Módulo História da Matemática

Histria da Matemtica atravs de ProblemasVolume 1 Mrio Olivero

UFF Instituto de Matemtica EB Centro de Estudos de Pessoal

Curso de Instrumentao para o Ensino da Matemtica

Apoio:

Fundao Cecierj / Consrcio CederjRua Visconde de Niteri, 1364 Mangueira Rio de Janeiro, RJ CEP 20943-001 Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725 Presidente Masako Oya Masuda Vice-presidente Mirian Crapez Coordenao do Curso de Matemtica UFF - Regina Moreth UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca

Material DidticoELABORAO DE CONTEDO PRODUO GRFICA

Mrio OliveroCAPA

Patricia Seabra

Eduardo Bordoni

O material constante desta disciplina, Histria da Matemtica atravs de Problemas, foi produzido sob o auspcio de Convnio de cooperao tcnico-acadmica entre o Exrcito Brasileiro e a Universidade Federal Fluminense.

O48h Olivero, Mrio. Histria da matemtica atravs de problemas / Mrio Olivero. Rio de Janeiro : UFF / CEP EB, 2007. 160p. (Curso de Instrumentao para o Ensino de Matemtica). ISBN: 85-98569-36-4 1. Matemtica Histria. 2. Matemtica Problemas. CDD - 510.09Publicado por: Centro de Estudos de Pessoal (CEP) Copyright 2005 Centro de Estudos de Pessoal

Todos os direitos reservados ao Centro de Estudos de Pessoal (CEP) Praa Almte. Jlio de Noronha S/N - Leme - Tel (0xx21) 2275-0100 22010-020 Rio de Janeiro - Brasil

2009/2

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Governo do Estado do Rio de Janeiro

Governador Srgio Cabral Filho

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Universidades Consorciadas

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Apresentao caH alguns anos eu resolvi aprender a jogar tnis. Inscrevi-me em um curso e a e passei a receber duas aulas semanais. Foi uma tima experincia. Hoje eu o e jogo bastante bem, gosto muito do esporte e ganhei uma grande diverso. No a entanto, a experincia deu-me mais do que isso. e Sou professor de Matemtica h muito tempo e as aulas de tnis deram-me a a a e oportunidade de relembrar o outro lado da atividade. Por exemplo, recordei-me da importncia dos exerc a cios repetidos para assimilao de novos contedos. ca u Tive a felicidade de encontrar um professor que me deu ateno e encorajaca mento, corrigindo minhas (muitas) imperfeies com pacincia e bom humor. co e Reavaliei a importncia da auto-disciplina para atingir objetivos estabelecidos. a Com certeza, a experincia afetou minha vida prossional. Passei a ser mais e tolerante e generoso como professor. Aprender algo novo ajudou-me a levar em conta a perspectiva do aluno, que precisa ser encorajado, aprender a valorizar a organizao e a disciplina, precisa encontrar alegria na atividade de aprender ca e descobrir motivaes para atingir os objetivos que lhe so propostos. co a Voc se encontra numa posio semelhante ` minha, nesse momento. Est e ca a a prestes a vivenciar uma experincia de aprendizado. Retomar os estudos ree quer uma atitude corajosa. Parabns! Voc merece uma recepo calorosa. e e ca Nesta disciplina, Histria da Matemtica Atravs de Problemas, nosso principal o a e objetivo que voc goste ainda mais de Matemtica. e e a Aqui, voc ter a oportunidade de ver a Matemtica sob um novo prisma. e a a Perceber como as diferentes reas matemticas, tais como Algebra, Geometria, a a a Clculo, Anlise Matemtica e outras, se relacionam e se inuenciam, assim a a a como certas questes (os tais problemas da Matemtica) motivaram (e contio a 3

Apresentao ca

Histria da Matemtica o a

nuam motivando) novas descobertas. E bem provvel que voc passe a gostar a e ainda mais dos diversos temas com que lidamos na Matemtica, uma vez que a descobrir como eles surgiram e se desenvolveram. a E claro que num projeto como esse certas opes devem ser feitas. No poss co a e vel cobrir todos os temas, mesmo aqueles de maior importncia. A escolha daqueles a que representaro o nosso painel foram feitas em funo de meu gosto pessoal a ca (sim, todos ns temos nossas preferncias matemticas) assim como das minhas o e a muitas inabilidades. De qualquer forma, se o contedo apresentado motiv-lo u a a buscar ainda mais informaes sobre aquilo que cou faltando, despertando a co sua curiosidade, dar-me-ei por satisfeito. Essa experincia dever afetar, tambm, sua atuao prossional. Aps cure a e ca o sar a disciplina voc estar melhor preparado para apresentar os contedos de e a u Matemtica, colocando-os em um contexto histrico e mostrando suas conexes a o o com outros temas. Seja, portanto, bem-vindo ` Histria da Matemtica Atravs a o a e de Problemas!

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Viso Geral da Disciplina aUnidade 1: Trs Famosos Antigos Problemas e Assunto: Principais caracter sticas da Matemtica. Importncia dos problemas a ae questes para seu desenvolvimento. o

Onde encontrar: Textos 1 e 2. Carga horria: 4h a Unidade 2: O Dilema de Pitgoras a Assunto: Matemtica do Antigo Egito e da Mesopotmia. Diferenas entre a a a cMatemtica desses povos e a Matemtica grega. Os pitagricos. a a o

Onde encontrar: Textos 3 a 5. Carga horria: 6h a Unidade 3: Teoria das Propores de Eudoxo co Assunto: Primeira crise da Matemtica: segmentos no-comensurveis. Cona a aceito de innito. Soluo para a crise dada por Eudoxo. ca

Onde encontrar: Textos 6 a 9. Carga horria: 6h a Unidade 4: O Quinto Postulado da Geometria Euclideana Assunto: Elementos de Euclides. Problema do Quinto Postulado de Euclides.Geometrias no-euclidianas. a

Onde encontrar: Textos 10 a 15. Carga horria: 7h a Unidade 5: Resoluo das Equaes Algbricas ca co e Assunto: Matemtica rabe e indiana. Surgimento do zero na Matemtica. a a aSoluo para o problema das equaes cbicas. ca co u 7

Viso Geral a


Onde encontrar: Textos 16 a 19. Carga horria: 7h a Unidade 6: Uma Nova Matemtica para um Mundo Novo a Assunto: Panorama matemtico antes do Clculo. O Clculo segundo Newton a a ae Leibniz.

Onde encontrar: Textos 20 a 23. Carga horria: 7h a Unidade 7: A Equao de Euler: ei + 1 = 0 ca Assunto: Caracter sticas da Matemtica do sculo 17 e 18. A Matemtica de a e aEuler. Notao matemtica. ca a

Onde encontrar: 24 e 25. Carga horria: 7h a Unidade 8: Construo dos Nmeros Reais Cauchy e Dedekind ca u Assunto: Caracter sticas da Matemtica do m do sculo 18 e in do sculo a e cio e19. A Matemtica de Gauss. Cortes de Dedekind. Contribuies de Cauchy e a co Weierstrass para a Anlise Matemtica. a a

Onde encontrar: 26 a 30. Carga horria: 6h a Unidade 9: Teoria de Conjuntos e Nmeros Transnitos de Cantor u Assunto: Caracter sticas da Matemtica no m do sculo 19 e in do sculo a e cio e20. Contribuies feitas por Cantor e Hilbert. co

Onde encontrar: Textos 31 a 34. Carga horria: 6h a Unidade 10: Nmeros e Codicao de Mensagens u ca Assunto: Nmeros primos. Criptograa. u Onde encontrar: Textos 35 a 38. Carga horria: 4h a

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Unidade 1Trs Famosos Antigos Problemas eNesta unidade didtica, voc conhecer trs grandes problemas da antigidade a e a e u que desempenharam papis relevantes no desenvolvimento da Matemtica. e a Mas, primeiramente, vamos colocar certas coisas em perspectiva. Anal de contas, precisamos de algum tempo para nos conhecer melhor. Assim, antes de nos lanarmos nesta jornada, importante considerar a c e questo tratada em nosso primeiro texto. a

Texto 1: O que Matemtica? e aNa verdade, pretendemos que voc pense um pouco sobre esse tema, que dee manda mais esforo do que podemos dispor em alguns minutos. Por exemplo, c h um livro de cerca de quinhentas pginas, escrito por Courant e Robbins, cujo a a t tulo , precisamente, O que Matemtica? e e a Veja, a Matemtica lida com duas idias fundamentais: multiplicidade e espao. a e c Desde os primrdios os seres humanos se valem desses conceitos. Contar as o reses de um rebanho ou os frutos de uma colheita, avaliar a rea de campo a de pastagem, de um campo a ser cultivado ou o volume de um vaso contendo gros so tarefas que demandam conceitos matemticos. a a a Dessa forma, podemos dizer que nmeros e guras geomtricas so elemenu e a tos fundamentais da Matemtica. Podemos at ensaiar uma resposta: a Maa e temtica a cincia dos nmeros e guras geomtricas, assim como as relaes a e e u e co que possam existir entre eles. Mesmo sentindo que a resposta contm parte da verdade, no podemos deixar de e a 9

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perceb-la incompleta. Nossa expectativa que, ao m do estudo da disciplina, e e voc possa ter constru sua prpria resposta para a questo. e do o a

1.1 Algumas caracter sticas da Matemtica aAgora, mudando um pouco o foco da nossa ateno, observe que, apesar da ca diculdade que a maioria das pessoas tem para explicar o que a Matemtica, e a no muito dif detectar quando h matemtica em determinada situao. a e cil a a ca Quem nunca usou a expresso to certo quanto dois e dois so quatro? a a a E comum, no entanto, que as pessoas tenham uma viso parcial do que constitui a a Matemtica. Vejamos alguns aspectos que a caracterizam e distinguem das a demais cincias. e Geralmente, quando se trata de Matemtica, os nmeros so as primeiras coisas a u a mencionadas, no acha? Contudo, apesar da importncia que eles tm, a Maa a e temtica no lida apenas com nmeros, mas tambm com formas, assim como a a u e estuda as relaes entre esses objetos. coO artista grco holands a e Maurits Cornelius Escher (1898 - 1970) aplicou em suas obras vrios truques de a iluso tica e perspectiva a o destorcida e repeties de co certos padres, conseguindo o assim um forte impacto visual. Entre seus temas favoritos esto a a metamorfose, a representao ca de innito e situaes co paradoxais.

Por exemplo, ao observarmos algumas gravuras de Escher, no podea mos deixar de notar a maneira como ele explora as simetrias e usa os padres, o que d um certo ar mao a temtico `s gravuras. Eis aqui uma a a de suas citaes: Para mim, permaco nece aberta a questo se (este traa balho) pertence ao mundo da matemtica ou da arte. a Muito bem, vamos aumentar nossa coleo de informaes sobre a Matemtica: ca co a ela lida com nmeros e formas, estuda padres e busca relaes entre seus u o co objetos. Enm, trata com uma multitude de idias, submetendo-as a diferentes e pontos de vista, comparando-as e buscando suas inter-relaes. co E como um cenrio onde uma enorme diversidade de atitudes, de perspectivas, se a opem e se inuenciam mutuamente. O particular ilustra o geral, o cont o nuo se ope ao discreto, per o odos em que a atitude mais formal prevalece se intercalam 10

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com per odos onde a intuio abre novos caminhos e assim por diante. ca Alm disso, Matemtica uma cincia que difere de todas as outras na forma e a e e como estabelece a verdade. A verdade cient ca, na Matemtica, estabelecida a e a partir de um conjunto m nimo de armaes, chamadas axiomas, por meio co de um conjunto de regras lgicas bem estabelecidas. E o chamado mtodo o e dedutivo. Nas outras cincias, a verdade estabelecida por experimentos cient e e cos. E por isso que, em muitos casos, uma nova teoria toma o lugar da anterior, que j no consegue explicar os fenmenos que prev. a a o e Basta comparar, s para se ter um exemplo, a evoluo histrica do conhecio ca o mento sobre o universo, em particular sobre o funcionamento do sistema solar, com a estabilidade vivida na Matemtica, simbolizada nos Elementos, de Eua clides, uma coleo de livros escritos em, aproximadamente, 250 a.C. Os Eleca mentos s tiveram menos edies do que a B o co blia, e so to corretos hoje como a a quando foram escritos.

