Click here to load reader

Matemática - Módulo 01

  • View
    630

  • Download
    10

Embed Size (px)

Text of Matemática - Módulo 01

  • 1 cor preto

    Matemtica

    Matemtica I

    Aritmtica em N .......................................................3Conjunto dos Nmeros Racionais ...........................8Conjunto dos Nmeros Reais ................................13Unidades de Medida .............................................16Clculo Algbrico...................................................18Matemtica Comercial ..........................................23Funo...................................................................32Funo do 1 grau .................................................41Funo do 2 grau .................................................46Funo Modular.....................................................51

    Matemtica II

    Geometria Plana

    ngulo ...................................................................56Polgonos ..............................................................61Tringulo ................................................................63Quadrilteros.........................................................67Circunferncia e Crculo ........................................70Teorema de Thales ...............................................74Semelhana de Tringulos ....................................75Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo ...........78Relaes Mtricas num Tringulo Qualquer ..........80Relaes Mtricas na Circunferncia ....................82rea das Figuras Planas .......................................84

    JOS AUGUSTO DE MELO

    A re

    prod

    uo

    por

    qua

    lque

    r mei

    o, in

    teira

    ou

    em p

    arte

    , ven

    da,

    exp

    osi

    o

    v

    en

    da

    , a

    lug

    ue

    l, a

    qu

    isi

    o

    , o

    culta

    me

    nto

    ,e

    mp

    rst

    imo

    , tr

    oca

    ou

    ma

    nu

    ten

    o

    em

    de

    p

    sito

    se

    mau

    toriz

    ao

    do

    dete

    ntor

    dos

    dire

    itos

    auto

    rais

    c

    rime

    prev

    isto

    no C

    dig

    o P

    enal

    , A

    rtig

    o 18

    4, p

    arg

    rafo

    1 e

    2,

    com

    m

    ulta

    e p

    ena

    de r

    eclu

    so

    de 0

    1 a

    04 a

    nos.

  • Anotaes

  • Tecnologia ITAPECURSOS

    3 cor preto

    33333Matemtica - M1

    ARITMTICA EM N

    1- SISTEMA DE NUMERAO

    Desde o momento em que o homem necessitoucontar quantos elementos uma certa coleo possua,ele se preocupou em registrar de algum modo essacontagem.

    Inicialmente usou pedras, cordas, at mesmopedaos de madeira para fazer esses registros.

    Com o passar do tempo, percebeu que o uso desmbolos tornava essa tarefa mais fcil.

    Foram os Hindus os criadores da representao

    mais til de todas. Usando dez smbolos, hojerepresentados por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ealgumas regras, inventaram um modo prtico eeficiente de representar os nmeros, que usamosat hoje.

    Os smbolos 0, 1, 2, ..., 9 so chamados algarismos.Chamamos de sistema de numerao a todo conjuntode smbolos e regras que nos possibilita escreverqualquer nmero. A quantidade de smbolos usadosno sistema determina a base do sistema.

    2- SISTEMA DE NUMERAO DECIMAL

    Como o nome diz, o sistema de base 10. Utiliza osalgarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

    Baseia-se na propriedade a seguir:

    Se um algarismo est escrito esquerda de outro,seu valor 10 vezes mais que esse outro.

    Desse modo, no nmero 352, o algarismo 2 vale 2unidades, pois no est escrito esquerda denenhum outro, o algarismo 5 vale 50 unidades e o 3vale 300 unidades. Como o valor do algarismodepende da posio que ele ocupa no numeral,dizemos que esse um sistema posicional.

    3- SISTEMAS DE NUMERAO EM OUTRAS BASES

    A base de um sistema de numerao no precisaser necessariamente 10. O fato de usarmos osistema decimal uma fatalidade anatmica: temos10 dedos nas mos. Mas nada impede de usarmosoutras bases.

    Assim, por exemplo, no sistema binrio, ou seja, debase 2, usaramos apenas os algarismos 0 e 1, e apropriedade:

    Se um algarismo est escrito esquerda de outro,

    seu valor 2 vezes mais que esse outro.

    Portanto, no sistema binrio, no nmero (111)2, oprimeiro 1 representa 1 unidade, o segundo 1 x 2ou seja 2 unidades e o terceiro 1 representa1 x 2 x 2 = 4 unidades, representando portanto nosistema decimal o valor 7.De um modo geral, se b a base do sistema e pqrrepresenta um nmero desse sistema, temos:

    (pqr)b = r + q . b + p . b2

    4- MUDANA DE BASE

    4.1- Passar um nmero da base 10, para uma base qualquer

    Regra: Para escrever um nmero que est no sistema decimal, num outro sistema de base b, efetuamos sucessivasdivises do nmero dado e dos quocientes obtidos por b, at que se encontre um quociente menor que b.

    Exemplos:

    a) Escreva o nmero 13 na base 2.

    Soluo:13 2 1 6 2

    0 3 21 1

    Resp.: 13 = (1101)2

    b) Escreva o nmero 75 na base 6.

    Soluo:

    Resp.: 75 = (203)6

    Observe que:

    - Para formar o nmero, usamos os restos e o ltimo quociente obtido.

    - A leitura feita da direita para a esquerda.

