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AUDI DA SILVA BLJENO
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REFLEXÃO SOBRE A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COM OMÉTODO DE ENSINO
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PONTA GROSSA2000
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AUDI DA SILVA BlJENO
DENISE SOBJEIRO MICHALO\VSKI
ELISABETE SOB.JEIRO ANDRZEJE\VSKI
REFLEXÃO SOBRE A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COM OMÉTODO DE ENSINO
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Monografia apresentada comorequisito parcial para obtenção dograu de especialista em Metodologiado Ensino Fundamental.
Orientadora: Prot'a Ms MarlenePerez. Uníversidade Estadual dePonta Grossa - Paraná.
PONTA GROSSA2000
AGRADECI~IENTOS
À professora Marlene 'pirez.
Pela preciosa orientação, constante dedicação e entusiasmo; auxiliando-nos em um
trabalho, o qual nos foi muito gratificante.
Abriu-nos um novo caminho, de esperança e sabedoria. Tudo por sua brilhante ajuda,
"O nosso respeito e afeto".
Aos familiares, pela colaboração indireta, que com paciência nos deram esperança e
incentivação, para que conseguíssemos superar essa etapa de nossos estudos.
A Deus, pela saúde e oportunidade que nos destes, c a coragem de lutar pelo nosso
ideal.
SUMÁRIO
rINTRODUÇAO 01
A MATEMÁTICA NO CURRÍCULO ESCOLAR 03
. A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA APRÁTICA DO PROFESSOR 13
r TÓPICOS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA. 22
CONSIDERA.ÇOES FINAIS 35
REFERÊNCIAS"BIBLIOGRÁFICAS 36.. " ...•.. ..'
r
. "....
.•
RESlJJYIO
Com este trabalho buscamos urna melhor compreensão da importância da História daMatemática para a prática do professor. Apresentamos algumas contribuições dahistória para o aprendizado da Matemática, pois ela é uma ciência que envolve todoconteúdo necessário, é instrumento valioso na explicação de problemas científicos deum modo geral. Por isso faz-se necessário facilitar a inter-relação entre o conteúdotrabalhado e o cotidiano do aluno para a compreensão de conceitos e princípiosinerentes à Matemática e sua aprendizagem.
',' ,..,.
INTRODUÇÃO
A história da Matemática não tem sido trabalhada adequadamente nas salas de
aula, mas também nãoaparecem nos livros didáticos adequadamente.
Porém é de grande interesse e importância que na Matemática, professores c
alunos conheçam sua história para que possam reconstituí-la em parte. A história da
Matemática surge como uma metodologia, objetivando a melhoria do ensino-
aprendizagem da Matemática.
Pensamos que um bom ensino de Matemática pode ajudar os alunos a se
desenvolverem, a melhorar a sociedade e, principalmente melhorar o meio em que
vivem, tomando-os pessoas conscientes e críticas. Porém, não podemos ser utópicos
achando que a Matemática vai solucionar todos os problemas; ela ajuda quando bem
trabalhada. Para isto necessita de uma metodologia com muitas inovações que terão de
vir ao encontro dos ideais do contexto educacional atual.
Afirma DUARTE (1987, p.13): "0 que o educador reproduzirá com os
educandos não é a história da Matemática, mas é o processo de evolução desta, isto é,
reproduzirá apenas as etapas essenciais da evolução do conteúdo matemático".
A História. da Matemática poderá auxiliar o professor a conhecer melhor os
conteúdos matemáticos que se propõe a ensinar.
Cabe a cada um de nós, fazer uma Matemática que realmente leve o cidadão a
desenvolver-se. A realidade tem se tomado cada dia mais complexa, exigindo de nós
um maior comprometimento com o ensino da Matemática.
Assim, o problema deste trabalho prende-se à necessidade de explorar a
História da Matemática como metodologia de ensino, pois apesar desta não ser uma
idéia nova, é pouco conhecida, daí sentirmos a necessidade de estudá-Ia. Dessa forma,
2
pensamos contribuir para a melhoria do ensino-aprendizagem da Matemática, bem
como auxiliar no desenvolvimento critico dos educandos.
São nossos objetivos:
• Oportunizar o desenvolvimento do interesse pelos fatos históricos da Matemática.
• Tecer algumas considerações sobre a História da Matemática, com especial atenção
para a educação.
• Buscar na História da Matemática dados que proporcionem meIOS de
desenvolvimento à criatividade.
Desenvolvemos nosso trabalho em fontes bibliográficas com leitura analítica e
critica, pois precisamos estar abertos a aceitar mudanças. Segundo FERREmA (1968):
"O homem vem se desenvolvendo e procurando descobrir formas de melhorar a sua
vida", A Matemática é muito importante para esse desenvolvimento.
3
A MATEMÁTICA NO CllRRÍClJLO ESCOLAR
No currículo escolar, a Matemática deve ser pensada a partir de uma
globalidade dentro da qual seus conteúdos possam ser entendidos como frutos da
produção humana, enquanto totalidade, considerando o que é essencial para a formação
do aluno como sujeito na história.
Se através da Matemática conseguimos discutir e ensinar o processo de criação
do conhecimento, além do próprio conhecimento matemático estaremos
instrumentalizando o educando para o pensamento critico.
No currículo, deve-se procurar um equilíbrio entre a relação conteúdo-forma
no sentido da evolução histórica dos conteúdos e das necessidades de superação de uma
das etapas desta evolução, na construção de um conhecimento matemático que seja
instrumento de transformação da sociedade.
Mas, para que isto ocorra, é necessário definir os conteúdos e a forma de
socialização destes conteúdos, através de uma prática pedagógica intencionalmente
dirigi da, levando o educando a ser capaz de realizar uma análise crítica da sociedade
para que se possa nela intervir e modificar as condições existentes a partir das
necessidades e possibilidades concretas.
A Matemática tem sido uma atividade humana por milhares de anos. Em certa
medida, todos são matemáticos e fazem Matemática inconscientemente em decorrência
das necessidades cotidianas.
Na história da humanidade, a Matemática foi descrita, inicialmente, como
ciência de quantidade e do espaço, e os matemáticos, devido à necessidade de
comunicação, estabeleceram convenções, criando o simbolismo relacionado ao cálculo
das quantidades e medidas do espaço.
"';"
A própria nanireza forneceu elementos para que as noções inICIaIS sobre
quantidades e forma se desenvolvessem paralelamente no processo do conhecimento
matemático pela humanidade.
Na ânsia de compreender a realidade, o homem foi desenvolvendo e
aprimorando esse conhecimento através da observação, análise, comparação e
interpretação.
A Matemática tem sido componente básico no cunículo devido à necessidade
da aplicação de habilidades matemáticas a situações práticas, da formação de uma base
conceitual a partir da qual outras idéias matemáticas serão organizadas e do
desenvolvimento de habilidades do pensamento lógico, tais como: o pensamento
proporcional, o combinatório e o raciocínio hipotético-dedutivo que levam à formação
de uma concepção científica do mundo.