1.2 A diversidade matemtica aUm outro aspecto que chama a ateno sobre a Matemtica sua diversica a e dade. Em muitas l nguas, a palavra matemtica usada no plural. H tantas a e a ramicaes e sub-reas na Matemtica contempornea que praticamente co a a a e imposs acompanhar os desenvolvimentos mais recentes em todas as suas vel frentes de pesquisa. Essa caracter stica da Matemtica, ter uma face voltada para questes de cunho a o exclusivamente matemtico que costuma ser chamada de matemtica pura a a e outra voltada para os problemas surgidos nas outras cincias a matemtica e a aplicada a torna uma cincia cheia de surpresas. Para espanto at de muitos e e de seus criadores, teorias que nasceram no campo da matemtica pura, sem a nenhuma aparente aplicabilidade, podem encontrar seu caminho aplicado, e vice-versa. E como na msica, quando temas sacros e profanos so trocados. u a Finalmente, uma das caracter sticas da Matemtica, com a qual nos ocuparemos a agora, at o m desta unidade, a nsia de resolver problemas. Podemos dizer e e a at que se trata da principal atividade dos matemticos. Um matemtico feliz e a a e aquele que acabou de resolver um bom problema e ao fazer isso descobriu mais 11

UD 1 uma poro de novos problemas para pensar. ca


Voc ver que, ao longo do tempo, algumas questes desaaram a criatividade e a o de geraes de matemticos, norteando, estimulando a criao matemtica. co a ca a Essas questes funcionam como molas propulsoras, movendo as fronteiras do o conhecimento cada vez mais adiante, como no caso de Alexandre Grothendieck.

1.3 Um grande matemtico do sculo 20 a eGrothendieck passou os anos de 1953 a 1955 na Universidade de So Paulo. a

Alexandre Grothendieck nasceu em 1928, em Berlim, e mudou-se para a Frana c em 1941. Seus trabalhos inovadores tiveram grande impacto em diversos campos da Matemtica, devido especialmente ao seu alto grau de abstrao. Em a ca 1966 recebeu a Medalha Fields, que assim como um Prmio Nobel da Mae e temtica. a O nmero de outubro de 2004 da revista Notices of the American Mathematical u Society traz um artigo sobre um dos mais relevantes matemticos do sculo 20, a e Alexandre Grothendieck. Nesse artigo aprendemos que os primeiros anos de Grothendieck, durante a Segunda Guerra, foram caticos e traumticos e sua formao educacional no o a ca a fora nada boa. No entanto, a atitude de enfrentar os problemas, as questes o da Matemtica, j estava presente. Ele escreveu suas memrias, intituladas a a o Rcoltes et Semailles (algo como Colheita e Semeadura), em que faz o seguinte e comentrio: aO que menos me satisfazia, nos meus livros de matemtica [do liceu], era a a total ausncia de alguma denio sria da noo de comprimento [de uma e ca e ca curva], de rea [de uma superf a cie], de volume [de um slido]. Prometi a o mim mesmo preencher esta lacuna assim que tivesse uma chance.

Detectar a falta de preciso na denio desses conceitos, quando ainda era um a ca aluno do ensino mdio, uma prova da profunda percepo matemtica dessa e e ca a extraordinria pessoa. a Durante o estudo da disciplina, voc ir vericar como so relevantes as e a a preocupaes apontadas por Alexandre Grothendieck. Mas, est na hora de co a reetir um pouco sobre as idias expostas at aqui. e e Vamos ` primeira atividade. a 12

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Atividade 1Para ajud-lo nessa tarefa, tente dar sua prpria resposta ` questo o que a o a a Matemtica? Guarde esta resposta para rel-la quando tiver completado o e a e estudo da disciplina. Faa, tambm, uma lista sucinta das caracter c e sticas da Matemtica apresentaa das no texto. Voc poderia acrescentar outras? e

Tudo que voc estudou at aqui constitui uma introduo para o tema do e e ca prximo texto: trs problemas famosos e antigos, diretamente relacionados a o e uma das caracter sticas mais valorizadas em um matemtico: a criatividade. a Essa caracter stica se manifesta, especialmente, na resoluo de problemas. ca Em muitos casos, a atitude de inconformismo diante das respostas dadas `s a antigas questes pelas geraes anteriores marcou o in da carreira de o co cio matemticos famosos, como teremos a oportunidade de ver no decorrer de a nossa jornada.

Texto 2: Trs Famosos Problemas eO primeiro passo na resoluo de um problema consiste na sua correta forca mulao. Ou seja, para resolver um problema, melhor saber, precisamente, o ca e que devemos fazer e do que dispomos para chegar ` soluo. a ca Os trs problemas clssicos da Geometria grega so sobre como realizar uma e a a construo geomtrica usando apenas rgua e compasso. Veja seus enunciados: ca e e

Trisseco do ngulo: ca aDado um ngulo, construir um outro ngulo com um tero de sua a a c amplitude.

Duplicao do cubo: caDado um cubo, construir outro cubo com o dobro do volume do anterior.

Quadratura do c rculo:Dado um c rculo, construir um quadrado com a mesma rea. a 13

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Antes de falarmos sobre eles, vamos entender o signicado da expresso consa truo com rgua e compasso. ca e Note que esses problemas esto colocados no contexto da geometria formulada a por Euclides. Por isso, as construes com rgua e compasso so tambm conheco e a e cidas por construes euclidianas, apesar de os termos rgua e compasso co e no aparecerem nos livros de Euclides. a Assim, as solues deveriam obedecer apenas certos procedimentos, por assim co dizer, seguir regras muito bem estabelecidas. Veja, na teoria euclidiana, a rgua pode ser usada para construir um segmento, e to longo quanto se queira, que contenha dois pontos dados. Em particular, a essa rgua no graduada. Ou seja, no podemos utiliz-la para medir. e a e a a J o compasso pode ser usado para construir a circunferncia de centro em um a e dado ponto A e que passa por um dado ponto B. Assim, o compasso deve ter pernas to compridas quanto precisarmos. a Procure, ento, realizar as atividades a seguir. a

Atividade 2Usando rgua e compasso, construa a mediatriz de um segmento dado. Voc e e sabe dividir um segmento dado em uma outra proporo qualquer, assim como ca 2 por 3? Construa tambm um tringulo equiltero. Voc poderia construir mais um e a a e pol gono regular, usando apenas rgua e compasso? e Quais pol gonos regulares podem ser constru dos com rgua e compasso? e Vamos, agora, falar um pouco do primeiro problema.

2.1 A trisseco do ngulo ca aRepare que, usando rgua e compasso, no dif construir a bissetriz de e a e cil um ngulo dado. Basta construir uma circunferncia com centro no vrtice a e e do ngulo, marcando sobre os lados do ngulo, dois pontos (eqidistantes do a a u vrtice). Em seguida, construindo dois c e rculos de mesmo raio, com centros 14

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nos respectivos pontos obtidos nos lados do ngulo, determine o ponto que, a juntamente com o vrtice original, dene a reta bissetriz. e Tal sucesso encoraja a considerao do prximo passo: dividir o ngulo em ca o a trs partes iguais. Para certos ngulos espec e a cos, o problema tem soluo. ca Como poss construir, com rgua e compasso, um tringulo eqiltero, e vel e a u a podemos construir um ngulo de trinta graus, que divide o ngulo reto em trs a a e partes iguais. No entanto, o problema proposto nos pede para estabelecer um procedimento que funcione para qualquer ngulo dado. a Muitas tentativas de soluo para o problema foram dadas, mas cada uma ca delas apresentava uma falha. Tambm, pudera, o problema no tem soluo. e a ca Voc deve notar que demonstrar que no h uma soluo (que sirva para um e a a ca ngulo dado qualquer) uma tarefa muito dif a e cil. O problema era conhecido dos antigos gregos e a resposta (negativa) s foi obtida no sculo XIX, pelo o e francs Pierre Laurent Wantzel. Apesar da genialidade de Wantzel, preciso e e dizer que sua soluo depende de conceitos algbricos desenvolvidos ao longo ca e de vrios sculos, por vrias geraes de matemticos. Ou seja, o problema s a e a co a o foi solucionado quando se mudou o foco da questo, passando-se a buscar uma a prova de que no tem soluo. a ca Wantzel foi, ainda, o responsvel pela resposta, tambm negativa, a outro a e problema: a duplicao do cubo. ca

2.2 A duplicao do cubo caNesse caso, a situao mais radical. Enquanto certos ngulos especiais podem ca e a ser divididos em trs, usando rgua e compasso, apesar de no haver um mtodo e e a e geral que sirva para um ngulo genrico, no se pode duplicar qualquer cubo. a e a Veja, o problema o seguinte: dado um cubo (ou seja, conhecendo o lado de e um dado cubo) devemos construir, com rgua e compasso, um cubo que tenha, e exatamente, o dobro de seu volume. Novamente, os gregos conheciam uma verso simples do problema. Scrates foi a o um dos mais originais pensadores de que temos not cia, mas tudo que sabemos de sua obra nos foi legado por Plato, que estudara com ele. Apesar de no ter a a sido um matemtico, Scrates retratado em um dos dilogos de Plato, numa a o e a a conversa com Mnon sobre a virtude, ensinando um jovem e inculto escravo a e 15

UD 1 duplicar um quadrado.


Isto , dado um quadrado, construir com rgua e compasso um novo quadrado e e que tenha o dobro de sua rea. Na primeira tentativa, o jovem dobra o lado a do quadrado dado e Scrates o faz ver o erro cometido. Em seguida, Scrates o o mostra-lhe a gura de um quadrado com os pontos mdios de seus lados unidos e por segmentos que formam um quadrado menor. Ento, Scrates ajuda o rapaz a o a lembrar-se que a rea do quadrado constru sobre a diagonal do quadrado a do menor tem o dobro de sua rea. a Finalmente, o ultimo problema consiste em construir com rgua e compasso e um quadrado de rea igual ` de um c a a rculo dado. Por isso o nome quadratura do c rculo.

