1- Fluido como meio contínuo. Perfis de velocidades. Escoamentos 1D, 2D e 3D. Escoamento “plug-flow”. Exemplos. Trajetória e linha de corrente. Campos de velocidade. Classificação. Tipos de forças. Campos de tensões. Representação e sinais das tensões.

2- Viscosidade e deformação fluida. Fluidos newtonianos e não-newtonianos. Lei de Newton da viscosidade. Coeficiente de viscosidade dinâmica e cinemática. Diagramas reológicos. Mecanismos da viscosidade dos fluidos com a temperatura.Gráficos de viscosidade com temperatura.

Exemplo: Escoamento de Couette (distribuição de velocidades e tensões num

fluxo entre 2 placas longas paralelas).

Capítulo 2 – Conceitos fundamentais

3- Descrição e classificação dos escoamentos fluidos:

1) Internos, em canal e externos;

2) Laminar e turbulento. Número de Reynolds;

3) Compressível e incompressível. Número de Mach.

4) Viscoso e não-viscoso. Camada limite hidrodinâmica (cinética).

Ponto de estagnação.

4- Deslocamento (separação) da CL. Esteira. Arrasto. Carenamento aero-hidrodinâmico. Estrutura e desenvolvimento da CL cinética. Exemplos de aerofólios, placa plana e conduto. Características do fluxo viscoso sobre placa plana e em torno de um cilindro. Espessura da CL em placas planas. Formas aerodinâmicas e túnel de vento.

Fluido como Continuum ( ∞ divisível contínuo)

Escoamentos 1D, 2D e uniforme na seção transversal

r = 0 u = umáx

r = ± R u = 0

u = u (x,y) 2D

u = u (x) 1D

Escoamento uniforme na seção

(Condição de não-deslizamento)

Exemplos de casos simplificados:

● Escoamento permanente em tubo, afastado da entrada

u= u (r, θ, x, t) u= u(r) => 1D

Uniforme em x! (sem perdas viscosas e de atritos!)

(0)

r = 0 u= umáx

r = ± R u= 0 (Condição de não-deslizamento)

● Escoamento permanente entre paredes retas divergentes, infinitas em Z

● Modelo de fluxo uniforme na seção transversal

u = u (x,y) 2D

u = u (x) 1D

u = u (x,y,z,t) v = v (x,y,z,t)w = w(x,y,z,t) componentes escalares de

(Nº de Coord. Espaciais Necessárias)

(3D, Transiente)

Escoamentos 3D

Trajetória (“pathline”) - Percurso deixado por uma partícula fluida em movimento;

Linhas de tempo – Várias partículas fluidas adjacentes marcadas em um dado “t”;

Técnicas de visualização do campo de

tt + δt

Linhas de tempo

X Y

Z

t1

t2

t3

t1 > t2 > t3

Linhas de emissão (“streaklines”) – É a linha unindo partículas fluidas que passaram por um determinado ponto fixo no espaço;

LC (“streamlines”) – São linhas que, num dado “t”, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto “P” do escoamento. São tangentes ao vetor velocidade, em cada “P” do campo.

Ponto de referência

X Y

Z

v1

v2

v3

Campo de tensões TIPOS DE FORÇAS: - MASSA (sem contato físico e distribuídos em todo volume) Ex: Força gravitacional em um - DE SUPERFÍCIE (atuam nas fronteiras de um meio via contato direto) Ex: Forças de atrito e de pressão As tensões descrevem o modo pela qual as forças atuantes nas fronteiras do meio são transmitidas através dele.

│dA│P

dFn, dAn

dFt

n

dF

t

Tensão normal

Tensão cisalhante

As tensões estão associadas ao vetor dA que passa por P, com normal exterior no sentido n.

Exemplo:

Direção de atuação

Tij

Plano

dFz, τxz

dFy, τxy

dFx, σxxP

Y

Z

X

dF

“ O estado de tensão em um pontoé descrito pelas tensões atuantes em três planos quaisquer ortogonais entre si que passam pelo ponto. ”

Sinais das Tensões

Um componente de Tij é negativo quando o seu sentido e a plano no qual atua têm sinais

opostos.

Plano de atuação.

Tij

Sentido de atuação da tensão.

Uma tensão é positiva quando o seu sentido e o plano no qual atua têm o mesmo sinal.

- + T i j + -

+ +T i j - -

+

(π)

τ yx

τ yxτ yxσ yy

σ yy

σ yy

Y

X

+

+

+

+

––

Viscosidade e deformação fluida

Observações experimentais:

A) O fluido deforma-se continuamente sob a ação de dFx = cte, com du = cte.

