Probabilidades - parte 4 (ISMT)

CET – Curso de Especialização Tecnológica

Ano Lectivo 2009/2010

Métodos Computacionais e Estatísticos

Professor: João Leal

www.joaoleal.net Professor: João José Leal 2

2. Probabilidades


• Uma distribuição de Bernoulli resulta de um experiênciaaleatória que origina apenas dois resultados possíveis:“sucesso” e “fracasso”.

• Seja X uma v.a. com uma distribuição Bernoulli. Se pdesigna a probabilidade de sucesso e a probabilidade defalha é (1-p)=q, a função massa de probabilidade deBernoulli é

ou

em que X assume o valor 1 se ocorrer sucesso e o valor 0 seocorrer fracasso. Escreve-se X~Bernoulli(p).

DistribuiDistribuição BernoulliBernoulli

pXPqpXP )1()1()0( e

1,0,)1()( 1 xppxXP xx


• Seja X uma v.a. com distribuição Bernoulli eprobabilidade de sucesso igual a p. A média seráigual a

e a variância

pppxXPxXEX

X )1()1)(0()()(

)1()1()1()0(

)()(])[(

22

222

pppppp

xXPxXEX

XXX


• Seja X uma v.a. com distribuição Bernoulli eprobabilidade de sucesso igual a p. A média seráigual a

e a variância

pppxXPxXEX

X )1()1)(0()()(

)1()1()1()0(

)()(])[(

22

222

pppppp

xXPxXEX

XXX


• O número de sequências com x sucessos em nexperiências independentes é igual a:

onde n! = n x (n – 1) x (n – 2) x . . . x 1 e 0! = 1.

• Estas sequências são mutualmente exclusivas dadoque nenhuma das duas pode ocorrer ao mesmo tempo.

)!(!

!

xnx

nCn

x

nxC

SequênSequências de x sucessos em n experiências


• Suponha que uma experiência aleatória pode resultar emdois resultados mutualmente exclusivos e colectivamenteexaustivos, ou seja, em sucesso e fracasso. Represente-sepor p a probabilidade de sucesso em cada ensaio. Se aexperiência aleatória for repetida n vezes, a distribuição donúmero de sucessos “x” é chamada de distribuição binomial.

• A função massa de probabilidade para uma v.a. binomial X =x (sendo x = número de sucessos em n experiênciasindependentes):

para x = 0, 1, 2 . . . , n. Escreve-se .

)()1()( xnxnx ppCxXP

DistribuiDistribuição BinomialBinomial

),(~ pnBX


• Seja X o número de sucessos de n experiênciasindependentes, cada uma com probabilidade de sucessop. Então, X segue uma distribuição binomial com média,

• e variância,

DistribuiDistribuição BinomialBinomial

)1(])[( 22 pnpXE XX

npXEX )(


• Suponha que uma amostra aleatória de n objectos éescolhida de um grupo de N, S dos quais são sucessos. Adistribuição de número de X sucessos na amostra échamada de distribuição hipergeométrica. A sua funçãomassa de probabilidade é

• onde x pode tomar qualquer valor inteiro do maior de 0 e [n-(N-S)] ao menor de n e S.

)!(!

!)!()!(

)!(

)!(!

!

)(

nNnN

xnSNxnSN

xSxS

C

CCxP

Nn

SNxn

Sx

DistribuiDistribuição HipergeométricaHipergeométrica


Assuma que um intervalo é dividido num grande número desubintervalos tal que a probabilidade da ocorrência de um eventoem cada subintervalo é muito pequena. Uma aplicação comum dadistribuição Poisson é fornecer a probabilidade de um certonúmero de eventos ocorrerem num dado período tempo.

As hipóteses de uma distribuição de Poisson são:

A probabilidade da ocorrência de um evento é constante paratodos os subintervalos;

Não pode haver mais do que uma ocorrência em cadasubintervalo;

As ocorrências são independentes; ou seja, o número deocorrências em intervalos sem sobreposição são independentes.

DistribuiDistribuição de de PoissonPoisson


• Diz-se que a v.a. X segue uma distribuição de Poisson, X~ P(), se tem função massa de probabilidade:

onde• P(x) é a probabilidade de x sucessos num dado

período de tempo ou espaço, dado • é a taxa média de sucessos por unidade de tempo ouespaço; > 0• e = 2.71828 (base do logaritmo natural)

• A média e a variância da distribuição de Poisson são:

1,2,...0,xpara

,!

)(x

exXP

x

])[()( 22 XEandXE xx


• Seja x o número de sucessos resultante de n experiênciasindependentes, cada uma com probabilidade de sucesso p. Adistribuição do número de sucessos X é binomial com média np.

• Se n é grande (n≥20) e p pequeno (p0.1), esta distribuiçãopode ser aproximada pela distribuição de Poisson com = np. Afunção massa de probabilidade da distribuição de aproximação éentão:

1,2,...0,xpara

,!

)()(

x

npexP

xnp

AproximacãoAproximacão da distribuida distribuição Binomial Binomial à de à de PoissonPoisson


DistribuiDistribuição NormalNormal

• Suas média, mediana e moda são iguais.

• Tem forma de sino e é simétrica em torno da média.

• A área total sob a curva é de 100%.

x


• À medida que a curva se afasta da média, aproxima-secada vez mais do eixo x, mas nunca o toca.

• Os pontos em que a curvatura muda são chamados pontosde inflexão. O gráfico curva-se para baixo entre os pontosde inflexão e, para cima, à esquerda e à direita deles.

x

Ponto de inflexãoPonto de inflexão


12 15 1810 11 13 14 16 17 19 20

Curvas com médias diferentes e desvios padrão diferentes

Curvas com médias diferentes e o mesmo desvio padrão


2012 15 1810 11 13 14 16 17 19 21 229

Curvas com médias diferentes e desvios padrão diferentes


Cerca de 96% da área está a dois desvios padrão.

Cerca de 99,7% da área está a três desvios padrão da média.

Cerca de 68% da área está a um desvio padrão da média.

68%


a distribuição das médias da amostra de tamanho n será normal, com média

e desvio padrão

O O TeoremaTeorema do do LimiteLimite CentralCentral

x

Se uma amostra de qualquer tamanho for tirada de uma população com distribuição normal, média = e desvio

padrão =










Education

Probabilidades - parte 4 (ISMT)