Agrupamento de Escolas Finisterra

Escola Secundária de Cantanhede

Trabalho realizado no âmbito da disciplina de Matemática

A matemática é a mais alta das ciências, o dom mais alto que os deuses deram aos

homens. Ela é mais poesia que a própria poesia.

Turma: 10CT4

Docente: Profª Marília Zorrinho

Secções cónicas: a ELIPSE

Trabalho realizado por:

Luís André P. Alves de Oliveira | Nº 15720

Pedro Miguel N. Oliveira | Nº 15737

Arquimedes

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Ano Letivo: 2013 / 2014

Índice

Introdução ....................................................................................................................................... 3

Breve referência histórica sobre a elipse .............................................................................. 4

Definição de elipse ....................................................................................................................... 5

Métodos de construção da elipse ........................................................................................... 5

Equação da elipse e os seus elementos ................................................................................ 5

Aplicações da elipse ..................................................................................................................... 8

Conclusão ......................................................................................................................................... 9

Bibliografia ..................................................................................................................................... 10

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Introdução Secções cónicas são as curvas que resultam da intersecção de um plano

com uma superfície cónica.

As secções cónicas representam uma parte muito importante no estudo

da Matemática. As suas equações e os seus gráficos são muitoutilizados em

vários ramos da Matemática, como por exemplo o Cálculo Integral, para além

de serem muitas as aplicações das cónicas na história da sociedade. Desde que

o matemático grego Apolónio de Perga escreveu o primeiro trabalho sobre as

secções cónicas, diversos matemáticos de renome contribuíram, de maneira

significativa, para o conhecimento desta curvas e suas aplicações nos diversos

assuntos.

Das várias cónicas destacam-se duas: a circunferência e a elipse.

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Breve referência histórica sobre a

elipse Apolónio de Perga, foi um matemático que se dedicou principalmente ao

estudo de curvas, denominadas por cónicas.

As civilizações antigas dedicaram-se ao estudo da astronomia

principalmente com fins práticos. Utilizavam-na, por exemplo, para realizar

previsões acerca de acontecimentos importantes, ou para determinar as

estações do ano a fim de procederem às atividades agrícolas nas alturas

corretas. Mais tarde, as razões vieram a alterar-se, mas o interesse pela

astronomia manteve-se sempre.

Os primeiros modelos de que há registo consideravam que as órbitas

planetárias eram circulares. Assim mesmo começou por considerar Johannes

Kepler, chegando à discordância entre os resultados teóricos e as observações

do astrónomo dinamarquês TychoBrahe, em que se apoiou.

Essa discordância veio a ser resolvida quando deduziu que as órbitas

planetárias eram elípticas e publica em 1609 a sua descoberta de que a órbita

de Marte em torno do Sol é uma elipse.

A partir daí as cónicas revelaram a sua restrita ligação com a Natureza, em

particular com as trajetórias dos planetas no Sistema Solar. Esta descoberta,

associada aos estudos de Galileu, levou posteriormente (em 1680) Isaac Newton

a formular a sua lei gravitacional.

O matemático Apolónio nasceu em Perga, Pamphylia. Na época de

Apolónio, Perga era um centro de cultura e o local de devoção da deusa

Artemis.

Apolónio de Perga ficou conhecido como "O Grande Geómetra", tendo

deixado uma vasta obra, que em muito contribuiu para o desenvolvimento da

Matemática, apesar de se terem perdido vários dos seus trabalhos ao longo dos

anos.

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Definição de

elipse Uma elipse é um conjunto de pontos

do plano cuja soma das distâncias a

dois pontos fixos (focos) é constante e

maior que a distância entre eles.

Métodos de construção da elipse Existem vários métodos de construção da elipse entre os quais se destaca

o método do jardineiro e o método do alongamento da circunferência.

O método do jardineiro consiste em

espetar duas hastes verticais no chão, atar as

extremidades de uma corda a cada uma das

hastes e com um pau encostado à corda ir

traçando a elipse no chão, mantendo sempre a

corda esticada. O comprimento da corda deve,

obviamente, ser superior à distância entre as

hastes.

O método do alongamento da

circunferência consiste em, partindo de uma

circunferência de um determinado diâmetro, com

centro na origem de referencial, multiplicar as

abcissas de todos os pontos da circunferência por

um fator de alongamento. O diâmetro deve ser igual ao eixo menor da elipse

que se pretende traçar. O fator de alongamento deve ser escolhido por forma a

que quando multiplicado pelo diâmetro da circunferência dê a medida do eixo

maior da elipse.