B) A τyx aplicada ao fluido é: τyx = dFx/ dAy

C) A taxa de deformação do fluido é: dα/ dt

D) Da cinemática: dl = du dt

E) Da geometria: du dt = dα dy

(Taxa de deformação ao cisalhamento)

Fluidos Newtonianos

μ = coeficiente de viscosidade absoluta ou dinâmica

Fluidos Não-Newtonianos (todos os demais que não obedecem à Lei)

Coeficiente de Viscosidade Cinemática

- Lei de Newton da viscosidade -

Massa específica do fluido.

Mecanismos da Viscosidade com a Temperatura

O esforço de τ entre camadas do fluido (viscosidade) é função:• Forças de Adesão Intermolecular (LÍQUIDOS)• Transf. de Qtde. de Mov. Molecular entre camadas adjacentes (GASES)

Quando a T aumenta - LÍQUIDOS → FAI ↓ → μ ↓

- GASES → TQMM ↑ → μ ↑

A aplicação de um esforço tangencial externo (F) se transmite às camadas adjacentes na direção y → esforços internos de cisalhamento τ.

dy

dy

τ

τ

u , F

(u – du)

camada

camada

Y

X

Gases T↑;ν↑ Atividade molecular ↑

Líquidos T↑;ν↓ Coesão molecular ↓

T

(ν)

Viscosidade cinemática ( ν )

( μ )

T

( μ )

composição

Viscosidade dinâmica ( μ )

Soluções de Al - Zn

Diagramas reológicos

Classificação dos escoamentos

Escoamento de Couette

Fluxo de fluido de viscosidade cte. (μ) no espaço entre 2 placas longas paralelas.

Placa superior move-se com velocidade permanente U = cte relativa à placa inferior, as pressões são constantes (dp / dx = 0).

Obter: a) Distribuição de velocidades entre as placas b) Distribuição de tensões de corte no fluido

Como o elemento de fluido não acelera (U = cte.) e não há resultante de forças de pressão (dp / dx = 0) :

τw = τ(y) = cte. mas τ(y) = μ (du / dy) = cte.

τ (y)

τ w

dx

yh

U = cte (não depende de x,y,z e t!)Y

X

A força externa aplicada na placa superior para se obter U = cte. é equilibrada por forças internas (tangenciais) ao fluido (τ. A = Fint.).

Então:

Como: u = 0 ; y = 0 (condição de não-deslizamento) C = 0

Logo:

Y

u (y)

Como u = U em y = h

τ (y)

Y

cte

cte

, nesse caso = cte

Descrição e Classificação dos Escoamentos Fluidos

1) Condição de contorno:

Tubulação Canal Asa ou pá

2) Estrutura do Escoamento / Fluxo:

(ρ) (ρ) (ρ)

Laminar Transição Turbulento

NL

- interno- em canal- externos

3) Variação da massa específica (ρ) do fluxo: - incompressível - compressível

Δρ ≤ 5% → incompressível Δρ > 5% → compressível

4) Variações transversais ao fluxo das velocidades: - não-viscoso - viscoso

viscoso

não-viscoso

não-viscoso (afastado do objeto)

não-viscoso viscoso (próximodas paredes)fluxo

Número de Reynolds

• TUBOS → L = D

• PLACAS → L = L

L

D

; ou

laminar transição turbulento

turbulentolaminar

NRe

NRe

A principal diferença entre HIDRODINÂMICA e AERODINÂMICA é a propriedade da COMPRESSIBILIDADE dos meios fluidos.

A medida da velocidade do som em um meio (c- celeridade) dá uma indicação da sua compressibilidade.Seja: u – velocidade característica do meio fluido c – velocidade do som no meio (celeridade)

Dados: car ≈ 300 m/s – ρar ≈ 1,2 kg/m3 ρH2O / ρar ≈ 103

cH2O ≈ 1200 m/s – ρH20 ≈ 10³ kg/m3 cH20 /car ≈ 4

Em geral: uar >>> uH20

Logo: NMar ≈ (≈ 1,0) e NMH20 ≈ (<<< 1,0)

O NM é uma medida da compressibilidade que se relaciona com a razão entre u e c.No caso de H2O, o NM é muito baixo, indicando que a H2O é virtualmente INCOMPRESSÍVEL.