A transmissão dos conteúdos deve-se processar de forma que o aluno perceba
as regras do conhecimento e da ação humana não são absolutas. São criadas a partir de
necessidades concretas, e é preciso analisar quando podem ser aplicada').
A importância das conquistas da Matemática na superação dos problemas
vitais, tornando o aluno um agente na aplicação desse saber, não esperando um ato
mágico para as tr~nsfonnações SOCIaIS,mas SIm, formando um pensamento lógico,
utilizando-o para uma reflexão critica sobre a realidade. Jogos, livros, vídcos,
calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel importante no processo
ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem,
ao exercício da análise e da reflexão, em última instância, a base da atividade
matemática.
Os alunos trazem para a escola, conhecimento, idéias e intuições, construí dos
através das experiências que vivenciam com seu grupo sócio-cultural. Eles chegam às
••
5
salas de aula com diferenciadas ferramentas básicas para, por exemplo, classificar,
ordenar, quantíficar e medir. Além disso, aprendem a atuar de acordo com os recursos,
dependências e restrições de seu meio.
A par desses esquemas de pensamento e práticas, todo aluno brasileiro faz
parte de uma sociedade em que se fala a mesma língua, utiliza o mesmo sistema de
numeração, o mesmo sistema de medidas, o mesmo sistema monetário, além disso,
recebe informações veiculadas por meio de mídias abrangentes que se utilizam de
linguagens e recursos gráficos comuns, independentemente das características
particulares dos grupos receptores.
Desse modo, um currículo de Matemática deve procurar contribuir, de um lado,
para a valorização da pluralidade socioculrural, impedindo o processo de submissão no
confronto com outras culturas; de outro, criar condições para que o aluno transceda um
modo de vida restrito a um determinado espaço social e se tome ativo na transformação
de seu ambiente.
A compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e sociais
também dependem da leitura e interpretação de informações complexas, muitas vezes
contraditórias, que incluem dados estatísticos e índices divulgados pelos meios de
comunicação. Ou ~eja, para exercer a cidadania, é necessário saber calcular, medir,
raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente, ele.
Da mesma forma, a sobrevivência numa sociedade que, a cada dia, torna-se
mais complexa, exigindo novos padrões de produtividade, depende cada vez mais de. " ',."
conhecimento.
Novas competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho
requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que vão
além da comunicação oral e escrita), instalando novos ritmos de produção, de
informações e propondo problemas em equipe.
Para tanto, o ensino da Matemática prestará sua contribuição a medida que
forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação,
a justificativa, a argumentação, o espírito critico; e favoreçam a criatividade, o trabalho
coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança
na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios.
É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um
conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua
capacidade expressiva, de sua estética e de sua imaginação.
Para que isso aconteça é preciso que cada professor construa dentro de SI
mesmo, na sua ação pedagógica, em cada momento de interação com o aluno visto
como um sujeito histórico alargando os horizontes para além ele Sl41 sala de aula, ao
encontro da realidade, vivida como forma de ser no mundo.
Tradicionalmente, a prática mais frequente no ensino de Matemática era aquela
em que o professor apresentava o conteúdo oralmente, partindo de definições,
exemplos, demonstração de propriedades, seguidas de exercícios de aprendizagem,
fixação e aplicação, e pressupunha que o aluno aprendia pela reprodução. Considerava-
se que uma reprodução correta era evidência de qUI: ocorrera a aprendizagem.
Essa prática de ensino mostrou-se ineficaz, pois a reprodução correta poderia
ser apenas uma síntese indicação de que o aluno aprendeu a reproduzir, mas não
aprendeu o conteúdo.
É relativamente recente, na história da Didática, a atenção ao fato de que o
aluno é agente da construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com
seu conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas. Naturalmente, à
7
medida que se redefine o papel do aluno perante o saber, é preciso redimensionar
também o papel do professor que ensina Matemática no ensino fundamental.
Numa perspectiva de trabalho em que se considere a criança como protagonista
da construção de sua aprendizagem, o papel do professor ganha nOV,ISdimensões. Uma
faceta desse papel é a de organizador da aprendizagem, para desempenhá-Ia, além de
conhecer as condições socioculrurais, expectativas e competência cognitiva dos alunos,
precisará escolher os problemas que possibilitam a construção de conceitos,
procedimentos a alimentar o processo, sempre tendo em vista os objetivos a que se
propõe atingir.
Além de organtzador, o professor é consultor nesse processo. Não mais aquele
que expõe todo o conteúdo aos alunos, mas aquele que fornece as informações
necessárias, que o aluno não tem condições de obter sozinho. Nessa função, faz
explanações, oferece materiais, textos, etc.
Outra das funções é como mediador, ao promover a confrontação das
propostas dos alunos, ao disciplinar as condições em que cada aluno pode intervir para
expor sua solução, questionar, contestar, Nesse papel, o professor 6 responsável por
arrolar os procedimentos empregados e as diferenças encontradas, promover o debate
sobre resultados e~métodos, orientar as reformulações e valorizar as soluções mais
adequadas. Ele também decide se é necessário prosseguir o trabalho de pesquisa de um
dado tema ou se é momento de elaborar um síntese, em função das expectativas de
aprendizagem previamente estabclecidas em seu planejamento.
Atua como. controlador ao estabelecer as condições para a realização das
atividades e fixar prazos; 'sem esquecer de dar o tempo necessário aos alunos.
Como um incentivador da aprendizagem, o professor estimula a cooperação
entre os alunos, tão importante quanto a própria interação adulto e criança. A
confrontação daquilo que cada criança pensa, com que pensam seus colegas, seu
professor e demais pessoas com quem convive é uma forma de aprendizagem
significativa, principalmente por pressupor a necessidade de formulação de argumentos
(dizendo, descrevendo, expressando) e a de cornprová-los (convencendo, questionando).
Além da interação entre professor e aluno, a intcração entre alunos
desempenha um papel fundamental na formação de capacidades cognitivas e afetivas,
Em geral, explora-se mais o aspecto aíctivo dessas intcraçõcs e menos sua
potencialidade em termos de construção de conhecimento.
Trabalhar coletivamente, por sua vez, supõe uma série de aprendi zagcns,
como:
• Perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta, devem cooperar
ao resolvê-Ia e chegar a um consenso .. " ' .....
• Saber explicar o próprio pensamento e tentar compreender o pensamento do outro.
• Discutir as dúvidas, assumir que as soluções dos outros fazem sentido e persistir na
tentativa de construir suas próprias idéias.
• Incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão acerca dos
conceitos envolvidos nas situações, e desse modo, aprender.
Essas aprendizagens só serão possíveis na medida em que o professor
proporcionar um ambiente de trabalho que estimule o aluno a criar, comparar, discutir,
rever, perguntar e ampliar idéias; fazendo com que a Matemática tome-se importante na
vida do educando, pois: Matemática significa, em grego, saber pensar. É o pensar que(
nos toma humanos. Nesse sentido, o primeiro e principal ohjetivo da Matemática é o de
humanizar a espécie humana.
o homem desenvolveu a Matemática para resolver os problemas colocados
pela necessidade de sobreviência. Com ela, resolve os grandes e pequenos problemas
colocados pela vida. Mas é na resolução do mais vital de nossos problemas _ o do
encontro do homem' 'Com sua racionalidade e humanidade __que reside a importância" ','"
desta ciência (HELP, 1995, s/p, grifos nossos) J •
A Matemática que tem como um de seus estudos os números, é sem dúvida a
mais antiga das ciências. Desde que tiveram de recorrer às trocas, nossos antepassados
sentiram imperiosa necessidade dela.