    75 6 3 12 6

    0 2

  • Tecnologia ITAPECURSOS

    4 cor preto

    44444 Matemtica - M1

    4.2- Passar um nmero do sistema de base b, para o sistema decimal

    Regra: Basta decompor o nmero dado em seus valores relativos.

    Exemplos:a) Passe para a base 10, o nmero (1011)2.

    Soluo:(1011)2 = 1 + 1 . 2 + 0 . 2

    2 + 1 . 23 = 1 + 2 + 0 + 8 = 11

    b) Escreva na base 10 o nmero (314)5.

    Soluo:(314)5 = 4 + 1 . 5 + 3 . 5

    2 = 4 + 5 + 75 = 84

    5- DIVISO EUCLIDEANA

    Sejam a e b nmeros naturais com b 0. Ento, existe um nico par de nmeros naturais (q, r) tal que:

    a) a = b . q + r

    b) r < b

    Representamos a diviso por:

    O nmero a chama-se dividendo, b o divisor, q o quociente e r o resto. Se r = 0, dizemos que a diviso exata e teremos a = b . q. Nesse caso, diz-se tambm que a mltiplo de b, ou a divisvel por b ou ainda b divisor de a.

    a br q

    6- NMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

    Definio 1: Um nmero natural n primo, se ele tiver apenas dois divisores.

    Definio 2: Um nmero natural n composto, se n 0 e possuir mais de dois divisores.

    Observe que de acordo com essa definio, os nmeros 0 e 1 no so primos nem compostos.

    Os nmeros primos formam a sucesso

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

    que o matemtico Euclides, que viveu no sculo III A.C., provou ter infinitos elementos.

    7- TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA

    Todo nmero composto igual a um produto de nmeros primos.

    Quando escrevemos um nmero composto como um produto de nmeros primos, ns dizemos que o nmerodado foi decomposto em seus fatores primos ou, ainda, que o nmero foi fatorado.

    Exemplo: Decompor em fatores primos os nmeros 72, 540 e 1800.

    Soluo:

    Regra: Coloque direita do trao vertical o menor nmero primo que divide o nmero dado. Continueprocedendo do mesmo modo com os quocientes obtidos, at encontrar o quociente 1.

    Veja:72 2

    36 2

    18 2

    9 3

    3 3

    1 Logo: 72 = 23 x 32

  • Tecnologia ITAPECURSOS

    5 cor preto

    55555Matemtica - M1

    8- COMO ACHAR OS DIVISORES DE UM NMERO

    Regra:

    a) Decomponha o nmero em seus fatores primos.

    b) Coloque direita e acima do primeiro fator primo o nmero 1.

    c) Multiplique os fatores primos obtidos por todos os nmeros direita e acima deles (valores repetidosno precisam ser colocados).

    Exemplo.: Ache os divisores do nmero 72.

    Soluo:

    1

    72 2 2

    36 2 4

    18 2 8

    9 3 3, 6, 12, 24

    3 3 9, 18, 36, 72

    1

    9- QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NMERO

    Regra:

    a) Decomponha o nmero dado em fatores primos.

    b) Acrescente uma unidade aos expoentes.

    c) Multiplique as somas obtidas em b.

    Exemplo.: Determine quantos divisores tem o nmero 60.

    Soluo:60 2

    30 2

    15 3

    5 5

    1

    Resp.: 12 divisores.360 = 22 . 3 . 5. Logo o n de divisores de 60

    n = (2 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 12

    Quando um nmero termina em zeros, podemos cancel-los e substitu-los pelo produto 2n x 5n, onde n aquantidade de zeros cortados. Observe:

    540 2 . 5

    54 2

    27 3

    9 3 Resp.: 540 = 22 . 33 . 5

    3 3

    1

    1800 22 . 52

    18 2

    9 3

    3 3

    1 Resp.: 1800 = 23 . 32 . 52

  • Tecnologia ITAPECURSOS

    6 cor preto

    66666 Matemtica - M1

    10- REGRA GERAL DE DIVISIBILIDADE

    Sejam a e b dois nmeros, decompostos em seus fatores primos. O nmero a ser divisvel por b se elecontiver todos os fatores primos de b, com expoentes maiores ou iguais.

    Exemplo.:

    a) O nmero 23 . 32 . 7 divisvel por 3 . 7.

    b) O nmero 34 . 52 . 7 divisvel por 32 . 52

    c) O nmero 25 . 32 . 5 no divisvel por 23 . 35.

    d) O nmero 32 . 5 . 73 no divisvel por 2 . 3 . 72.

    11- MXIMO DIVISOR COMUM

    Definio

    Se a e b so dois nmeros naturais, tal que um deles pelo menos diferente de zero, chama-se maior divisorcomum de a e b, e representa-se por m.d.c. (a, b), ao maior nmero que divide simultaneamente a e b.

    Exemplo.: Se D(n) representa o conjunto dos divisores do nmero n, teremos:

    D(8) = {1, 2, 4, 8}

    D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

    Da temos que: D(8) D(12) = {1, 2, 4}, e ento m.d.c. (8, 12) = 4.

    importante observar que:

    a) Se um dos nmeros divisvel pelo outro, o menor deles ser o m.d.c.Exemplo: 36 divisvel por 12; ento m.d.c. (36, 12) =

Search related