Teste 4 - álgebra + funções (5.1-5.3) + critérios de correção

Teste de Matemática A – n.º 4 Versão 1+2

Teste de Matemática ATema: Álgebra (Radicais + Polinómios); Funções (Generalidade sobre funções; transformações do gráfico de uma função; monotonia e extremos de uma função)

Versão 1

Grupo INa resposta aos itens deste grupo, seleciona a opção correta. Escreva na folha de resposta, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

1. Considere o gráfico 1 da função f representado no gráfico ao lado, que corresponde à correspondência do conjunto A com o conjunto B. Sabe-se que f ( x )=3 x+2.Qual dos seguintes conjuntos de pares coordenados correspondem gráfico da correspondência B em A, ou seja, o produto cartesiano entre os conjuntos Be A?

(A) B× A= {(0 ,2 ); (1 ,5 ); (2 ,8 ) }(B) B× A= {(0,0 ) ; (1,1 ) ; (2 ,2 ) } (C) B× A= {(2,0 ) ; (5 ,1 ) ; (8 ,2 ) }(D) B× A= {(0,1 ); (1 ,2 ) ; (2,2 ) }

2. Considere o gráfico da função f representado no gráfico 2. O domínio da função f é [0 ,4].Considere agora a representação gráfica de g (gráfico 3), cuja expressão algébrica é: g ( x )=A× f (x−C )+D.

Quais são os valores de A ,C e D?

(A) A=1;C=−2 ; D=1 (B) A=2; B=+2; D=2 (C) A=−1;C=−2; D=2 (D) A=−2 ;C=−2; D=1

3. Observa, no gráfico 4, um referencial onde se encontra parte do gráfico da função i e os pontos

M ,O , P, de coordenas (m , i (m ) ) , (o , i (o ) )e¿, respetivamente.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira (considera α a inclinação das retas?(A) αMP>αMO(B) αMO<αPO(C) αMP<αPO(D) αPO<αMP

4. Observa o gráfico da função real de variável real j (gráfico 5).Qual das seguintes afirmações é verdadeira?(A) ∀ x1 , x2∈Di , x1<x2⟹ j (x1 )≥ j(x2)(B) ∃ x1 , x2∈D j , x1=x2⟹ j (x1 )= j (x2 )(C) ∃ x1 , x2∈D j , x1>x2⟹ j (x1 )≥ j (x2 )

10.º Ano – Página 1

GRÁFICO 1

GRÁFICO 2

GRÁFICO 4

GRÁFICO 5

GRÁFICO 3


(D) ∀ x1 , x2∈D j , x1>x2⟹ j (x1)≥ j (x2 )

5. Quais são os zeros do polinómio P ( x )=x6+3 x3−6

(A) (B) (C) (D)

Grupo IINa resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Considera as função reais de variável real f e g caracterizadas por:

f : R ⟶ Rx ¿ ¿

g : R ⟶ Rx ¿ ¿

1.1. Serão as funções permutáveis?1.2. Determine vetor associado à translação da reta y=3 x para originar o gráfico da reta f .1.3. Determina o fator de dilatação ou contração vertical que transformou a reta y=−x no gráfico da função g.1.4. Estuda a função g quanto à:

1.4.1. Zeros da função1.4.2. Possibilidade de ser limitada

1.4.3. Injetividade1.4.4. Sobrejetividade

1.5. Caracteriza a função inversa da função f .

2. Considera o gráfico de duas funções reais de variável real, f e g (gráfico 6)Sabe-se que:

A expressão algébrica da função f corresponde a um polinómio do terceiro grau;

A expressão algébrica da função g corresponde a um polinómio do segundo grau;

f (−4 )=f (−1 )=f (3 )=0;

f (1 )=−20;

g (0 )=0; g (−2 )=8.

2.1. Caracterize as funções f e g.2.2. Caracterize a inversa da restrição de g em R0

+¿ ¿ e o conjunto de chegada

R0+¿ ¿.

2.3. Determine conjunto solução da equação:f ( x )=g ( x )−12

2.4. Determine a monotonia da função f no intervalo [−1;0 ].2.5. Determina a concavidade da função g. Justifique.2.6. Caracteriza a função g∘ f .2.7. Determina o conjunto solução da seguinte condição:

f ( x )<0


GRÁFICO 6

;


3. Na figura 1 estão representados dois quadrados, um com 1 cm de lado e outro com 3 cm de lado, e o retângulo [ABCD ].• [AB ] é uma diagonal do quadrado menor;• [BC ] é uma diagonal do quadrado maior.Determina:

3.1. O perímetro do retângulo [ABCD ].3.2. A área do retângulo [ABCD ] .

Grupo I Grupo II TotalP 1 2 3 4 5 1.1 1.2. 1.3. 1.4. 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3.1 3.2 200

PTS 10 10 10 10 10 20 5 5 20 15 10 15 10 5 6 15 10 7 7

Teste de Matemática ATema: Álgebra (Radicais + Polinómios); Funções (Generalidade sobre funções; transformações do gráfico de uma função; monotonia e extremos de uma função)

Versão 2

Grupo INa resposta aos itens deste grupo, seleciona a opção correta. Escreva na folha de resposta, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

1. Considere o gráfico 1 da função f representado no gráfico ao lado, que corresponde à correspondência do conjunto A com o conjunto B. Sabe-se que f ( x )=3 x+2.Qual dos seguintes conjuntos de pares coordenados correspondem gráfico da correspondência B em A, ou seja, o produto cartesiano entre os conjuntos Be A?