Os dedos foram para os antigos, como o são ainda para as crianças, os
primeiros instrumentos de cálculo e a este fato que devemos o emprego da base da na
numeração.
Entretanto, o homem não se contentou só com as mãos. Ele criou alguns
instrumentos para auxiliá-Ia nos cálculos. Dentre esses instrumentos, destaca-se o ábaco
pel.a eficiência e simplicidade. Ele continua a ser usado até os dias de hoje.
o ábaco, segundo DUARTE (1987) "foi um instrumento muito importante no
qual o homem sistematizou pela primeira vez aquilo que é a lógica do atual sistema de
numeração, que é o Sistema Decimal. e lambem dos algoritmos das quatro operações,
que seio os processos atuais de resolução das quatro operações".
O autor utiliza esse instrumento em suas aulas, para conceituar a lógica dos
sistemas de numeração, bem como para concretizar a noção ele contagem, além de
somar, fazer subtrações, multiplicações c divisões.
Primeiramente usou o ábaco para depois utilizar o algoritrno, () que foi feito de
forma progressiva, utilizando o instrumento e depois os dois processos simultâneos,
para então utilizar definitivamente o processo atual, ou seja,t o algoritmo.
Ainda frisa o autor que foi preciso fazer uma análise do assunto para saber
quando parar de utilizar o ábaco e passar somente a utilizar o algoritmo; pois a
I A citação encontra-se na introdução do Sistema de Consulta Inrerativa: IIELP. nso tendo página definitiva.
tO
utilização do ábaco pode limitar o aJuno a ficar preso em seu processo, dificultando a
aceitação do processo atual:
"É preciso estar alerta para que essa limitação do instrumento mio se reproduz a no processoensino-aprendizagem. Isto é. precisa estar alerta para que os educuudos 1/(10 fiquem presos aoábaco. Para isso, torna-se necessário organizar li sequénct a de ensino de maneira qUI! oábaco seja apenas um instrumento que facilite a cotnpreensáo da lógica do sistema de
numeração e (J lógica dos algoritmos das operaçõos. No medida em que essa lógica vai sendocompreendida, o ábaco vai sendo progressivamente abandonado. poisjá terá cumprido a suafunção dentro do aprendizado. li preciso ter cuidado para não reproduzir no processo elISIIJO-
aprendizagem certas etapas negativas do p'·OC(!SSO histórico" (DU ARrE, 1987).
A Matemática não para no tempo, está sempre se desenvolvendo, pois ela I,;
dinâmica e humana, e nós fazemos parte deste crescimento.
Segundo O' AMBRÓSIO (1996, )).14): "A Matemática é uma técnica de
explicar. de conhecer, de representar, de lidar com osfatos da natureza e sociais".
É uma ciência que, em sua beleza, tem sua pureza, seus valores, seus critérios
de verdade e de rigor. Inegavelmente, hoje: não se pode ser operacional no mundo sem
dominar a Matemática. Ela é uma ciência organizada que envolve todo conteúdo
necessário para decodificação e elucidação dos problemas inerentes às relações lógicas
entre os objetos, e serve de instrumento valioso na explicação de problemas científicos
de modo geral. .." .,"
Em 1845, nosarredores de Senkerch, foram achadas duas pequenas tábuas
babilônicas, cujas inscrições datam cerca de 2000 anos antes da nossa e:ra.~
O sistema de numeração que os babilônicos adotaram era bastante complicado,
tanto era variável a base como o modo de ler. Os sinais empregados para representar
eram cuneiformes. Os babilônicos empregaram Sistemas Decimais e Sistema
Sexagesirnal, sendo este último mais comum nas tabelas que empregavam para calcular
peso e volumes. Os astrólogos, que procuravam relacionar os acontecimentos diário»
com a posição dos astros promoveram algum aperfeiçoamento cmpírico, estabelecendo
regras operacionais e resolvendo alguns problemas aritméticos. São conhecidos muitos
documentos que contém tábuas de multiplicação, de divisão, de quadrados c raizes
11
quadradas, de cubos, de progressões aritméticas e geométricas e algumas tabelas
particulares provavelmente empregadas em cálculos especiats. () rnaior número que
integra os documentos já decifrados é da ordem de 608. O sistema babilônico
empregava também as frações sexagesimais que foram transferidas à Grécia e daí à
Europa, sendo até hoje nítida a sua influência, que se perpetuou através do hábito de
medir o tempo e os ângulos.
A Matemática brota das preocupações reais familiares, adapta-se
maravilhosamente as necessidades comuns: exploração da natureza, obrigações
comerciais e utilização I?rática em questões de engenharia. Os conceitos e as operações
matemáticas são abstrações sugeri das ~1S situações concretas: a Matemática não faz
mais do que espelhar a realidade natural.
A Matemática comporta um amplo campo de relações, regularidades e
coerências que despertam curiosidades e instigam a capacidade de generalizar, projetar,
prever e abstrair, favorecendo a estrutura do pensamento e o desenvolvimento do
raciocínio lógico. Faz parte da vida de todas as pessoas nas experiências mais simples,
como contar, comparar e operar sobre quantidades. Nos cálculos relativos à salários,
pagamentos e consumo, na organização de atividades corno agricultura e pesca, a
Matemática se apresenta como um conhecimento de muita aplicabiliclade.
Também impulsiona áreas do conhecimento, por ser utilizada em estudos tanto
ligados às ciências da natureza, como ciências sociais; e por estar presente na
composição musical, na coreografia, na arte c nos esportes,
A Matemática transforma-se por fim, na ciência (lue estuda todas as possíveis
relações e interdcpcndências quantitativas entre grandezas, cornpotando um vasto
campo de teorias, modelos e procedimentos de análise, mctodologias próprias de
pesquisa, formas de coletar e interpretar dados.
12
A Metodologia da História da Matemática tem relação com o processo de
construção do conhecimento. Para que o educando entenda verdadeiramente () conteúdo,
necessita reproduzir os passos pelos quais a humanidade trilhou na evolução do
conteúdo matemático. Entretanto, não reproduzirá todos, apenas os essenciais.
Pensamos que a História da Matemática poderá auxiliar o professor a conhecer
melhor os conteúdos matemáticos que se propõe a ensinar. Cabe a cada um de nós fazer
uma Matemática que realmente leve o cidadão a desenvolver-se. Essa realidade tem se
tomado cada dia mais complexa, exigindo de nós um maior comprometimento com ()
ensino da Matemática.
