ORGANIZAÇÃO

Ludovina Morais de Oliveira

O Stomachion

A invenção de um dos maisantigos quebra-cabeçasgeométrico que se conhece éatribuída a Arquimedes, sábiogrego que viveu em Siracusa,Sicília, no séc. III a.C.

O Stomachion é constituído porum conjunto de 14 peças planas(originalmente em marfim) devárias formas poligonais comduas característicasfundamentais:

• podem unir-se de modo a formar um

quadrado;

• a área de cada peça é comensurável com

a área do quadrado anterior.

O que significa comensurável? Significa

que o quociente entre a área de cada peça

e a área do quadrado total é um número

racional.

Teorema de Pick

Georg Alexander Pick (1859-1942)

Este teorema foi descoberto pela

primeira vez pelo matemático Georg

Alexander Pick em 1899;

O teorema de Pick só é válido para

figuras simples, isto é para figuras em

que os lados não se intersectem a não

ser, eventualmente, nos vértices. O

teorema é usado, por exemplo, na

indústria florestal, para determinar a área

de uma região em função do número de

árvores (regularmente espaçadas).

O cálculo de áreas de

polígonos nem sempre é

uma tarefa fácil, pela

variedade de formas que

podem assumir. Não é

fácil, por exemplo, calcular

a área do polígono

apresentado a seguir:

Muitas vezes recorremos a processos de

dissecção do polígono ou de subtração de

áreas. Todos estes processos envolvem a

área como um conceito bidimensional. O

novo método que apresentamos permite o

cálculo da área pela simples contagem de

pontos.

Este polígono é de fato complicado! Noentanto, tem a particularidade de ter os seusvértices sobre um reticulado de pontos noplano, constituído por pontos de coordenadasinteiras.

Introduzindo o

Teorema de Pick

Usando o quadrado como

unidade de medida, encontre a

área das figuras da atividade 1:

1

Calcule a área das figuras,

16 quadrados

16 : 2 A= 8

5 quadrados

A= 5

1 quadrado

A=15 quadrados

inteiros e ...

A= ?

A(P) = f + i - 1

Teorema de Pick

Dado um polígono simples P, sejam f o

número de pontos de fronteira, i o número

de pontos interiores.

Então a área A(P) desse polígono é dada

pela expressão seguinte

2

1

Calcule a área do exercício

utilizando o Teorema de PicK

A= f/2 + i – 1

f= 12 i =3

A= 6 + 2

A=8

f= 10 i =1

A= 5+ 0 A=5

f= 4 i =0

A= 2 - 1

A=1

f= 12 i =3

A= 6 +2 A=8

Atividade 2

F= 13 i = 1

A= 6,5 + 0

A= 6,5

F= 13 i = 3

A= 6,5 + 2

A= 8,5

F= 16 i = 8

A= 8 + 7

A= 15

A1= 6,5 A2= 8,5 A3=15

Atividade 3

F= 44 i =72 A= 22 + 71 A= 93

DESAFIO

f=125 i =212

A= 62,5 + 211 = 273,5

A= 125/2 + 212 -1

Fontes de pesquisa:http://matemateca.incubadora.fapesp.br/p

ortal/matemateca/exposicao/pick/

http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/index.html

http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/matelem/st

omachion.html