Exs: uH20 = 3,0 m/s → NM = 3/1200 = 0,0025 ≈ 0,002 uar = 25 m/s → NM = 25/300 = 0,083 ≈ 0,1

Fluidos Compressíveis e Incompressíveis

≈10² maior

NM = u / c

• LÍQUIDOS (para ∆V ≈ 1% → = ∆p ≈ 200 atm!)Exs. de fenômemos com líquidos em que ocorre efeitos de compressibilidade: - Golpe de Aríete - Cavitação

• GASES - se NM < 0,30 → ∆ρ < 5% - para NM = 0,30 → V ≈ 100 m/s !

NM

região de fluxos subsônicos compressíveis

fluxos incompressíveis

0,30 1,0

fluxos supersônicos

fluxos subsônicosfluxos compressíveis

maior parte dos casos de Engª

Mecânica!

Número de MACH

Velocidade do fluxo

celeridade de onda mecânica (som)

Classificação dos fluidos quanto aos comportamentos:

1. Reológico (líquido; gás)

2. Tensor dilatação (incompressível; compressível)

3. Variações temporais (permanente; transiente)

4. Tipo de fluido (viscoso; não-viscoso)

5. Tipo de movimento (rotacional; irrotacional)

6. Variações espaciais (1D; 2D; 3D)

Hipóteses:

a) Forças viscosas são pequenas em relação às inerciais e compressivas (compressível;invíscido)

b) Fluxo 3D porque as variações nos comprimentos, largura e espessura da asa alteram o fluxo (3D).

c) O vento atua na forma de rajadas (transiente)

d) A distribuição de pressões na asa é a mesma de fora da CL (irrotacional)

Organizar as técnicas de solução dos problemas

Ex: Projetar uma asa que não vibre à velocidades transônicas (NM >1,0).

Definição do problema: Gás compressível em fluxo transiente, irrotacional, 3D, invíscido.

Selecionar as formas apropriadas das equações governantes

cl

cl

1 – Camada Limite

2 – Escoamento Viscoso

4 – Perfil Carenado

3 – Escoamento Não Viscoso

Escoamento viscoso, incompressível, externo

CAMADAS-LIMITE

Fig. 9.1. Detalhes do escoamento viscoso em torno de um aerofólio.

Fig.9.2 Camada-limite sobre uma placa plana (a espessura vertical está em muito exagerada.)

Fig. 9.6 Escoamento em camada-limite com gradiente de pressão (espessura da camada-limiteexagerada por clareza).

Características do Escoamento em Regime Permanente sobre uma Placa Plana (simula corpo aerodinâmico) Paralela ao Fluxo

Características do Escoamento Viscoso em Regime Permanente em Torno de um Cilindro (simula um corpo rombudo)

• NRe = 0,1 = uD (baixo) ν• as Fvisc. são importantes em todo o escoamento • LC’s simétricas em relação ao centro do cilindro

• NRe = 50 (moderado)• a Fi é tal que o fluido não pode seguir a trajetória curva ao redor do corpo.• Ponto de separação/bolha de separação/fluxo reverso

• NRe = 105 (alto)• a área afetada pelas Fvisc. é forçada para a jusante até que se desenvolva a CL fina (δ « D)

NRe

Y

Xbordo de ataque bordo de fuga

laminar

turbulento

escoamento não-viscoso

CLL ZT CLT

filme laminar

Estimativa da espessura da Camada Limite (δ) em Placas

Blasius

Carenagem aerodinâmica

Visualização de Fenômenos Básicos

• ESCOAMENTO IDEAL

●Camada limite e separação sobre um cilindro.●Escoamento ideal sem ocorrência de separação.

• ESCOAMENTO COM SEPARAÇÃO

• ESCOAMENTO EM PERFIL AERODINAMIZADO (PERFILADO)

Escoamento suave em torno de um objeto. A diminuição gradual do bordo de fuga evita a separação da camada limite.

Escoamento Subsônico

Escoamento subsônico com camada limite de transição sem separação. A espessura da camada limite está exagerada.

Se a velocidade é pequena, as variações de densidade são pequenas e o escoamento pode ser considerado incompressível. (Esse conceito será demonstrado no Capítulo 7.) As Figs. 1-5 e 1-6 mostram a configuração do escoamento.

Fig. 1-7 - Escoamento supersônico em torno de um objeto.

Se a velocidade aumenta até que o número de Mach seja maior ou cerca de 0,3, as variações de densidade tornam-se importantes, mas a configuração do escoamento ainda permanece como mostrado. Todavia, quando o número de Mach aumenta até um valor superior a um, ocorre uma onda de choque e o escoamento terá a aparência mostrada na Fig. 1-7.

Se o número de Mach aumenta a um valor maior que cerca de seis, ocorrerá a dissociação e a ionização.