2.3 A quadratura do c rculoNovamente, o problema s foi resolvido muito tempo depois de ter sido proo posto. Em 1882, o matemtico alemo Ferdinand von Lindemann demonstrou a a a impossibilidade de efetuar a quadratura do c rculo usando apenas construes co com rgua e compasso. e Como isso foi feito? Apostamos que voc est curioso. Realmente, vamos e a gastar o tempo que nos resta desta unidade para que voc tenha ao menos e uma idia geral dos argumentos dados por Wentzel e por Lindemann. eCarl Friedrich Gauss (1777 1855) Seu lema era: Pouca sed matura, algo como Pouco, porm maduro. e Suas contribuies cobrem co quase todas as reas da a Matemtica, como a Geometria, Teoria de Nmeros e Anlise Complexa. u a Foi tambm f e sico e astrnomo. O primeiro o problema importante que ele resolveu, aos 19 anos, foi a descoberta de uma construo com rgua e ca e compasso de um pol gono de 17 lados. Veja, desde o per odo clssico da a Matemtica na Grcia antiga, a e os unicos pol gonos regulares que podiam ser constru dos com rgua e compasso eram e o tringulo, o quadrado e o a pentgono. a

2.4 Algebrizao dos problemas geomtricos ca eComo podemos demonstrar que imposs efetuar uma determinada conse vel truo com rgua e compasso? Veja que, para mostrar que uma certa consca e truo poss ca e vel, basta faz-la. e O caminho para as demonstraes foi aberto por um dos maiores matemticos co a de todos os tempos: Carl Friedrich Gauss. A idia algebrizar o problema. Por e e exemplo, para duplicar o quadrado de lado 1, devemos construir um quadrado de lado 2. Mas, como podemos construir o quadrado de lado 1, temos a sua diagonal que mede 2. O que Wantzel conseguiu provar, a partir das idias de Gauss, foi: e 16

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Se C um ponto obtido por uma construo com rgua e compasso a partir de e ca e dois pontos dados A e B, ento o quociente q das distncias AC e AB tem as a a seguintes propriedades: 1. q a raiz de um polinmio com coecientes inteiros, no todos nulos. e o a Nesse caso q chamado de um nmero algbrico. e u e 2. Se p(x) for um polinmio de grau m o nimo entre todos os polinmios com o coecientes inteiros, no todos nulos, dos quais q uma raiz, ento o a e a grau de p(x) uma potncia de 2. e e Veja como a duplicao do quadrado se encaixa nesse esquema. O nmero ca u 2

pode ser constru com rgua e compasso, pois a diagonal de um quadrado do e e de lado 1. Realmente, 2 uma das ra do polinmio x2 2, de coecientes e zes o inteiros. Ora, para duplicarmos o cubo de lado 1, ter amos que construir um segmento 3 de comprimento 2. Esse nmero algbrico raiz do polinmio x3 2, que u e e o tem grau (m nimo) 3, que no uma potncia de 2. a e e No caso do problema da diviso de um ngulo em trs partes iguais, a algea a e brizao do problema tambm resulta em uma equao cbica. ca e ca u Na questo da quadratura do c a rculo (de raio 1, por exemplo,) ter amos que construir com rgua e compasso um quadrado cujo lado medisse . Lindee mann mostrou que no raiz de nenhuma equao polinomial com coecientes a e ca inteiros no todos nulos. Ou seja, no um nmero algbrico e, portanto, a a e u e tambm no um nmero algbrico. e a e u e Estamos chegando ao m dessa unidade. Esperamos que sua curiosidade a respeito dos diversos aspectos da Matemtica tenha sido aguada e a c apresentamos mais duas atividades.

Atividade 3Faa uma lista sucinta das diferentes caracter c sticas da Matemtica apresentaa das nessa unidade e acrescente algumas por voc mesmo. e

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Atividade 4Na sua opinio, o que teria incomodado tanto o matemtico Grothendieck na a a leitura dos livros de Matemtica em que estudou? Se estivesse estudando nos a livros que ns usamos hoje em dia, ele teria uma opinio diferente? o a A histria desses trs problemas clssicos da Matemtica mostra como, em o e a a muitos casos, a importncia no est na resposta de uma certa questo, seja a a a a ela positiva ou no, mas nos mtodos usados para chegar at ela. No a e e a devemos nos decepcionar com o fato de no podermos duplicar o cubo, por a exemplo, pois a profundidade e a riqueza das idias desenvolvidas para chegar e ` resposta negativa nos compensam largamente. a E nossa expectativa, tambm, que o enfoque sobre os problemas passe a fazer e parte de sua maneira de ver a Matemtica, pois nisso consiste, em enorme a parte, a sua vitalidade e importncia. a

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Unidade 2O Dilema de Pitgoras aNesta unidade didtica voc descobrir como a Matemtica tornou-se uma a e a a cincia, no sentido de ter uma maneira bem denida de se e estabelecer a verdade. Isso ocorreu com o surgimento da cultura grega, por volta de 600 a.C., quando os primeiros matemticos de que temos not passaram a fazer e responder a cia perguntas que comeam com por que, alm daquelas que c e comeam com como. c No entanto, aps os primeiros triunfos dessa jovem fora criativa, surgiu uma o c grande crise, conhecida como o dilema de Pitgoras. a

Texto 3: A Matemtica dos Esticadores de Cordas aPara entender melhor essa histria, voc precisa conhecer um pouco o contedo o e u matemtico produzido pelos povos que habitavam as margens do rio Nilo, na a Africa, e a regio entre os rios Tigre e Eufrates, no Oriente Mdio, cujas culturas a e antecederam a grega e, certamente, a inuenciaram. Uma das mais fascinantes civilizaes antigas de que temos not desenvolveuco cia se `s margens do rio Nilo, no norte da Africa a civilizao eg a ca pcia. Todos ns sabemos como foi requintada a cultura desse povo que adorava o gatos, constru pirmides monumentais para enterrar seus reis embalsamados a a os faras que eles acreditavam serem descendentes de seus deuses. o Entre tantas coisas dignas de nota a respeito dos antigos eg pcios est o fato de a eles terem desenvolvido uma forma de escrita os hierglifos deixando-nos, o 19

UD 2No primeiro volume da coleo Mar de Histrias, ca o uma antologia do conto mundial, organizada por Aurlio Buarque de Holanda e e Paulo Rnai, editado pela o Nova Fronteira, h um conto a eg pcio, chamado A histria o de Rampsinitos.


assim, relatos e registros de suas conquistas culturais. Aristteles acreditava que a atividade matemtica surgira no Egito, criada por o a seus sacerdotes, uma vez que eles dispunham de tempo ocioso. Por mais interessante que seja essa possibilidade, devemos levar em conta a verso dada por Herdoto, chamado de pai da Histria. Ele armava que a a o o Geometria havia sido inventada no Egito, devido `s cheias anuais do rio Nilo, a que fertilizavam suas margens, o que era timo para a agricultura. No entanto, o quando as guas retornavam ao leito normal do rio, as marcaes dos terrenos a co precisavam ser refeitas. E por isso que Demcrito, lsofo grego que teria visitado o Egito, chamava o o os matemticos locais de esticadores de cordas, que eles usavam para fazer a as demarcaes. Veja que geometria formada pelas palavras gregas geo, que co e quer dizer terra, e metria, que quer dizer medida.

3.1 Revelao de obscuros segredos caH duas importantes fontes de informaes sobre o tipo de matemtica pratia co a cada no antigo Egito. So dois papiros, conhecidos como Papiro de Moscou, a que data de 1850 a.C., e Papiro Rhind, de 1650 a.C., que se encontra no Museu Britnico. Apesar do Papiro Rhind iniciar com a promessa de apresentar ao a leitor um estudo completo de todas as coisas, conhecimento de tudo o que existe, revelao dos mais obscuros segredos, os dois so colees de proca a co blemas resolvidos, todos relativamente simples. Os estudantes desses papiros aprenderiam com os exemplos a calcular a quantidade de tijolos usados para construir uma rampa de um dado tamanho ou a quantidade de cestos de pes a sucientes para alimentar os escravos necessrios para executar uma certa tarefa a e assim por diante. Apesar da propaganda um pouco enganosa, esses papiros cumpriam um papel essencial na transmisso dos conhecimentos. Os antigos a eg pcios conheciam a importncia dos exemplos na aprendizagem. a O Papiro Rhind nos revela como eles dividiam, extra am ra zes quadradas, resolviam problemas equivalentes a equaes lineares, lidavam com progresses co o aritmticas. Eles usavam 3.16 como uma aproximao de . O problema 14 e ca deste documento ensina a calcular o volume de um tronco de pirmide. a 20

UD 2


3.2 Um exemplo da aritmtica eg e pciaParticularmente interessante a maneira como eles efetuavam o produto de e dois inteiros. Para multiplicar, por exemplo, 19 por 42, usamos o algoritmo da multiplicao baseado no sistema numrico posicional. Os eg ca e pcios usavam outra coisa, uma vez que no dispunham de tal facilidade. O mtodo deles se a e baseia no fato que multiplicar e dividir por 2 relativamente simples. e Comeamos dispondo os dois nmeros a serem multiplicados, um ao lado do c u outro, e constru mos uma tabela com duas colunas de nmeros. Veja a seguir. u Para obter a coluna da esquerda, basta seguir dobrando o nmero anterior a u cada nova linha. Na coluna da direita, fazemos o contrrio, dividindo o nmero a u por dois e colocando-o na linha de baixo, subtraindo 1 antes da diviso nos a casos em que ele for mpar. Nestes casos, fazemos uma pequena marca para destacar aquelas linhas das demais. Vamos aprender atravs de um exemplo, como faziam os antigos escribas eg e pcios. Comeamos colocando os nmeros 42 e 19 na primeira linha da tabela e como c u 19 um nmero e u mpar, a destacaremos com uma marca. 42 19 /

Para construir a segunda linha, dobramos o nmero 42 e colocamos o resultado, u 84, logo abaixo dele. Subtraindo 1 de 19 e dividindo por 2, obtemos 9 (= 18/2), que colocamos abaixo dele. Essa segunda linha tambm marcada, uma vez e e que 9 e mpar. 42 84 19 9 / /

Prosseguimos assim at obter 1 na coluna da direita. Veja, a seguir, a tabela e completa. 42 84 168 336 672 21 19 9 4 2 1 / /

/

UD 2


Finalmente, para obter o resultado do produto, basta somar os nmeros da u coluna da esquerda correspondentes `quelas linhas que foram marcadas: a 19 42 = 42 + 84 + 672 = 798. Parece mgica, mas no . Esse algoritmo de multiplicao se baseia na exa a e ca panso do multiplicando na base 2. a Note que 19 = 16 + 2 + 1 = 24 + 21 + 20 . Isto , as marcas indicam e precisamente as correspondentes potncias de 2 que aparecem na composio do e ca nmero. Veja, se considerarmos apenas a segunda coluna da tabela, trocarmos u a marca por 1 e colocarmos 0 na sua ausncia, obtemos a expanso de 19 na e a 19 9 4 2 1 1 1 0 0 1 base 2. Para isso, basta dispor os d gitos obtidos, da direita para a esquerda, escrevendo na horizontal essa nova coluna. Veja a expanso de 19 na base 2: a (10011)2 . Usamos o ndice 2 para distinguir esse nmero (19 na base dois) de 10 011 (dez u mil e onze). Se multiplicarmos um nmero por uma soma de potncias de 2, claro que o u e e resultado ser a soma das correspondentes dobras, dobras de dobras e assim por a diante, at completar o resultado. e Apresentamos uma atividade para voc praticar. e

Atividade 5Na tabela a seguir, complete as colunas e efetue o produto de 26 por 31 usando o algoritmo apresentado. 31 62 124 26 13

/

Note que a expanso de 26 na base 2 (11010)2 , pois 26 = 16 + 8 + 2 = a e (1 24 ) + (1 23 ) + (0 22 ) + (1 21 ) + (0 20 ). Realmente, o primeiro 22

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d gito da direita para a esquerda na expanso de 26 na base 2 zero, indicando a e que 1 = 20 no faz parte das parcelas, uma vez que 26 par. a e E interessante notar que o algoritmo conhecido pelos eg pcios nos ensina a obter a expanso de um dado nmero na base 2. Usar apenas dois d a u gitos, 0 e 1, para denotar os nmeros, a base da construo dos nossos modernos computadores. u e ca

3.3 Os eg pcios e o Teorema de Pitgoras aOs eg pcios sabiam, ` sua maneira, o reverso do Teorema de Pitgoras: a a Se os lados a, b e c de um tringulo satisfazem a relao a ca a2 + b2 = c2 , ento o tringulo retngulo. a a e a Para obter um ngulo reto, to necessrio para suas construes, eles usaa a a co vam doze pedaos de corda de mesmo comprimento amarrados uns aos outros, c formando um lao. Esticando propriamente esse lao obtinham um tringulo c c a retngulo de lados 3, 4 e 5 e o desejado ngulo. Veja a gura a seguir. a as s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s

No entanto, os eg pcios no deixaram nenhum registro de como chegaram ` a a concluso de que o tringulo de lados 3, 4 e 5 retngulo, nem est claro que a a e a a eles conheciam outros tringulos com a mesma propriedade. a Os matemticos que viveram na regio chamada Mesopotmia, entre os rios a a a Tigre e Eufrates, chegaram mais longe do que seus colegas eg pcios em suas descobertas matemticas. A palavra Mesopotmia vem do grego e a a signica entre rios. 23

UD 2


Texto 4: Nos Jardins Suspensos da Babilnia oAssim como no caso do Nilo, os rios Tigre e Eufrates garantiam a fertilidade na Mesopotmia, favorecendo o desenvolvimento da agricultura e o surgimento de a civilizaes. Mas, enquanto as margens do Nilo foram ocupadas apenas pelos co eg pcios, a Mesopotmia foi habitada por vrios povos. Entre eles destacamos: a a sumrios inventaram a primeira escrita de que temos not chamada e cia cuneiforme, registrada em tabuletas de barro; babilnios criaram o primeiro conjunto de leis, o Cdigo de Hamurabi. o o Os sumrios foram absorvidos pelos babilnios, que tiveram sua fase mais dee o senvolvida por volta de 575 a.C., durante o reinado de Nabucodonossor.

