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Cap. 5 – Introdução à análise diferencial de escoamentos
5.1 – Conservação da massa
5.2 – Função corrente
5.3 – Movimento de um elemento fluido - Cinemática
5.4 – Equação da Quantidade de Movimento
5.1 – Conservação da massa
5.1.1 – Coordenadas retangulares
...2
dx
!2
1
x2
dx
x
2
2
2
2dxx
Expansão em série de Taylor :
2
dx
x2dxx
2
dx
x
uuu 2dxx
2
dx
x2
dx
x2dxx
2
dx
x
uu
2
dx
x
uuu 2dxx
Desprezando termos de ordem superior:
Fluxo de massa através da superfície de controlede um volume de controle diferencial retangular
SCAd.V
dz.dy2
dx
x
uu
2
dx
xm EX
EXm
DXm
dz.dy2
dx
x
uu
2
dx
xm DX
dz.dy2
dx
x
uu
2
dx
xm EX
dz.dy2
dx
x
uu
2
dx
xm DX
dz.dy.dxx
u
xu
2
1dz.dyum EX
dz.dy.dxx
u
xu
2
1dz.dyum DX
dVx
u
xumm DXEX
dV
x
umm DXEX
Fluxo de massa total através da superfície de controlede um volume de controle diferencial retangular
dVx
udz.dy.dx
x
u
xumm DXEX
dVy
vdx.dz.dy
y
v
yvmm DyEy
dVz
wdy.dx.dz
z
w
zwmm DzEz
dVz
w
y
v
x
uAd.V
SC
SC
VC Ad.Vt
dV0
Conservação da massa para um volume de controle diferencial retangular
dVz
w
y
v
x
u
t
dV0 VC
dVz
w
y
v
x
udV
t0
No volume de controle diferencial a massa específica é independente do volume
0z
w
y
v
x
u
t
Equação diferencial para o princípio da conservação da massa
kz
Uj
y
Ui
x
UUk
zj
yi
xUUgrad
Operador GRADIENTE (sobre campo escalar U)
kAjAiA.kz
jy
ix
A.Adiv 321
Operador DIVERGENTE (sobre campo vetorial A)
z
A
y
A
x
AA.Adiv 321
Vdiv)V.(z
w
y
v
x
u
Princípio da conservação da massa (forma compacta) 0
tV.
Escoamento incompressível , = constante :
0z
w
y
v
x
uou0V.
Escoamento compressível , regime permanente :
0z
w
y
v
x
uou0V.
Determinar: a) a taxa de variação da massa específicab) (t).
0z
w
y
v
x
u
t
Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel comporta-se como um dispositivo pistão-cilindro. Num instante em que o pistão está em L=0,15 m afastado da extremidade fechada do cilindro, a massa específica do gás é uniforme em 18 kg/m3 e o pistão começa a mover-se, afastando-se da extremidade fechada do cilindro, com V=12 m/s.
A velocidade do gás é unidimensional e proporcional à distância em relação à extremidade fechada; varia linearmente de zero, na extremidade, a u=V no pistão.
Avalie a taxa de variação da massa específica do gás nesse instante. Obtenha uma expressão para a massa específica como uma função do tempo.
Escoamento unidimensional
0x
u
t
xu
x
u
x
u
t
Não há variação espacial de no volume : 0x
x
u
t
Como:L
V
x
u
L
xVu
L
V
t
Com esta derivada obtém a taxa de variação da massa específica no instante inicial (item a):
00
0t L
V
t
]s.m/kg[440.115,0
1218
t3
0t
Notando que L é variável no tempo: t.VL)t(L 0
)t.VL(
V)t(
)t(L
V)t(
t 0
dt)t.VL(
Vd
0
t
00 )t.VL(
Vdtd0 VtL
Llnln
0
0
0
0
0 L/Vt1
1)t(
5.1.2 – Coordenadas cilíndricas
0tz
)V()V(
r
1
r
)Vr(
r
1 zr
Em coordenadas cilíndricas o operador vetorial é dado por:
zk
r
1
rr
0t
V.
0tz
)V()V(
r
1
r
)Vr(
r
1 zr
Escoamento incompressível , = constante :
Escoamento compressível , regime permanente :
0z
VV
r
1
r
)rV(
r
1 zr
0z
)V()V(
r
1
r
)Vr(
r
1 zr
Princípio da conservação da massa em coordenadas cilíndricas
5.2 – Função corrente para escoamento incompressível bidimensional
0z
w
y
v
x
u
t
O objetivo é descrever matematicamente várias configurações geométricas de escoamentos bidimensionais:
0y
v
x
u
Se uma função contínua, chamada função corrente, for definida de modo que:
xve
yu
0xyyxy
v
x
u 22
A função corrente satisfaz a equação da continuidade (eq. da cons. da massa) :
As linhas de corrente são linhas traçadas no campo de escoamento tais que, em um dado instante, são tangentes à direção do escoamento, em cada ponto.