A Metodologia da História da Matemática poderá auxiliar a desenvolver o
raciocínio do aluno e seu interesse pela disciplina; também contribuirá para que os
professores e alunos entendam princípios e conceitos básicos que são inerentes a
Matemática. Assim essa metodologia, quando bem aplicada, pode trazer grandes
contribuições para o ensino-aprendizagem.
13
IlVlPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARAA PRÁTICA DO PROFESSOR
Durante milhares de anos, na busca para analisar c melhor interpretar o mundo
no qual habita, desenvolveu conhecimentos que chamamos de ciência. Nesse período
foram criados, elaborados e aprimorados muitos conhecimentos que com o passar dos
anos passaram a fazer parte do cotidiano das pessoas.
A Matemática é sem dúvida a mais antiga das Ciências, teve a sua necessidade
reconhecida desde que o homem teve de recorrer às trocas para a sua subsistência. A
partir daí, nossos antepassados foram registrando suas descobertas e dando um
aprofundarnento aos seus conhecimentos. Muitos anos, foram necessários para que tais
conhecimentos tivessem continuidade, pois sendo a vidc1 do homem limitada a poucos
anos, no início o repasse se fez através de discípulos. Assim, esses conhecimentos foram
limitados por muitos séculos a "grupos" que foram crescendo e mais tarde
transformaram-se em "escolas" atingindo um grupo mais abrangcntc de pessoas que
atingiram a sociedadecrescente e em evolução. Dessa forma a humanidade evoluiu a tal
ponto que já não seria necessário o contato direto com O" grandes mestres da ciência.
Nesse sentido, é interessante que para o ensino-aprendizagem se refaçam os
passos da evolução realizados pela humanidade, para que possamos entender que o
conhecimento e no nosso caso, o conhecimento matemático, é fruto do estudo de
séculos e compreenda como ocorreu a construção desse conhecimento, quais foram as
suas vitórias e principalmente quais foram os seus obstáculos. Assim a história da
Matemática pode entrar no contexto da sala de aula como elemento nortcador para um
ensino e aprendizagem críticos e que pode auxiliar o aluno na construção do seu
conhecimento.
1·1
Para tanto não se faz necessário e nem serra possível, refazer todos os passos que a
humanidade trilhou para construir o conhecimento matemático, mas algumas partes da
história são essenciais, para que possamos compreender verdadeiramente como ocorreu
e ocorre a construção desse conhecimento pela humanidade.
No entanto,. a história da Matemática é muito vasta; como identificar o" ,'"
conhecimento necessário para o professor? Que partes da história ele deve conhecer
e/ou refazer com os seus alunos na sala de aula? Vamos nos apoiar em OUARTE (1987,
p.13) que diz:
"O ponto de referéncia para essa tarefa é a lógica do conteúdo matemático. (..) o lógico refleteo histórico pelo fato de que o lógico formou-se 110 longo do processo historico. O logu-o éPOf1(UltO o ponto de partida para o estudo do histórico, na medida em qtte o lógico reflete asetapas essenciais do processo histórico. Mas esse reflexo mio é direto nem imediato, pois, docontrário seria desnecessário o estudo do histori co. Ao mesmo tempo que o lógico orienta oestudo histórico, por sua vez, o histórico vai orientando a reformulação, o aprofundamento dológico, numa açâo recíproca que leva a um desenvolvimento em espiral".
Acreditamos que a visão histórica do conhecimento matemático poderá auxiliar
o professor a uma compreensão maior do conteúdo e a inter-relacionar as áreas desse
conhecimento, o que deverá apoiá-lo para um ensino que leve à compreensão da
realidade social, na qual professor e educando estão inseridos, uma vez que os saberes
matemáticos são retificados historicamente e construí dos para resolver problemas
postos pela humanidade,
Podemos afirmar ainda, que baseados em alguns estudiosos, existem duas
concepções do saber matemático:
Primeiro, quando se considera o conhecimento matemático como um produto
acabado. Estes, defendem uma abordagem dos conteúdos segundo uma seqüênciat
lógica e linear. Segundo OU ARTE, "O principul problema para aqueles que defendem
uma sequéncia lógica de ensino está 110 fato de que eles concebem a lógica apenas
enquanto lógica do produto e não são capazes de entender a lógica do processo (...)
eles analisam o conteúdo matemático que pretendem enstnar, tomando-o na sua forma
15
mais acabada, na suaforma mais elaborada ..." (1987, p. 6). Temos então o ensino da
Matemática elaborado em sequências didáticas que levam à simples reprodução do
conhecimento.
Segundo, temos o ensino e aprendizagem de Matemática como resultado de um
processo histórico no qual, corre-se o risco de defender uma seqüência puramente
histórica o que pode transformar esse ensino numa mera reprodução da história.
DU ARTE, (1987, p. 7), relata que:
..... esses educadores se esquecem que o processo de ensino e aprendizagem, tem tomo funçãoprincipal ser um processo sistemático de transmissão-assimilação do conhecimento, e,portanto, trata-se de um processo onde as situações precisam ser intencionalmenteprogramadas e dirigidos. à diferença do processo hi storico, onde as situações surgem emdecorrência de uma sede de fatores .. ,.
Assim, para que o professor socialize o conhecimento matemático, faz-se
necessário que conheça o processo histórico de desenvolvimento dessa ciência, pois
assim poderá entender a lógica do seu conteúdo. E, para se conhecer o processo de
evolução de um determinado conhecimento ou de um determinado aspecto da realidade,
é preciso conhecer a essência da evolução histórica, onde o lógico é o ponto de partida
para o estudo histórico, uma vez que revela as etapas essenciais da evolução do
conhecimento matemático, bem como os seus obstáculos.
Nesse processo, o conhecimento tem significado epistêmico, porque passa a ser~
instrumento que permite compreender como se situar diante dos problemas que
aparecem no dia a dia de cada ser humano. Dessa forma o trabalho com a Matemática.' ~
enquanto processo, poderá contribuir para que o educando compreenda a realidade
social da qual faz parte e a possibilidade de modificar esta mesma realidade.!
Portanto, a participação da história da Matemática como recurso didático, toma-
se imprescindível. Deve-se levar em conta que o desenvolvimento histórico não deve
ser utilizado, somente como elemento de motivação c que os conceitos matemáticos
tiveram uma ordem de construção histórica que não é a mesma presente nas propostas
1(,
de ensino atuais. Mas que a história deve servir como instrumento adequado para a
compreensão e estruturação de conceitos.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (pCNs: 1998,
p.42) sob título O recurso à História da Matemática, recomendações para a utilização
desse conhecimento na sala de aula, bem como algumas vantagens dessa utilização.
Apoiadas nos PCNs, bem como em VIANNA, teceremos alguns comentários
sobre a utilização da história da Matemática em sala de aula: motivação/informação
e/ou estratégia didática.
História da .Maternática como motivação/informação: são textos sobre a
história da matemática que aparecem no inicio, no meio e/ou no final de uma unidade
didática, "mas que não complementam nem auxiliam especificamente a resolução de
nenhuma dificuldade do conteúdo" VIANNA (1995, p.74). Segundo os PCNs (1998,
1'.43) esse procedimento leva o professor (, a situar no tempo e no espaço cada item do
programa de Matemática ou contar sempre em suas aulas trechos da história da
Matemática ( ... )", o que muitas vezes leva apenas à rncmorização de datas, nomes e
fatos.