4.1 As triplas babilnicas oAs conquistas matemticas desses povos caram registradas em tabuletas de a argila. A mais famosa conhecida como Plimpton 322, na qual est registrada e a uma fam de pares de nmeros, que geram triplas pitagricas. Uma tripla lia u o pitagrica formada por trs nmeros inteiros a, b e c, tais que c2 = a2 + b2 . o e e u Por exemplo, os dois primeiros nmeros dessa tabuleta so 119 e 169. Realu a mente, juntos com 120 eles geram um tringulo retngulo. a a 1692 = 28 561 = 14 161 + 14 400 = 1192 + 1202 . Portanto, (119, 120, 169) uma tripla pitagrica. e o A tabuleta Plimpton 322 revela uma cultura matemtica mais rica do que a a eg pcia. Os matemticos da Mesopotmia usavam um sistema numrico de a a e base 60 (o nosso sistema decimal, de base 10), bastante adequado ao estudo e da astronomia, que eles conheciam muito bem. O uso do sistema numrico e sexagesimal foi passado para a cultura grega que o preservou, pelo menos, nessa rea. E por isso que dividimos o c a rculo em 360 graus, a hora em 60 minutos, e assim por diante. Esses povos sabiam que os nmeros u 2uv, u2 v 2 e u2 + v 2 24

UD 2 geram uma tripla pitagrica, pois o


(u2 + v 2 )2 = (u2 v 2 )2 + (2uv)2 . Isto , se tomarmos u = 12 e v = 5, obtemos a tripla pitagrica (122 52 , 2 e o 125, 122 +52 ) = (119, 120, 169). No entanto, eles usavam essa tcnica apenas e para nmeros u e v relativamente primos e tais que seus fatores primos fossem u apenas 2, 3 ou 5, os fatores primos de 60.

Atividade 6Usando u = 64 = 26 e v = 27 = 33 , gere a segunda tripla pitagrica que o aparece em Plimpton 322. Sabendo que 4601 e 6649 so nmeros na prxima tripla em Plimpton 322, a u o descubra os correspondentes geradores u e v, assim como o terceiro nmero. u No in do sculo 6 a. C., a cidade de Mileto, na Jnia, assistiu ao cio e o surgimento de uma nova cultura, que dominaria o mundo por aproximadamente mil anos e inuenciaria a maneira de pensar e produzir cincia at os nossos dias. e e

Texto 5: O Surgimento da Matemtica Grega aEnquanto eg pcios e babilnios armazenavam conhecimentos e os transmitiam o `s novas geraes sem maiores questionamentos, os matemticos gregos pasa co a saram a buscar razes para explicar os resultados. Alm disso, uniram a essa o e atitude o rigor lgico, que pautava toda sua atitude cient o ca. Foi uma mudana c extraordinria. a Outra caracter stica introduzida pelos gregos foi a personalizao da Matemtica. ca a Tales de Mileto o primeiro matemtico de que temos not e a cia. Ele deve ter sido um personagem muito especial. As muitas lendas e histrias associadas ao o seu nome atestam isso.

5.1 As contribuioes de Tales de Mileto cOs principais resultados matemticos associados a ele so: a a 25

UD 2 todo dimetro divide o c a rculo em duas partes;


os ngulos da base de um tringulo issceles so iguais; a a o a ngulos opostos pelo vrtice, formados por duas retas que se intersectam, a e so iguais; a dois tringulos com dois ngulos e um lado iguais so congruentes; a a a todo ngulo inscrito num semic a rculo reto. e Esse ultimo resultado conhecido como Teorema de Tales. Na verdade, to e dos esses fatos eram conhecidos dos matemticos das outras culturas que o a antecederam. No entanto, cabe a ele o mrito de ter providenciado suas dee monstraes. co Veja, no caso de Teorema de Tales, considere o ngulo de vrtice em B, inscrito a e no semic rculo ABC. Usando um segmento auxiliar que liga B ao centro do semic rculo, dividimos ABC em dois tringulos issceles, pois OA, OB e OC a o so raios do semic a rculo. Veja a ilustrao. ca

B

A

q O

C

Usando o resultado sobre tringulos issceles, sabemos que os ngulos denotados a o a por e por so iguais. Como a soma dos ngulos internos do tringulo ABC a a a igual a dois ngulos retos, obtemos e a + + ( + ) = 2 ngulos retos. a Portanto, + um ngulo reto, como quer e a amos demonstrar. Tales tambm deu contribuies ` Filosoa. e co a 26

UD 2


5.2 Pitgoras e o seu teorema aA gura mais lembrada desse per odo inicial da matemtica grega foi, sem a dvida, Pitgoras. Entre os vrios resultados atribu u a a dos a ele, o mais famoso o Teorema de Pitgoras, sobre tringulos retngulos. Como voc pode ver, e a a a e esse resultado era, essencialmente, conhecido pelas culturas que o antecederam, mas atribu a ele sua primeira demonstrao. Conta a histria que Pitgoras e da ca o a teria sacricado cem bois quando descobriu a prova do teorema. Dif de crer, cil uma vez que Pitgoras teria sido vegetariano. De qualquer forma, no sabemos a a exatamente qual foi a demonstrao de Pitgoras. A demonstrao ocial, ca a ca digamos assim, apresentada no livro 1 dos Elementos, de Euclides, o pice do e a livro, que parece ter sido escrito para apresent-la. a

5.3 Uma demonstrao do Teorema de Pitgoras ca aVoc conhece a demonstrao baseada na identidade algbrica (a + b)2 = a2 + e ca e 2ab + b2 ? Bem, aqui est ela. a Primeiro, observe que essa identidade pode ser demonstrada pelo diagrama a seguir.

a

b

Note que (a + b)2 a rea do quadrado de lado a + b, que est dividido em e a a dois quadrados de lados a e b e em quatro tringulos retngulos agrupados dois a a a dois em dois retngulos de lados a e b. a A rea de cada um dos quatro tringulos a a e ab . Assim, a rea do quadrado a 2 maior igual ` soma das reas dos dois quadrados menores com a rea dos e a a a 27

UD 2 quatro tringulos: a (a + b)2 = a2 + b2 + 4 ab 2


= a2 + 2ab + b2 .

Agora, um novo arranjo dos tringulos dentro do quadrado maior revela em seu a interior um quadrado de lado c, a hipotenusa do tringulo retngulo de catetos a a a e b.

c

a

b

Esse diagrama nos diz que (a + b)2 = 2ab + c2 . Reunindo ambas informaes, obtemos (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab. co Portanto, a2 + b2 = c2 . Isso conclui a demonstrao. ca Pitgoras fundou uma irmandade cujos interesses iam alm da Matemtica. a e a Os membros dessa irmandade atribu todas as suas descobertas a ele. am Apresentamos, a seguir, uma lista de algumas de suas descobertas, alm da e demonstrao do Teorema de Pitgoras. ca a

5.4 Outras contribuies dos pitagricos co o Estudo das mdias aritmtica e e a+b 2ab , geomtrica ab e harmnica e o , 2 a+b assim como as relaes entre elas. co 28

UD 2


Estudo dos nmeros perfeitos e dos pares de nmeros amigveis. Chamau u a mos (m, n) um par de nmeros inteiros positivos de nmeros amigveis, u u a se a soma dos divisores prprios de um deles igual ao outro e vice-versa. o e Por exemplo, os divisores prprios de 220 so 1, 2, 4, 5, 10, 20, 11, 22, o a 44, 55 e 110, cuja soma 284. Agora, os divisores prprios de 284 so 1, e o a 2, 4, 71 e 142, cuja soma 220. e Na unidade didtica 4 voc conhecer um fato muito interessante a resa e a peito dos nmeros perfeitos, aqueles cuja soma de seus divisores prprios u o igual a ele mesmo, como 6 = 1 + 2 + 3. e Os pitagricos conheciam os cinco slidos regulares. o o Eles demonstravam uma grande considerao para os nmeros e buscavam ca u conhec-los muito bem. Distinguiam entre eles os chamados nmeros e u gurados, que contavam certos arranjos geomtricos, como os nmeros e u triangulares e quadrados. E interessante como a perspectiva geomtrica prevaleceu na cultura grega. e Mesmo os resultados que hoje obter amos por outras maneiras eram estudados de uma forma geomtrica. e Veja um exemplo a seguir.

5.5 Nmeros gurados e um resultado da teoria de nmeros u un(n + 1) , para n inteiro maior ou igual a 1, eram conhe2 cidos pelos pitagricos como nmeros triangulares. Isso porque eles podem ser o u Os nmeros da forma u dispostos num diagrama na forma de tringulos. Aqui esto alguns deles. a a 10 15

1

3

6

...

Agora consideraremos os nmeros quadrados. Esses podem ser representados u em diagramas na forma de quadrados, da o seu nome:

29

UD 2

Histria da Matemtica o a 25

1

4

9

16

...

Veja um resultado de teoria de nmeros que os pitagricos demonstrariam u o usando, digamos assim, simples geometria. Teorema: A soma de uma seqncia de nmeros ue u mpares, comeando c de 1, um nmero quadrado: e u 1 = 1 1+3 = 4 1+3+5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Podemos entender o que est acontecendo olhando o diagrama a seguir, assim a como os pitagricos o zeram h mais ou menos 2500 anos. o a 1 +3 +5 +7 +9 +11 36

Atividade 7Use um esquema semelhante para mostrar que a soma de dois nmeros trianu gulares subseqentes, como 6 e 10, um nmero quadrado. u e u

Atividade 8O nmero 12 285 um elemento de um par de nmeros amigveis. Descubra o u e u a outro nmero desse par. u 30

UD 2


5.6 Segmentos comensurveis e a primeira crise na Matemtica a aUm conceito usado pelos pitagricos era a comensurabilidade de dois segmeno tos. Dois segmentos a e b so ditos comensurveis se existir uma unidade de a a comprimento que mea, de maneira exata, ambos segmentos. Isto , dados dois c e segmentos comensurveis a e b, existe um segmento u e nmeros inteiros p e q a u p tais que a = p u e b = q u. A razo de a por b . a e q Os pitagricos acreditavam que quaisquer dois segmentos seriam comensurveis. o a Por isso, a descoberta de um par de segmentos no comensurveis gerou uma a a crise matemtica sem precedentes. Isso ocorreu quando eles estudaram a razo a a entre a diagonal e o lado de um quadrado. O fato de a diagonal e o lado de um dado quadrado no serem comensurveis a a equivalente a 2 no ser um nmero racional. Realmente, se tomarmos um e a u quadrado de lado, digamos, 1, pelo Teorema de Pitgoras, o quadrado de sua a diagonal ser igual a 2. a

