os seus valores na fórmula do termo geral de uma P.A.

DADOS:

an= 570n = 120r = 4a1 = ?Utilizamos a interrogação para indicar o valor de desejamos encontrar,

ou seja, o primeiro termo desta P.A.

476570

4119570

41120570

1

1

1

a

a

a

Neste momento iremos lembrardo princípio de resolução de

uma equação onde a letra deveficar isolada em um dos lados

da equação. Neste caso, o número +476 irá para o 1º

membro (antes do sinal de igual) mas, para tanto, é necessário mudar o

sinal de positivo para negativo.

570 – 476 =a1

94 = a1

IMPORTANTE:IMPORTANTE:IMPORTANTE:IMPORTANTE:

Existem algumas questões que procuram identificar a soma de todos os termos de uma P.A. Neste tipo de questão, iremos levar em conta que esta P.A. representa um conjunto finito de elementos, ou seja, podemos definir o primeiro e o último termo desta seqüência.

Fórmula da soma dos termos de uma Fórmula da soma dos termos de uma P.A.P.A.

2

1 naaS nn

Soma de todos os elementos de uma P.A. finita

Primeiro termo da P.A.

Último termo da uma P.A.

Número de elementosDa P.A.

ExemploExemplo33::ExemploExemplo33::Determine a soma dos 50 primeiros elementos de uma P.A. ondeo primeiro elemento é 8 e o último 102

Novamente, o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. Porém, neste caso, a questão deseja saber o valor da SOMA de todos os termos, logo iremos utilizar para esta resolução, a fórmula da soma de elementos de uma P.A. finita

Novamente, o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. Porém, neste caso, a questão deseja saber o valor da SOMA de todos os termos, logo iremos utilizar para esta resolução, a fórmula da soma de elementos de uma P.A. finita

DADOS:

a1= 8an = 102n = 50Sn = ?

2

1 naaS nn

21 naa

S nn

27502

55002

501102

501028

n

n

n

n

S

S

S

S

Utilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar,ou seja, a soma de todos os termos de uma P.A.

ExemploExemplo44::ExemploExemplo44::

rnaan 11

2

1 naaS nn

21 naa

S nn

116

1115

3375

31385

n

n

n

n

a

a

a

a

Determine a soma dos 38 primeiros elementos de uma P.A. ondea razão é 3 e o primeiro elemento 5.

Neste tipo de questão é preciso se atentar para o que realmente o problema quer saber. Observado isto, e de posse da informação que a SOMA será o alvo do nosso cálculo, partimos para outro questionamento: Onde está o valor do último termo desta P.A.?

Neste tipo de questão é preciso se atentar para o que realmente o problema quer saber. Observado isto, e de posse da informação que a SOMA será o alvo do nosso cálculo, partimos para outro questionamento: Onde está o valor do último termo desta P.A.?

DADOS:

a1= 5n = 38r = 3an = ?Sn = ?

Neste tipo de problema, iremos utilizar duas fórmulas para chegar ao resultado desejado. Primeiro utilizamos a fórmula do termo geral deuma P.A. onde o valor de an será encontrado. Após isto, utilizaremosa fórmula da soma dos termos de uma P.A. finita.

22992

45982

381212

381165

n

n

n

n

S

S

S

S

O valor de an será substituídona fórmula da soma.

Um pouco de exercício!!!Um pouco de exercício!!!

Progressão AritméticaProgressão Aritmética• Determine o primeiro termo Determine o primeiro termo

de uma PA onde ade uma PA onde a3 3 = 8 e r = -3= 8 e r = -3

an = a1 + (n-1) x r

8 = a1 + (3-1) x (-3)

8 = a1 + 2 x (-3)

8 = a1 + (-6)

8 = a1 -6

a1 = 8+6 14

Progressão AritméticaProgressão Aritmética

• Determine a razão da PA(3, 9, 15,...)Determine a razão da PA(3, 9, 15,...)

r = a2 - a1

a2=9

a1=3

Dados:

r = 9 – 3

r = 6