História da Matemática como estratégia didática: os conhecimentos históricos
são utilizados par~ levar o educando a determinados tipos de procedimentos que
encontram relação com o desenvolvimento do conteúdo. Esse trabalho abre muitas
possibilidades e pode levar o aluno a realizar algumas atividades que auxiliam na
compreensão de diversos conceitos e a desenvolver uma atitude invcstigativa.
A história da Matemática consta atualmente em muitos livros didáticos,
porém quase sempre a sua inclusão no texto é (I<; caráter superficial e desligada da
continuidade do desenvolvimento do conteúdo. Por outro lado também não é bem
utilizada pelo professor. Para têITnOS bons resultados no cnS1I1O e aprendizagem da
17
Matemática utilizando entre outros caminhos a história da Matemática exige-se muito.
Não é uma tarefa fácil, como diz EVES (1996, p. 43):
<IA história da Matemática propriamente dita, exige muito de quem a ela se dedica em termosde experiência e conhecimento. Estudar obras do passado não é tarefa fácil, seja no original,seja em versões mais facilitadas de autoria de estudiosos competentes. Em ta/ estudo na sepode restringir apenas ao lado pitoresco e ameno, como as biografias e as pequenas históriasque cercam os personagens da história maior. Nem sempre se deve negligenciar a parte maissubstancial ligada ao surgimento e desenvolvimento das idéias. E nessa tarefa o estudioso temde famializar-se com a história da civilização que é o pano de fundo que desenha o fascinante
jogo da invenção e da descoberta".
Assim, acreditamos que a história da Matemática requer maiores estudos do
que aqueles encontrados nos livros didáticos.
De qualquer forma, quando bem utilizada, o recurso à história da Matemática,
pode ·oferecer contribuições importantes ao processo de ensino e aprendizagem de
Matemática, revelando essa ciência como uma criação humana, pois o passado ajuda a
entender o presente bem como responde a muitas perguntas e soluciona dúvidas tanto de
alunos como de professores, pois auxilia o na compreensão de que nada é estático que. I' '/\
sempre a humanidade está aprimorando 08 seus conhecimentos.
A história da Matemática pode também propiciar reflexões sobre a beleza
existente no ato de criação levando-o a entender a dimensão da estética, contribuindo
para o que, a nosso ver, deveria constituir o propósito mais revolucionário da educação
contemporânea: o -cultívo da imaginação. A partir desta reflexão, os professores de
matemática poderiam buscar situações nas quais os educandos do ensino fundamenta e
médio fossem estimulados a criar Matemática.
HUNrLEY (1985, p. 16), faz a seguinte afirmação referente à possibilidade def
criação da Matemática pelos estudantes: "A apreciação da beleza mal se distingue do
ato de criação; no momento da apreciação reeditamos o alo criador e nós mesmos
fazemos a descoberta novamente ".
18
Um bom ensino faz com que o educando compreenda que a Matemática ainda
está sendo descoberta, o que pode trazer emoção no desenvolvimento desse
. conhecimento. Propiciará também, ao aluno a oportunidade de observar que a" ~. :.',' ',"
Matemática não pára no tampo, está sempre se desenvolvendo, ela é dinâmica e que
portanto ele faz parte desse crescimento.
Complementamos o nosso pensamento com FERRELR A (1996, p.6):
<IA matemática tem que ser vista como uma ciência dinâmica em construção pelos homens,seres sociais e históricos. Portanto esta ciência tem que ser apropriada pelos a/unos na suaformação como cidadãos vivendo em momento histôrico, mas de reflexo cultural de toda ahistória da humanidade construido durante séculos de maneira porticipativa, conscientes deque eles também são construtores deste saber",
Acreditamos que o trabalho com a história da Matemática proporciona a alunos
e professores esta visão. Cabe, portanto, ao professor de Matemática a responsabilidade
de colaborar para se ter no futuro seres humanos mais criticos e conscientes que
busquem soluções criativas para as mais diferentes situações e que sejam capazes de
exercer conscientemente seu papel de, cidadão.
Também é possível buscar na história da Matemática apoio para se atingir os
objetivos pedagógicos que levam os educandos a perceber, por exemplo:
a) A Matemática como uma criação humana;
b) As razões pelas quais as pessoas fazem Matemática;~
c) As necessidades práticas, sociais, econômicas e físicas que servem de
estímulo ao desenvolvimento das idéias matemáticas;
d) As conexões existentes entre Matemática e Filosofia, Matemática e
religião, Matemática e lógica, etc;
e) A curiosidade estritamente intelectual que pode levar à generalização e
extensão de idéias e teorias;
f) As percepções que os matemáticos têm do próprio objeto da Matemática,
as quais mudam e se desenvolvem ao longo do tempo;
l~
g) A natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova.
A história da Matemática desperta o interesse do aluno pelo conteúdo que está
sendo ensinado, pois alivia a tensão, conforta.
Segundo .lvfESERVE (1980, p.398): ".1/ história da Matemática é útil, antes de
mais nada, como um auxílio para a compreensão de tópicos que já fazem parte do
C1/,.,.;cIl10. Matemática desenvolvida a partir de técnicas de resolução de problemas
práticos ".
A Matemática sendo desenvolvida pelo educando mediante a resolução de
problemas históricos e através de apreciação e análise das soluções apresentadas a esses
tais problemas no passado, passa a ser uma atividade altamente morivadora.
Segundo SWETZ (1989), os problemas históricos motivam porque:
• Possibilitam o esclarecimento e o reforço de muitos conceitos que estão
sendo ensinados;
• Constituem-se em veículos de informação cultural e sociológica, refletem
as preocupações práticas ou teóricas das difere ..mtes culturas em diferentes
momentos históricos;
• Constituem-se em meio de aferimento da habilidade matemática de nossos
antepassados;
• Permitem mostrar a existência de uma analog.ia ou continuidade entre os
conceitos-e processos matemáticos do passado e do presente." ,"
Acredita-se que é no desenvolvimento histórico da Matemática que podemos
perceber as diferentes formalizações de um mesmo conceito. É numa apre ..mdizagem
significativa e desejável que o educando tem uma visão dessas diferentes íormalizações.
Assim, a história passa a ser um recurso indispensável.
20
o desejo de formar cidadãos com base na construção de um pensamento
independente. e crítico, exige uma concepção de problcmatização pedagógica do
conhecimento matemático que ultrapasse os aspectos meramente lógicos e
episternológicos da produção desse conhecimento.
Ao propor à história a tarda de eliminar a dissonância entre o modo como a
Matemática c! normalmente exposta ao educando c o modo corno da foi produzida,
defende que não se deve ocultar do aprendiz os eITOS,as lacunas e as hesitações por que
passaram os grandes matemáticos na produção do conhecimento. Isso porque a
concepção dessas dissonâncias por parte do aprendiz poderia gerar nele o
desenvolvimento de ..atitudes positivas, desejáveis tanto na formação do futuro" ...•..
pesquisador quanto na formação do cidadão, quais sejam:
• A coragem necessária para enfrentar os problemas;
• A persistência e a tenacidade na busca de soluções satisfatórias para os
mesmos;
• Aquelas que estão na base da formação e da prática do pensamento
científico.