2

O fato de 2 no poder ser expresso na forma p/q, para nmeros inteiros p a u e q, signica que no existe segmento u tal que lado do quadrado = q u e a diagonal do quadrado = p u. Essa descoberta gerou uma crise monumental, pois isso colocava em xeque toda a crena deles, de que a Matemtica seria capaz de expressar qualquer coisa da c a natureza. Devemos lembrar que nmero para os pitagricos signica nmero u o u inteiro e as poss veis razes seriam os chamados nmeros racionais. o u Do ponto de vista prtico, todo racioc a nio matemtico que empregava a sua posio de que quaisquer dois segmentos so comensurveis estava invalidado. ca a a Isso deixava um enorme mal-estar, pois os resultados demonstrados usando essa informao estavam, subitamente, invalidados. Era urgente descobrir uma nova ca 31

1

UD 2


cadeia de racioc que pudesse substituir esse elo partido e contornar o terr nio vel imbrglio. o Quem resolveu o problema foi Eudoxo de Cnido. Mas isso ser assunto para a a prxima unidade didtica. No entanto, antes de terminarmos esta unidade, o a veja uma demonstrao. ca

5.7

2 no um nmero racional a e up2 seja igual q2

A demonstrao de que no h dois nmeros inteiros p e q tais que ca a a u

a 2 est no livro Primeiros Anal a ticos, de Aristteles. Ela do tipo reduo ao o e ca absurdo. Vamos supor que haja dois inteiros p e q tais que uma armao absurda. ca Realmente, suponhamos que tais nmeros existam. Ento, podemos tom-los u a a de tal forma que eles so primos entre si (no tm fatores comuns). Geometria a e camente, estamos supondo que a unidade u escolhida a maior poss e vel. Em particular, isso signica que eles no so ambos pares. Por outro lado, como a a p2 = 2 q 2 , podemos concluir que p par, uma vez que seu quadrado um e e nmero par. Assim, existe um nmero inteiro r, tal que p = 2 r. u u Voltando ` equao original, temos (2 r)2 = p2 = 2 q 2 , donde conclu a ca mos que q 2 = 2 r2 . Mas, isso signica que q tambm par, o que contraria o fato e e original que os nmeros p e q no so ambos pares. Fim da demonstrao! u a a ca As civilizaes que se desenvolveram `s margens do Nilo e entre o Tigre e o co a Eufrates no foram as unicas nem as primeiras a produzir e a usar a conhecimentos matemticos. Praticamente todas as civilizaes de que temos a co not desenvolveram algum tipo de conhecimento matemtico. Dignos de cia a nota so os casos da matemtica chinesa, indiana e, no nosso continente, a a algumas civilizaes andinas. co Por razes de ordem prtica, consideramos apenas a matemtica do Antigo o a a Egito e da Mesopotmia devido especialmente `s suas conexes com a a a o matemtica grega. No deixe de procurar informaes sobre as outras culturas a a co assim que tiver alguma oportunidade. 32 p2 = 2 e produzir q2

Unidade 3Teoria das Propores de Eudoxo coNa unidade anterior, voc aprendeu como o surgimento da cultura grega, no e in do sculo IV a.C., mudou profundamente a concepo que o homem cio e ca tinha do universo, sua maneira de pensar e de produzir cincia. e Ousadia e inovao so palavras que facilmente associamos a este fenmeno ca a o cultural que desencadeou uma onda de criatividade, se estendeu por centenas de anos e deu base ` nossa concepo de losoa e de cincia. a ca e

Texto 6: A Primeira Grande Crise na Matemtica aOs primeiros matemticos gregos tomaram o volume de conhecimento maa temtico acumulado ao longo de milnios pelas culturas que oresceram na a e Mesopotmia e no Egito e o moldaram ` sua maneira. a a No entanto, a descoberta de dois segmentos no comensurveis, o lado e a a a diagonal de um quadrado, gerou uma crise profunda, perturbando essa ordem por eles criada com a fora de um cataclismo. c Para entender a razo de tamanha comoo preciso lembrar da maneira como a ca e os gregos passaram a conceber a Matemtica, introduzindo o mtodo dedutivo. a e Isso o que chamamos de axiomatizao da Matemtica. Esta , basicamente, e ca a e a mesma maneira como fazemos Matemtica at hoje. a e Em poucas palavras, o seguinte: o mtodo dedutivo usa as regras denidas e e pela lgica (outra inveno dos gregos) para demonstrar as armaes mao ca co temticas, os teoremas, usando resultados anteriores. Esse processo precisa a comear em algum lugar. Os pontos de partida so armaes aceitas como c a co 33

UD 3


verdadeiras, chamadas axiomas. As teorias matemticas, isto , as colees de a e co teoremas estabelecidos, permanecero para sempre. Novas teorias podem ser a constru das sobre este alicerce, ele as suportar. E uma situao totalmente a ca diferente de outras cincias, como a Biologia ou a F e sica. Nestas cincias, e acontece de novas teorias surgirem derrubando as anteriores.

6.1 A questo dos segmentos no comensurveis, mais uma vez a a a

Observe que, na terminologia atual, os termos postulado e axioma querem dizer a mesma coisa, so sinnimos. a o No passado, no entanto, dava-se o nome de axioma `s a armaes que eram co evidentes por si mesmas e tinham que ser admitidas necessariamente como verdadeiras, j postulado a poderia ser demonstrado, mas era tomado como verdadeiro e usado sem demonstrao. A priori, a ca armao chamada de ca postulado ainda no fora a aceita como verdadeira pela pessoa a quem era endereada. Por isso o nome, c uma vez que postular tambm indica um pedido. e

Neste quadro, os axiomas funcionam como verdadeiras pedras fundamentais sobre as quais toda a estrutura repousa. O primeiro axioma apresentado no primeiro livro dos Elementos de Euclides a armao: e ca Dados dois pontos, h um segmento de reta que os une. a A terminologia antiga postulado. Veja, a palavra axioma, que agora usamos, e originalmente signicava dignidade ou valor. Muito bem, os pitagricos consideravam como axioma, ou seja, assumiam como o verdadeira, a armao: ca Quaisquer dois segmentos so comensurveis. a a A descoberta de que o lado de um quadrado qualquer e a sua diagonal no so a a comensurveis, equivalentemente 2 no da forma p/q, para inteiros p e q, a a e com q no nulo, signicou que a armao no mais poderia ser usada como a ca a axioma. Isso invalidou todas as demonstraes que haviam sido feitas usando co essa armao, de maneira direta ou indireta. Ou seja, uma srie de teoremas ca e caram, subitamente, sem suas demonstraes. Isto , no eram mais teoremas. co e a Numa palavra: desastre. Realmente, os pitagricos acreditavam que tudo que h no universo poderia ser o a descrito pela Matemtica. Eles acreditavam na mxima: a a Todas as coisas so nmeros. a u A existncia de dois segmentos no comensurveis ameaava esta armao, e a a c ca pois os nmeros a que eles se referiam eram os nmeros racionais. u u 34

UD 3

Histria da Matemtica o a 2 mostra

Veja, o fato da relao entre o lado e a diagonal de um quadrado ser ca

que existem relaes f co sicas que no podem ser representadas em termos dos a nmeros racionais. Por isso, eles chamavam essa razo de alogos, o inexprim u a vel. Neste ponto, preciso dizer uma palavra em favor dos pitagricos. O erro coe o metido sutil. A idia a seguinte: parece razovel que possamos medir dois e e e a segmentos quaisquer usando apenas mltiplos de uma certa unidade. Ora, basta u que tomemos essa unidade sucientemente pequena, no mesmo? Por exema e plo, dadas duas distncias, se no for poss medir ambas usando quilmetros a a vel o de maneira justa (algo assim como 13 km ou 307 km), talvez possamos faz-lo e usando metros ou mesmo mil metros. Foi nisso que os antigos gregos acreditaram. Alm do mais, h o aspecto prtico, que no podemos esquecer. At hoje, e a a a e usamos aproximaes racionais para expressar todas as grandezas do mundo que co nos cerca. A tecnologia nos ajuda a melhorar essas aproximaes. co No entanto, no poss encontrar uma unidade de comprimento que mea, a e vel c de maneira justa, o lado e a diagonal de um quadrado, por menor que seja, pois 2 no um nmero racional, como vimos na unidade didtica anterior. a e u a A crise gerada pela existncia de segmentos no comensurveis perdurou at que e a a e um matemtico genial apresentasse uma idia nova, que alavancaria a questo. a e a Esse matemtico foi Eudoxo, nascido na ilha de Cnido, um contemporneo de a a Plato, fundador de uma escola de losoa, chamada Academia, que tanto a inuenciou nossa cultura.

Atividade 9Voc conhece outro exemplo de um par de magnitudes no comensurveis? e a a Use o fato de ser irracional para mostrar que o raio r de um c rculo e sua circunferncia, 2 r, so no comensurveis. e a a a Voc conhece duas reas que sejam no comensurveis? Pense no problema da e a a a quadratura do c rculo.

Antes de contarmos um pouco da histria de Eudoxo e de suas idias para o e resolver o problema dos segmentos no comensurveis, vamos falar sobre a a a noo de innito, como era vista naquele tempo. ca 35

UD 3


Texto 7: Problemas com InnitoO que causou toda a diculdade, isto , a existncia de segmentos no coe e a mensurveis, de certa forma, o innito, um adversrio fenomenal. Essa crise a e a colocava os matemticos da poca frente a um conceito que tem provocado, ao a e longo da histria da cincia, e da Matemtica em particular, algumas de suas o e a maiores diculdades, mas que tem gerado, tambm, alguns de seus melhores e resultados. O problema reside no fato de, mesmo no sendo 2 um nmero a u racional, podermos encontrar nmeros racionais arbitrariamente prximos a ele. u o

7.1

2 e as fraoes cont c nuas

Queremos obter uma seqncia de nmeros racionais que estejam mais e mais ue u prximos a 2. Uma maneira de fazer isso expressando esse nmero como o e u uma frao cont ca nua. Voc no precisa ser um expert no assunto, que muito e a e interessante, para entender a idia geral. e Observe que 2 = 1+ 21 = ( 2 1)( 2 + 1) = 1+ = 2+1 1 = 1+ . 2+1 Se voc achou que essa uma maneira estranha de escrever e e mais podemos fazer. 1 2 = 1+ = 1+ 2+1 1 1 1+ 2+1 = +1 1 1 2+ 2+1 2, veja o que

Prosseguindo assim, obtemos 2 = 1+ 1 1 2+ 2+1 = 1+ 2+ 1 1 1 2+ 2+1 36 = 1+ 2+ 2+ 1 1 1 1 2+ 2+1

UD 3


Esse processo pode ser continuado por tantas vezes quanto quisermos, gerando uma espcie de frao prolongada, representada por e ca 2 = 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 1 1 1 1 1 1 2 + ...

Se interrompermos esse processo, obtemos um nmero racional que ser uma u a aproximao racional de 2. Realmente, uma aproximao de 2 com 9 casas ca ca decimais 1.414213562, enquanto e 1+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+1/2)))))) = 577 = 1.414215686. 408

Uma frao cont ca nua algo assim como um fractal algbrico. e e Agora vamos dar uma pausa para voc fazer um exerc e cio.