(A) B× A= {(2,0 ) ; (5 ,1 ) ; (8 ,2 ) }(B) B× A= {(0,1 ); (1 ,2 ) ; (2,2 ) }(C) B× A= {(0 ,2 ); (1 ,5 ); (2 ,8 ) }(D) B× A= {(0,0 ) ; (1,1 ) ; (2 ,2 ) }

2. Considere o gráfico da função f representado no gráfico 2. O domínio da função f é [0 ,4].Considere agora a representação gráfica de g (gráfico 3), cuja expressão algébrica é: g ( x )=A× f (x−C )+D.

Quais são os valores de A ,C e D?

(A) A=−1;C=−2; D=2 (B) A=−2 ;C=−2; D=1 (C) A=1;C=−2 ; D=1 (D) A=2; B=+2; D=2

3. Observa, no gráfico 4, um referencial onde se encontra parte do gráfico da função i e os pontos

M ,O , P, de coordenas (m , i (m ) ) , (o , i (o ) )e¿, respetivamente.


FIGURA 1

GRÁFICO 2

GRÁFICO 2 GRÁFICO 3

Teste de Matemática A – n.º 4 Versão 1+2Qual das seguintes afirmações é verdadeira (considera α a inclinação das retas)?(A) αMP<αPO(B) αPO<αMP(C) αMP>αMO(D) αMO<αPO

4. Observa o gráfico da função real de variável real j (gráfico 5).Qual das seguintes afirmações é verdadeira?(A) ∃ x1 , x2∈D j , x1>x2⟹ j (x1 )≥ j (x2 )(B) ∀ x1 , x2∈D j , x1>x2⟹ j (x1)≥ j (x2 )(C) ∀ x1 , x2∈Di , x1<x2⟹ j (x1 )≥ j(x2)(D) ∃ x1 , x2∈D j , x1=x2⟹ j (x1 )= j (x2 )

5. Quais são os zeros do polinómio P ( x )=x6+3 x3−6

(A) (B) (C) (D)

Grupo IINa resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Considera as função reais de variável real f e g caracterizadas por:

f : R ⟶ Rx ¿ ¿

g : R ⟶ Rx ¿ ¿

1.1. Serão as funções permutáveis?1.2. Determine vetor associado à translação da reta y=3 x para originar o gráfico da reta f .1.3. Determina o fator de dilatação ou contração vertical que transformou a reta y=−x no gráfico da função g.1.4. Estuda a função g quanto à:

1.4.1. Zeros da função1.4.2. Possibilidade de ser limitada

1.4.3. Injetividade1.4.4. Sobrejetividade

1.5. Caracteriza a função inversa da função f .

2. Considera o gráfico de duas funções reais de variável real, f e g (gráfico 6)Sabe-se que:

A expressão algébrica da função f corresponde a um polinómio do terceiro grau;

A expressão algébrica da função g corresponde a um polinómio do segundo grau;

f (−4 )=f (−1 )=f (3 )=0;

f (1 )=−20; g (0 )=0;

g (−2 )=8.


GRÁFICO 4

GRÁFICO 5

;


2.1. Caracterize as funções f e g.2.2. Caracterize a inversa da restrição de g em R0

+¿ ¿ e o conjunto de chegada R0+¿ ¿.

2.3. Determine conjunto solução da equação:f ( x )=g ( x )−12

2.4. Determine a monotonia da função f no intervalo [−1;0 ].2.5. Determina a concavidade da função g. Justifique.2.6. Caracteriza a função g∘ f .2.7. Determina o conjunto solução da seguinte condição:

f ( x )<0

3. Na figura 1 estão representados dois quadrados, um com 1 cm de lado e outro com 3 cm de lado, e o retângulo [ABCD ].• [AB] é uma diagonal do quadrado menor;• [BC ] é uma diagonal do quadrado maior.Determina:

3.1. O perímetro do retângulo [ABCD ].3.2. A área do retângulo [ABCD ] .

Grupo I Grupo II TotalP 1 2 3 4 5 1.1 1.2. 1.3. 1.4. 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3.1 3.2

200PTS 10 10 10 10 10 20 5 5 20 15 10 15 10 5 6 15 10 7 7

Critérios de correçãoGrupo I – 50 pontos

1. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….10 pontos

Versão 1 – (C); Versão 2 – (A)

2. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….10 pontos

Versão 1 – (A); Versão 2 – (C)

3. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….10 pontos

Versão 1 – (D); Versão 2 – (B)

4. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….10 pontos

Versão 1 – (C); Versão 2 – (A)

5. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….10 pontos

Versão 1 – (D); Versão 2 – (B)

Grupo II – 150 pontos1.1. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………20 pontos

Df ∘g=R …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..4 pontosD g∘ f=R …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..4 pontos

( f ∘ g ) (x )=6 x+11 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….5 pontos

(g∘ f ) (x )=6 x+7 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………….5 pontos

Como ( f ∘ g ) (x )≠ (g∘ f ) ( x ), então f e g não são permutáveis …………………………………………………………………………….2 pontos


GRÁFICO 6

FIGURA 2

Teste de Matemática A – n.º 4 Versão 1+2Nota: Se se apresentar unicamente as ultimas três etapas, as duas primeiras etapas são cotadas na totalidade

1.2. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5 pontosVetor u⃗=(−2 ;0)OuVetor v⃗=(0;2)

1.3. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5 pontosO fator é −2

1.4.1. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5pontos

{−32 }1.4.2. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5pontos

A função não é limitada (pois não é majorada nem minorada)

1.4.3. …………………………..…………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………..…….5 pontos

Verificar, por meio da expressão ∀ x1 , x2∈Dg , g (x1 )=g (x2 )⟺ x1=x2, que a função é injetiva

1.4.4. …………………………..…………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………..…….5 pontos

Como o contradomínio é coincidente com o conjunto de chegada, a função é sobrejetiva

1.5. …………………………..…………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………..……..15 pontosComo o contradomínio é coincidente com o conjunto de chegada, a função é sobrejetiva……..……………..………………….2 pontosVerificar, por meio da expressão ∀ x1 , x2∈Dg , g (x1 )=g (x2 )⟺ x1=x2, que a função é injetiva ……………………….4 pontos

A partir de y=f (x ), determinar que f−1 (x )= x−23

………………………………………………………………………………………………….3

pontosDeterminar que Df=C D f−1=R ……………………………………………………………………………………………………………………………….1 ponto

Determinar que C D f=D f−1=R………………………………………………………………………………………………………………………………..1 ponto

Representar a caracterização da função: f−1: R ⟶ Rx ¿ ¿

……………………………………………………………………………………3

pontos

2.1. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………….10 pontos

Representar a caracterização da função: f : R ⟶ Rx ¿ ¿

…………………………………………………………5 pontos

Representar a caracterização da função: g : R ⟶ Rx ¿ ¿ ………………………………………………………………………………………5

pontos

2.2. …………………………..…………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………..……..15 pontosComo o contradomínio é coincidente com o conjunto de chegada, a função é sobrejetiva……..……………..………………….2 pontosVerificar, por meio da expressão ∀ x1 , x2∈Dg , g (x1 )=g (x2 )⟺ x1=x2, que a função é injetiva ……………………….4 pontos



A partir de y=g (x), determinar que g−1 ( x )=√2 x2

………………………………………………………………………………………………….3

pontosDeterminar que Df=C D f−1=R0

+¿¿ …………………………………………………………………………………………………………………………….1

pontoDeterminar que C D f=D f−1=R0

+¿¿……………………………………………………………………………………………………………………………..1

pontoRepresentar a caracterização da função: g−1 : ¿ ………………………………………………………………………………3 pontos

2.3. …………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………..……..10 pontos

CS={−√11;0 ;√11 }

2.4. ……………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………..……….5 pontosNeste intervalo, a função é monótona decrescente

2.5. ……………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………..……….6 pontosSobre a reta [PR ]: o vetor diretor é ¿) e o declive da reta é 4 ………………………………………………………………………………2 pontosSobre a reta [OP ]: o vetor diretor é ¿) e o declive da reta é -4 ….………………………………………………………………………2 pontos

Como dOP<d PR, a concavidade é voltada para cima ……………………………………………………………………………………………….2 pontosOuComo a>0, em a x2+bx+c, então a concavidade é para cima

2.6. …………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………....……15 pontos

D g∘ f={x : x∈D f∧ f ( x )∈Dg }=R ………………………………………………………………………………………………………………. 5 pontos

(g∘ f ) (x )=g ( f ( x ) )=2 ( x+4 )2 ( x+1 )2 ( x−3 )2 …………………………………………………………………………………………5 pontos

g∘ f : R ⟶ Rx ¿ ¿

……………………………………..……………………………………………………………….5 pontos

2.7. …………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………..…………………………....……15 pontosf ( x )<0⟺ x∈ ¿−∞,−4 [U ]−1 ,3¿

3. Para ambas as alíneas:AB=√2cm …………….…………….…….…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….………2 pontos

BC=3 √2 cm …………….…………….……….…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….……2 pontos

3.1. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7 pontosP=8√2cm …………….…………….…….…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….………..3 pontos

3.2. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7 pontos

A=6 c m2 …………….…………….…….…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….3 pontos

Total: 200 pontos


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Teste 4 - álgebra + funções (5.1-5.3) + critérios de correção