Segundo POINCARÉ (1947, p.134-136):
"Sem dúvid~ é duro para um professor ensinar aquilo que não lhe satisfaz inteiramente; masa satisfação do professor não é a única coisa que deve ser levada em consideração no ensino;deve também preocupar-se com o espírito do aluno e com aquilo que se quer que ele se tome ...Mais tarde, quando o espírito do aluno, familiarizado com o raciocínio matemático, estiveramadurecido, as dúvidas nascerão por si só e então (J demonstração será bem vinda. Ela seráum estimulo às no vi tÚJ des, e as questões se colocarão sucessivamente à criança assim comoelas se colocaram sucessivamente aos nossos ant epassa dos, até que somente o rigor perfeitopossa satisfazê-Ia. Não é suficiente duvidar de tudo, é preciso saber por que se duvida ".
A última frase dessa passagem parece atestar a importância dada por
POINcARÉ, não é a inculcação da mente do aluno dos padrões atualizados de rigor a
qualquer preço, mas o fato de, no ensino da Matemática, recorrermos a procedimentos
que estimulem a formação da consciência da necessidade ele se submeter a esses
21
padrões. Caberia à história da Matemática desempenhar esse papel pedagógico
r consc ienrizador,
A história da Matemática não deve aparecer como um ponto de partida e não
como algo pronto e acabado que pudesse se constituir em objeto de uso e abuso por
parte dos educadores.
Para GRA TT AN-GUINNESS (1973, p.446):
"O caminho histórico está o mundo real de idéias, visto em gênese, desenvolvendo-se edeteriorando-se, mais do que uma imitação artificial da qual o problema central é removido.Este é o sentido em que a aprendizagem é 'mais fácil': um sentido pessoal no qual o estudantepõe em relevo o trabalho criativo e imita a descoberta individual rios resultados li.
A história da Matemática pedagogicamente orientada, sendo VIva,
esclarecedora e dinâmica, que estimule a imaginação e a criatividadc, prestará grande
auxílio aos professores.
22
TÓPICOS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Conforme os objetivos propostos para o trabalho, vamos tecer algumas
considerações sobre a História da Matemática, com atenção especial às séries iniciais do
Ensino Fundamental (1 a à 53 séries).
Fundamentadas em autores como DUARTE (1987), pesquisarnos tópicos do
desenvolvimento do conhecimento matemático tomando por parárnetro a lógica do
conteúdo.
Consideramos corno ([.1 mais alta importância, o estudo sobre o sistema de
numeração, uma vez que este conhecimento faz parte dos conteúdos trabalhados pelos
professores no nível de ensino citado e que sem a compreensão dos princípios do
sistema de numeração, toma-se impossível entender as técnicas operatórias, os números
decimais e o sistema métrico decimal. O que compromete a atuação do cidadão na
sociedade em que vive.
Assim, vamos analisar as características do sistema de numeração indo-
arábico, que hoje é utilizado quase no mundo todo.
Como surgiram os números'? Alguma vez você parou para pensar nisso?
Certamente você já imaginou que um dia alguém teve uma idéia genial e de repente
inventou o número.
Mas não foi bem assim. A descoberta do número não aconteceu de repente,
nem foi uma única pessoa a responsável por essa façanha.t
O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e
coisas.
Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos,
pedras, os nós de uma corda, marcas num osso ...
23
Os caçadores para registrar os arumars mortos numa caçada, se limitavam a
fazer marca') numa vara.
Quando descobriu o fogo, o homem aprendeu a cozinhar os alimentos c
proteger-se melhor contra o frio.
A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar o homem fazia rISCOSnum
pedaço de madeira ou em ossos de animais.
Um pescador~ por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada
peixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no osso.
Mais ou menos há 10.000 anos o homem começou a modificar bastante o seu
sistema de vida. Em vez de apenas caçar e coletar frutos e raizes, passou a cultivar
algumas plantas e a criar animais. Era o início da agricultura, graças a qual aumentava
muito a variedade de alimentos de que podia dispor.
E para dedicar-se às atividades de plantar e criar animais, o homem não podia
continuar se deslocando de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se
num determinado lugar, geralmente às margens de lias e lagos e abandonou o hábito de
abrigar-se em cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: de construir sua própria
moradia. Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe e
divisão do trabalhoentre as pessoas, etc.
Com a lã das ovelhas eram tecidos panos para a roupa.Os pastores de ovelhas
tinham necessidade de controlar os rebanhos, e algumas pesquisas indicam que os
pastores faziam o controle de seu rebanho usando conjuntos de pedras.
Ao soltar as ovelhas o pastor separava uma pedra para cada animal que passava
e guardava o monte de pedras. Quando os animais voltavam, o pastor retirava do monte
uma pedra para cada ovelha que passava. Se sobrassem pedras ficaria sabendo que havia
24
perdido ovelhas, se faltassem pedras saberia que o rebanho havia aumentado. Desta
forma mantinha tudo sob controle.
Esses pastores jamais poderiam imaginar que milhares de anos mais tarde,
haveria um ramo da Matemática chamado cálculo, que em latim quer dizer: contas com
pedras.
A correspondência um a um foi o passo decisivo para o surgimento da noção
do número.
OS PRIlVIEIROS REGISTROS DE N(JlVIEROS
o homem sentiu necessidade de registrar o total de objetos que contava. Para
registrar o total de objetos de usava a correspondência um a um. Uma marca para cada
objeto.
Foi contado os objetos com outros objetos que a humanidade começou a dar
início ao primeiro registro de números.
Para o homem primitivo, o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a
alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco hastões, cinco animais e assim
por diante.
A idéia de contagem estava relacionada com os dedos das mãos. Assim, ao
contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco.
Do mesmo modo, os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos
na madeira ou fazendo nós em uma corda, de cinco em cinco.
É por isso que esse número, que surgiu quando o homem contava objetos
usando outros objetos, é um número concreto.
Entretanto surgiu um novo problema: levantar dedos permitia saber, no
momento, a quantidade de objetos, mas não permitia guardar essa informação. Era fácil
25
esquecer quantos dedos tinham sido levantados; separar pedras já permitia guardar a
informação por mais tempo, mas não era muito seguro.
Surgiu, portanto, o problema de registrar as quantidades.
Quando precisamos contar uma quantidade grande de coisas, vamos separando
os objetos em monte ou em grupos, pois isto facilita a contagem. Por exemplo, quando
contamos por dúzia, é uma forma de agrupar: de doze em doze.
Em muitas situações, os agrupamentos são necessários e facilitam o trabalho do
homem. Observe, por exemplo, como são embaladas muitas coisas que compramos. Os
fabricantes agrupam um determinado número de unidades em cada embalagem. As
balinhas de dropes vem sempre com o mesmo número de balas, os maços de cigarro
vem sempre com o mesmo número de cigarros. Você já viu alguma vez um pacote
grande de fósforos? Um pacote grande vem com 20 maços, cada maço com 10 caixas e
cada caixa com 40 palitos de fósforo.