Atividade 10Use a igualdade 1+ 5 1 = 1+ 2 1+ 5 2 2.

para gerar uma frao cont ca nua, como foi feito no caso de

1+ 5 , Use essa frao cont ca nua para calcular uma boa aproximao do nmero ca u 2 conhecido como razo urea e uma boa aproximao de 5. a a ca Continuando, lembramos que a noo innito de enorme importncia para a ca e a Matemtica, mas as diculdades que apresenta so igualmente fenomenais, a a como voc pode perceber, no caso da crise gerada pelo descobrimento da e existncia de comprimentos no comensurveis. e a a 37

UD 3


Essas crises se repetem ao longo da histria e cada superao representa um o ca avano monumental. O surgimento do Clculo, no sculo 17, e a compreenso c a e a das teorias desenvolvidas por Cantor, no in do sculo 20, cio e so exemplos disso. a

Texto 8: Zeno e seus Paradoxos aA disputa nito versus innito quase to antiga quanto a Matemtica e e a a suas diculdades indicam a importncia da questo. E claro que esse problema a a transcende a Matemtica. a Os paradoxos de Zeno so resultados dessa antiga disputa. Para que voc a a e entenda como eles se colocam preciso ter uma idia do contexto cultural onde e e eles surgiram. Do ponto de vista da losoa, o principal debate est na questo da verdadeira a aZeno de Elia a e Paradoxo (do grego oo) signicava, originalmente, opinio errada, a em oposio a ortodoxo, que ca signicava opinio correta. a Com o passar do tempo a palavra paradoxo passou a indicar as armaoes c auto-contraditrias, como eu o estou mentindo. Se admitirmos que a frase e verdadeira, surge uma contradio. Se admitirmos ca que ela falsa, ocorre a e mesma coisa.

existncia de algo que seja innito. Todos concordam que o conjunto dos e nmeros naturais uma coisa potencialmente innita. Algo como um innito u e virtual. No entanto, como diria Aristteles, esse innito s existe nas nossas o o mentes. Anaximandro, disc pulo de Tales de Mileto, concebia o universo como uma innidade de mundos que existem desde sempre e que existiro durante um a tempo inesgotvel. Dessa forma, ele inaugurou a questo posicionando-se a a a favor da existncia de algo innito. e Em posio radicalmente oposta a Anaximandro, Parmnides acreditava que ca e o universo seria constitu de um unico objeto. Essa concepo monista do do ca universo implica a negao de qualquer movimento. Isso porque a existncia de ca e algum movimento demanda uma posio inicial e uma posio nal, contrarica ca ando a unicidade do universo. Muito bem, Zeno era disc a pulo de Parmnides e queria dar suporte ` teoria e a de seu mestre, mostrando que o movimento seria apenas uma iluso. Para a tanto, produziu quatro famosos argumentos com os quais pretendia mostrar que admitir a existncia de movimento implicaria algum tipo de absurdo. Esses e argumentos so conhecidos como paradoxos de Zeno. a a Um desses paradoxos arma ser imposs levantar-se da cadeira onde voc est vel e a sentado e caminhar at a porta mais prxima. Isto porque primeiro voc teria e o e 38

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que caminhar a metade desta distncia e depois teria que caminhar a metade a da metade que estaria faltando. Em seguida, a metade do que restou e assim por diante, interminavelmente. O absurdo que este paradoxo apresenta se deve ` negao do innito. Se a ca admitirmos, como normalmente o fazemos, ser poss percorrer uma innidade vel de pontos em um intervalo nito de tempo, podemos refut-lo facilmente. Ou a seja, Zeno nega o innito para concluir que o movimento um absurdo. a e Este paradoxo de Zeno pode ser apresentado de uma maneira matemtica. a a Veja: Um ponto movido da posio 0 na direo da posio 1, na reta real, da e ca ca ca seguinte forma: primeiro ele atinge a posio 1/2, depois a posio 3/4, em ca ca seguida 7/8, depois 15/16, e assim por diante. No n-simo estgio, o ponto se e a encontrar na posio 1 a ca 1 . Logo, imposs chegar at a posio 1 pois, e vel e ca 2n para chegar at l, o ponto teria que percorrer uma innidade de estgios. e a a

Atividade 11Voc poderia mostrar que a equao anterior no tem soluo? Isso implica a e ca a ca impossibilidade de mover o ponto da posio 0 para a posio 1? ca ca Alm disso, lembre-se da frmula de soma dos termos de uma progresso e o a geomtrica para calcular a seguinte soma: e 1 1 1 1 + + + + n. 2 4 8 2 Voc sabe a frmula da soma innita dos termos de uma progresso geomtrica? e o a e Essa frmula s vlida para as progresses geomtricas cujas razes satisfazem o oe a o e o uma determinada condio. Qual condio essa? A progresso correspondente ca ca e a ao paradoxo de Zeno satisfaz a essa condio? a ca Um outro paradoxo de Zeno conhecido como Aquiles e a tartaruga. Aquiles, a e o mais famoso corredor da antiga Grcia, aposta uma corrida com a sbia tare a taruga. Considerando sua morosidade, a tartaruga pede a Aquiles uma pequena vantagem: que ela possa iniciar a corrida na metade do percurso. Aquiles cede, pois corre duas vezes mais rpido que a tartaruga. Muito bem, segundo Zeno, a a 39

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ele perde a corrida. Na verdade, segundo Zeno, a corrida nunca mais termia nar e a tartaruga estar sempre na frente de Aquiles. Isso porque, quando ele a a atinge o ponto de onde a tartaruga largou, a metade da raia, ela j avanou at a c e a metade da metade que lhe faltava percorrer. Aquiles segue at esse ponto, e mas a tartaruga j se encontra na metade de sua prxima etapa, e assim por a o diante. Resumindo, a tartaruga sempre estar na frente do magn a co Aquiles. Note que, para o argumento funcionar como Zeno o quer, preciso admitir a e que o espao e o tempo so cont c a nuos e o movimento uniforme (velocidade e constante). Alm disso, a maneira como Zeno descreve a histria sugere que e a o Aquiles e a tartaruga passariam por uma innidade de etapas, metade de metade, depois a metade do que faltou, e assim por diante. Para refutar esse paradoxo, basta que lembremos da nossa concepo de moca vimento. Admitimos que poss percorrer uma innidade de posies (cada e vel co um dos pontos entre a partida e a chegada) em uma innidade de instantes (um para cada posio), mas num intervalo limitado de tempo. ca Voc pode buscar os outros paradoxos de Zeno e analis-los. Eles seguem o e a a mesmo padro: negao do innito com mais algumas consideraes, que implia ca co cam a no existncia de movimento. Essa formulao equivalente ao seguinte: a e ca e a admisso da existncia de movimento com mais algumas consideraes, que a e co implicam a existncia de innidades. e Nossa concepo admite innidades. Numa linguagem moderna, aceitamos a ca frmula matemtica o a lim 1 1 2n = 1.

n+

Uma das diculdades que encontramos ao tentar entender a maneira como os antigos enfrentavam os problemas matemticos est no fato de ns, de uma a a o certa maneira, j sabermos as solues. a co Nesta seo vamos fazer um esforo de compreender a questo da existncia ca c a e de segmentos no comensurveis da maneira como ela estava colocada para os a a pitagricos. o A recompensa ser apreciar a genialidade de Eudoxo. a 40

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Texto 9: Eudoxo e a Teoria da Proporo caNa raiz do problema est o fato de que os gregos antigos tinham uma viso a a geomtrica da matemtica. Eles no dispunham das ferramentas algbricas e a a e que dispomos hoje, uma vez que essas s vieram a ser desenvolvidas posterioro mente. A notao matemtica faz uma diferena fundamental na resoluo dos ca a c ca problemas. Veja como podemos colocar a questo com a ajuda da Algebra: a

Queremos comparar dois comprimentos x e y.

Suponhamos que exista um certo comprimento u tal que x = mu e y = nu, com m e n dois inteiros. Ora, se m for maior do que n, x maior do que y. e Caso contrrio, x menor do que y. a e Como voc sabe, os pitagricos acreditavam que essa possibilidade ocorreria e o para cada par de comprimentos. Mas, como voc sabe, isso no acontece para e a o lado e a diagonal de um dado quadrado, 1 e 2. Portanto, nesta altura, 1 e 2 no poderiam ser comparados. a

O quinto livro dos Elementos de Euclides apresenta uma teoria que resolve esta questo. A quarta denio desse livro chamada Axioma de Eudoxo e foi a a ca e ele atribu pelo grande Arquimedes. Ela diz: da

Duas magnitudes podem ser comparadas quando um mltiplo de u cada uma delas for maior do que a outra.

Veja, segundo essa denio, um comprimento e uma rea no so magnitudes ca a a a comparveis. No entanto, a diagonal do quadrado maior do que seu lado e, a e por sua vez, menor do que o dobro deste lado. e 41

UD 3


1

2

1

2

2

Assim, segundo Eudoxo, 1 e

2 so comparveis. a a

Mas restava uma outra etapa, ainda mais dif cil. Como denir a igualdade de duas razes de magnitudes comparveis? Ou seja, queremos estabelecer a o a igualdade a est para b assim como c est para d. a a Ns dizemos, simplesmente, a est para b assim como c est para d se, e somente o a a se, a d = c b. Mas, lembre-se, os pitagricos (assim como Eudoxo) no o a dispunham da multiplicao. ca Note que eles j sabiam como fazer para os pares de magnitudes comparveis. a a Suponha que existam magnitudes u e v, assim como nmeros inteiros m, n, p u e q, tais que a = m u, b = n u, c = p v e d = q v. Ento, dizemos a que a est para b assim como c est para d se, e somente se, m q = n p. (E a a fcil multiplicar nmeros inteiros!) a u Mas, como eles poderiam estabelecer que 1 est para a para 2? Veja a brilhante soluo de Eudoxo. Ela aparece como a quinta denio do ca ca quinto livro dos Elementos de Euclides. Em termos atuais o seguinte: e a est para b assim como c est para d se, e somente se, para a a quaisquer inteiros m e n, vale: (1) ma < nb se, e somente se, mc < nd; (2) ma = nb se, e somente se, mc = nd; 42 2 assim como 2 est a

UD 3 (3) ma > nb se, e somente se, mc > nd.


Atividade 12Use a denio de Eudoxo para convencer-se de que 1 est para ca a 2 est para 2. Ou seja, a 1 2 = . 2 2 2 assim como

Observe que, nesse contexto, nmero inteiro quer dizer nmero positivo. Os u u nmeros negativos s foram introduzidos posteriormente. u o O mrito dessa denio est no fato de que ela permitiu que os antigos e ca a gregos dispusessem da estrutura dos nmeros reais. O progresso feito por essa u teoria s se compara aos trabalhos sobre os nmeros reais realizados por o u Cauchy, Weierstrass e Dedekind, matemticos do sculo 19, dos quais a e voltaremos a falar.

9.1 Eudoxo e a rea do c a rculoNascido em 408 a.C., em Cnido, uma pequena ilha grega prxima da atual o Turquia, Eudoxo estudou Astronomia, Medicina, Geograa e Filosoa, alm e de Matemtica, com importantes mestres e em diferentes lugares por onde a viajou. Estudou na Itlia com Arquitas, que fora aluno de Plato. Arquitas a a estava interessado no problema da duplicao do cubo. Chegou a estudar na ca Academia de Plato, em Atenas, por um breve per a odo. Como era muito pobre, morava em um bairro da periferia de Atenas, nas bases do monte Piraeus, zona porturia, e percorria diariamente um longo caminho de ida e volta at a escola a e de Plato. a Ele retornou a sua nativa ilha onde contribuiu como legislador, atuando na vida pblica. Escreveu livros sobre astronomia, meteorologia e outros temas, ensinou u essas disciplinas e construiu um observatrio. Eudoxo morreu em Cnido, no ano o 355 a.C. Do ponto de vista matemtico, como voc viu, resolveu a primeira grande crise a e que a Matemtica enfrentara. Veja, a seguir, como suas idias resultavam em a e teoremas. Eudoxo demonstrou que 43

UD 3

Histria da Matemtica o a a rea de um c a rculo proporcional ao quadrado de seu dimetro. e a

Para isso, ele usou um resultado observado por Antifo, que fora o primeiro a a sugerir que a rea do c a rculo poderia ser calculada em termos de pol gonos regulares nele inscritos. Aqui est o resultado de Antifo: a a Um 2n -gono regular inscrito em um c a rculo ocupa mais do que 1 1 n1 de sua rea. a 2 Por exemplo, um quadrado ocupa mais do que a metade da rea do c a rculo em que est inscrito. a Voc j tem conhecimentos sucientes para resolver o prximo exerc e a o cio. Vamos a ele.