Equação da elipse e os

seus elementos Da equação da circunferência para a equação da elipse

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Uma elipse pode ser imaginada como uma circunferência que foi “alongada” ou

“achatada”.

Será possível, a partir da equação de uma circunferência obter a equação de

uma elipse?

Considere-se a circunferência de centro (0,0) e raio 4.

A equação desta circunferência é:

Ou, dividindo ambos os membros por ,

A equação da elipse aparece, normalmente, sob a forma de:

Na circunferência tem-se a = b = raio. Na elipse tem-se a>b ou a<b.

Através de um alongamento da circunferência de equação , obtém-

se uma elipse em que o eixo menor é igual ao diâmetro da circunferência:

Cada ponto A (x,y) da circunferência é transformado no ponto

A’ (X,Y) da elipse, sendo:

Yy

Xx

yY

xX2

2

Substituindo, na equação da circunferência, por e por Y, obtém-se:

148

11664

164

42

2

222

2

2

22

2YXYX

YX

YX

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Assim,

Elipse de centro na origem

Semieixo maior:

Semieixo menor:

Equação: 14

y

8

x

2

2

2

2

Se uma vez de um alongamento se tivesse procedido a um achatamento da

circunferência de equação 2224yx , a elipse obtida teria o eixo maior

igual ao diâmetro da circunferência.

Cada ponto A (x,y) da circunferência é

transformado no ponto A’ (X,Y) da elipse, sendo:

yY

Xx

yY

xX 2

2

Substituindo, na equação da circunferência, x por

2X e y por Y, obtém-se:

142

11616

41644)2(

2

2

2

222

22222 YXYXYXYX

Assim, a equação 142

2

2

2

2YX

define uma elipse de centro na

origem, sendo:

Semieixo menor:

Semieixo maior:

Assim tem-se:

Considere-se uma elipse de centro na origem e vértices ( ); ( ;( e

y)

, y)

x

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A equação da elipse é 12

2

2

2

b

y

a

x.

Aplicações da elipse Suponhamos que temos uma lanterna

direcionada para uma parede, o feixe de luz emitido

desenhará nessa parede uma curva cónica. Este facto

acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna

forma um cone, e também porque a parede funciona

como um plano que corta o cone formado.

Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à

parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma

hipérbole.

O som emitido por um avião a jacto supersónico tem a forma de um

cone, pelo que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cónica. Assim,

dependendo da inclinação do avião relativamente à Terra, vamos obter elipses,

parábolas ou hipérboles. A audiometria usa este

facto, entre outros, para saber a que distância da

Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som.

Certos candeeiros de cabeceira, cujo abat-jour

é aberto segundo uma circunferência, desenham na

parede uma hipérbole e no tecto uma elipse.

Os Engenheiros da área da iluminação usam

este facto, entre outros, para construírem candeeiros,

lanternas, etc...

As extremidades das asas do famoso avião britânico

Spitfire, usado com grande sucesso na II Guerra

Mundial, eram arcos de elipses. Embora a razão da

sua escolha se prenda com o facto de se obter mais

espaço para transportar munições, pois este tipo de

asa diminuía a resistência do ar, favorecendo

melhores performances ao avião em voo.

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Conclusão Neste trabalho concluímos que Apolónio de Perga teve uma grande

influência no conhecimento mais aprofundado das cónicas (elipse, parábola,

hipérbole).

Aprendemos que a elipse tem váriosmétodos de construção, que pode

ser formada, por exemplo, pelo alargamento ou por achatar uma circunferência.

Passamos ainda a conhecer a equação da elipse, que é formada a partir da

equação da circunferência e ainda seus elementos.

Aprendemos ainda que a elipse tem várias aplicações no nosso dia a dia,

e são em coisas que nós nunca reparamos, como por exemplo quando a luz de

uma lanterna bate na parede, foi utilizada numas asas de um dos aviões mais

famosos, entre outras coisas.

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Bibliografia Gomes, F., Viegas, C., & Lima, Y. (2013). xeqmat. In F. Gomes, C. Viegas, & Y.

Lima, xeqmat. Lisboa: O livro.

Neves, M., & Guerreiro, L. (s.d.). Matemática A - 10º ano - Geometris.

Ovigli, D., de Jesus e Silva, L., Valéria da Silva, S., & Ribeiro Garcia Malheiros, C.

(21 de 12 de 2013). Elipse. Obtido de Elipse: http://estatisticando-

elipse.blogspot.pt/

Varandas, J. M. (21 de 12 de 2013). Elipse. Obtido de Website de U.Lisboa:

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/elipse.htm