Mas em que época de sua história o homem percebeu que agrupar ajuda a.,'',' - .....
contar? Sabemos que .não foi de um dia para o outro e sabemos também que as
primeiras formas de agrupar provavelmente se relacionavam com as mãos e também
com os pés. O homem deve ter começado a agrupar de cinco em cinco, de dez em dez,
de vinte em vinte, fizendo a correspondência com os dedos c11S mãos e dos pés.
COMO OS EGÍPCIOS ESCREVIAM OS NÚMEROS
Essa idéia de agrupar marcas foi utilizada nos sistemas mais antigos de
numeração.
Os egípcios da antigüidade cnaram um sistema muito interessante para escrever
números baseados em agrupamento:
1 era representado por wna marca que parecia um bastão I
2 por duas marcas 11, e assim por diante:
3111
4/1/1
511111
6111111
71111111
811111111
.. '-Ó,' .•..•..
Quando chegavam a 10, eles trocavam as 10 marcas 1111111111 por um n, que
indicava o agrupamento. Continuavam então com este símbolo até o 19:
10n
11 nl
12nll
13nlll
o 20 era representado por (Y\ e continuavam:
30nnn
40nnnn
SOnnnnn
Para registrar o 100 ao invés de dez marcas n(l{"Ylnnn()(Y'), eles trocavam
esse agrupamento por wn símbolo novo que parecia wn pedaço de corda:
26
27
Juntando vários símbolos de 100 escreviam o 200, o 300, ctc até 900,
Dez marcas de 100 eram trocadas por um novo símbolo que era a figura da flor
de lótus: ~
Dessa forma, trocando cada vez marcas iguais por uma nova, eles escreviam
todos os números de que necessitavam,
Veja os símbolos usados pelos egípcios e o que significava cada marca:
.---------------------------_._---_._-_ ... - ----- -- -- . -._- ----_._---------_.Símbolo egípcio descrição novo símbolo
;---------;---_._---------_ ..--_._----- ---_.__ ._--------_ .._._--- ~I
If-------------------------------------------·---i
calcanhar )O II
--I
bastão
rolo de corda 100
flor de lórus 1000
Usando o sistema egípcio ficava trabalhoso registrar certas quantidades,
Os romanos foram muito espertos, eles não inventaram símbolos novos, para
representar os números usaram as próprias letras do alfabeto: r v x L C D M.
Como eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de
numeração? O sistema de numeração romano baseava-se em sete números chaves:
I tinha o valor 1
V valia 5 "';" .I • ~•••
-'
X representava 10 unidades
C valia 100
D valia 500
M valia 1000.
Quando apareciam vários números, os romanos somavam os seus valores:
II=l+l
28
XX::; 10+ 10
xxx = 10+ 10+ 10
Quando dois números diferentes vinham juntos, c o menor vinha antes do
maior, subtraiam seus valores:
IV = 4 porque 5- 1 = 4
IX == 9 porque 10 -1 = 9
xc = 90 porque 100 - 10 = 90
Por fim, somavam ao resultado os valores das letras que vem depois de C:
XCVI = 90+6
XCVI = 96
Através de pesquisas ficamos sabendo que o exército de Roma fez numa certa
época: MCDV prisioneiros de guerra.
Para ler o número MCOV, veja os cálculos que os romanos faziam:
Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor: M == 1000.
Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a Segunda letra de maior valor:
0=500.
Depois tiravam de O o valor da letra que vem antes: D-C= 500-100 = 400.
Somavam 400 ao v~lor de M, porque CO está depois de 1'\'1: M+DC =: 1000+400 = 1400.
Sobrava apenas o V, então MCDV = 1400+5 = 1405.
Como acabamos de ver, o número 1000 era representado pela letra M. Assim,
Mtv1 correspondiam a 2000 e MMtv1 a 3000." ,.,
Para escrever 40'00 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço
horizontal sobre as letras que representavam esses números:
v= 5000 Vil = 7000 x = 10000
IV = 4000 VI tz: 6000 VIII == 8000
29
Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1000.
Dois traços sobre o M davam-lhe () valor de I milhão.
Veja alguns exemplos:
XD = 10500
XXVC = 25100
CDL = 100550
M = 1000000
o sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era
dificil efetuar cálculos com este sistema.
OS ÁRABES DIVlJLGAM AO MlJNDO OS NlnVIEROS
Segundo a equipe do Programa de Educação Continuada do lNEP/FU1'<13EC
(1998); o matemático árabe al-Khowarizrni, que estudou os li\TOSde matemática vindos
da Índia e os traduziu para a língua árabe, surpreendeu-se a princípio com aqueles
estranhos símbolos que incluíam até um ovo de ganso:
E da surpsesa para a admiração foi apenas um passo. Logo, al-Khowarizmi
compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descoberto. Com aquele
sistema de numeração todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido. Era
possível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o
desenvolvimento da Matemática.
o matemático al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas novas.
Escreveu um livro sobre a arte hindu de calcular explicando com detalhes como
funcionavam os dez símbolos hindus.
)Ij
Com o livro de al-Khowarizrni, todo o mundo tomou conhecimento do sistema
de numeração hindu.
Os símbolos: O - 1 - 2 - 3 -- 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 , ficaram conhecidos como a
anotação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algansmus. Daí o nome
algarismo.
São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros
povos , pelo árabe al-Khowarizmi, que constiruern o nosso sistema de numeração
decimal. Daí a serem conhecidos como algarismos indo-arábicos.
Segundo a equipe do Programa de Educação Continuada do fNEP/FUl'-.'TIE('
(1988), com o nosso sistema de numeração, usando apenas dez símbolos diferentes,
podemos escrever qualquer número. A<; dificuldades dos outros sistemas de numeração
foram superadas pelo sistema de numeração indo-arábico ( nosso sistema de
numeração) que, reuruu três características, já existentes nos outros sistemas de
numeração da Antigüidade, inclusive nos sistemas egípcio e romano, aqui apresentados:
o sistema de numeração indo-arábico 0 decimal (o egípcio e o chinês
também o eram),
o sistema indo-arábico I! posicional ( o babilónico também o era).
O sisrcrpa de numeração indo-arábico tem o zero, isto é um símbolo que
indica ausência.
Agrupar de 10 em 10 é um dos princípios do nosso sistema de numeração, que,
por isso, é chamado sistema de numeração decimal. Também dizemos que nosso
sistema de numeração tem base dez.
o hábito de agrupar de 10 em 10, está presente em vários sistemas de numeração
da antigüidade e certamente se relaciona com a utilização dos dedos das mãos para a
31
contagem. Entretanto o homem criou também instrumentos para a contagem e para os
cálculos. Destacamos dentre estes instrumentos o ábaco.