Atividade 13Mostre que a rea de um quadrado ocupa mais do que a metade da rea do a a c rculo em que ele est inscrito. a Mostre que a rea de um octgono regular ocupa mais do que a o c rculo em que est inscrito. a Sugesto. Olhe para o seguinte desenho: a 3 da rea do a 4

44

UD 3

Histria da Matemtica o a Agora, examinemos a argumentao de Eudoxo. ca

Veja, precisamos mostrar que a rea de um c a rculo proporcional ao quadrado e de seu dimetro. Em s a mbolos, devemos mostrar que existe uma constante K, tal que K d2 = rea(C), a onde C o c e rculo de dimetro d. a A constante K a mesma para qualquer c e rculo. Portanto, se aplicarmos a frmula para o c o rculo de dimetro 1, obtemos a K = rea(c a rculo de dimetro 1). a

Atividade 14Calcule o valor de K em termos de .

Como voc sabe, s h trs possibilidades: e o a e (a) K d2 < rea(C), a (b) K d2 = rea(C) ou a (c) K d2 > rea(C). a Vamos mostrar que as possibilidades (a) e (c) levam a contradies e, portanto, co s restar a possibilidade (b). o a Vamos, ento, supor que (a) ocorre. Ou seja, a K d2 < rea(C). a Agora, segundo o Axioma de Arquimedes, que na verdade o atribui a Eudoxo, podemos escolher um nmero n sucientemente grande, de tal maneira que u 1 2n1 rea(C) < rea(C) K d2 . a a

Como n um nmero grande, 1/2n1 sucientemente pequeno para que e u e 1/2n1 rea(C) ainda seja menor do que a diferena (positiva) a c rea(C) K d2 . a 45

UD 3 Podemos reescrever a desigualdade anterior na forma 1 1 2n1 rea(C) > K d2 . a


Vamos denotar por An (C) a rea do n-gono regular inscrito no c a a rculo C. Usando essa notao, o resultado de Antifo ca a e An (C) > 1 1 2n1 rea(C). a

Assim, dessas duas inequaes, obtemos co An (C) > 1 1 2n1 rea(C) > K d2 . a

Pacincia, estamos prximos ao m. Antifo tambm sabia que An (C), a rea e o a e a no n-gono inscrito em C, igual a d2 An , (d2 vezes An , a rea do n-gono a e a a inscrito no c rculo de dimetro 1). a Mas, lembre-se, K rea do c ea rculo de dimetro 1, portanto maior do que An , a a rea do n-gono nele inscrito. a a Colocando tudo isso junto, temos, K d2 > An d2 = An (C) > K d2 . Ora, isso uma contradio! Portanto, a possibilidade que deu in a tudo e ca cio isso, (a) K d2 < rea(C), no ocorre. a a E poss construir uma linha de argumentao que exclui, tambm, a possibivel ca e lidade (c) K d2 > rea(C). a Portanto, como Eudoxo armou, K d2 = rea(C). a Nessa unidade didtica voc aprendeu como foi resolvida a primeira grande a e crise da Matemtica. a Na prxima, voc conhecer um pouco mais a estrutura dos Elementos de o e a Euclides, assim como um panorama das ultimas conquistas dessa cultura que cou conhecida com a Era de Ouro da matemtica grega. a 46

Unidade 4O Quinto Postulado da Geometria EuclidianaNesta unidade didtica voc conhecer uma das questes que ocupou a a e a o ateno de muitos matemticos, desde os tempos de Euclides at os dias de ca a e Gauss, quando foi denitivamente esclarecida, de maneira surpreendente. A questo era se o Quinto Postulado, formulado por Euclides, decorreria a (ou no) como conseqncia dos outros postulados. a ue Para entender melhor essa histria, bom aprender um pouco sobre o o e contexto em que surgiu a chamada geometria euclidiana.

Texto 10: Os Elementos de EuclidesAt 300 a.C., Atenas havia sido o principal plo cultural da Antigidade, mas e o u essa primazia passou para uma cidade da Africa Alexandria, no Egito, que abrigou a maior biblioteca da Antigidade. Melhor seria cham-la papiroteca, u a pois chegou a ter em seu acervo mais de 600 000 rolos de papiro, os livros daquela poca. e Neste ambiente extremamente prop para o estudo e para a pesquisa, a Macio temtica grega atingiu o apogeu e viveu sua era de ouro. A escola de Maa temtica de Alexandria foi fundada por Euclides e gerou matemticos fabulosos, a a como Aristarco, Arquimedes, Apolnio e Eratstenes. o o O ncleo do conhecimento matemtico que havia sido desenvolvido pelas geraes u a co anteriores foi compilado em uma coleo de 13 livros, todos extremamente suca cintos, geralmente apresentados em um s volume, sob o t o tulo de Elementos. O organizador dessa obra foi Euclides. 47Euclides (325 - 265 a.C.)

UD 4


O sucesso dessa coletnea foi tamanho que todas as outras colees semelhana co tes, escritas antes dela, pereceram. Isso porque os livros eram copiados a mo a e os trabalhos considerados superados no eram mais reproduzidos. a 10.1 Breve descrio dos Elementos ca Os seis primeiros livros dos Elementos apresentam a geometria plana. O primeiro deles comea com 23 denies, seguidas de 5 postulados e mais 5 noes c co co comuns que essencialmente estabelecem a existncia de objetos matemticos e a e, por assim dizer, as regras do jogo. Lembre-se: postulados e noes comuns co so os axiomas da teoria apresentada por Euclides, a que chamamos (muito a propriamente) de geometria euclidiana. Por exemplo, o primeiro postulado garante a existncia da reta que contm dois e e pontos dados. Uma das noes comuns a armao: Coisas que so iguais co e ca a ` mesma coisa so iguais entre si. a a O quinto postulado chamado Postulado das Paralelas e difere dos quatro e anteriores, por ser bem mais elaborado. Com o cenrio estabelecido pelas denioes, pelos postulados e noes comuns a c co (os axiomas da teoria), so apresentadas 48 proposies. O primeiro livro a co e um verdadeiro tour de force, cujo objetivo apresentar, justamente nas duas e ultimas proposies, o Teorema de Pitgoras e a sua armao inversa. co a ca Caso voc disponha de acesso ` rede internet, poder visitar a pgina e a a aDiagrama ilustrativo da demonstrao do Teorema de ca Pitgoras, como a e apresentada nos Elementos.

www.mat.uc.pt/jaimecs/euclid/1parte.html e ler uma traduo para ca portugus deste primeiro livro. e O quinto livro apresenta o trabalho de Eudoxo, sobre a teoria das propores, co enquanto o livro seis as aplica ` geometria plana. a A seguir, continuamos a falar sobre os Elementos, com ateno ca especial a nmeros. u

Texto 11: Euclides e os Nmeros uOs livros sete, oito e nove lidam com teoria de nmeros. Os principais resultados u a apresentados incluem: 48

UD 4


algoritmo de Euclides, para calcular o mximo divisor comum de dois a nmeros; u prova de que h uma innidade de nmeros primos; a u prova de que todo nmero inteiro positivo da forma u n = 2m1 (2m 1) um nmero perfeito, sempre que o nmero 2m 1 for primo. e u u

11.1 A innitude dos primosTodos ns sabemos da grande utilidade do algoritmo de Euclides e a prova de o que h uma innidade de primos uma prola matemtica. A idia mostrar a e e a e e que, dada uma lista de nmeros primos, sempre podemos encontrar um outro u primo que no est na lista. Veja: a a Dados p1 , p2 , p3 , . . . , pm , nmeros primos, considere o nmero u u p = (p1 p2 p3 pm ) + 1. que maior do que qualquer um dos pi . e Agora, ou p primo, e teremos o extra primo (que no est na lista original), e a a ou p tem fatores primos que no esto listados. a a A razo a seguinte: se algum dos primos listados originalmente for um fator a e de p, esse nmero dividiria a ambos os nmeros (p1 p2 p3 pm ) + 1 u u e p1 p2 p3 pm . Portanto, dividiria a diferena entre eles, o que c e um absurdo, pois essa diferena 1 e o menor primo o 2. c e e A unica imperfeio nesse livro a falta de uma demonstrao rigorosa do fato ca e ca conhecido como Teorema da Fatorizao Unica. Isto , todo nmero (inteiro ca e u positivo) se decompe, de maneira unica, como um produto de fatores primos, o a menos da ordem: 6 = 2 3 = 3 2. Esse teorema foi demonstrado por Gauss, muito tempo depois.

Atividade 15Considere a lista 2, 3 e 5, de nmeros primos, e obtenha um extra nmero primo u u usando a estratgia usada na demonstrao apresentada. e ca 49

UD 4 Faa a mesma coisa com a lista 3, 5 e 7. c


11.2 Nmeros perfeitos uO conhecimento que os gregos tinham sobre os nmeros mostra seu enorme u interesse pela Matemtica. O estudo dos nmeros perfeitos herana dos a u e c matemticos pitagricos a o Um nmero inteiro positivo perfeito se for igual ` soma de seus divisores u e a prprios. Por exemplo, os divisores prprios de 6 so: 1, 2 e 3. Como o o a 1 + 2 + 3 = 6, ele um nmero perfeito, assim como 28 e 496. e u Voc pode constatar isso usando a frmula dada por Euclides, listada anteriore o mente. Por exemplo, para m = 3, 28 = 22 (23 1) = 4 7. A frmula dada por Euclides gera nmeros perfeitos desde que 2m 1 seja um o u nmero primo. Portanto, uma boa pergunta seria: quando 2m 1 primo? u e a E fcil descobrir muitos casos em que esse nmero no primo. u a e Usando o fato de 2ab 1 = (2a )b 1b e as fatorizaes do tipo co x2 y 2 = (x y) (x + y) x3 y 3 = (x y) (x2 + xy + y 2 ) x4 y 4 = (x y) (x3 + x2 y + xy 2 + y 3 ) x5 y 5 = (x y) (x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4 ) obtemos 2a b 1 = (2a 1) (2a )b1 + (2a )b2 + + 2a + 1 . Assim, se m no primo, ento 2m 1 tambm no primo, pois pode ser a e a e a e fatorado por 2n 1, para algum fator n de m. Resta a pergunta: se m primo, 2m 1 primo? e e Se a resposta fosse positiva, estaria provado que h uma innidade de nmeros a u perfeitos, uma vez que h uma innidade de nmeros primos. No entanto, como a u o nmero 211 1 se decompe como 23 89, a resposta no. u o e a 50

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O tema dos nmeros perfeitos e dos primos da forma 2m 1 continua interesu sando os matemticos at hoje. Os nmeros da forma 2m 1 so chamados a e u a nmeros de Mersenne, em homenagem ao padre Marin Mersenne (1588 - 1648). u Esse padre armou, no prefcio de um livro, que os expoentes a 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 e 31 geram nmeros perfeitos. u A partir da os clculos cam dif , a ceis para serem efetuados a mo, pois os a nmeros se tornam muito grandes. u Posteriormente, Leonhard Euler (1707 - 1783) provou que todo nmero perfeito u par da forma descrita pelos gregos, fechando essa parte da histria que hae o via comeado na Antigidade. No entanto, vrios problemas envolvendo essas c u a questes continuam a nos desaar at hoje. Por exemplo, mesmo com a ajuda o e de computadores, s conhecemos 32 nmeros perfeitos. Alm disso, no se o u e a sabe se h uma innidade deles, assim como no se sabe se h algum nmero a a a u perfeito mpar. Apesar de que, se houver algum, ele ser maior do que 10300 . a Ainda sobre nmeros, o dcimo livro apresenta a teoria dos nmeros u e u irracionais, trabalho devido ao matemtico Teeteto, adequado por Euclides `s a a idias introduzidas por Eudoxo. e Agora, continuando o texto sobre os Elementos, vamos enfocar os ultimos livros, que tratam de Geometria Espacial.