Flutuações com freqüência de ordem de grandeza

(102 a 103/s) são detectadas com:- Anemômetro de fio quente

- Anemômetro laser-doppler

Fig. 41.6. The fluctuation of the axial velocity component in pipe flow, at a Reynolds number of 6500 as reported by Davies. Curve (a) represents the actual measurements while curve (b) represents a smoothed version.The frequency of the larger eddies is about 11Hz

Natureza flutuante dos escoamentos turbulentos

Fig. 41.7 Schematic representation of the distribution of eddies in pie flow, indicating thatthe larger eddies are located near the center, while the small eddies are being produced in the vicinity of the solid surfaces.

A caracterização da distribuição de tamanhos de vértices e a descrição do espectro de energia constitui parte da Teoria Estatística da Turbulência.

Vórtices (são regiões do campo onde elementos fluidos fazem rápida e local circulação, formando-se e destruindo-se continuamente).

Tipos Grandes e médios (1)

Pequenos (2)

(1) Distantes das paredes, contém a maioria da EC do fluido, a dissipação viscosa é desprezível. A degradação da energia ocorre pela transferência de energia para os pequenos vórtices.

(2) Próximo das paredes onde há dissipação viscosa.

Fig. 4.14 Sketch illustrating Reynold’s experiment involving the behavior of a dye streak injected into water flowing through a horizontal pipe (a) laminar flow, (b) turbulent flow.

Comparação de escoamentos Laminar e Turbulento em tubos

Comportamento físico

Perfis de velocidade (Nre = 4000)

Fig. 41.5 Comparison of laminar and turbulent velocity profiles at thesame Reynolds number as quoted by Bird et al.

Laminar

Turbulento

Fig. 97. Regiões distintas em que se divide o escoamento turbulento sobre uma placa plana.A coordenada adimensional é definida pela expressão:

A espessura da subcamada laminar é dada por = δ = 5 e o início do núcleo turbulentocorresponde a = λ = 30.

De fato, nas vizinhanças das paredes em geral, não podendo a componente de perturbação v’y

atingir os mesmos valores que nas regiões distantes, o escoamento deixa de ser turbulento para se tornar laminar. A região em que isto se passa recebe o nome de subcamada laminar.

PERFIL DE

CL

• PERFIS DE

• VELOCIDADE MÉDIA NA SEÇÃO TRANSVERSAL

Fig. 38. Perfil de velocidades sobre uma placa plana.

Mediante o método de cuba de pó de alumínio visualiza-se o escoamento nas imediações de uma placa plana. Observam-se partículas imóveis nas imediações da placa. À medida que se afastam da placa, os traços correspondentes à velocidade do escoamento vão-se tornando maiores, caracterizando a existência de um perfil de velocidades como o indicado na figura, o qual permite introduzir o conceito de camada limite.

Fig.66. Camada limite no escoamento sobre uma placa plana.

M J

Observa-se o crescimento da espessura da camada limite de montante para jusante.

Fig. 39. Camada limite sobre superfícies curvas.

Utilizando o método dos filetes de fumaça visualizam-se as regiões sobre as paredes de obstáculos, nas quais se verifica o efeito decelerador da camada limite.

A- Escoamento sobre cilindro circular.O filete de cor clara cobre a superfície de montante do cilindro corresponde à formação da

camada limite laminar.

A

Fig. 35. Ponto de estagnação sobre o bordo de ataque arredondado de um obstáculo.A visualização do escoamento é feita pelo método da cuba de pó de alumínio. Observa-se

junto ao eixo de simetria do bordo de ataque, que os traços correspondentes à velocidade do escoamento vão-se tornando menores à medida em que se aproximam da parede, indicando deceleração do escoamento. Junto à parede, no eixo de simetria, não há velocidade de escoamento – tem-se um ponto de estagnação.

Fig. 36. Ponto de estagnação a montante de um cilindro circular.A visualização do escoamento é feita pelo método do túnel de fumaça. Observa-se que o

filete de fumaça coincidente com o eixo de simetria do escoamento vai sendo decelerado à medida que se aproxima da parede do cilindro. O aumento da secção transversal do filete de fumaça corresponde à deceleração do escoamento.

O regime de escoamento é permanente, de maneira que os filetes de fumaça visualizam as linhas de corrente. No bordo de ataque do cilindro circular tem-se uma bifurcação da linha de corrente coincidente com o eixo de simetria do escoamento. Esse ponto de cruzamento d linhas da corrente é um ponto de estagnação.