Existem vários tipos de ábaco. Vamos nos referir aos ábacos abertos, que são
feitos utilizando-se uma base de madeira com vários fios de arame fixados
verticalmente á base. O primeiro fio de arame representa a ordem das unidades, o
segundo a ordem das dezenas, o terceiro fio a ordem das centenas, sendo que essas três
ordens representam a classe das unidades, depois vem a classe do milhar que também é
composta de unidade, dezena e centena, depois a classe dos milhões, bilhões, e assim
sucessivamente ... , Nesses fios de arame são colocadas contas ou bolinhas para serem
manuseadas.
No ábaco essas contas são todas iguais, mas o valor de cada uma delas depende
do fio de arame em que ela está. Certamente esse foi um grande avanço, a idéia de dar a
um mesmo algarismo valores diferentes, dependendo da posição que ele ocupa. Por
exemplo:
UM C O U
o conjunto de um elemento forma aunidade - 1 unidadeO conjunto de dez elementos formaa dezena - 10 unid ades() conjunto de cem elementos formaa centena - 100 unidadesO conjunto de mil elementos formauma milhar - 1000 unidades
Historicarnente antes de ser utilizado no sistema de numeração indo-arábico, o
valor posicional já existia em outros sistemas de numeração, como ° babilónico.
Assim desde que o homem fez as suas primeiras contagens até o aparecimento
do sistema de numeração decimal decorreram milhares de anos. Um dos obstáculos
possíveis para que civilizações como a dos babilônicos, dos egípcios e outros não
32
í
chegarem a esse sistema antes pode ter sido a demora para o aparecimento do zero, o
símbolo para o nada e a demora para ser aceito. Para compreender o por quê dessa
'. demora é necessário pensar que os números foram criados pelos homens como um
recurso de auxílio nas diversas contagens do seu cotidiano, ou seja os números surgiram
da necessidade de determinar quantidades; assim ninguém sentiu falta de um símbolo
para o nada. Assim o zero surgiu quando houve a necessidade de uma representação
numérica.
Diversas civilizações da antigüidade, como a romana, a egípcia, os babilônicos e
outras desenvolveram seus sistemas de numeração.
Podemos levantar alguns vestígios desses sistemas de numeração na atualidade.
Por exemplo, na contagem do tempo, os agrupamentos são formados de 60 em 60:
sessenta segundos compõem um minuto e sessenta minutos compõem uma hora,
conseqüência da numeração desenvolvida na Mesopotârnia, há mais de 4000 anos, cuja
base era sessenta; nos mostradores de relógios, na indicação de datas e de capítulos de
livros, entre outras, são utilizados símbolos da numeração romana.
Além da utilização colocada, na sala de aula uma ótima estratégia para se
trabalhar com a história da matemática, seria estabelecer a comparação entre os alguns
sistemas de numeração antiga com o sistema de numeração decimal. Entendemos que
essa forma de trabalho favorecerá a compreensão do sistema de numeração atual, pois
para isso será necessário estudar as leis e os princípios presentes nos diversos sistemas
de numeração. A seguir levantaremos algumas características dos sistemas de
numeração egípcio, romano e indo-arábico, comparando-os:
Base: a bases de um sistema é a quantidade escolhida no processo de
agrupar e reagrupar quantidades.
no nosso sistema a base é dez;
33
no egípcio a base é dez;
no romano a base é dez.
2. Valor posicional
nosso sistema é posicional; 12 é diferente de 21;
o egípcio não é posicional; é indiferente escrever doze assim n I I ou
assim II n;
o romano não é posicional, no sentido do nosso sistema, mas não é
indiferente escrever VI ou IV.
3. Zero
nosso sistema tem um símbolo para o nada;
o egípcio não tem o zero;
romano não tem zero.
4. Princípio multiplicativo: todo sistema posicional, como o nosso,
baseia-se no princípio multiplicativo: cada algarismo representa o produto
dele mesmo pelo valor de sua posição. No sistema romano e egípcio não
vale o princípio multiplicativo.
Por :xemPlO: Ir : 5 x I = 5
4 x 10::;:40
,--_.2 x 100 :: 200
5. Princípio aditivo: o número representado é a soma dos valores que cada
um dos símbolos representa. O princípio aditivo comparece nos três
sistemas..'.' ....•
no nosso' sistema, 245 = 200 + 40 + 5
'-100+10+10+1+1+1no romano) C X X V 11
100+10+10+5+1+1
Entretanto, no sistema romano, o princípio aditivo precisa ser aplicado. ,"" ..
com cuidado) porque nele existe também o princípio subtr ativo. Por
exemplo:
c X L I X100+(50-10)+(10-1)= 149
6, Quantidade de símbolos diferentes: quantos símbolos diferentes são
necessários para escrever qualquer número'?
no nosso sistema com apenas dez algarismos podemos escrevemos
qualquer número;
no egípcio e no romano, para cada novo número pensado seria
necessário criar um novo símbolo. Assim seriam necessários infinitos
símbolos.
Estes são somente alguns tópicos da I Iistória da Matemática, que julgamos
sejam úteis ao professor para trabalhar o Sistema de Numeração Decimal em sala de
aula. A comparaçãç entre os sistemas ajudam o aluno a entender a superioridade do
nosso sistema em relação aos demais) bem corno a estabelecer relações entre os
mesmos, percebendo que a Matemática tem história que é uma criação a partir dos
problemas do cotidiano da humanidade. Pode aguçar a curiosidade e o interesse dos
alunos em relação ao conhecimento matemático e ajudar alunos c: professores a criar um
ambiente de investigação na sala de aula.
35
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Concluímos, assim, o nosso pensamento de que a História da Matemática é
importante para a prática pedagógica do professor; ajuda a responder os "porquês" que
freqüentemente surgem em nossos estudos ou em nossas aulas. Ela ajuda no processo de
construção do conhecimento matemático, demonstrando aos educandos que a
Matemática não é pronta e acabada, que ela não foi construída sozinha por um gênio, e
sim por pessoas (estudiosos) para resolver problemas do cotidiano referente à época em
. que foi desenvolvida.
Assim, 08 alunos perceberão a importância da Matemática, mesmo que ela não
tenha urna aplicação imediata. Ela não foi desenvolvida com a finalidade de criar
alguma coisa, mas com o intuito de resolver problemas da humanidade.
Lembramos que cabe a nós, professores, estarmos em constante busca da
aprendizagem e pesquisar mais e mais, procurando fazer o possível para que nossos
alunos tenham urn bomentendimento dessa ciência. Assim, a História da Matemática
aparece como urna alternativa nesta tarefa. Basta que os educandos tenham em mente
que a cada mudança ocorrida estaremos inovando e buscando alternativas para
simplificar o aprendizado.
Isso não significa somente tornar o aprendizado acessível aos nossos alunos,
mas fazer com que compreendam e gostem da Matemática; pois é mergulhando no
passado, que nós entendemos o presente, levando-nos a ter um maior entrosamento do
saber, tendo assimilação dos conteúdos e também compreensão.
Para que isso aconteça, basta abrir as portas para a história, que a evolução do
conhecimento matemático será desvendada para auxiliar-nos na melhoria da qualidade
do ensino-aprendizagem da Matemática .
. ,-
36
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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