Séries e Seqüências

hppt://emersonmatematica.blogspot.com Blog Prof. Emerson

1

hppt://emersonmatematica.blogspot.com

Séries e Seqüências

SEQÜÊNCIAS

Definição: Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números

inteiros positivos. O contradomínio de uma seqüência será considerado o conjunto dos

números reais.

A cada número inteiro positivo "n" corresponde um número real f(n).

a1 = f(1) ; a2 = f(2) ; a3 = f(3) ; ... ; an = f(n)

Notações:

{an} = {a1, a2, a3, ..., an, ...}

an é o termo genérico da seqüência.

Exemplos:

1)

2)

Se, quando n cresce, an se torna cada vez mais próximo de um número real L, diz-se

que a seqüência {an} tem limite L (ou converge para L) e se escreve:

Uma seqüência que não é convergente, é chamada de divergente.


2


TEOREMA DO SANDUÍCHE

Se {an}, {bn}, {cn} são seqüências tais que an bn cn para todo e se

então

SÉRIES

Definição: Se {an} é uma seqüência, então:

A soma infinita a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = é chamada série.

Cada número ai é um termo da série;

an é o termo genérico de ordem n.

Para definir a SOMA de infinitas parcelas, consideram-se as SOMAS PARCIAIS.

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

------------------------

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

E a SEQÜÊNCIA DAS SOMAS PARCIAIS

S1, S2, S3, ..., Sn, ...

Se essa seqüência tem limite S, então a série CONVERGE e sua soma é S.

Ou seja: Se , então a série converge e sua soma é a1+a2+a3+...+an... = S

Se a seqüência {Sn} não tem limite, então a série DIVERGE.


3


TEOREMA

Se a série converge, então

OBS: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico

tende a zero e que não são convergentes.

* Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que

constitui o:

TESTE DA DIVERGÊNCIA

Dada a série , diverge.

SÉRIE GEOMÉTRICA

TIPO: com a 0

r é a razão.

Ex: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

a = 1

r =

SOMA DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA

A série geométrica

Converge e tem soma se | r | < 1.

Diverge se | r | 1.

TESTE DA COMPARAÇÃO

Sejam e duas séries de termos positivos. Então:


4


* Se , sendo "c" um número real, então as séries são ambas

convergentes ou ambas divergentes.

* Se e se converge, então também converge.

* Se e se diverge, então também diverge.

OBS: Se an é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no numerador, quanto

no denominador de bn somente os termos de maior importância.

Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge:

é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o teste

da comparação, temos:

Logo, conclui-se que a série CONVERGE.

SÉRIE-P

CONVERGE se p > 1

DIVERGE se p 1

Se p = 1, a série


5


é chamada SÉRIE HARMÔNICA e, de acordo com o

teorema, é divergente.

SÉRIE ALTERNADA

É da forma:

SÉRIES DE POTÊNCIA

Séries de potências de x:

ou

Séries de potência de (x-c):

Por conveniência, vamos admitir que , mesmo quando x = 0.

Ao substituir x por um número real, obtém-se uma série de termos constantes que pode

convergir ou divergir.

Em qualquer série de potências de x, a série converge sempre para x=0, pois se

substituirmos x por 0 a série se reduz a a0.

Na série de potências de (x-c), a série converge para x = c.

Para determinar os outros valores de x para os quais a série converge, utiliza-se o teste

da razão.

TESTE DE LEIBINZ

Uma série alternada CONVERGE se:

* Seu termo genérico, em módulo, tende a zero.


6


* A série dos módulos é decrescente.

Há três maneiras diferentes de verificar se a série dos módulos é decrescente.

a) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

b) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

c) considerar a função f(x) = f(n) e verificar o sinal de sua derivada. Se f'(x)<0, então f

é decrescente.

CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

Definição: Uma série é absolutamente convergente se a série dos módulos

é convergente.

Ex: A série alternada é absolutamente convergente, pois a série dos

módulos é uma série-p, com p=2 > 1 e, portanto, convergente.

TEOREMA

Se uma série infinita é absolutamente convergente, então a série é convergente.

TESTE DE D'ALEMBERT

Seja uma série de termos não nulos e seja . Então:

* Se L < 1, a série é ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.

* Se L > 1, (incluindo L = ), a série é DIVERGENTE.


7


* Se L = 1, o teste falha (nada se pode afirmar).

RESUMO

TESTE SÉRIE CONVERGÊNCIA ou

DIVERGÊNCIA COMENTÁRIOS

da

DIVERGÊNCIA

ou do N-ÉSIMO

TERMO

DIVERGE se

Nada se pode

afirmar se

SÉRIE

GEOMÉTRICA

* CONVERGE e tem soma

se | r | < 1.

* DIVERGE se | r | 1

Útil para testes de

comparação

SÉRIE-P

* CONVERGE se p > 1

* DIVERGE se p 1

Útil para testes de

comparação

da

COMPARAÇÃO

no limite

e

an > 0, bn > 0

* Se , ,

então ambas as séries

CONVERGEM ou ambas

DIVERGEM.

* Se e

CONVERGE, então

CONVERGE.

* Se e

DIVERGE, então

DIVERGE.

A série de

comparação ,

é, em geral, uma

série geométrica ou

uma série-p.

Para achar bn,

consideram-se

apenas os termos de

an que têm maior

efeito.

de LEIBNIZ

ALTERNADA

an > 0

CONVERGE se:

*

* A série dos módulos é

decrescente.

Aplicável somente

a séries alternadas.

Se o primeiro item

é falso, aplica-se o

TESTE DA

DIVERGÊNCIA.

Education

Séries e Seqüências