k)vdxudy()jdyidx()jviu(0rdV
Sendo um elemento de comprimento da linha de corrente:rd
Assim, a equação de uma linha de corrente em um escoamento bidimensional é :
0vdxudy
0dyy
dxx
Substituindo as equações da função corrente, tem-se, para um linha de corrente:
xve
yu
As linhas de corrente instântaneas
0dyy
dxx
Para uma linha de corrente:
Entre dois pontos quaisquer:
ddyy
dxx
Para uma profundidade unitária,a vazão através de AB é:
2
1
2
1
y
y
y
ydy
ydyuQ
Ao longo de AB, x=constante, e . Portanto:
12
y
y
2
1
2
1
ddyy
Q
dyyd
Em coordenadas cilíndricas :
0V
r
)rV( r
rVe
r
1Vr
Princípio da Conservação da Massa, escoamento bidimensional:
Velocidade radial, tangencial e respectiva função corrente
Dados: Campo de velocidade, com A = 2 s-1.jAyiAxV
Determinar: (a) Função corrente
(b) Trace gráficos no primeiro e segundo quadrantes
xve
yu
Do campo de velocidade dado :y
Axu
Integrando com relação a y : )x(fAxy)x(fdyy
A função f(x) pode ser avaliada usando-se a equação para v :
dx
)x(dfAy
xv
Ayv 0dx
)x(df cAxy
A constante é arbitrada como zero de modo que a linha de corrente através da origem seja designada como 01
)m/s/m(xy2 3
5.3 – Movimento de um elemento fluido Cinemática
Elemento infinitesimal de fluido
5.3.1 Aceleração de uma partícula fluida em um campo de velocidade
Translação Rotação
Deformação Angular Deformação Linear
Dado o campo de velocidade, , determine a aceleração de uma partícula fluida,
)t,z,y,x(VV
pa
)t,z,y,x(V]V tp
)dtt,dzz,dyy,dxx(V]V dttp
t
V
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
dt
Vda pppp
p
dtt
Vdz
z
Vdy
y
Vdx
x
VVd pppp
, a variação da velocidade da partícula, ao mover-se da posição para é dada por:
pVd
r
rdr
wdt
dzev
dt
dyu
dt
dx ppp
t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vu
dt
Vda p
p
Para lembrarmo-nos de que o cálculo da aceleração de uma partícula fluída em um campo de velocidade requer uma derivada total, esta recebe o símbolo . Assim: DtVD
t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vua
Dt
VDp
A derivada total, é usualmente chamada de derivada substancialDtVD
t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vu
Dt
VDap
aceleração total de uma
partícula
aceleração convectiva
aceleração local
V.Vz
Vw
y
Vv
x
Vu
t
VV.Va
Dt
VDp
t
V
y
Vv
x
Vu
Dt
VD
Para escoamento bidimensional :
t
V
x
Vu
Dt
VD
Para escoamento unidimensional :
t
u
z
uw
y
uv
x
uu
Dt
Dua
px
t
v
z
vw
y
vv
x
vu
Dt
Dva
py
t
w
z
ww
y
wv
x
wu
Dt
Dwa
pz
Em coordenadas cilíndricas (três componentes da aceleração total) :
Em coordenadas retangulares (três componentes da aceleração total):
t
V
z
VV
V
r
V
r
VVa
t
V
z
VV
z
VVV
r
V
r
VVa
t
V
z
VV
r
VV
r
V
r
VVa
zzz
zzrz
zr
r
rrz
2rr
rr
p
p
p
Dados : Escoamento permanente, unidimensional, incompressível, através do duto convergente mostrado.
iL
x1VV 1
Determinar : (a) A componente x da aceleração de uma partícula movendo-se no campo de escoamento
(b) Para a partícula localizada em x=0 em t=0, obtenha uma expressão para a sua:
(1) Posição , xp , como uma função do tempo.(2) Componente x da aceleração, axp
. como uma função do tempo.
