Matemática

Função Módulo

O QUE É? O conceito de módulo de um número real está

associado à ideia de distância de um ponto da recta à origem. Como existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da recta e os números reais, pensar na distância de um ponto à origem ou pensar no módulo de um número é exactamente a mesma coisa.

• Assim,• Pois o número 5 está a uma distância de 5 unidades

da origem, e -5 também está a 5 unidades da origem.

Correspondência Biunívoca

• Dados dois conjuntos A e B, dizemos que eles estão em correspondência biunívoca quando a cada elemento de A corresponde um único elemento de B e reciprocamente.

Função Módulo

De modo geral podemos dizer que:• Se a>0, • Se a<0, • Se a=0,

Função Módulo

• Definimos então uma função que, a cada número real x associa o módulo de x, ou seja, a distância de x à origem. Temos assim:

Função Módulo

• O gráfico dessa função tem o seguinte aspecto:

• Pois, para os valores positivos ou zero da variável independente x, o valor da variável dependente y é o mesmo que x, pois y=x; para valores negativos de x o valor de y é , pois y=-x. Dessa forma, o gráfico é constituído de duas semi-rectas de mesma origem.

Interpretação do Gráfico

• Vamos agora entrar no site: http://mat.absolutamente.net/ra_f_mod.html

Como podemos observar no inicio a função f(x)= a x – k + h; k é o vértice da função. com a=1; k=0; h=0 tem a seguinte forma:

Interpretação do Gráfico

• Com a=5; k=5 e h=5 tem a seguinte forma:

Interpretação do Gráfico

• Com a=-3, k=-8 e h=-2 tem a seguinte forma:

Interpretação do Gráfico

• Depois destas três mudanças do valor de h, k e a; o nosso grupo conclui que sempre que alteramos o valor de h; a função só mexe no eixo do y; ficando o vértice da função no valor do h.

Por exemplo quando h=-2 o vértice da função fica no eixo do y no ponto -2. Isto independentemente do valor de k ou de a.

Exemplo:

h=6

h=-2

Interpretação do Gráfico

• Observámos também que quando mexemos no valor do k, a função mexe no eixo do x; ficando o vértice no ponto de x que tem valor = a k.

Por exemplo quando k=8 o vértice da função fica no x=8. Isto independentemente do valor de h ou de a.

Exemplo

k=8

K=-3

Interpretação do Gráfico

• Por último o nosso grupo observou/concluiu que quando alteramos o valor de a é a amplitude do ângulo formado pela função que aumenta ou diminui. Quanto maior o valor de a para positivo e menor para negativo maior o ângulo formado pela função. Dependo de a ser negativo a função está voltada para cima ou para baixo; isto independentemente do valor de h ou de a.. Se a é negativo a função está voltada para baixo se a é positivo a função está voltada para cima.

Exemplo:

a=-5 a=-1

a=1 a=5

Interpretação do Gráfico

• Podemos por fim e para acabar o estudo deste gráfico da função módulo, dizer que quando todos os valores são = 0; a função faz um ângulo raso; o vértice fica no 0 e a função fica sobre o eixo do x.

Exercícios:

• Vamos agora entrar neste site e tentar resolver alguns exercícios:

http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/modulo/exercicios/exercicios.htm

Trabalho realizado por:

• David Oliveira, nº10• Eduardo Gomes, nº11• Thomas Jolly, nº29