Fig. 39. Camada limite sobre superfícies curvas.Utilizando o método dos filetes de fumaça visualizam-se as regiões sobre as paredes de

obstáculos, nas quais se verifica o efeito decelerador da camada limite.A- Escoamento sobre cilindro circular.O filete de cor clara sobre a superfície de montante do cilindro corresponde à formação

da camada limite laminar.

A

Descolamento sobre superfície curva

Fig. 42 - Descolamento com formação de vórtices simétricos estáveis.O deslocamento se dá de maneira simétrica em torno de um cilindro circular, para números de

Reynolds compreendidos ente 1 e 20.

Fig. 72. Oscilação periódica dos vórtices formados a jusante do cilindro circular. Escoamento com número de Reynolds compreendido entre 20 e 5000.

Vórtices

Fig. 43. Descolamento em torno de cilindro circular com formação de vórtices assimétricos instáveis.

A fotografia visualiza a posição dos pontos de descolamento a aproximadamente 70° do ponto de estagnação. Observam-se também os vórtices assimétricos que se formam alternadamente e são arrastados sucessivamente pelo escoamento principal. Os números de Reynolds para os quais se obtêm configurações como esta são compreendidos entre 1,5. 104 e 105.

Figura 5.20 Mudança no ponto de descolamento devido à turbulência induzida. (a) Bola de boliche de 8,5 in., superfície lisa com velocidade de entrada na água de 25 ft/s. (b) Igual ao lado, exceto a existência de uma região de areia de 4 in.de diâmetro no nariz. (Official U.S. Navy photograph made at Navy Ordnanc. Test Station, Pasadena Annex.)

(a) (b)

Região de areia

ESCOAMENTO INTERNO

DIFUSOR

Figura 5.18 (a) Efeito do gradiente adverso de pressão na camada limite. Descolamento. (b) Crescimento da camada limite num difusor de ângulo pequeno. (c) Descolamento da camada limite num difusor de ângulo grande. Partes (b) e (c) da película “Fundamentals of Boundary Layers”, do National Committee for Fluid Mechanics Films e do Education Development Center.

Fig. 41(continuação)C- Visualização do escoamento em torno de perfil assimétrico com ângulo de ataque nulo, com ausência de descolamento.D- Visualização do escoamento em torno de perfil assimétrico com grande ângulo de ataque, praticamente ainda com ausência de descolamento.

Fig. 67. Perfil de asa NACA 23015 do avião agrícola Ipanema desenvolvido no Centro Técnico de Aeronáutica. São José dos Campos.

C

D

M J

Figura 5.19 Corpo de perfil aerodinâmico

Fig. 81. Controle da camada limite mediante movimentação das paredes.

A- Cilindro circular em repouso.B- Cilindro circular em rotação.

Observa-se a eliminação do descolamento sobre o cilindro.

Fig. 82. Controle da camada limite pelo efeito de injeção (aceleração)

O perfil da figura é conhecido como asa ranhurada de Handley-PAGE E Lanchmann. A camada limite do primeiro perfil estende-se no seio do fluido em escoamento sem contato com o segundo perfil. Logo, a camada limite do segundo perfil tem de vender somente uma parcela do aumento de pressão no sentido do escoamento. Eliminam-se os descolamentos mesmo para ângulos de ataque elevados.

Os resultados obtidos são bastante satisfatórios, obtendo-se coeficientes de sustentação cerda de 50% maiores para o mesmo ângulo de ataque. A remoção das partículas deceleradas mediante conveniente sucção proporciona também a eliminação do descolamento, sendo de mais fácil execução prática (figura 83) e conduzindo igualmente a ótimos resultados.

Fig. 83. Efeito da sucção da camada limite em uma asa de avião.À esquerda tem-se escoamento sem sucção. À direita os fiapos colados ao flap indicam o

efeito da sucção eliminando o descolamento.(Gentileza do Prof. Dr. Oskar Cchrenk)

Aileronde baixa velocidade

Flape único de popa

Aileronde alta velocidade

Flape duplo de convés

Airbus A310

Formação de vórtices

Representação esquemática de uma aeronave supersônica em vôo mostrando as ondas de choquefrontal e terminal, o cone de Mach ângulo de vértice 2θ e um gráfico da pressão no nível do solo.Os desvios em relação à pressão atmosférica normal ocorrem na região de sobrepressão entre as duas ondas de choque.

Aeronave Super Sônica

ΔpT

τ

p

t

T – tempo de duraçãoτ – tempo de surgência

c² ≈ gh

Propagação Superficial

Propagação Interna

pestag