5.3.2 Rotação dos fluidos
A rotação , , de uma partícula fluida é definida como a velocidade angular média de quaisquer duas linhas perpendiculares que se cruzam nocentro da partícula.
kji zyx
xx
vvv 0
yy
uuu 0
t
xlim
tlim
0t0ta0
t
ylim
tlim
0t0tb0
x
v
t
xtxxvlim
txx
v
0ta0
y
u
t
ytyyulim
tyy
u
0tb0
y
u
x
v
2
1z
x
w
z
u
2
1e
z
v
y
w
2
1yx
ky
u
x
vj
x
w
z
ui
z
v
y
w
2
1kji zyx
VVRotacional
V2
1
Vorticidade : V2
Circulação : C
sd.V
Coordenadas cilíndricas:
zV
r
1
r
rV
r
1
r
V
z
Vr
z
VV
r
1V rzrz
5.3.3 Deformação dos fluidos
A deformação angular de um elemento fluido envolve variações no ângulo entre duas linhas perpendiculares
Taxa de deformação angular:
dt
d
dt
d
dt
d
x
v
t
xtxxvlim
t
x/lim
tlim
dt
d0t0t0t
y
u
t
ytyyulim
t
y/lim
tlim
dt
d0t0t0t
Taxa de deformação angular no plano xy será : y
u
x
v
dt
d
dt
d
dt
d
Determinar : (a) As posições dos pontos a´,b´,c´ e d´ em t= 1,5 s.(b) Taxa de deformação angular.(c) Taxa de rotação de uma partícula fluida.
Dados : Campo de velocidade, U= 4 mm/s e h= 4 mm. Partículas fluidas marcadas em t=0 formando uma cruz, como mostrado:
i)hy(UV
A taxa de deformação angular é: ]s/rd[1h
U0
h
1U
x
v
y
u
A rotação é: ]s/rd[5,0h
U
2
1
h
U0
2
1
y
u
x
v
2
1z
5.4 – Equação da quantidade de movimentoUma equação dinâmica descrevendo o movimento do fluido pode ser
obtida aplicando-se a segunda lei de Newton a uma partícula
sistemadt
A quantidade de movimento do sistema é: dmVP)sistema(massasistema
Para um sistema infinitesimal de massa dm:
sistemadt
VddmFd
t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vudm
Dt
VDdmFd
5.4.1 Forças atuando sobre uma partícula fluida
As forças que atuam sobre um elemento fluido podem ser classificadas como de massa ou de superfície.
As de superfície incluem tanto as normais quanto as tangenciais (de cisalhamento).
Balanço de forças (dir.x) que atuam nas 6 superfícies do elemento
dydx2
dz
zdydx
2
dz
z
dxdz2
dy
ydxdz
2
dy
y
dzdy2
dx
xdzdy
2
dx
xdF
zxzx
zxzx
yxyx
yxyx
xxxx
xxxxxS
Balanço de forças (dir.x) que atuam nas 6
superfícies do elemento :
dydxdzz
dxdzdyy
dzdydxx
dF zxyxxxxS
dVzyx
dF zxyxxxxS
dVzyx
gdFdFdF zxyxxxxxSxCx
dVzyx
gdFdFdF zyyyxyyySyCy
dVzyx
gdFdFdF zzyzxzzzSzCz
Força infinitesimal resultante de superfície na direção x:
Forças infinitesimais resultante (de campo e de superfície) nas direções x,y e z:
5.4.2 Equação diferencial da Quantidade de Movimento
t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vudm
Dt
VDdmkdFjdFidFFd zyx
Dt
Du
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
zyxg zxyxxx
x
Dt
Dv
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
zyxg zyyyxy
y
Dt
Dw
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
zyxg zzyzxz
z
Equação diferencial da Quantidade de Movimento nas direções x,y e z:
5.4.3 Fluidos Newtonianos : a Equação de Navier-Stokes
y
u
x
vyxxy
z
v
y
wzyyz
x
w
z
uxzzx
x
u2V.
3
2pxx
y
v2V.
3
2pyy
z
w2V.
3
2pzz
Para um fluido newtoniano, as tensões viscosas são proporcionais às taxas de deformação angular.
As tensões podem ser expressas em termos dos gradientes de velocidade e das propriedades dos fluidos (em coordenadas retangulares), como segue (p é a pressão termodinâmica local) :
Correlações para tensões superficiais no elemento fluido infinitesimal
z
u
x
w
zx
v
y
u
yV.
3
2
x
u2
xx
pg
Dt
Dux
y
w
z
v
zV.
3
2
y
v2
yx
v
y
u
xy
pg
Dt
Dvy
V.3
2
z
w2
zy
w
z
v
yz
u
x
w
xz
pg
Dt
Dwz
Substituindo as correlações para tensões superfíciais na equação diferencial para quantidade de movimento do elemento fluido infinitesimal :
Estas equações do movimento fluido são chamadas de equações de Navier-Stokes.
As equações de Navier-Stokes são simplificadas quando aplicadas a escoamento incompressível (=cte) e fluidos de viscosidade também constante.
2
2
2
2
2
2
x z
u
y
u
x
u
x
pg
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
2
2
2
2
2
2
y z
v
y
v
x
v
y
pg
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
2
2
2
2
2
2
z z
w
y
w
x
w
z
pg
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
Para o caso de escoamento sem atrito , as equações acima se resumem à equação de Euler:
0
pgDt
VD