Texto 12: Geometria EspacialO livro 11 apresenta, principalmente, as denies e fatos bsicos. A proposio co a ca 2 do livro 12 foi apresentada na unidade didtica anterior. E a prova dada por a Eudoxo que a razo das reas de dois c a a rculos igual ` razo dos quadrados e a a dos seus dimetros. Ou seja, a rea do c a a rculo proporcional ao quadrado do e seu dimetro. a A tcnica desenvolvida por Eudoxo, chamada mtodo da exausto, tambm e e a e e usada para mostrar que a razo dos volumes de duas esferas proporcional ` a e a razo dos cubos de seus dimetros. Essa idias seriam muito bem aproveitadas a a e por Arquimedes. 51

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O ultimo livro dedicado aos poliedros regulares, conhecidos como Slidos de e o Plato. Por exemplo, dada a prova de que h, precisamente, cinco desses a e a slidos. o

Tudo indica que esse livro foi baseado num tratado sobre o assunto escrito por Theaetetus. A clareza e preciso com que esses livros foram escritos teve grande inuncia a e no desenvolvimento posterior da Matemtica. Mesmo com suas imperfeies, a co permanecer como uma obra a mpar, um verdadeiro tributo aos esforos feitos c pelas geraes de matemticos que viveram a co a Era de Ouro da Matemtica na Grcia. a e

Texto 13: A Questo do Quinto Postulado aO Postulado das Paralelas foi a armao dos Elementos que mais deu trabalho ca ` comunidade matemtica. Por muito tempo, os matemticos tentaram provar a a a que ele decorreria das armaes anteriores. Ou seja, na nossa linguagem, em co vez de axioma, ele seria um teorema. Gauss foi o primeiro matemtico a crer na impossibilidade de se provar que o a Quinto Postulado decorreria dos quatro anteriores, como atesta uma de suas cartas enviada a um matemtico chamado Franz Taurinos, em 1824. a Este fato foi demonstrado por Eugenio Beltrami (1835 - 1900) e tambm por e outros matemticos. Assim, os quatro primeiros axiomas mais o Postulado das a Paralelas estabelecem a teoria que chamamos geometria euclidiana e um timo e o modelo para a nossa realidade do dia-a-dia. 52

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No entanto, se considerarmos os quatro primeiros axiomas e tomarmos por axioma a negao do Quinto Postulado, obteremos uma teoria to consistente ca a quanto a geometria euclidiana. Essa teoria chamada Geometria Hiperblica. e o Veja bem, a geometria hiperblica a teoria que obtemos ao trocarmos, na o e geometria euclidiana, o Quinto Postulado pelo seguinte axioma:

Axioma Hiperblico: Existem uma reta r e um ponto P no pero a tencente a r tais que pelo menos duas retas (distintas) contm P e e so paralelas a r. aNikolai Ivanovitch Lobachevsky (1793 - 1856) Matemtico russo que, assim a como Gauss e Bolyai, considerou uma geometria sem o Quinto Postulado.

Os primeiros matemticos a produzirem resultados nessa nova rea matemtica a a a foram Nikolai Ivanovitch Lobachevsky e Janos Bolyai. A comunidade matemtica custou a aceitar e a entender essas novas idias e tanto Lobachevsky a e quanto Bolyai caram sem receber, em seu tempo, os mritos por seus feitos. e Uma poss razo para isso pode ter sido o fato de que os teoremas nessa vel a nova geometria so muito estranhos, se comparados com os similares da geoa metria euclidiana. Nesse contexto, o Teorema de Pitgoras falso, assim como a e a frmula da distncia que conhecemos da geometria anal o a tica. Foi dif para a cil comunidade acostumar-se com o fato de duas retas poderem estar to prximas a o quanto quisermos, sem ter qualquer interseo. ca Em 1868, Beltrami conseguiu um modelo euclidiano para a geometria hiperblica. o Isso, mais um resultado provado por Lobachevsky, mostra que a geometria hiperblica consistente se, e somente se, a geometria euclidiana consistente. o e e Em 1882, Henri Poincar construiu um segundo modelo euclidiano para a geoe metria hiperblica, usando idias que remontam a Apolnio, um dos grandes o e o matemticos do passado, ligado ` escola de Matemtica de Alexandria. a a a Este modelo para a geometria hiperblica conhecido como disco de Poincar, o e e no qual as retas so representadas por arcos de c a rculos cujos extremos so a perpendiculares ao bordo do disco. 53Janos Bolyai (1802 - 1860), lho de um matemtico, a descobriu, independentemente de Gauss e Lobachevsky, a existncia e da geometria hiperblica. o

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Henri Poincar (1854 - 1912) e foi um matemtico a extraordinrio. Deu a contribuioes em diversas c reas da matemtica, a a especialmente na Topologia, uma rea que ganhou grande a importncia ao longo do a sculo 20. Nessa rea ele e a props a chamada Conjectura o de Poincar, um problema e que atravessou o sculo e dando trabalho aos melhores matemticos do mundo. Em a 2003, o russo Grigori Perelma apresentou uma soluo para ca o problema. Se a sua soluo ca for aceita pela comunidade, ele pode ganhar um prmio e de um milho de dlares. a o

Os dimetros do disco tambm so considerados retas. Dois arcos que no se a e a a intersectam representam duas retas paralelas. Isso inclui os arcos que se intersectam no bordo, pois o modelo considera apenas o interior do disco. Como voc j deve estar imaginando, retas perpendiculares so arcos que no se ine a a a tersectam. H, tambm, um modelo que usa, no lugar do disco, um semiplano. Neste a e caso, as retas so as semi-retas perpendiculares ao bordo e semic a rculos cujo centro pertence ao bordo. Dessa forma, as extremidades desses semic rculos intersectam o bordo do semiplano ortogonalmente. Nessa geometria, a soma dos ngulos internos de um tringulo menor do que 180 , e pode variar de a a e tringulo para tringulo. Alm disso, tringulos com os mesmos ngulos tm as a a e a a e mesmas reas. a Assim, o Quinto Postulado o axioma que caracteriza a geometria euclidiana. e Mudanas nessa armao geram outras teorias, que so chamadas geometrias c ca a no-euclidianas. A Geometria Hiperblica uma delas. a o e Observe como a gravura do artista grco holands Maurits Cornelius Escher, a e a seguir, lembra esse tipo de geometria.

54

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Um outro exemplo de geometria no-euclidiana a chamada geometria el a e ptica, e foi estudada por Riemann. Essa geometria pode ser vista como a superf de cie uma esfera, na qual as retas so os grandes c a rculos. Nessa geometria, a soma dos ngulos internos de um tringulo maior do que 180 . a a e

Voc j estudou bastante at aqui. Faa uma interrupo na leitura e procure e a e c ca realizar a atividade que propomos.

Atividade 16Usando o modelo de Poincar, para a geometria hiperblica, e o modelo da e o esfera com grandes c rculos, para a geometria el ptica, desenhe tringulos e a comprove que a soma de seus ngulos internos menor do que 180 , no caso a e da hiperblica e maior do que 180 , no caso da el o ptica.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) contribui profundamente para o avano da Matemtica c a contempornea, graas a sua a c enorme criatividade. Riemann foi, entre outras coisas, o precursor do conceito de variedade diferencivel. Essa a noo permite levar as idias ca e do clculo diferencivel a um a a n de abstrao muito vel ca elevado e tem aplicaoes em c muitas reas alm da a e Matemtica. a

Texto 14: Crepsculo Dourado de uma Epoca uEntre os nomes famosos associados ` escola de Alexandria esto Aristarco (310 a a - 250 a.C.) e Eratstenes (275 - 195 a.C.), que, alm de matemticos, tambm o e a e eram astrnomos. o Aristarco considerava verdadeiras as seguintes armaes sobre o sistema solar: co a lua, a terra e o sol so corpos esfricos; a e a terra gira em torno do sol e a lua gira em torno da terra; os raios solares viajam em linhas retas; a lua reete a luz solar. Os eclipses solares ocorrem quando a lua passa entre a terra e o sol, bloqueando a luz solar e os eclipses lunares ocorrem quando a terra passa em frente ao sol, projetando sua sombra sobre a lua. Voc pode ver que, para a poca, Aristarco tinha uma viso bastante correta e e a do sistema solar. Muito bem, usando esses fatos, sem qualquer artefato como uma luneta ou um telescpio, ele calculou a razo da distncia da terra at o o a a e sol pela distncia da terra at a lua. a e 55

UD 4


A idia a seguinte: quando a lua est na sua fase quarto crescente, pode ser e e a vista no cu simultaneamente com o sol e o tringulo de vrtices sol, lua e terra e a e um tringulo retngulo. e a aT L

s s t S

Medindo o ngulo LT S, Aristarco pde calcular a razo T S/T L, desenhando a o a um tringulo semelhante. a Feito grandioso, tambm, foi o de Eratstenes: mediu o raio da terra. Para e o isso, usou seus conhecimentos de geograa. Primeiro, considerou que os raios solares atingem paralelamente a terra, pois o sol est to distante que, ao fazer a a isso, estaria cometendo um erro desprez vel. Eratstenes sabia, por ter lido em textos conservados na biblioteca de Aleo xandria, que a cidade de Siene (atualmente incorporada em Assu) se encona trava exatamente sobre o Trpico de Cncer. Isso porque no dia 21 de junho, o a o solst cio de vero, o sol do meio-dia iluminava as guas de um poo proa a c fund ssimo. Sabia, assim, que nesse momento o sol incidia perpendicularmente sobre essa cidade. Ento, Eratstenes procurou saber qual seria a posio do a o ca sol, no mesmo dia e instante, sobre a cidade de Alexandria. Para isso, mediu a sombra de um obelisco e concluiu que os raios solares e o obelisco formavam um ngulo de 7 1/5, a quinquagsima parte de um c a e rculo.

Alexandria raios solares paralelos Siene (Assu) a

Portanto, o ngulo formado pelo raio solar e pelo obelisco, que est na direo a a ca do dimetro da terra que passa por Alexandria, o mesmo ngulo do setor a e a circular cujo arco tem extremidades em Siene (Assu) e Alexandria. a 56

UD 4


Conta a lenda que ele pagou a um escravo para medir a distncia de Alexandria a at Siene (Assu), que de 800 km. De posse dessas informaes e usando e a e co geometria elementar, calculou a circunferncia da terra: e 360 800 = 40 000 km. 7 1/5 Assim, chegou ao raio da terra: 6 366, 2 km. Impressionante, no ? a e

Texto 15: Eureka!Muito bem, Eratstenes foi grande amigo de Arquimedes, possivelmente o maior o matemtico da Antigidade. Vrias coisas que sabemos a respeito das conquisa u a tas cient cas feitas por Arquimedes devemos a cartas que ele escreveu para Eratstenes. Eles se conheceram em Alexandria, onde Arquimedes estudou. o Nesse ponto, cabe a pergunta: o que torna algum como Arquimedes to genial? e a o que o distingue de seus pares, eles mesmos to elevados, como Aristarco, a Eratstenes e outros? o A originalidade , certamente, um fator que indica essa distino. Arquimedes e ca a teve de sobra. Outra o reconhecimento de sua genialidade pelos outros e matemticos. As obras de Arquimedes foram estudadas e citadas por muitos a grandes matemticos, de diferentes pocas e diferentes culturas. Mas, h uma a e a coisa mais que o torna mpar. Arquimedes dominou todo o conhecimento matemtico de sua poca, o fez seu e o moldou ` sua maneira. No se deixou a e a a prender pelas imposies conserv

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Módulo História da Matemática